九年级数学总复习第四部分 图形的认识和证明

九年级数学总复习 第四部分 图形的认识和证明

太和区第二初级中学 孙宝权 刘公余

Ⅰ、三角形和相似形

一、考点分析及难点提示

1．熟练掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质、判定及作图方法. 2．熟练掌握三角形的中位线定理. 3．三角形全等的证题思路

4．等腰三角形的性质与判定

提示：“三线合一”的应用是等腰三角形的重点,在证明过程中，常常要做辅助线�底边上的高,以便使用这个性质证明线段相等、垂直或角相等. 5.Rt△知识注意问题 (1)勾股定理常要用到：

两条直角边的平方和等于斜边的平方. (2)直角三角形中线定理也是常用到的.

如图，由∠C=90°，D为AB中点，得

.

6.相似三角形 三角形相似的判定： 两角对应相等； 三边对应成比例；

两边对应成比例且夹角相等. 相似比问题： 线段比等于相似比； 面积比等于相似比的平方.

相似三角形中常见的基本图形如图：

注意：在判断相似三角形的有关问题时，不要忽视公共角和对顶角，另外，很多题目的结论是等积式，只要把等积式化成比例式，就能找到解决问题的途径. 7．相似三角形的应用 （1）位似图形.

（2）平行投影在太阳光下同一时刻的物高与影长成比例.即 8．黄金分割

（1）定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果黄金分割点，

叫黄金比.

，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫

（2）比值： .

（3）主要是应用于计算和作图（黄金分割点的几种作法，作黄金矩形）. 9．几何证明中辅助线的特殊作法 1.平移法：平行移动线段到相关位置.

2.对称法：利用轴对称和中心对称判断相关线段的关系. 3.旋转法：利用旋转作图的性质判断相关线段和角的关系. 二、三角形部分典型题

1．已知A、B两点，以A、B为其中两个顶点，作等腰直角三角形，一共可作 个.

2．如图，平面镜A与B之间的夹角为110°，光线经过平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的度数为 .

3．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转45°.某一指令规定，机器人先向正前方行走1米，再左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，一共走了 米. 4．如图，OA=OB=OC，∠B=40°，∠C=25°，则∠BOC的度数为 .

5．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC的度数为 . 6．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，要使△ABD与△ACD全等，只需再添上一个条件，这个条件可以是 .

7．已知三角形的三边是方程的两根，那么它的周长是 .

8．如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需要在它的内部添加一些钢管EF、FG、GH??，添加的钢管的长度都与OE相等，那么最多能添加这样的钢管 根.

9.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2，BC=1,求AG的长.

10．如图是一三角形的纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角C沿DE折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°，求∠2的度数.

11．如图，在△ABC中，延长BC到D，延长AC到E，AD与BE相交于F，∠ABC=45°，试将下列设定中的两个作为题设，另一个作为结论，组成一个正确命题，并证明这个命题.①AD⊥BD；②AE⊥BF；③AC=BF.

12．如图，在333方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.请画出三个面积为3的格点三角形.要求：①与例图不同；②不重复（两个全等图形视为重复）；③在提供的3张图纸上各画一个.

三、实战练习 （一）填空题

1．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是_________. 2．如果一个角的余角是35度，那么这个角的补角是_________度. 3.如图，D是ΔABC的AB边上的一点，过点D作DE//BC，交AC于E. 已知AD∶DB=1∶3，那么SΔADE∶SΔABC=_________. （二）解答题

1．如图，F、C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR//BE.求证：ΔPQR是等腰三角形.

2．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ΔADQ∽ΔQCP. 3．已知：如图，正方形DEFG内接于RtΔABC,EF在斜边BC上，EH⊥AB于H.求证： （1）ΔADG∽ΔHED； （2）EF=BE2FC. 四、相似形部分典型题

2

1．如图，把菱形ABCD沿着对角线的AC方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，若则菱形移动的距离AA′是 .

，且，

2．上午10时，校园内的旗杆影长为15米，与此同时，高为1.5米的测杆影长为2.5米，则旗杆的高是 .

3．已知，如图，矩形EFGH的顶点在△ABC的三边上，AD⊥BC，若BC=10cm，AP=16cm，矩形的周长为24cm，则△ABC的面积是 .

4．已知，1，，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式 .

5．某学生想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因为大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经过测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么，这棵大树高为 米.

6．在矩形ABCD中，DH⊥AC于点H，若AH=6，CH=2，则S矩形ABCD= .

7．已知：如图，正方形ABCD中，DC=12，E是CD上的一点，DE=5，AE的中垂线分别交AD、BC于M、N，垂足

为P，则PM：PN= .

8．在梯形ABCD中，AD∥BC，两条对角线相交于点O，若AD：BC=2：3，那么S△AOD：S△ACD= . 9．已知△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请你找出一个与△DEF相似的三角形，并加以证明.

10．一块直角三角形木板的一条直角边长AB为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙二位同学的加工方法如图，请你用学过的知识，说明谁的加工方法符合要求.

11．如图，ABCD是平行四边形，P是BD上的任意一点，过P的直线分别交AB、DC于E、F，交DA、BC的延长线于G、H.求证：

（1）PE2PG=PF2PH；

（2）当过P点的直线绕点P旋转到F、H、C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给出证明.

12．点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形. （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？ （2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.

13．已知直线L是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P为L上的一个动点，（点P与D不重合），连结AP、BP，作AE⊥BP于点E，交L于点C，连结BC.试问：当点P在L上运动且与点D的距离变大时，S△PAB2S△CAB的值变小、变大、还是不变？提出你的猜想并加以证明.

14．点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE. （1）求证：BE2AD=CD2AE；

（2）根据图形的特点，猜想明你的猜想.

可能等于哪两条线段的比（只需写出图中已有的线段中的一组即可），并证

Ⅰ、三角形与相似形参考答案

二、三角形部分典型题

1．6 2．35° 3．8 4．130° 5．15° 6．略 7．5 8．7 9． 三、实战练习

（一）1．30cm 2．125 3．1：16

（二）1．证△ABC≌△DEF 2．略 3．略.证△CFG≌△BED 四、相似形部分典型题

2

10.40° 11.略 12.略

1． 2．9m 3．100cm 4．略 5．9.4 6．

2

7．5：19 8．2：5

9.△GAD；△ECH；△GFH；证明略

10.

2

； 11.略.PC=

2

12.CD=AC2DB；120° 13，不变.证△ACD≌△PAD；

14，证△ABE∽△ACD；

Ⅱ、四边形

一、考点分析

四边形一部分，是三角形内容的应用和深化.这部分中考试题所考查的知识点主要有： 1.根据多边形的内、外角和公式确定多边形的边数.

2.会借助平行四边形的性质定理解决线段、角相等和求值等问题. 3.能借助定义及判定定理判断四边形中的特殊四边形.

4.会根据平行四边形的性质定理确定特殊四边形具有的性质，并结合其定义和判定定理判断与四边形有关的真假命题.

5. 明确轴对称图形、中心对称图形的特性及其规律，并能结合实际图形予以辨认.

6. 利用特殊四边形的面积公式（菱形、梯形面积等）解决与面积有关的几何问题（包括应用问题），并会解答折痕问题. 二、难点提示

1．四边形一章是平行线和三角形知识的应用和深化，因此通常需要添加辅助线把四边形转化为三角形，把梯形转化成平行四边形和三角形，把多边形转化为三角形或特殊四边形.

2．矩形、菱形、正方形的性质都是在平行四边形的基础上扩展的，而平行四边形的有关性质和定理通常是证明线段相等，两个角相等，两条直线平行或垂直的依据.

3．连接平行四边形和特殊平行四边形的对角线是常添辅助线，它可将四边形问题转化为三角形问题解决. 4．另一个容易出问题的地方，是梯形辅助线的作法，常见的辅助线总结如下： （1）过上底一端点，作一腰的平行线，如图（1）. （2）过上底两端点，作下底的垂线，如图（2）. （3）过上底的一端点作一对角线的平行线如图（3）.

（4）连结上底一端点和一腰中点的直线与下底延长线相交，通过构造全等三角形进行证明和计算如图（4）. （5）延长梯形的两腰，如图（5）. （6）作梯形的中位线，如图（6）.

5.菱形的面积公式

(a, b为菱形对角线的长度).

S菱形=ch (c, h分别为菱形边长和边上的高) . 6．折痕问题的关键

（1）解决折痕问题的基本原理是轴对称性质.

（2）解决折痕问题的基本途径是借助勾股定理构建方程. 三、四边形部分典型题

1.在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,对角线AC=6,BD=8,则面积是 . 2.已知菱形的两条对角线长分别是4cm和10cm,则它的边长是 .

3.已知：平行四边形ABCD中,M是对角线AC上的一点,连结BM、DM,则图中面积相等的三角形有 对.

4.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的是( )

5.在平行四边形ABCD中,AB=6，AD=8，∠B是锐角,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,如果AE过BC的中点,那么平行四边形ABCD的面积是 .

6.一幅美丽的图案,在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成,其中三个分别是三角形,正四边形, 正六边形,那么另外一个是正 形.

7.如图,在菱形ABCD中, ∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连结DF,则∠CDF等于 .

8.A、B、C、D在同一平面内,从⑴AB∥CD；⑵AB=CD；⑶BC∥AD；⑷BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有 种.

9.如图,把一个正方形三次对折后,沿虚线剪下,则所得的图形是( )

10.有一腰长为5cm,底为4cm的等腰三角形纸片,沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形,用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形.

11.把一块正六边形硬纸片作成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒,需在每一个顶点处剪去一个四边形，那么剪去的四边形中最小的角是 度.

12.一个画家把12个边长是1cm的正方体在地面上摆成三层,最上层一块,第二层四块,然后,他把露出的表面都涂上颜色,那么被涂上颜色的总面积是 .

13.若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形的形状,使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角是 度.

14.在矩形ABCD中,AB=3，BC=2，E为BC的中点,F在AB上,且BF=2AF,则四边形AFEC的面积为 . 15.如图，用一条宽相等的足够长的纸带,打一个结,然后轻轻拉紧,压平,就可以得到一个正五边形ABCDE,其中∠BAC= 度.

16. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是 .

17．如图，正方形硬纸片的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿虚线剪开，拼成的图中的阴影部分面积是 .

18．如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据图形，添加一个条件，使四边形AECF是菱形，则添加的一个条件可能是 .

19．如图，边长是3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是 .

0

20．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于E，AE=BE，BF⊥AE于F，线段BF与图中的哪一条线段相等？先写出你的猜想，再加以证明.

21．把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（直角边长为4）叠放在一起，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现在将三角板EFG绕点O顺时针旋转一个锐角，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分.

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论； （2）连结HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GHK的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

四、实战练习 （一） 选择题

1．在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若ΔAEF是边长为的边长为（ ）

的等边三角形，则正方形ABCD

A. B. C. D.2

2．已知下列图形：（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等腰三角形.其中是轴对称图形，而不是中心对称图形的序号是（ ）

A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(3)(4) 3．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

（二）解答题

1．已知：如图，□ABCD中，E是AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F.求证：AB=AF.

2．如图，将□ABCD沿AC折叠，点B落在B′处，AB′交DC于点M.求证：折叠后重合的部分（即ΔMAC）是等腰三角形.

3．已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD

（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A.①求证：ΔABP∽Δ在DPC；②求AP的长；

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么 ①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x, CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数y的取值范围； ②当CE=1时，求出AP的长.

Ⅱ、四边形参考答案

三、四边形部分典型题

1．24 2． 3．三 4．D 5． 6．四边 7．60°8．四 9．C 10.四 11.60 12.33cm 13.30 20.BF=DE 21.BH=CK；不变；S=4；

；0＜x＜4

2

14.2 15.36 16.略 17.4 18.AE=CE 19. 四、实战练习

（一）1．A 2．D 3．B （二）

1．证△AEF≌△DEC

2．证∠BAC=∠MAC=∠ACM

3．⑴①略 ②1、4 ⑵①；1＜x＜4 ②AP=4 Ⅲ、解直角三角形

一、考点分析及难点提示

1．特殊角的三角函数值，可利用特殊的直角三角形三边的比进行记忆

2.解直角三角形

(1)直角三角形角的关系：∠A+∠B=90°. (2)直角三角形边的关系：a+b=c . (3)直角三角形的边角关系：

2

2

2

, , , .

在直角三角形中，除直角外的其余五个元素中，已知其中两个（至少有一个是边），即可求出其余三个. 3.应用问题

直角三角形边角关系的应用类型主要归结为：求解距离、测量物体高度、度量角度、计算面积等解直角三角形的数学问题.

步骤为：画出示意图，把实际问题抽象成数学问题；找出直角三角形或通过作辅助线构造直角三角形；利用直角三角形边角关系求解. (1)仰角、俯角的概念

如图1所示，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角.

(2)坡度（坡比）、坡角的概念

如图2所示，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即

.这里，α是坡面与水平面的夹角，这个角叫坡角.

（3）方向角

如图3所示，视线（视点与目标的连线）与指北（南）线的夹角. （4）直角三角形应用题的常用图形

二、解直角三角形部分典型题

1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=6,D是AC上一点， ,则AD的长是 .

2．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着坡角为30°的山坡前进1000米，到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到0.01米） .

3.升国旗时，某同学站在离旗杆24米处行注目礼，他的视线的仰角是30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度是 .

4．直角三角形的周长是，斜边上的中线是1，则它的面积是 .

5．如图，在高为2米，倾斜角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 米.（精确到0.1米）

6．如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若OE:OD=1:2， ,则DE= cm.

7．如图，是一条山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°，为了方便交通，政府决定把山坡路BC的坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°. （1）求山坡路AB的高度BE；（精确到0.01米）

（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（精确到0.01米） (参考数据sin5°=0.0872,cos5°=0.9962,sin12°=0.2079,cos12°=0.9781)

8．如图，甲乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿北偏西60°的方向前进，

乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具忘在乙船上，于是甲船快速沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇. （1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是多少？

9．如图，某货船以每小时20海里的速度把一批重要物质由A处运往正西方向的B处，经过16小时的航行到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门的通知，一台风中心正以每小时40海里的速度由A向北偏西60°的方向移动，距离台风中心200海里的圆形区域（包括边界）都会受到影响. (1) 问B处是否会受到影响？请说明理由；

(2) 为了避免受到台风的影响，该货船应在多少小时内卸完货物？

10．如图，已知测速站P到公路l的距离PO为40米，一辆汽车在公路l上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得∠APO=60°,∠BPO=30°，计算此车从A到B的平均速度是多少？（结果保留四个有效数字）并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度.

11．在一次实践活动中，某课题小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案，①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α；②量出测点到旗杆底部的水平距离AN=m；③量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度MN的方案.要求：

(1)在图中，画出你测量小山高度的示意图，并标出适当的字母； (2)写出你的设计方案.

三、实战练习 （一）填空或选择

1.在△ABC中，若sinA=1，tanB=，则∠C= 度.

2.在△ABC中，若∠C=90°，∠A=45°，那么tanA+ sinB= ，△ABC为 对称图形（只填轴或中心）.

3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，sinA+cosB的值等于（ ）

A. B.1 C. D.

4.菱形ABCD的边长为5，AC、BD相交于点O，AC=6，若∠ABD=α,则下列式子正确的是（ ）

A. B. C. D.

5．计算： = .

6.计算：= .

7. 计算：

（二）证明与解答

＝＿＿＿＿＿.

1.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC， （1）DC的长；（2）sinB的值.

.求：

2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B = 30°，∠C = 45°，BD=10，求AC.

3.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B =60°。求BC的长.

4.为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1∶0.8的渠道（其横截面为等腰梯形），并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米.（如图所示） 求： （1）渠面宽EF；

（2）修200米长的渠道需挖的土方数.

5.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a、b是关于x的一元二次方程x�mx+2m�2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值.

6．在数学活动课上，老师带领学生去测河宽.如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD=45°，在距离A点30米的B处测得∠CBD=30°，求河宽CD（结果可带根号）.

7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由；

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

Ⅲ、解直角三角形参考答案

二、解直角三角形部分典型题

2

1．2 2．1366.00m 3． 米 4． 5．5.5 6．3 7．8.72米；101.73米 8．2时；

千米/时 9.会；3.8时10.23.09米/秒；超速 11.略 三、实战练习

（一）1．30 2． ；轴 3．B 4．D 5．2 6． 7．3

（二）1.6；级

2． 3．8 4．4.88米；710.4米 5． 6． 7．会；时；6.5

Ⅳ、圆

一、考点分析及难点提示

1.准确理解与圆有关的概念及性质，能正确辨别与圆有关的概念型试题.

2.会从距离与半径的数量关系，确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.

3.利用圆心角、圆周角定义及其它们之间特有的关系，解答或证明与角、线段有关的几何问题.

4.会利用扇形的弧长、面积公式解决与弓形、圆锥展开图有关的计算问题，并会借助分割与转化的思想方法求阴影部分的面积.

5.会用运动的观点分析解决与圆相关的问题.

6.圆中的常用辅助线：作弦心距；连切点与圆心；构造直径上的圆周角；连圆心距. 7.能综合运用圆、方程、函数、三角、相似形等知识解决一类与圆有关的中考压轴题. 二、相关知识 （一）圆的有关性质

1．和圆有关的角：圆心角；圆周角；都与所对弧的度数有关，圆周角的度数= 圆心角的度数. 特殊的，直径上的圆周角是直角；此定理应用相当广泛，通常是见直径，连辅助线构成直径上的圆周角. 2．垂径定理： 一条直线如果满足 （1）过圆心； （2）垂直于弦；

（3）平分弦（不是直径）； （4）平分弦所对的劣弧； （5）平分弦所对的优弧；

五个条件中的两个，则必满足其它三个. 3．弦等则弧等则圆心角等则圆周角等. (二)直线和圆的位置关系：相离；相切；相交.

(三)圆的切线的判定方法：

1．利用圆心到直线的距离（点到直线距离或垂线段的长短）与半径的大小关系来判断.

2.圆的切线：

与圆有公共点，连半径，证垂直.

与圆无公共点，过圆心作垂线段，证垂线段等于半径. （四）两圆位置关系

1.外离：图(1)；2.外切：图(2)；3.相交：图(3)；4.内切：图(4)；5.内含：图(5)． 注意：两圆外切和两圆内切，统称为两圆相切．

（五）与圆有关的计算公式

1.弧长：.

2.扇形面积：.

3.圆锥的侧面积： 注意事项：

.

1.两圆相切包括外切和内切.

2.具有内切或内含关系的两个圆的半径R与r不可能相等，否则两圆重合. 三、圆部分典型题

1．已知⊙O的半径r=4cm，点P到圆心O的距离d=2cm，则点P在圆 .

2．一个圆经过点（2，5），（-2，2），（2，-3），（6，2），则圆心的坐标是 . 3．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为 .

4．下列命题：

（1）圆的两条平行弦所夹的弧相等； （2）垂直于圆的切线的直径一定过切点； （3）圆内接正六边形边长等于它的半径； （4）任意一个三角形只有一个外接圆. 其中正确的有 个.

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160°，则∠BCD= .

6．如图，扇形OAB的圆心角为90°，分别以OA、OB为直径在扇形内作半圆，P和Q分别表示两个阴影部分的面积，那么P和Q的大小关系是 .

7．如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积是 .

8．如图，点B在圆锥母线VA上，且3VB=VA，过点B作平行于底面的平面，截得一个小圆锥的侧面积为S1，原圆锥的侧面积为S，则S1和S的关系是 .

9．AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，则弦AC的中点到圆心O的距离是 .

10．已知P为⊙O内一点，过点P的最长弦与最短弦分别为10cm和6cm，OP= .

11.已知PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=60°，若⊙O的半径为3，则△PAB的面积为 . 12.如图，在直径为10m的圆柱形油槽内放入一些油后，如果油面AB=8m，那么油的最大深度是 . 13.如图，DE是⊙O的直径，弦AB⊥DE，垂足为C，AB=6，CE=1，则CD= ，OC= . 14.如图，弧AB的度数为60°，那么圆周角∠ACB= .

15.如图，⊙O的半径为5cm，圆心到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长为 . 16.如图，已知A、B、C、D、E都在⊙O上，且AC为⊙O直径，则∠A+∠B+∠C= 度.

17.如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BC= ，∠ABD= .

18.如图，A、B是⊙O上两点，且∠AOB=70°，C是⊙O上不与点A、B重合的任意一点，则∠ACB的度数是 .

19.如图，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始沿着AB边向B点以每秒1cm的速度移动，若AB的长为10cm，点O到BC的距离为4cm. （1）求弦BC的长；

（2）问经过几秒△BPC是等腰三角形. 四、圆部分中考题选粹

1．如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设BC=a，EF=b，NH=c，则下列各式正确的是（ ）

A.a＞b＞c B.a=b=c C.c＞a＞b D.b＞c＞a

2．如图，扇形的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x与y的比通常按黄金比来设计，这样的扇形外观较美，若取黄金比为0.6，则x为 .

3．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，F是AB的中点，CF的延长线交⊙O于E，那么CF：EF的值是 .

4．一个电动玩具的正面是由半径为10cm的小圆盘和半径为20cm的大圆盘连接而成的，小圆盘在大圆盘的圆周上外切滚动一周且不发生滑动（大圆盘不动），回到原来的位置，在这一过程中，判断虚线所示位置的三个圆内，所画的头发、眼睛、嘴巴位置正确的是（ ）

5．如图，AC为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为C，写出图中的一对相等的角 . 6．如图，AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，且CD、AB的长是方程x-7x+12=0的两根，则tan∠DPB= .

7．如图，AB是半圆O的直径，AC=AD，OC=2，∠CAB=30°，则点O到CD的距离OE是 .

2

8．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm.点P从A开始沿折线A→B→C→D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t（s）.

（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；

（2）如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

五、实战练习

1.过⊙O内一点M的最长弦长为6cm，最短弦长为4cm，则OM的长为（ ）

A.cm B.cm C.2cm D.3cm

2.若圆锥的高为4cm,母线长为5cm,则它的侧面积是（ ）

A.9πcm B.15πcm C.20πcm

222

D.24πcm

2

3.如图,AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，且∠BAC=45°, AB=2,则⊙O的面积为______ .

4．如图，如果⊙O半径为2，弦 A.

B.

，那么弦心距OE的长为 （ ）

C.1 D.

5．在①圆、②等腰梯形、③正方形、④正三角形、⑤平行四边形这五个 图形中，所有既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A.①和② B.③和④ C.①和⑤ D.①和③

6. 如图,⊙O表示一个圆形工件,图中标注了有关尺寸, 并且MB:MA=1:4.求工件半径的长.

7.已知：如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点Ａ，且AC=AB,CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E. （1）求证：FA∥BE；

（2）求证：；

（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值.

Ⅳ、圆参考答案

三、圆部分典型题

1．内 2．（2，1） 3． 4．四 5．100° 6．P=Q 7．40cm 8. 9.2cm 10.4cm 11.12.2cm 13.9，4 14.30° 15.8cm 16.90° 17.8，45° 18.35°或145°19.6cm；4秒或5秒 四、圆部分中考题选萃

2

1．B 2．135° 3．5：1 4．B 5．略 6． 五、实战练习

7． 8．4s；4s、

1.B 2．B 3．2π 4．C 5．D 6.10cm 7.(1)略 (2)证△FAC∽△APC (3)由△FAC∽△APC 得.

易求，易证AF＝PB，可求 Ⅴ、尺规作图

一、考点分析及难点提示

1.掌握基本作图中线段、角、角平分线、线段的垂直平分线的作法. 2.基本作图方法的综合应用.

3.确定圆心时，应作圆中弦（线段）的垂直平分线. 二、相关知识

1.要求：用没有刻度的直尺和圆规作出所要求的图形. 2.五种基本作图：

(1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作一个角的平分线； (4)经过一点作已知直线的垂线； (5)作已知线段的垂直平分线. 三、注意事项

1．作图时，要保留合适的作图痕迹. 2．最后，一定要写出作图的结论.

Ⅵ、图形与变换

一、考点分析及难点提示

1．会利用轴对称、中心对称、平移、旋转进行图案设计，并对设计的图案进行积极向上，具有现实意义的说明.

2．了解比例线段、比例的基本性质，会用相似的知识解决实际问题. 3．会用不同的方式确定物体的位置.

4．会判断几何体的三视图，会利用投影的知识解决实际问题. 二、注意事项

1．轴对称：找出对称轴. 2．中心对称：找出对称中心. 3．平移：找出对称中心.

4．旋转：找出旋转中心、方向、角度.

5．三视图：长对正；高平齐；宽相等.看得见的画实线，看不见的画虚线. 6．投影作图：平行投影作平行线；中心投影作相交线. 三、实战练习 一、选择题

1.如图所示圆锥的俯视图为（ ）

2.下列几何体中，主视图、左视图、俯视图为同一种图形的是（ ）

3.如图甲，讲台上放着一本数学书，书上放着一个粉笔盒，若这个组合图形的俯视图如图乙，则这个组合图形的左视图是（ ）

4.如图所示几何体的左视图是（ ）

5.如图，由三个小立方体搭成的几何体的俯视图是（ ）

6.下列图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

7.由几个相同的小立方体堆成一个几何体，它的俯视图如左图所示，小正方形内的数字表示该位置上小立方体

的个数，则这个几何体的左视图是（ ）

8.如图是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是（ ）

A.它是轴对称图形，但不是中心对称图形 B.它是中心对称图形，但不是轴对称图形 C.它既是轴对称图形，又是中心对称图形 D.它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 9.下列图形中，不是正方体的展开图的是（ ）

10.如图所示的几何体的俯视图是（ ）

二、填空题

1.请在如图所示无阴影的正方形中选出两个正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图.

2.如图，在长方体中，与棱AD平行的棱共有_______条.

3.将一张长为70cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图所示的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是__________cm.

4.如图所示，直线a∥b，则∠A=__________度.

5.如图是一个正方体的平面展开图，每个面内都标注了字母，则面a在展开前所对的面是_________（填字母）. 6.请你在如图所示的正方形格纸中，画出线段AB关于点O成中心对称的图形.

7.一个正方体的每个面都写有一个汉字，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和\超\相对的字是_______.

8.如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那么x=____, y=____. 9.时钟在4点整时，时针与分针的夹角为_________度.

10.已知∠α与∠β互余，且∠α＝40°，则∠β的补角为________度. 三、解答题

1.为保护环境，市政府计划在连接A、B两居民区的公路北侧1500米的海边修建一座污水处理厂，设计时要求该污水处理厂到A、B两居民区的距离相等.

⑴若以1:50000的比例尺画设计图，求污水处理厂到公路的图上距离； ⑵在所给的图中画出污水处理厂的位置.

2.在所给的方格纸中设计一个对称图案.

在这个图案中必须用到等腰三角形、正方形、圆三种基本图形.

3.如图是天都市三个旅游景点的平面图，请你选用适当的方式借助刻度尺、量角器等基本作图工具，确定出三个景点的位置.

4.⑴观察如图的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；

⑵借助如图之⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答⑴中所写出的两个共同特征. （注意：①新图案与如图的①～④的图案不能重合；②只答第⑵问而没有答第⑴问的解答不得分）

5.如图，已知正方形ABCD的面积为S.

⑴求作：四边形A1B1C1D1，使得点A1和点A关于点B对称，点B1和点B关于点C对称，点C1和点C关于点D对称，点D1和点D关于点A对称；（只要求画出图形，不要求写作法） ⑵用S表示⑴中作出的四边形A1B1C1D1的面积S1；

⑶若将已知条件中的正方形改为任意四边形，面积仍为S，并按⑴的要求作出一个新的四边形，面积为S2，则S1与S2是否相等？为什么？

6.将方格中的图案作下列变换，请画出相应的图案. ⑴沿y轴正向平移4个单位； ⑵关于y轴轴对称.

7.在如图所示的平面直角坐标系中，已知△ABC.

⑴将△ABC向x轴负方向平移4个单位得△A1B1C1，画出图形并写出点A1的坐标；

⑵以原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得△A2B2C2，画出图形并写出点A2的坐标；

⑶△A2B2C2可以看作是由△A1B1C1先向右平移4个单位，然后以原点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到的.除此之外，△A2B2C2还可以由△A1B1C1怎样变换得到？请选择一种方法，写出图形变换的步骤.

8.用四块如图甲所示的瓷砖拼成一个正方形图案，使拼成的图案成一个轴对称图形（如图乙），请你分别在图丙、图丁中各画一种与图乙不同的拼法，要求两种拼法各不相同，且其中至少有一个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.

9.我国运用长征火箭发射了百余颗人造卫星和5次神州飞船.如图是我国航天科技人员自主研究开发的长征系列火箭的立体图形.（火箭圆柱底面圆的周长不等于圆柱的高） ⑴请你画出火箭的平面展开图，并标上字母； ⑵写出平面图形中所有相等的量.

10.如图，在△ABC中，∠A＝110°，∠B＝35°，请你应用变换的方法得到一个三角形使它与△ABC全等，且要求得到的三角形与原△ABC组成一个四边形.

⑴要求用两种变换方法解决上述问题；（写出变换名称，画出图形即可） ⑵指出四边形是什么图形？（不要求证明）

说明：如用两种平移变换方法解决此题算一种变换；两种变换是指平移、旋转等不同变换.

11.在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为\格点\，以格点为顶点的三角形叫做\格点三角形\根据图形，解决下面的问题：

⑴图中的格点△ABC是由格点△ABC通过哪些变换方法得到的？

⑵如果以直线a、b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点A的坐标为(-3,4)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积.

,,,

,,,

,,,

12.如图，A点坐标为(3,3)，将△ABC先向下平移4个单位得△ABC，再将△ABC绕点O逆时针旋转180°得

,,,,,,,,,,,,,,,,,

△ABC.请你画出△ABC和△ABC，并写出点A的坐标. 13.如图，网格中有一个四边形和两个三角形. ⑴请你画出三个图形关于点O的中心对称图形；

⑵将⑴中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形对称轴的条数，这个整体图形至少旋转多少度与自身重合.

14.如图，梯形ABMN是直角梯形.

⑴请在图中拼上一个直角梯形，使它与梯形ABMN构成一个等腰梯形；

⑵将补上的直角梯形以点M为旋转中心，逆时针方向旋转180°，再向上平移一格，画出这个直角梯形（不要求写作法）.

参考答案

一、1.C 2.D 3.A 4.C 5.A 6.D 7.A 8.B 9.D 10.B

二、1.如图 2..3 3.10 4.22 5.C 6.略 7.自 8 .4；10 9 .120 10. 130

三、1.⑴图上距离为3cm ⑵略 2.答案不唯一，图案符合要求即可

3.解法一：建立坐标系，如图①.测量数据如图①.碑林位于动物园北偏西45°,10千米处；博物馆位于动物园南偏西60°,20千米处.

解法二：建立直角坐标系，如图②.测量数据如图②.碑林的坐标（10,17.5）；动物园的坐标(17.5,10)；博物馆坐标(0,0).

(注：在图上标出图上距离或实际距离均可，测量允许误差，长度±1mm，角度±1°)

4.⑴答案不唯一，例如，所给的四个图案具有的共同特征可以是：①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和；③都是直线型图案；④图案中不含钝角等等.只要写出两个即可

答案不唯一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征，均正确，例如，同时具备特征①、②的部分图案如图

5.⑴如图①所示

⑵设正方形ABCD的边长为a，则

,∴

,同理，

.

（本问也可以先证明四边形A1B1C1D1是正方形，再求出其边长为

）

⑶S1＝S2.理由如下：首先画出图形（如图②），连结BD、BD1.

，从而算出

∵△BDD1中，AB是中线，∴

∴

.

.又∵△AA1D1中，BD1是中线，

∴.

同理，得.

∴.

同理，得.

∴

由⑵，得S1＝5S，∴S1＝S2.

.

6.略

7.⑴如图，A1(-1,3) ⑵如图，A2(3,-3) ⑶△A2B2C2可以看作由△A1B1C1先逆时针旋转270°，然后再向右平移4个单位得到

8.说明：其中既是轴对称又是中心对称的画法

9.⑴画图如图 ⑵OA＝OB，，BE＝CD，∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°

10.⑴①以BC为对称轴作对称变换（或以BC的中点O把△ABC绕O点旋转180°） ②把△ABC绕AC的中点O旋转180°即可（或把△ABC绕AB的中点O旋转180°即可） ⑵菱形，平行四边形

11.⑴方法较多，如，先向右平移5小格，使点C移到点C''，再以C'为中心，顺时针方向旋转90°得到△A'B'C' ⑵D(0,-2),E(-4,-4),F(2,-3).

如图，显然点G在DE上，则

12.正确画出△A'B'C'和△A''B''C'如图，点A''的坐标为(-3,1) 13.⑴如图 ⑵4条对称轴，这个整体图形至少旋转90°

14.⑴如图，拼成等腰梯形ABCD ⑵如图，在网格上画出旋转平移所得的直角梯形

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