（精选五套中考模拟卷）云南省中考数学复习难题突破专题四：特殊

难题突破专题四 特殊三角形存在性问题

特殊三角形存在性问题主要是指寻找符合条件的点使之构成等腰三角形、直角三角形、全等三角形等

特殊三角形．解决此类问题的关键在于恰当地分类讨论，避免漏解．

类型1 等腰三角形存在性问题

1 如图Z4－1，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一

点C(3，0)．

(1)求点A，B的坐标．

(2)求抛物线对应的函数表达式．

图Z4－1

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

例题分层分析

(1)如何求一次函数图象与坐标轴的交点坐标？

(2)如何求抛物线对应的函数表达式？根据题意，设抛物线对应的函数表达式时，应该用哪种形式？ (3)①根据抛物线对应的函数表达式求出对称轴为直线________，所以可设点Q的坐标为________； ②△ABQ是等腰三角形可分为________种情况，分别是____________________； ③根据勾股定理分别列出方程即可求出点Q的坐标．

解题方法点析

对于等腰三角形的分类应分三种情况．可以设一个未知数，然后用这个未知数分别表示出三角形的三边，再根据两边相等，得到三个方程，即三种情况．特别注意求出的值需检验能否构成三角形．

类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题

图Z4－2

2 如图Z4－2，已知直线y＝kx－6与抛物线y＝ax＋bx＋c相交于A，B两点，且点A(1，－4)为

抛物线的顶点，点B在x轴上．

(1)求抛物线对应的函数表达式．

(2)在(1)中二次函数的第二象限的图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标． 例题分层分析

(1)已知点A的坐标可确定直线AB对应的函数表达式，进一步能求出点B的坐标．点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线对应的函数表达式设为________式，再代入________的坐标，依据________法可解．

(2)△ABQ为直角三角形，直角顶点没确定，故分别以________为直角顶点，进行分类讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解或者利用勾股定理列方程求解．

解题方法点析

本题为综合题，考查了平面直角坐标系中，利用待定系数法求抛物线对应的函数表达式，利用方程、分类讨论和数形结合等思想解题．

专 题 训 练

1．如图Z4－3，点O(0，0)，A(2，2)，若存在点P，使△APO为等腰直角三角形，则点P的个数为________．

2

图Z4－3

2．[2019·湖州] 如图Z4－4，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx(k>0)分别交反比例函数191y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连结AC.若△ABC

xxx是等腰三角形，则k的值是________．

图Z4－4

3．如图Z4－5所示，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，点B(2，－3)．试问坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图Z4－5

4．[2019·张家界] 如图Z4－6，已知抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)，与y轴的交点为D(0，3)． (1)求C1的解析式；

(2)若直线l1：y＝x＋m与C1仅有唯一的交点，求m的值；

(3)若将抛物线C1关于y轴对称的抛物线记作C2，平行于x轴的直线记作l2：y＝n.试结合图象回答：当n为何值时，l2与C1和C2共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；

(4)若将C2与x轴正半轴的交点记作B，试在x轴上求点P，使得△PAB为等腰三角形．

图Z4－6

5.[2019·攀枝花] 如图Z4－7，抛物线y＝x＋bx＋c与x轴交于A，B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值．

(3)点D为抛物线对称轴上一点．

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； ②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．

2

图Z4－7

6．如图Z4－8，抛物线y＝ax－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A，B，点A的坐标为(4，0)．

(1)求该抛物线对应的函数表达式．

(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．

(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2

图Z4－8

参考答案

类型1 等腰三角形存在性问题

例1 【例题分层分析】

(1)令一次函数表达式中的x或y为0，即可求出图象与y轴或x轴的交点坐标．

(2)求抛物线对应的函数表达式一般有三种方法：一般式法、顶点式法和交点式法．本题利用一般式法或交点式法都比较简单．

(3)①x＝1 (1，a)

②三 AQ＝BQ，AB＝BQ，AQ＝AB 解：(1)∵直线y＝3x＋3，

∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝－1， ∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(0，3)．

0＝a－b＋c，a＝－1，????2

(2)设抛物线对应的函数表达式为y＝ax＋bx＋c，由题意，得?3＝c，解得?b＝2，

???0＝9a＋3b＋c，?c＝3.∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x＋2x＋3.

(3)∵抛物线对应的函数表达式为y＝－x＋2x＋3，配方，得y＝－(x－1)＋4，

2

2

2

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设Q(1，a)．

①当AQ＝BQ时，如图①，设抛物线的对称轴交x轴于点D，过点B作BF⊥DQ于点F. 由勾股定理，得

BQ＝BF＋QF＝（1－0）＋（3－a）， AQ＝AD＋QD＝2＋a，

得（1－0）＋（3－a）＝2＋a，解得a＝1， ∴点Q的坐标为(1，1)． ②当AB＝BQ时，如图②，

由勾股定理，得（1－0）＋（a－3）＝10， 解得a＝0或6，

当点Q的坐标为(1，6)时，其在直线AB上，A，B，Q三点共线，舍去，∴点Q的坐标是(1，0)．

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

③当AQ＝AB时，如图③，

由勾股定理，得2＋a＝10，解得a＝±6，此时点Q的坐标是(1，6)或(1，－6)． 综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标为(1，1)或(1，0)或(1，6)或(1，－6)． 类型2 直角三角形、全等三角形存在性问题 例2 【例题分层分析】

(1)顶点 点B 待定系数 (2)点A，B，Q 解：(1)把(1，－4)代入y＝kx－6，得k＝2， ∴直线AB对应的函数表达式为y＝2x－6. 令y＝0，解得x＝3，∴点B的坐标是(3，0)． ∵点A为抛物线的顶点，

∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)－4， 把(3，0)代入，得4a－4＝0， 解得a＝1，

∴抛物线对应的函数表达式为y＝(x－1)－4＝x－2x－3. (2)存在．∵OB＝OC＝3，OP＝OP， ∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC， 此时OP平分第二象限，

即直线PO对应的函数表达式为y＝－x. 设P(m，－m)，则－m＝m－2m－3， 解得m＝1－13?1＋13?

?m＝＞0，舍去?， 2?2?

2

2

2

2

22

13－1??1－13

∴点P的坐标为?，?.

2??2

(3)如图，①当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB， ∴

ADDQ15DQ1

＝，即＝， ODDB63 5

57∴DQ1＝，∴OQ1＝，

227??即点Q1的坐标为?0，－?；

2??

②当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB， ∴

OBOQ23OQ2

＝，即＝， ODOB63

3?3?∴OQ2＝，即点Q2的坐标为?0，?；

2?2?

③当∠AQ3B＝90°时，过点A作AE⊥y轴于点E， 则△BOQ3∽△Q3EA， ∴

OBOQ33OQ3＝，即＝， Q3EAE4－OQ31

2

∴OQ3－4OQ3＋3＝0，∴OQ3＝1或3， 即点Q3的坐标为(0，－1)或(0，－3)．

7??3??综上，点Q的坐标为?0，－?或?0，?或(0，－1)或(0，－3)．

2??2??专题训练 1．6 2.

3 715

或 [解析] 考查反比例函数中系数k的几何意义及等腰三角形的性质． 75

用B，A两点的坐标来表示C点坐标，得到BC的长度，然后分三种情况讨论k值．

9119191822

设B(a，)，A(b，)，∴C(a，)，ka＝，kb＝，∴a＝，b＝.又∵BD⊥x轴，∴BC＝. abaabkka①当AB＝BC时，

AB＝（a－b）＋（ka－kb），

831822

∴1＋k(a－b)＝，∴1＋k(－)＝，

a3kk

k3 7∴k＝. 7②当AC＝BC时，AC＝2

2

2

1122

（b－a）＋（－），

ba

k31264k15∴(1＋)(－)＝，∴k＝. 995kk

k3 7152

③当AB＝AC时，∴1＋＝1＋k，∴k＝0(舍去)．综上所述，k＝或. 9753．解：①若∠BAP＝90°，易得P1(0，2)． ②若∠ABP＝90°，易得P2(0，－3)．

③若∠BPA＝90°，如图，以AB为直径画⊙O′与x轴、y轴分别交于点P3，P4，P5，P6，AB与x轴交

2

于点C，过点O′作O′D⊥y轴于D点．

5

在Rt△DO′P5中易知O′D＝2，O′P5＝，则P5D＝

2

253－4＝， 42

31

OP5＝P5D－OD＝－＝1，则P5(0，1)．易知P5D＝P6D，则P6(0，－2)．连结O′P3，O′P4，

22易求出P3(2－6，0)，P4(2＋6，0)．

综上所述，存在点P，使得△ABP为直角三角形，坐标为P1(0，2)，P2(0，－3)，P3(2－6，0)， P4(2＋6，0)，P5(0，1)，P6(0，－2)．

4．解：(1)∵抛物线C1的顶点坐标为A(－1，4)， ∴设C1的解析式为y＝a(x＋1)＋4，

把D(0，3)代入得3＝a(0＋1)＋4，解得a＝－1， ∴C1的解析式为y＝－(x＋1)＋4＝－x－2x＋3.

?y＝－x－2x＋3，?

(2)由方程组?

?y＝x＋m，?

2

2

2

22

得x＋3x＋m－3＝0，

Δ＝3－4×1×(m－3)＝－4m＋21＝0，∴m＝

2

2

21

. 4

(3)抛物线C2的顶点坐标为(1，4)，l2与C1和C2共有：①两个交点，这时l2过抛物线的顶点，∴n＝4；②三个交点，这时l2过两条抛物线的交点D，∴n＝3；③四个交点，这时l2在抛物线的顶点与点D之间或在点D的下方，∴3

(4)根据抛物线的对称性可知，C2的解析式为y＝－(x－1)＋4＝－x＋2x＋3，与x轴正半轴的交点B的坐标为(3，0)，

又A(－1，4)，∴AB＝4＋4＝4 2.

①若AP＝AB，则PO＝4＋1＝5，这时点P的坐标为(－5，0)；

②若BA＝BP，若点P在点B的左侧，则OP＝BP－BO＝4 2－3，这时点P的坐标为(3－4 2，0)，若点P在点B的右侧，则OP＝BP＋BO＝4 2＋3，这时点P的坐标为(3＋4 2，0)；

③若PA＝PB，这时点P是线段AB的垂直平分线与x轴的交点，显然PA＝PB＝4，∴P(－1，0)． 综上所述，点P的坐标为(－5，0)或(3－4 2，0)或(3＋4 2，0)或(－1，0)．

???3＋3b＋c＝0，?b＝－4，

5．解：(1)由题意得?解得?

?c＝3，?c＝3，??

2

2

2

2

2

∴抛物线的解析式为y＝x－4x＋3. (2)由题易知OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.

2

同理可知∠OFE＝45°， ∴△CEF为等腰直角三角形．

以BC为对称轴将△FCE对称得到△F′CE，作PH⊥CF′于H点，如图①，则PE＋EF＝PF′＝2PH. 又PH＝yC－yP＝3－yP，

∴当yP最小时，PE＋EF取得最大值， ∵抛物线的顶点坐标为(2，－1)，

∴当yP＝－1时，(PE＋EF)max＝2×(3＋1)＝4 2.

(3)①由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝2，设D(2，n)，如图②.

当△BCD是以BC为直角边的直角三角形且D在C的上方D1位置时，由勾股定理得CD＋BC＝BD，即(2－0)＋(n－3)＋(3 2)＝(3－2)＋(0－n)，解得n＝5；

当△BCD是以BC为直角边的直角三角形且D在C的下方D2位置时，由勾股定理得BD＋BC＝CD，即(2－3)＋(n－0)＋(3 2)＝(2－0)＋(n－3)，解得n＝－1.

综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．

331

②如图③，以BC的中点T(，)为圆心，BC为半径作⊙T，与抛物线的对称轴x＝2交于D3和D4，

222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

由直径所对的圆周角是直角得∠CD3B＝∠CD4B＝90°， 13 2

设D(2，m)为⊙T上一点，由DT＝BC＝，

22333 2222

得(－2)＋(－m)＝()， 222317解得m＝±，

22

317317

∴D3(2，＋)，D4(2，－)，

2222又由①得D1为(2，5)，D2(2，－1)，

∴若△BCD是锐角三角形，则D点在线段D1D3或D2D4上(不与端点重合)，则点D的纵坐标的取值范围317317

是－1＜yD＜－或＋＜yD＜5.

2222

???a＝－，?0＝8a＋c，2 ?6．解：(1)由题意，得解得?

??4＝c，?

?c＝4，

12

∴所求抛物线对应的函数表达式为y＝－x＋x＋4.

2

(2)如图①，设点Q的坐标为(m，0)，过点E作EG⊥x轴于点G.

1

12

由－x＋x＋4＝0，得x1＝－2，x2＝4，

2∴点B的坐标为(－2，0)， ∴AB＝6，BQ＝m＋2. ∵QE∥AC， ∴△BQE∽△BAC， ∴

EGBQEGm＋2＝，即＝， COBA46

2m＋4∴EG＝，

3

11

∴S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·

22

1?2m＋4?＝－1m2＋2m＋8＝－1(m－1)2＋3.

EG＝(m＋2)?4－

3?23333??∵－2≤m≤4，

∴当m＝1时，S△CQE有最大值3，此时点Q的坐标为(1，0)． (3)存在．在△ODF中， ①若DO＝DF， ∵A(4，0)，D(2，0)， ∴AD＝OD＝DF＝2.

又在Rt△AOC中，OA＝OC＝4， ∴∠OAC＝45°， ∴∠DFA＝∠OAC＝45°，

∴∠ADF＝90°，此时点F的坐标为(2，2)． 12

由－x＋x＋4＝2，得x1＝1＋5，x2＝1－5，

2∴点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)． ②若FO＝FD，如图②，过点F作FM⊥x轴于点M， 1

由等腰三角形的性质得OM＝OD＝1，

2∴AM＝3，

∴在等腰直角三角形AMF中，MF＝AM＝3， ∴F(1，3)． 12

由－x＋x＋4＝3，

2得x1＝1＋3，x2＝1－3，

∴点P的坐标为(1＋3，3)或(1－3，3)． ③若OD＝OF，

∵OA＝OC＝4，且∠AOC＝90°， ∴AC＝4 2，

∴点O到AC的距离为2 2， 而OF＝OD＝2，与OF≥2 2相矛盾， ∴AC上不存在点F，使得OF＝OD＝2，

∴不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．

综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，所求点P的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3)．

中考数学模拟试卷

一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形是中心对称图形．（ ） A．

B．

C．

D．

2.在抛物线y=﹣2（x﹣1）2上的一个点是（ ） A．（2，3）

B．（﹣2，3）

2

C．（1，﹣5） D．（0，﹣2）

3.如图，二次函数y=ax+bx的图象经过点A，B，C，则判断正确的是（ ）

A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0

4．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x﹣3）2，则这个平移过程正确的是（ ） A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位

5.不解方程，判断方程x2+2x﹣1=0 的根的情况是（ ） A．有两个相等的实根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定

6.一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的 百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A．100（1﹣x）=121

2

B．100（1+x）=121

D．100（1+x）=121

2

C．100（1﹣x）=121

7.已知点A（a，1）与点A′（5，b）关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ） A．a=5，b=1 B．a=﹣5，b=1 C．a=5，b=﹣1 D．a=﹣5，b=﹣1 8．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．AB=8cm， ∠D=40°，那么AM的值和∠C的度数分别是（ ）

A．3cm和30° B．3cm和50° C．4cm和50° D．4cm和60°

9．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是⊙O的直径， 若∠BAC=20°，则∠ADC的度数为( ) A. 110° B. 100° C. 120° D. 90°

10. 如图，△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠COB、∠B 的度数是（ ）．

A．10°和40° B．10°和50° C．40°和50° D．10°和60° 二、填空题（每小题3分，共15分）

11.在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到

白球的概率为 ．

12．把二次函数y=x﹣2x+3化成y=a（x﹣h）+k的形式为 ． 13.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，AB=8

，∠A=22.5°，则CD=

2

2

14.如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于__________

13 14 15

15.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使点 A，B，C′在同一直线上，若∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4 cm，则图中阴影部分面积为__________ cm2. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.选择适当的方法解下列方程：（每小题4分，共12分）

（1）x2+2x﹣35=0 （2）x2﹣7=4x （3）x（2x?5）?4x?10

17.（6分）在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0),求该二次函数的关系式；

18.(6分)某公司现有甲、乙两种品牌的计算器,甲品牌计算器有 A，B，C 三种不同的型号,乙品牌计算器

有 D,E 两种不同的型号，某中学要从甲、乙两种品牌的计算器中各选购一种型号的计算器． (1)列举出所有选购方案;

(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同,那么 A 型号计算器被选中的概率是多少?

19.(8分)如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，AC为∠BAD的平分线，过A点作AD⊥CD于点D. 求证:直线CD为⊙O的切线.

20.(8分)已知Rt△ABC的斜边AB＝13cm，一条直角边AC＝5cm， 以直线AB为轴旋转一周得一个几何体。求这个几何体的表面积。

21.（10分）某果园有100颗橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树． (1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系；

(2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 22.(12分)如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=

．点C，E

分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA． （1）求OA的长；

（2）若AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为

，求∠BAF的度数．

23. (13分)如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴 的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y??（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标； 若不存在说明理由；

（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点， △MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

32x?bx?c过A、B两点． 3

九年级数学期中考试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.D 8.C 9.A 10D 二、填空题（每小题3分，共15分） 311. 8 12.y=（x﹣1）+2 13．8

2

14.8 15.4∏

三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16.(1)-7,5 (2) (3)2，2.5

17.

18

19.

20.

21. 解：(1)平均每棵树结的橙子个数y(个)与x之间的关系为：y＝600－5x(0≤x＜120)． (2)设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则

22

w＝(600－5x)(100＋x)＝－5x＋100x＋60 000＝－5(x－10)＋60 500， ∴当x＝10时，w最大＝60 500.

即果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60 500个．

22. 解：（1） ∵OC⊥AB，AB=

，

∴AD=DB=2

，

∵∠E=30°，

∴∠AOD=60°，∠OAB=30°，

∴OA=4；

（2）如图，作OH⊥AF于H， ∵OA=4，OH=2

，

∴∠OAF=45°，

∴∠BAF=∠OAF+∠OAB=75°， 则∠BAF′=∠OAF′﹣∠OAB=15°， ∴∠BAF的度数是75°或15°． 23. 解：（1）如答图1，连接OB．

∵BC=2，OC=1 ∴OB=4?1?3 ∴B（0，3）........................................................分 将A（3，0），B（0，3）代入二次函数的表达式

得 ，解得： ，

∴y??3223x?x?3．....................................分 33（2）存在．........................................................................ 分 如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即 为点P．

∵B（0，3），O（0，0），

∴直线l的表达式为y?3．代入抛物线的表达式， 2得y??32233x?x?3?； 33210， 2解得x?1?∴P（

．...............................................分21·cn·jy·com

103）1?，222

2

解：（1）∵二次函数y=x+（2m+1）x+m﹣1与x轴交于A，B两个不同的点， ∴一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1=0有两个不相等的实数根， ∴△=（2m+1）﹣4（m﹣1）=4m+5＞0， 解得：m＞﹣．

（2）当m=1时，原二次函数解析式为y=x2+3x， 令y=x2+3x=0， 解得：x1=﹣3，x2=0，

∴当m=1时，A、B两点的坐标为（﹣3，0）、（0，0）． 解：∵AB=8，

∴OC=OA=4，

∵∠A=22.5°，

，

∵AC∥OD，

∴

∴∠COE=2∠A=45°， ．

∵直径

2

2

AB垂直弦CD于E， ∴D，

∴OD⊥BC，

证明：（1）∵⊙O切BC于点

∴∠C=∠ODB=90°， ∵AF为⊙O直径， ∴∠AGF=90°=∠C， ∴BC∥GF． 解：（2）∵AC∥OD，BC∥GF ∴四边形CGED为平行四边形， ∵∠C=90°，

∴四边形CGED为矩形， ∵tanA=，

∴sinA=，

∵AF=2AO=2a，OF=a， ∴GF=AF?sinA=2a×=，

∵OD⊥BC， ∴GE=EF=

=

，

在Rt△OEF中，OE==

=

，

∴DE=OD﹣OE=a﹣=， ∴S四边形CGED=GE?DE=

×=

．

解：（1）将A（3，0）代入直线l1：y=x+b中， 0=3+b，解得：b=﹣3， ∴直线l1：y=x﹣3．

联立直线l1、l2表达式成方程组，

，解得：

，

∴点B的坐标为（1，﹣2）．

（2）设抛物线y=ax2+bx+c的顶点式为y=a（x﹣h）2+k， ∵抛物线y=ax2

+bx+c的顶点为B（1，﹣2）， ∴y=a（x﹣1）2﹣2，

∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A， ∴a（3﹣1）2﹣2=0，解得：a=， ∴抛物线的表达式为y=（x﹣1）2﹣2．

（3）∵直线x=﹣1分别与直线l1，l2交于C、D两点， ∴C、D两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（﹣1，2）， 当抛物线y=ax2

+bx+c过点C时，a（﹣1﹣1）2

﹣2=﹣4， 解得：a=﹣；

当抛物线y=ax2+bx+c过点D时，a（﹣1﹣1）2﹣2=2， 解得：a=1．

∴当抛物线y=ax2+bx+c与线段CD有交点时，a的取值范围为﹣≤a≤1且a≠0． （1）证明：连接OB、OC． ∵MN是⊙O的切线， ∴OB⊥MN，

∵∠CBM=135°，

∴∠CBN=45°，

∴∠OBC=45°，∠BCE=45°． ∵

OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=45°． （2）解：∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE， ∴四边形BOCE是矩形， r+∴r=

r=2﹣

在Rt△CDE中， ，

﹣

∴∠OCE=90°， ∴CE是⊙O的切线；

又OB=OC， ∴四边形BOCE是正方形，

r．

∵BD=2

∴BE=CE=OB=OC=r．，

∴

∵∠D=30°，CE=r， ∴DE=

，即⊙O的半径为．

解：（1）∵二次函数y═ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A（﹣5，0）、B（1，0）两点， ∴抛物线的解析式为y=a（x+5）（x﹣1）=ax2+4ax﹣5a=a（x+2）2﹣9a， 则点D的坐标为（﹣2，﹣9a），点C的坐标为（0，﹣5a）；

解：(1)由矩形的性质可知：B(－8，6)，

∴D(－4，6)．∴点D关于y轴对称点D′(4，6)．

2

将A(－8，0)、D(－4，6)代入y＝ax＋bx，得

3???64a－8b＝0，a＝－，?

8?解得?

?16a－4b＝6.???b＝－3.

(2)设直线AD′的解析式为y＝kx＋n，

1???k＝，?－8k＋n＝0，

∴?解得?2 ??4k＋n＝6.??n＝4.

1

∴直线y＝x＋4与y轴交于点(0，4)．

2

∴P(0，4)．

(3)解法1：由于OP＝4，故将抛物线向下平移4个单位长度时，有OA1＋OD1最短． 3232

∴y＋4＝－x－3x，即此时的解析式为y＝－x－3x－4.

88

解法2：设抛物线向下平移了m个单位长度，则A1(－8，－m)，D1(－4，6－m)，∴D′1(4，6－m)．2·1·c·n·j·y

令直线A1D′1为y＝k′x＋b′.则

1??－8k′＋b′＝－m，?k′＝，?

2?解得?

?4k′＋b′＝6－m.???b′＝4－m.∵点O为使OA1＋OD1最短的点， ∴b′＝4－m＝0.

∴m＝4，即将抛物线向下平移了4个单位长度．

3232

∴y＋4＝－x－3x，即此时的解析式为y＝－x－3x－4.

88

解：

（1）∵∠ABC＝90°，∴OB⊥BC．∵OB是⊙O的半径，∴CB为⊙O的切线． 又∵CD切⊙O于点D，∴BC＝CD；

（2）∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°．∴∠ADE＋∠CDB ＝90°．

又∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝90°．由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD．∴∠ADE＝∠ABD； （3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．∴△ADE∽△ABD．∴∴28．

＝

，∴BE＝3，∴所求⊙O的直径长为3．

＝

．

中考数学模拟试卷

一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列各数中是无理数的是 （A）cos60°；

（B）1.3；

236 （C）半径为1cm的圆周长； （D）38．

623（C）(mn)?mn； （D）m?m?m．

332．下列运算正确的是

（A）m?m?2m； （B）(m)?m； （A）x?y?0；

（B）x?y?0；

3．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是

（C）x?y?0；

（D）x?y?0．

4．某校120名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频率分布直方图如图1所示.其中阅读时间是8-10小时的组频数和组频率分别是

（A）15和0.125； （B）15和0.25；

（C）30和0.125； （D）30和0.25．

5．下列图形是中心对称图形的是 （A） （B） （C） （D）

6． 如图2，半径为1的圆O1与半径为3的圆O2相内切，如果半径为2的圆与圆O1和圆O2都相切，那么

这样的圆的个数是

（A）1； （B）2； （C）3； 二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．计算：a(a?b)?b(a?b)= ▲ . 8．当a?0,b?0时，化简：a2b= ▲ . 9．函数y?11?x? （D）4. x?2中，自变量x的取值范围是 ▲ .

10．如果反比例函数y?kx的图像经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么

y1y2的值等于 ▲ .

11．三人中有两人性别相同的概率是 ▲ . 12．25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表：

人数 次数 1 15 2 8 3 25 4 10 5 17 10 20 那么跳绳次数的中位数是 ▲ .

13．李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行

车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是 ▲ . 14．四边形ABCD中，向量AB?BC?CD? ▲ . 15．若正n边形的内角为140?，则边数n为 ▲ .

16．如图3，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB 于点D，联结DC.如果AD=2，BD=6，

那么△ADC的周长为 ▲ .

17．如图4，正△ABC的边长为2，点A、B在半径为2的圆上，点C在圆内，将正△ABC绕点A逆时针

旋转，当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值是 ▲ .

18．当关于x的一元二次方程ax+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根

方程”. 如果关于x的一元二次方程x+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为 ▲ .

A C 2

2

三、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

x?3x2?2x?31?2?先化简，再求值：2，x?2?1． x?1x?2x?1x?120．（本题满分10分）

2??2x?y?3;解方程组：?2 2??x?y?2(x?y).21．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）

已知：如图5，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°．

求：（1）求∠CDB的度数；

（2）当AD＝2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积． 22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）

已知A、B、C三地在同一条路上，A地在B地的正南方3千米处，甲、乙两人分别从A、B两地向正北方向的目的地C匀速直行，他们分别和A地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图6所示． s（千米） （1）图中的线段l1是 ▲ （填“甲”或“乙”）的函数 6 图像，C地在B地的正北方向 ▲ 千米处； l2 l1 （2）谁先到达C地？并求出甲乙两人到达C地的时间差； 4 （3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到 3 者晚1小时到达C地，求他提速后的速度.

t（小时） 23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）O 1 已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF（图6） 分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN. （1）求证：四边形ENFM为平行四边形； M A D （2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.

F 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） G E 12如图8，在平面直角坐标系中，抛物线y??x?bx?c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线

2N B C

y=x+4经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点. （图7）

（1）求抛物线的表达式； （2）如图（1），当CP//AO时，求∠PAC的正切值；

（3）当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P的坐标. 版权所有

y y 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分） 如图9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足C P C H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E. P （1） 当圆P过点A时，求圆P的半径； （2） 分别联结EH和EA，当△ABE∽△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B

的半径r的取值范围； x A A O B O B （3） 将劣弧EH沿直线EH翻折交BC（图于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定（1）） （备用图）

值. 中考数学二模试卷

A D A D A D 四、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） H H H A； 4． D； 5． B； 6．1． C； 2． B； 3． C 五、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） C B ． xE C B P E B a2?b2E 7．； 8． ?aP b； 9??2且P xF ?1； C 3； 11． 1； 12． 20； 213． 80x?250(15?x)?2900； 14． AD； 15． 9；

10．

16． 14； 17．六、 解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

3； 18． -1或-4. 3x?3(x?1)21??解:原式=………………………………………（6分）

(x?1)(x?1)(x?3)(x?1)x?1112?== …………………………………………………（2分） x?1x?1x?12?2 ………………………………（2分） 当x?2?1时， 原式=220．（本题满分10分）

解：由（2）得，x?y?0，x?y?2；…………………………………………（3分）

?2x2?y?3,?2x2?y?3,则原方程组转化为?（Ⅰ）或 ? （Ⅱ） …………………（2分）

x?y?0.x?y?2.??31??x??,x??,?x3?1,??x1?1,??2?422解（Ⅰ）得?… （2分）解（Ⅱ）得? … （2分） ??y??1;3y??1;5?1?3?y?.?y4??.2????223?1?x??,x??,??x1?1,??2?322∴原方程组的解是? ……………………………（1分） ??y??1;35?1?y?.?y??.24???2?221．（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）

解：(1) ∵在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，∴∠CBA=∠A=60o. （1分）

∵BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBA=30o，………………………（2分）

（2）在△ACD中，∵∠ADB=180o–∠A–∠ABD=90o．………………………………（1分）

∴BD=AD ?tanA=2tan60o=23. .…………………………………………………（1分） 过点D作DH⊥AB，垂足为H， …………………………………………………（1分） ∴AH=AD?sinA=2sin60o=3. .…………………………………………………（1分）

∵∠CDB=∠CBD=∠CBD=30o，∴DC=BC=AD=2. ………………………………（1分） ∵AB=2AD=4, …………………………………………………………………………（1分） ∴S梯形ABCD?121211(AB?CD)?DH?(4?2)3?33．……………………………（1分） 2222． （本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）、（3）各小题4分）

解：（1）乙；3. ……………………………………………………………………………（2分） （2）甲先到达. ……………………………………………………………………………（1分） 设甲的函数解析式为s=kt，则有4=t，即s=4t. 当s=6时，t=

3.……………………………………………………………………………（1分） 2设乙的函数解析式为s=nt+3，则有4=n+3，即n=1.所以乙的函数解析式为s=t+3.

当s=6时，t=3. ……………………………………………………………………………（1分） 所以到达目的地的时间差为

32小时. ………………………………………………………（1分）

（3）设提速后的速度为v千米/小时，

因为相遇处距离A地4千米，所以相遇后行2千米. ……………………………………（1分） 又因为原相遇后行2小时，所以提速后2千米应行1.5小时. …………………………（1分） 即

34v?2，所以v?.…………………………………………………………………（1分）

3243千米/小时. ……………………………………………（1分）

答：速度慢的人提速后的速度为

23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB//CD. ………………………………（1分）

∴∠EAG=∠FCG. …………………………………………………………（1分） ∵点G为对角线AC的中点，∴AG=GC.

∵∠AGE=∠FGC，∴△EAG≌△FCG. ……………………………………（1分） ∴EG=FG. ………………………………………………………………………（1分） 同理MG=NG. …………………………………………………………………（1分） ∴四边形ENFM为平行四边形. ………………………………………………（1分）

（2）证明：∵四边形ENFM为矩形， ∴EF=MN，且EG=

11EF,GN=MN. ∴EG=NG. ……………（1分） 22∴∠1=∠2.

∵∠1+∠2+∠3=180°，∠AGE+∠CGN+∠3=180°，∠AGE=∠CGN， ∴2∠1=2∠AGE，即∠1=∠AGE.

∴EN//AC. …………………………………（1分）

M A D

∵EG=NG，又∵AG=CG，∠AGE=∠CGN.

G ∴△EAG≌△NCG. ………………………（1分） F E 3 1 ∴∠BAC=∠ACB ，AE=CN. …………（1分）

2 ∴AB=BC. …………………………………（1分） B C N ∴BE=BN. …………………………………（1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 解：（1）∵直线y=x+4经过点A、C，点A在x轴上，点C在y轴上 ∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），…………………………………………（1分）

?12???(?4)?4b?c?0,又∵抛物线过A，C两点，∴?2.………………………………（1分）

??c?4.?b??11解得?.∴抛物线的表达式为y??x2?x?4.…………………………………（2分）

2?c?4（2）作PH⊥AC于H， ∵y??12x?x?4对称轴为直线x??1， 2又∵点C、P在抛物线上，CP//AO， C（0，4），∴P（-2,4）. ∴PC=2. ………………（1分） ∵AC?PH?PC?CO，∴PH=2………………………………………………………（1分） ∵A（﹣4，0），C（0，4），∴∠CAO=45°.

∵CP//AO, ∴∠ACP=∠CAO=45°. ………………………………………………………（1分） ∵PH⊥AC, ∴CH=PH=2. ∴AH?42?2?32.

∴tan?PAC?（3）∵y??PHAH?1.…………………………………………………………………（1分） 3

12∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，

∴PQ∥AO，且PQ=AO=4．………………………………………………………………（1分） ∵P，Q都在抛物线上，∴P，Q关于直线x=﹣1对称， ………………………………（1分） ∴P点的横坐标是﹣3， …………………………………………………………………（1分）

15∵当x=﹣3时，y???(?3)2?(?3)?4?，

225∴P点的坐标是(?3,).……………………………………………………………………（1分）

225．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4 分） 解：（1）作AM⊥BC于M，联结AP，

由题意可求得AM=3，BM=4，tanB= tanC=∵PH⊥DC，∴设PH=3k，HC=4k，CP=5k.

∵BC=9，∴MP=5-5k. ∴AP?AM?MP?9?(5?5k). ∵圆P过点A，且圆P的半径= PH=3k，∴AP=PH.

22∴9?(5?5k)?9k，即16k?50k?34?0.…………………………………………（1分）

2222x2?x?4对称轴为直线x??1，

3.……………………………………………（1分） 42解得k1?1,k2?当k2?17. 81717170时，CP=5k??9,∴k2?舍，∴k?1.……………………………（1分）

1688∴圆P的半径长为3. …………………………………………………………………（1分）

（2）∵PH⊥DC，∴设PH=3k，HC=4k，CP=5k. ∵点E在圆P上，∴PE=3k，CE=8k. ∴BE=9-8k

ABCHABCE或.……………………………（2分） ??BECEBECH54k58k113即或. 解得k??（舍）或k?.…………………（1分） ??9?8k8k9?8k4k8163939∴PH?.即圆P的半径为. …………………………………………………（1分）

16165559∵圆B与圆P相交，又BE=9-8k=，∴?r?. ………………………………（2分）

228∵△ABE∽△CEH，∠B=∠C，∴

（3）在圆P上取点F关于EH对称的点G，联结EG，作PQ⊥EG于G，HN⊥BC于N，

则EG=EF，∠1=∠3. ∴∠GEP=2∠1

∵PE=PH，∴∠1=∠2. ∴∠4=2∠1. ∴∠GEP=∠4.

∴△EPQ≌△PHN. ∴EQ=PN. ………………………………………………………………（1分） ∵P为圆心，PQ⊥EG，∴EQ=QG，∴EF=EG=2EQ. ∵PH=3k，HC=4k，tanC=

3， 4A D G 2 Q 416k312k3 ∴NC?4k??，NH?4k??. 4 1 5555C F N P B E 16k9∴PN?5k??k.

5518∴EF?EG?2EQ?2PN?k.………………………………………………………（1分）

5H EH?HN2?EN2?(12k291224125)?(3k?k)2?(k)2?(k)2?k.……（1分） 55555125kEH25∴??5 .………………………………………………………………（1分）

18EF3k5即线段EH和EF的比值为定值.

中考数学模拟试卷

一、选择题：（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出

来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共计30分。） 111

1．计算：|－|的倒数是( ) A. B. － C. 3 D. －3

333

2、下列计算正确的是( )A. 5－2＝3 B. (a＋b)＝a＋b C. x÷x＝x D. 2x·3x＝

66x 3．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

2

2

2

6

2

3

2

4

3题图 4题图 6题图

4．已知：如图，是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是( ) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个 5．已知关于x的分式方程

=1的解是非负数，则m的取值范围是（ ）

D． m≥2且m≠3

的扇形ABC,使点A、B、C在圆周上, 将剪下的扇形作

A．m＞2 B．m≥2 C．m＞2且m≠3 6、如图,从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为为一个圆锥侧面,如果圆锥的高为

,则这块圆形纸片的直径为( )

A、12cm B、20cm C、24cm D、28cm 7、下列说法中

①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补

②若点A在y=2x﹣3上，且点A到两坐标轴的距离相等，则点A在第一象限 ③半径为5的圆中，弦AB=8，则圆周上到直线AB的距离为2的共有四个 ④如果AD是△ABC的高，∠CAD=∠B，那么△ABC是直角三角形 正确命题有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8、今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），记分办法是：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．在这次足球比赛中，小虎足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（ ）种 A、6 B、5 C、4 D、3

9、如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到置，连接，则的长为（ ）。A、 B、 C、 D、1 的位 9题图 10题图

10、如图,在菱形ABCD中, AB=6, ∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,若CE=2 ,连接CF.以下结论:①∠BAF=∠BCF ; ②点E到AB的距离是 23; ③S△CDF：S△BEF=9：4 ; ④tan∠DCF=3/7 . 其中正确的有( )A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

二、填空题：（本大题、共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只 要求填写最后结果．）

11. 据媒体报道，我国最新研制的“察打一体”无人机的速度极快，经测试最高速度可达204000米/分，

204000这个数用科学记数法表示为________． 12、因式分解：x－2x＋(x－2)＝________．

2

??x－y＝2m＋1

13. 若关于x、y的二元一次方程组?的解满足x＋y>0，则m的取值范围是________．

?x＋3y＝3?

14、有9张卡片，分别写有1~9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字

?4x?3?x?1??为a，则关于x的不等式组?有解的概率为________. x?1?a?2x??215、在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，则?ABCD的周长等于 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是 ．

16题图18题图

17、定义符号max﹛a , b﹜的含义为: 当a≥b时, max﹛a , b﹜=a ;

当a〈b时， max﹛a , b﹜=b。 如 max﹛2 , -3﹜=2 ,

max﹛-4 , -2﹜=-2 ，则max﹛-x+2x+3 , ｜x｜﹜的最小值是 。

18、如图 , 等边 △A1C1C2 的周长为 1, 作 C1D1⊥A1C2 于 D1, 在 C1C2 的延长线上取点 C3, 使 D1C3=D1C1, 连接 D1C3, 以 C2C3 为边作等边 △A2C2C3; 作C2D2⊥

A2C3 于 D2, 在 C2C3 的延长线上取点 C4, 使 D2C4=D2C2, 连接 D2C4,以 C3C4 为边作等边 △A3C3C4;… 且点 A1,A2,A3,… 都在直线 C1C2 同侧 , 如此下去 , 则 △A1C1C2,

2

△A2C2C3,△A3C3C4,…,△AnCnCn+1 的周长和为 ．（n≥2，且 n为整数）。(面积之和？) 三、解答题：（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 19.（本大题共7分,第(1)题3分，第(2)题4分）

30?1???1. (1) 计算：??-???3??cos30?12?22??

a?1a?2??4???2????1?，其中a=2－3 （2）先化简，再求值：?2??a?4a?4a?2a??a?1

20.（本题8分）为了解某校落实新课改精神的情况,现以该校九年级二班的同学参加课外活动的情况为样

本,对其参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图.

(1)参加音乐类活动的学生人数为 人,参加球类活动的人数的百分比为 。(2)请把图2(条形统计图)补充完整;

(3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为 。

(4)该班参加舞蹈类活动的4位同学中,有1位男生(用E表示)和3位女生(分别用F,G,H表示),先准备从中选取两名同学组成舞伴,请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率.

21.（本题8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA， 交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B． （1）求证：DA是⊙O切线； （2）求证：△CED∽△ACD； （3）若OA=1，sinD=，求AE的长．

22.（本题8分）东营市公交公司将淘汰所有线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元。 （1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？

（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次。若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？

23.（本题9分）如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与y轴相交于点A,与反比例函数y2=k/x (k≠0)的图象相交于点B（3,2）、C（—1，n） (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)根据图象,直接写出y1＞y2时x的取值范围;

(3)在y轴上是否存在点P,使△PAB为直角三角形?如果存在,请求点P的坐标;若不存在,请说明理由.

24.（本题10分）如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合)DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.

(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形; (2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由. (3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM

①求∠CAM的度数;

②当FH=3, DM=4时,求DH的长.

25、（本题12分）如图，已知：关于x的二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D. (1)求二次函数的表达式； (3分)

(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形.若存在，请求出点P的坐标； (4分)

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同

时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到 达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积. (5分)

y C N M O A D B x 第25题图

答案

1、C 2、D 3、A 4、B 5、D 6、C 7、B 8、D 9、A 10、B 11、2.04x10

5

12、(x-2)(x+1) 13、m＞-2 14、

n

n?1

15、12或20 16、6 17、（21-3）/2 18、(2?1)/(2) 19、解：（1）原式=2-1- 解(2)：原式

，将

20、解:(1)本次调查的总人数为参加音乐类活动的学生人数为

代入，得：原式

(人),

人,参加球类活动的人数的百分比为

。

+2

+1-

=2+

；

, 因此，本题正确答案是: 7、

(2)补全条形图如下:

;

(3)该校学生共600人,则参加棋类活动的人数约为因此，本题正确答案是:105; (4)画树状图如下:

,

共有12种情况,选中一男一女的有6种, 则

21、(1)证明:为,

的直径,,.

,

是

(2)解:

半径,

,.

,

为的切线

.,;

(3)解:在中,,,,

.

又

,

,

, ,

22、（1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，由题意列方程得：

，

解为：

得：

，解得

，把

代入得：

万元。

，故方程组的

，所以购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需

（2）设购买型公交车辆，则购买型公交车

，

去括号得：

辆，由题意列不等式组为：

，解得

；去括号得：

，解得，故不等式组的解集为：，因为取整数，所以的取值为

、、；则该公司有三种购车方案：①购买型公交车辆，型公交车辆，总费用为：

（万元）；②购买型公交车辆，型公交车辆，总费用为：（万元）；③购买型公交车辆，型公交车辆，总费用为：万元。根据三种购买方案可知：

，所以购买型公交车辆，

型公交车辆费用最少，最少费用为万元 23、解:(1) 把代入得:

反比例函数解析式为:

把

代入

,得:

把、分别代入,得:,解得:所以一次函数解析式为

(2) 由图可知,当写出时x的取值范围是或者

(3)y轴上存在点P,使

为直角三角形 如图,

过B作轴于, ,为直角三角形

此时,

过B作

交y轴于

,

为直角三角形 在中,

在 AB和 AB

综上所述,

、

24、(1)证明:如图1中,

, 是

,

(2)结论:成立.理由如下: 如图2中,过点M作

,

由(1)可知

,

的中线,且D与M重合,

,

, ,

,

, ∴四边形ABDE是平行四边形.

交CE于G.

四边形DMGE是平行四边形, ,

,

,

,且

,

,

四边形ABDE是平行四边形.

(3)①如图3中,取线段HC的中点I,连接MI,

,

,

, 是

的中位线,

,且

,,

②设

,

,则

,

,

,

四边形ABDE是平行四边形, , , , 解得

或

25、解:（1）由题意可得解得

(舍弃),

的图象过点

和点。

，所以，

且

，所以点的坐标为

。将

代入

。

，代入解析式可得：

，

，所以二次函数的表达式为：

，因为点的坐标为

，解得

（2）存在。设点

中可得：

，所以

①当是为等腰的底边时，则

，所以有

，根据两点间距离公式可得：

，解得

，即当点的坐标为

时，②当

为等腰三角形。 为等腰

底边时，则

，在

中，

，当点在点下方时，为等腰三角形。 可得：

时，

，解得为等

，当点在点上方时，

，即当点的坐标为

③当

为等腰或腰三角形。

综上所述，点的坐标为：（3）由

或

或

或

时，

，当

底边时，

或，由

时，，

时点于点重合，故舍去，即当点的坐标为

为等腰三角形。 ，则当点向上运动时有

可得对称轴为：

，其中，所以时，

，点的坐标为时，时，

，由题意设点

。当点向上运动时，

，当点向下运动时有

，

为为的坐标为

或

，所以当，即

，因

取得最大值为

。同理可得：当向下运动时，点

坐标为

，此时点坐标为

坐标，点

取得最大值为。综上所述，当点的面积最大，最大值为。

，点的坐标为

中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．8的相反数是…………………………………………………………………………………（ ▲ ）

(A)

1； 8 (B)8；

1(C)?；

8 (D)?8．

2．下列计算正确的是 …………………………………………………………………………（ ▲ ）

(A)2?3?5； (B)a?2a?3a；

(C)(2a)3?2a3；

(D)a6?a3?a2．

3．今年3月12日，某学校开展植树活动，某植树小组20名同学的年龄情况如下表：

年龄（岁） 12 人数 1 13 4 14 3 15 7 16 5 那么这20名同学年龄的众数和中位数分别是……………………………………………（ ▲ ）

(A)15,14；

(B)15,15；

(C)16,14；

(D)16,15．

4．某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本相同的画册，第二次用240元在同一家商店

买与上一次相同的画册，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本画册？设第一次买了x本画册，列方程正确的是 ………………………（ ▲ ）

120240??4； xx?20120240(C)??4；

xx?20(A)

240120??4； x?20x240120(D)??4．

x?20x(B)

5．下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ……………………………（ ▲ ）

(A) 等边三角形；

(B) 平行四边形；

(C) 菱形；

(D) 正五边形．

6．已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC边上一点，联结AF交DE于点

G，那么下列结论中一定正确的是 ………………………………………（ ▲ ）

EGFGEGAEEGAG； (B)； (C)； ???GDAGGDADGDGF二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

(A)

7．因式分解：x2?9? ▲ ．

(D)

EGCF． ?GDBF?x?1?08．不等式组?的解集是 ▲ ．

2x?3?x?9．函数y?1的定义域是 ▲ ． x?210．方程x?1?3的解是 ▲ ．

111．已知袋子中的球除颜色外均相同，其中红球有3个，如果从中随机摸得1个红球的概率为，

8那么袋子中共有 ▲ 个球．

12．如果关于x的方程x2?4x?k?0有两个相等的实数根，那么实数k的值是 ▲ ．

13．如果将抛物线y?x2?2x?1向上平移，使它经过点A(1,3)，那么所得新抛物线的表达式是

▲ ．

14．某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征

集活动，先从中随机抽取了部分作品，按A,B,C,D四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为B的作品数为 ▲ ．

（第14题图）

15．已知梯形ABCD，AD∥BC，BC?2AD，如果AB?a，AC?b，那么DA? ▲ ．

（用a,b表示）．

16．如图，正六边形ABCDEF的顶点B、C分别在正方形AGHI的边AG、GH上，如果AB?4，

那么CH的长为 ▲ ．

17．在矩形ABCD中，AB?5，BC?12，点E是边AB上一点（不与A、B重合），以点A为圆心，AE为半径作⊙A，如果⊙C与⊙A外切，那么⊙C的半径r的取值范围是 ▲ ．

18．如图，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，△ABC中，?BAC?90?，AB?6，AC?8，

联结CE，那么线段CE的长等于 ▲ ． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

计算：27?(3?2)?9?(??3.14)0 20．（本题满分10分）

22??x?9y?0解方程组：?2 2??x?2xy?y?421221．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）

已知圆O的直径AB?12，点C是圆上一点，且?ABC?30?，点P是弦BC上一动点， 过点P作PD?OP交圆O于点D．

（1）如图1，当PD∥AB时，求PD的长； （2）如图2，当BP平分?OPD时，求PC的长． 22．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）

温度通常有两种表示方法：华氏度（单位：℉）与摄氏度（单位：℃），已知华氏度数y与摄氏度数x之间是一次函数关系，下表列出了部分华氏度与摄氏度之间的对应关系：

摄氏度数x（℃） 华氏度数y（℉） … … 0 32 … … 35 95 … … 100 212 … … （1）选用表格中给出的数据，求y关于x的函数解析式；

（2）有一种温度计上有两个刻度，即测量某一温度时左边是摄氏度，右边是华氏度，那么在多少摄氏度时，温度计上右边华氏度的刻度正好比左边摄氏度的刻度大56？ 23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）

如图，AM是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交BC于点K，

CE∥AM，联结AE．

（1）求证：

ABCM； ?EKCKE

A （2）求证：BD?AE．

24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）

已知抛物线经过点A(0,3)、B(4,1)、C(3,0)． （1）求抛物线的解析式；

（2）联结AC、BC、AB，求?BAC的正切值；

（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG?AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，

且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．

25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）

如图，已知△ABC中，AB?8，BC?10，AC?12，D是AC边上一点，且AB2?AD?AC，联结BD，点E、F分别是BC、AC上两点（点E不与B、C重合），?AEF??C，AE与BD相交于点G． （1）求证：BD平分?ABC；

（2）设BE?x，CF?y，求y与x之间的函数关系式； （3）联结FG，当△GEF是等腰三角形时，求BE的长度．

中考数学二模试卷

参考答案

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

1．D； 2．B； 3．B； 4．A； 5．C； 6．D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．(x?3)(x?3)； 8．?3＜x＜1； 9．x?2； 10．x?8；

211．24； 12．?4； 13．y?x?2x； 14．48；

15．

111413； 18．. a?b； 16．6?23； 17．8＜r＜225三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

解：原式?33?7?43?3?1……………………………………………………8分 ?9?3 …………………………………………………………………2分 20．（本题满分10分）

解：由①得x?3y?0或x?3y?0 ………………………………………………1分

由②得x?y?2或x?y??2 ………………………………………………1分 ∴原方程组可化为??x?3y?0?x?3y?0?x?3y?0?x?3y?0，?， ?，?……4分

?x?y?2?x?y??2?x?y?2?x?y??233??x?x?????12?22?x3?3?x4??3解得原方程组的解为?，?，?，? ………4分

?y3?1?y4??1?y??1?y?112??2??221．（本题满分10分，每小题5分）

（1）解：联结OD

∵直径AB?12 ∴OB?OD?6 ……………………………………1分

∵PD⊥OP ∴∠DPO?90?

∵PD∥AB ∴∠DPO?∠POB?180? ∴∠POB?90? ……1分 又∵∠ABC?30?，OB?6

∴OP?OBtan30??23 ………………………………………………1分

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