4-2 根轨迹的绘制法则

自动控制原理

4-2 根轨迹的绘制法则

烟台大学光电信息学院

自动控制原理

绘制根轨迹的条件：

G(s)H(s)=-1即：K *

——根轨迹方程—幅值条件

| (s z ) | | (s p ) |i 1 i n j i 1 j 1 n j

m

1

(s z ) (s p ) (2k 1) j 1 i

m

—相角条件

(k 0,1, 2 )

幅值条件为充分条件，用于确定K*的值； 相角条件为充要条件，用于绘制根轨迹。

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4.2.1 常规根轨迹的绘制法则(180°根轨迹) 法则1:根轨迹起始于开环极点，终止于开环零 点。一般在实际系统中，开环传函分子多 项式次数m与分母多项式次数n满足： m≤n,所以有n-m条根轨迹终止于无穷 n 远处。 s p证明：由幅值条件

K*

i 1 m

i

当 K 0 时，只有 s pi 才能满足以上幅值条件， 故根轨迹必从开环极点 pi出发。*

j 1

s zj

当 K 时，只有 s z j或 (n≥m时)才能满 s 足以上幅值条件，故根轨迹必终止于开环零点 或 无穷远处。*

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法则2:根轨迹的分支数等于max{m,n},且根 轨迹连续，并关于实轴对称。

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法则3:根轨迹的渐近线。 如果开环零点的数目m小于开环极点数n, 即 n>m, 则有(n-m)条根轨迹沿着某条渐近线终止 于无穷远处。 渐近线的可由下面的方程决定。 渐近线与实轴的交点坐标: a

p zi 1 i j 1

n

m

j

n m

渐近线与实轴正方向的夹角:(2k 1) a n m (k 0,1, 2 n m 1)

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法则4:实轴上的根轨迹。实轴上某一区域，若 其右边开环零、极点个数之和为奇数， 则该区域是根轨迹。(180°根轨迹)证明： θ s1左边每个开环极点或零点提 供的相角为0, s1右边每个开环极 点或零点提供的相角为180º , s1 每对共轭极点和零点提供的 相角之和为0或360º ,互相抵消。 p z 2 1 所以，只有其右边开环零点、 极点的总数为奇数的实轴线段才 满足相角条件。1

jω

θ

p12

0 σ

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例1:已知系统的特征方程为 * K 1 G ( s) H ( s) 1 0 s( s 1)( s 2) 试大致绘制其根轨迹。解:由题意，系统开环传递函数为：K* Gk ( s) G ( s ) H ( s ) s ( s 1)( s 2)

(1) 系统无开环零点；开环极点为p1=0,P2= -1,p3=-2。根轨迹起始于开环极点，终止 于开环零点或无穷远处。 (2) m=0,n=3,所以根轨迹条数为3条，且关

于实轴对称。

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(3) 根轨迹渐近线与实轴的交点为: a

p zi 1 i j 1

n

m

jω jωj j 22 (( K* 6) K 6)*

j

渐近线与实轴的夹角为:

n m (0 1 2) 1 3 0

-2 -2

d -1 d -1

σ 0 σ 0

(2k 1) (2k 1) 5 a , , n m 3 0 3 3

(4) 实轴上的根轨迹区间为：

j 2*

j 2

( K * 6)

( K 6)

( , 2];[ 1, 0]

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法则5:根轨迹轨迹的分离点。 两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相 遇又立即分开的点，称根轨迹的分离点。 一般常见的分离点多位于实轴上, 但有时 也产生于共轭复数对中。分离点必然是重根点, 系统的闭环特征方程写为

D( s) 1 G ( s) H ( s)

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则根据分离点必然是重根点的条件, 可以得 出分离点的确定公式:

1 1 d z d p j 1 j 1 j i

m

n

dK ( 0) ds

*

上述方程是求取分离点或会合点的必要条件， 是否确实为分离点或会合点，需要用相角条件进 行判断。分离点或会合点可能在s平面上任何一 点。(对于复杂的方程，多用试探法)

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例2:系统的特征方程为：求根轨迹分离点。*

K 1 G( s) H ( s) 1 0 s ( s 1)( s 2)

*

jωj 2 ( K * 6)

解：因为系统根轨迹方程为：K 1 s ( s 1)( s 2)

K s ( s 1)( s 2)*

-2

-1

d

0 σ

由 dK (3s 2 6 s 2) 0ds

*

s1 0.423; s2 1.577 (舍)

j 2 ( K * 6)

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法则6:根轨迹的起始角与终止角。 根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实 pi 轴的夹角，称起始角。用 表示。 根轨迹进入开环复数极点处的切线与正实 zi 轴的夹角，称终止角。用 表示。

pi (2k 1) ( z p p p ); k 0, 1, 2, j 1j i

m

n

j 1 (i j )n

j i

zi (2k 1) ( z z p z ); k 0, 1, 2, j 1 ( j i )j i

m

j 1

j i

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证明： 在根轨迹上靠近起点P1较远处取一点S1,显然满足 相角条件，有 ( s1 z1 ) [ ( s1 p1 ) ( s1 p2 ) ( s1 p3 )] (2k 1) jω s1

当S1无限趋近于P1点时， θ p1 p1 即 ( s1 p1 ) 为P1点的 θ 出射角 p ,一般情况下， φ z1p1 p3 0 开环复数极点Pk的出射 z1 θ p2p1 角为： m m1

p3p1

σ

pi (2k 1) ( zj 1

j pi

j 1 (i j )

p j pi

)

p2

同理可以确入射角。 k 0, 1, 2,

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s1 p1 φ z1p1 θ p2 θp1

jω

θ p3 0p2p1

p3p1

z1

σ

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例3:已知系统开环传函为：K * ( s 1.5)( s 2 j )( s 2 j ) G ( s) H ( s) 0 s ( s 2.5)( s 0.5 j1.5)( s 0.5 j 0.5) jω 试绘制概略根轨迹。 2 p

1 解： 求系统开环零点，并标于s平 面上; z1 (2)根轨迹的分支数为 p4 z3 4条; p3 -2 -1 (3)实轴上的根轨迹为: -3 z2 (-∞, -3],[-2.5, 0]; p2 (4)渐近线n-m=1条；渐近线 夹角180°;

1

0 σ -1 -2

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(5)分离点：无； (6)起始角与会合角： p1 (2k 1) ( zj 1 3j p1

j 1 (i j )

p4 -3

4

p j p1

)19°

θ p1 jω 2 p1 1 z356.5° 108.5°

180 (19 59 56.5 90 108.5 37 ) 79

z137°

-2 z

2

-159°

p3 0 σ90° -1

p2 -2

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z1z1 p4 -363.5°

190°

jω 2 1153°

概略根轨迹为： p1

p1117°

z1

jω 2 1

-2 z2

z3 -190°

p3 0 σ121°

p23 4 j 1 ( j 1)j 1

-1

-3j 1

-2

-1

0 -1 -2

σ

z1 (2k 1) ( z z p z )j 1

180 (90 117 190 121 153 63.5 ) 149.5

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法则7:根轨迹与虚轴的交点。 求交点处的K*和ω值。 1 G ( j ) H ( j ) 0 方法一：令s=j ω,代入闭环系统特征方程： 令实部和虚部为零得：

Re[1 G( j ) H ( j )] 0Im[1 G ( j ) H ( j )] 0解得K*和ω值。 方法二：由劳斯判据求得。

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例4:系统的特征方程为：K* 1 G ( s) H ( s) 1 0 s ( s 1)( s 2)

求根轨迹与虚轴交点及对应的K*值。解：系统特征方程为：

s(s 1)( s 2) K * 0即：

s3 3s 2 2s K * 0( j )3 3( j )2 2 j K * 0

方法一：令s=j ω,代入闭环系统特征方程得：

即： K * 3 2 0

2 3 0

得： 2 ; K * 6

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