山东省实验中学2015届高三第一次（9月）诊断性考试数学（理）试

第I卷（共50分）

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意） ．．．．．．1.设i是虚数单位，复数A. ?2

B.2

a?i是纯虚数，则实数a? 2?i11C. ? D.

222.已知集合A?yy?x?1,x?R,B?xx?2，则下列结论正确的是 A. ?3?A

B. 3?B

C. A?B?B

D. A?B?B

????3.已知函数f?x??Acos??x????A?0,??0,??R?，则“f?x?是奇函数”是“??A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

?2”的

4.已知等比数列?an?的前三项依次为a?1,a?1,a?4,则an?

?3??2??3?A. 4??? B. 4??? C. 4????2??3??2?5.右图给出的是计算

nnn?1?2? D. 4????3?n?1

1111???????的值的一个框图，其中菱形判断横24620

应填入的条件是

A. i?10 B. i?10 C. i?11 D. i?11 6.函数f?x??log2x?A. ?0,1?

1的零点所在的区间为 x

C. ?2,3?

D. ?3,4?

B. ?1,2?

7.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为 A.

? 3B.

33 4? C.

3 4D. 以上全错

x2y28.已知双曲线C1:2?2?1?a?0,b?0?的离心率为2，若抛物线

ab2的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 C2:x?2p?y?p?0A. x?283y 3B. x?2163y 3C. x2?8y D. x2?16y

uuuruuuruuuruurABAC9.已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足OP?OA??(uu)????0?，?uuuurrABsinBACsinC则P点轨迹一定通过三角形ABC的 A.内心 B.外心 C.垂心

D.重心

10.已知函数f?x?对任意x?R，都有f?x?6??f?x??0,y?f?x?1?的图像关于?1,0?对称，且

f?2??4,则f?2014??

A.0

B.?4

C.?8

D.?16

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题包括5小题，共25分）

11.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为________m

[来源学+科+网Z+X+X+K]3

1??412.在二项式?x2??的展开式中，含x的项的系数是________

x??13.观察下列等式

1=1

2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此规律，第n个等式为_______.

214.若点P在直线l1:x?y?3?0上，过点P的直线l2与曲线C:?x?5??y?16只有一个公共点M，则

25PM的最小值为_________.

?x?y?134?15.已知x、y满足约束条件?x?y??1,若目标函数z?ax?by?a?0,b?0?的最大值为7，则?的最

ab?2x?y?2?小值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

rr?x,co?sx16.（本小题满分12分）已知向量a??sin?b,??c?osx,3?cox?s???0数?，函

rr3f?x??a?b?的最小正周期为?.

2（I）求函数f?x?的单调增区间；

（II）如果△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足b2?c2?a2?3bc，求f?A?的值.

17.（本小题满分12分）甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为

1，2

乙投篮命中的概率为

2. 3[来源学。科。网]（I）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；

（II）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得?1分，求乙所得分数?的概率分布和数学期望.

18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABC?A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，

AC?A1B?BC,B1C1//BC,B1C1?1（I）求证：AB1//面AC11C；

1BC. 2（II）求二面角C?AC11?B的余弦值的大小.

19.（本小题满分12分）设数列?an?为等差数列，且

a3?5,a5?9；数列?bn?的前n项和为Sn,且Sn?bn?2.

（I）求数列?an?，?bn?的通项公式； （II）若cn?

[来源学+科+网]an?n?N??，Tn为数学?cn?的前n项和，求Tn. bn

x2y220.（本小题满分13分）已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与

ab短轴两端点构成等边三角形.

（I）求椭圆的方程；

uuuruuuruuuruuur（II）过点Q??1,0?的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x??4于点E，AQ??QB，AE??EB.判断???是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.

2ax?a2?121.（本小题满分14分）已知函数f?x??，其中a?R.

x2?1（I）当a?1时，求曲线y?f?x?在原点处的切线方程； （II）求f?x?的单调区间；

（III）若f?x?在?0，???上存在最大值和最小值，求a的取值范围.

山东省实验中学2012级第一次诊断性考试

理科数学参考答案

16.（I）f?x??a?b?3?sin?xcos?x?3cos232?x?2 ?12sin2?x?32cos2?x?sin?????2?x?3??………………………3分

∵f?x?的最小正周期为?，且?＞0。 ∴2?2???,∴??1,……………………………………………………4分 ∴f?x??sin??2x????3??. 由??2?2k?≤2x??3≤?2?2k?,k?Z…………………………5分 得f?x?的增区间为????512??k?,?12?k?????k?Z?………………6分

（II）由b2?c2?a2?3bc,∴b2?c2?a2?3bc,

又由cosA?b2?c2?a22bc?3bc2bc?32…………………………8分

∴在?ABC中，A??6………………………………………………………9分

∴f?A??sin??2???2??6??3???sin3?32………………………………12分 17.解：（Ⅰ）设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，P(A)?(12)4?C11112121114(2)?(2)3?C4(2)?(2)2?16 …………………………2分

P(B)?C2(23)2?(13)2?C323124844(3)?3?(3)?9 ……………………………4分

∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为：

P(A)?P(B)?1116?89?1118 …………………………………………6分 （Ⅱ）η=－4，0，4，8，12，分布列如下：

题意得：

由

η －4 0 4 8 12 P 1 824168181 328181 81 …………………………………………………………11分 E???4?181?0?881?4?2481?8?3281?12?162081?3 ……………………12分

AC11?面

AC11C，

AE?面

AC11C?AE//AC11C ………………………………………………………………4分 AEB1E?E，?面B1AE//面AC11C

AB1?面B1AE，?AB1//面AC11C ………………………………………6分

（Ⅱ）

四边形ABB1A1为正方形, ?A1A?AB?AC?1, A1A?AB

?A1B?2，AC1?A1B ?AC1?2 Az1B1 由勾股定理可得：?A1AC?90，?A1A?AC ， C 1 ABAC?A，?A1A?面ABC ，

AC1?A1B?BC，?BC?2 AByECx

面

设面AC11B的法向量为n2?(m,n,k)，则n2?BA1?0,n2?BC1?0

??n?k?则?0?1，令k?1，则n2?(?1,1,1) ……………………10分 ??2m?12n?k?0所以

cosn1?n21?1?11,n2?nn??1n23?3??13

设二面角C?AC11?B的平面角为?，n1,n2?? 所以cos??cos??????13 ………………………………………………12分 19.

解

(1)

数

列

?an?为

等

差

数

列

,所

以

d?12(a5?a3)?2,又因a3?5,?a1?1,?an?2n?1 ……………………………………2分

由Sn?bn?2,得Sn?2?bn n=1时，S1?2?b1?b1,?b1?1

n?2时，bn?Sn?Sn?1?2?bn?(2?bn?1)

所以b1n?2bn?1……………………………4分 ?b?是以1为首项，1n2为公比的等比数列

n?1?b?1?n???2??………………………………………………6分

为

（2）由（1）知，cn?an?(2n?1)?2n?1……………………7分 bnTn?1?20?3?21?5?22?......(2n?3)?2n?2?(2n?1）?2n?1

2Tn?1?21?3?22?5?23?......(2n?3)?2n?1?(2n?1）?2n……………9分 ??Tn?1?2?21+2?22?2?23?......2?2n?1?(2n?1)2n

2(1?2n?1)?(2n?1)2n =1?21?2=1-4+(3?2n)2n………………………11分

?Tn?3?(2n?3)?2n………………12分

?2b2x2?1?a?2??y2?120. （1）由条件得?a，所以方程……4分 ??4 ?b?1?2b?a? （2）易知直线l斜率存在，令l:y?k(x?1),A(x1,y1),B(x2,y2),E(?4,y0)

?y?k(x?1)?2222由?x2?(1?4k)x?8kx?4k?4?02??y?1?4??48k2?16?0……5分

8k24k2?4x1?x2??,x1x2?………………6分 221?4k1?4k

由AQ??QB?(?1?x1,?y1)??(x2?1,y2)即?得?????(x1?1)??(x2?1)

?y1???y2

x1?1 …………………7分 x2?1??(x1?4)??(x1?4)由AE??EB?(?4?x1,y0?y1)??(x2?4,y2?y0)即?

y?y??(y?y)20?01

得???x1?4……………8分

x2?4

??????(x1?1)(x2?4)?(x1?4)(x2?1)2xx?5(x1?x2)?8??12(x2?1)(x2?4)(x2?1)(x2?4)

8k24k2?4,x1x2?将x1?x2??代入

1?4k21?4k28k2?840k28k2?8?40k2?8?32k2??82221?4k1?4k1?4k???0…………13分 有??????(x2?1)(x2?4)(x2?1)(x2?4)

② 当a?0时，令f?(x)?0，得x1??a，x2?

故f(x)的单调减区间是(??,?a)，(,??)；单调增区间是(?a,)． ……7分 ③ 当a?0时，f(x)与f?(x)的情况如下：

1，f(x)与f?(x)的情况如下： a(x1,x2) x2 0 x f?(x) (??,x1) ? x1 0 (x2,??) ? ? ↗ f(x) ↘ f(x1) f(x2) ↘ 1a1ax f?(x) f(x) (??,x2) x2 0 (x2,x1) ? x1 0 (x1,??) ? ↗ ? ↗ f(x2) ↘ f(x1) 所以f(x)的单调增区间是(??,)，(?a,??)；单调减区间是(,?a)………9分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， a?0时不合题意． ……………10分

当a?0时，由（Ⅱ）得，f(x)在(0,)单调递增，在(,??)单调递减，所以f(x)在(0,??)上

存在最大值f()?a?0．

1a1a1a1a1a2

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