图像稀疏表示理论研究

武汉理工大学毕业设计（论文）

图像稀疏表示理论研究

学院（系）： 信息学院 专业班级： 电信1001班 学生姓名： 朱玉峰 指导教师： 杨媛媛 讲师

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摘 要

本文借助数学软件MATLAB首先对不同小波基的图像稀疏表示能力进行了比较，从中选出最优基。然后对基于MOD和K-SVD的两种不同算法的学习字典进行了去噪实验，得出了K-SVD字典的稀疏表示能力更优的结论。虽然过完备稀疏字典的性能应该要优于小波变换，但还是通过对比试验来说明，这样显得更直观一些。对基于最优小波基和基于稀疏字典两种情况进行了比较，所得结果对于整个图像稀疏表示理论的演变发展起到了论证作用，具有重要的指导意义。

论文主要研究了图像稀疏表示理论的整个发展历史以及现在的研究现状。介绍了基于小波变换和多尺度几何分析方法的图像稀疏表示，重点研究了基于过完备字典的图像稀疏表示理论。图像的过完备字典稀疏表示可分为稀疏分解和字典学习两过程：稀疏分解是在过完备字典已知的情况下获得表示系数的过程；而字典学习与稀疏分解相反，则是通过获得的表示系数来更新过完备字典。这两个过程的有效结合可以让图像稀疏分解的结果更加符合图像特征，从而提高图像的稀疏表示质量。基于此两个过程的内容，本文分析了基于MP，BP以及OMP算法的稀疏分解和基于MOD和K-SVD算法的字典学习算法，并对其核心思想和性能差别进行了详细的介绍和分析，形成了以 OMP 算法用于稀疏分解，结合 K-SVD 字典学习算法的图像稀疏表示，并将此方法与小波变换进行比较。

研究结果表明：基于稀疏字典的图像稀疏表示性能优于基于小波变换的稀疏表示。 本文的特色：对整个图像稀疏表示理论的研究很全面，回顾了稀疏理论发展的历史和现状，通过实验论证了基于字典方法的优越性，对稀疏表示理论的后续研究提出了一定要求。

关键词： 图像稀疏；小波变换；过完备字典；OMP;K-SVD

I

Abstract

In this paper, using software MATLAB firstly indicates the ability to compare different image sparse wavelet base, choose the basis from which the. Then the two different learning algorithms of MOD and K-SVD dictionary based on denoising experiments, the sparse K-SVD dictionary representation capability and better conclusion. Although the performance over complete sparse dictionary should be superior to the wavelet transform, but by contrast experiment to illustrate, that seems more intuitive. Based on the optimal wavelet basis and sparse dictionary based on two conditions were compared, the results indicated the evolution theory to demonstrate to the sparse image, has the important guiding significance.

This paper mainly studies the image sparse representation of the whole development history theory and the current research status. The sparse image analysis method of wavelet transform and multi scale geometric representation based on, key research based on over complete dictionary of image sparse representation theory. The image of the over complete dictionary sparse representation can be divided into two processes for learning sparse decomposition and Dictionary: sparse decomposition is to obtain there presentation coefficients of the process in the over complete dictionary of known cases; and dictionary learning and sparse decomposition instead, is obtained by the said coefficient to update the over complete dictionary. The effective combination of these two processes can make the image sparse decomposition results more in line with the image features, so as to improve the quality of image sparse representation. The two process based content, based on the analysis of the MP, BP and OMP algorithm of sparse decomposition and MOD algorithm and K-SVD algorithm based on dictionary, and the difference between its core idea and performance are introduced and analyzed in detail,using OMP algorithm for sparse decomposition of the form, combined with the K-SVD dictionary learning image sparse algorithm said, and this method is compared with the wavelet transform. Research results show that: the performance is better than the wavelet transformbased on the sparse representation of sparse representation of images based on sparse dictionary.

This feature: the representation theory in the study of very comprehensive on the image sparse, reviews the history and present situation of the development of the theory of sparse, the experiments demonstrate the superiority of the dictionary based method, said some follow-up study on the theory of sparse requirements.

Key Words：Sparse image; wavelet transform; over complete dictionary; OMP;KSVD

II

目 录

1.1 研究背景及意义 ............................................................................................................... 1 1.2 国内外研究发展历程和现状 ........................................................................................... 2

第1章 绪论 ................................................................................................................................... 1

第2章 信号的稀疏表示理论 ....................................................................................................... 4

2.1 数学基础及相关说明 ....................................................................................................... 4

2.1.1 从逼近论到过冗余稀疏表示 ................................................................................. 4 2.1.2 稀疏性的度量 ......................................................................................................... 5 2.1.3 唯一性和不确定性 ................................................................................................. 6

第3章 图像稀疏表示基本理论的发展 ....................................................................................... 8

3.1 从傅里叶到小波 ............................................................................................................... 8

3.1.1 傅立叶变换 ............................................................................................................. 9 3.1.2 余弦变换 ................................................................................................................. 9 3.1.3 小波变换 ............................................................................................................... 10 3.2 超完备图像表示 ............................................................................................................. 10 3.3 超小波图像稀疏表示 ..................................................................................................... 11

3.3.1 Ridgelet (脊波) 变换 ............................................................................................. 11 3.3.2 Curvelet (曲线波) 变换 ........................................................................................ 12 3.3.3 Contourlet 变换 ..................................................................................................... 13 3.3.4 Bandelet 变换 ........................................................................................................ 13

第4章 图像稀疏字典的设计和构造 ......................................................................................... 15

4.1 图像的稀疏分解 ............................................................................................................. 15

4.1.1 稀疏分解的定义 ................................................................................................... 15 4.2 过完备字典 ..................................................................................................................... 16

4.2.1 分数频率法 ........................................................................................................... 16 4.2.2 图像稀疏表示字典的选择和构造 ....................................................................... 17 4.3 稀疏分解算法的实现 ..................................................................................................... 17

4.3.1 BP 算法 ................................................................................................................. 17 4.3.2 MP 算法 ................................................................................................................ 18 4.3.3 OMP 算法 ............................................................................................................. 20 4.4 稀疏字典发展趋势 ......................................................................................................... 21 第5章 不同稀疏表示方法的性能研究 ..................................................................................... 23

5.1 基于不同小波基的稀疏性能研究 ................................................................................. 23

5.1.1 小波去噪原理 ....................................................................................................... 23 5.1.2 实验分析及结论 ................................................................................................... 24 5.2 学习字典实验 ................................................................................................................. 25

5.2.1 MOD算法研究 ...................................................................................................... 25 5.2.2 K-SVD算法研究 ................................................................................................... 26 5.2.3 实验分析及结论 ................................................................................................... 28 5.3 基于小波变换和稀疏字典的图像表示性能比较 ......................................................... 30 第6章 全文总结与展望 ............................................................................................................. 32

6.1 论文工作总结 ................................................................................................................. 32 6.2 未来工作展望 ................................................................................................................. 32 参考文献 ....................................................................................................................................... 33 附 录 ........................................................................................................................................... 34 致 谢 ........................................................................................................................................... 39

1.1 研究背景及意义

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第1章 绪论

随着社会的不断进步，信息技术已经成为人们日常生活中不可缺少的组成部分，图像

丰富的信息含量使其成为人类获取信息的主要信息源。然而经过数字化处理的图像数据量十分庞大，给实际的存储、传输和理解带来了相当大的困难。图像表示模型的建立是图像处理应用开展的基础，如何设计既简洁又高效的图像表示模型，降低实际应用中巨大的图像数据量带来的压力，是图像处理理论和实践研究中一个十分重要的课题。

传统的图像表示方法仅仅使用某一种正交变换基函数（如傅里叶基等）对图像进行表示，不能有效地表示图像的结构特征，从而不能对图像形成最稀疏的表示。小波变换理论和方法的提出弥补了傅里叶变换不具有时域局部化能力的缺陷，并且能对非平稳信号进行有效地处理，小波变换比傅里叶变换能更稀疏的表示一维信号。然而自然界中的图像往往是具有不同复杂几何结构特征的二维信号，在用二维小波对图像进行表示时，在不同的小波系数子带上会同时出现图像的几何结构特征，结果造成了表示的不稀疏。

多尺度几何分析方法是继小波变换之后，提出的又一类新的图像表示方法。该方法的出现被称为小波兴起后的又一场革命。多尺度几何分析方法的提出主要是为了解决高维空间数据稀疏表示问题。图像的多尺度几何分析理论与方法是一个前沿的研究领域，其理论和算法还处在发展之中。在国内，目前图像稀疏表示方面的研究主要集中在多尺度几何分析理论及其应用。

1996年， Olshausen 和 Field 提出了稀疏编码模型。稀疏编码理论表明，V1区简单细胞感受野的反应特性能够反映自然图像的主要结构特征。图像过完备稀疏表示作为一种有效的图像稀疏表示模型，其编码机制与人类视觉感知系统处理信息的方式相匹配，字典中的原子可以理解为人类视觉皮层中的神经元，应具有与神经元相类似的感受野结构，如方向性、局部性、帯通性，从而可以有效的捕获到自然图像中的局部几何结构信息[1]。在图像过完备稀疏表示模型中，将信号在过完备字典上分解，尽可能的使信号能量集中到少量的系数上，即大部分变换系数为零，只有很少的非零大系数。同时用来表示信号的字典原子可以自适应的根据信号本身的特点灵活选取，以得到信号非常稀疏的表示。对比基于固定正交基的图像表示，过完备图像稀疏表示达到了更优的逼近效果。同时冗余系统能够对噪声与误差更为鲁棒，从而为图像处理带来了很大的便利。

图像表示是图像处理领域中一个非常核心的问题，它在图像压缩、特征提取、图像检索、图像去噪和图像复原等应用中起着非常关键的作用。尽管在图像稀疏表示研究方面取得了一定成就，但目前稀疏表示理论还不够成熟，在实际研究与应用过程中还有许多问题亟待解决。建立高效、灵活的图像稀疏表示模型，研究有效、快速的图像稀疏表示算法，

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将有利于推动图像处理领域研究的开展。

1.2 国内外研究发展历程和现状

对于信号而言，数据处理算法和数据模型的好坏直接决定了是否能够准确有效的对数据进行处理、量化和压缩。同时，从物理学和信息学的观点来看，任何信息都可以从多个不同的角度来对其进行研究，所以，在早先的信息处理中，当对某个信息的描述和理解出现困难时，研究者们往往会将其变换到其它便于描述和理解的变换域进行处理。在这种模型下，奈奎斯特最早提出奈奎斯特采样定律，确定了可以无失真恢复原始信号的最小采用速率，为现在数字信号处理奠定了基础。到傅立叶提出傅立叶变换以后，人类推开了信号稀疏表示的大门。从之前所使用的离散Fourier变化(DFT)、离散变换Walsh(DWT) 、离散Hadamard(DHT) 、离散余弦变换(DCT)，直到90年代风靡全球小波变换理论，其本质都是将信号变换到其它域进行处理[2]。

在此理论下，最著名的静态图像压缩标准当属以离散余弦变换为基础的JPEG和以离散小波变换为基础的JPEG-2000。在JPEG中，图像中的大的非零系数大多被保留在了图像的左上角中DCT变换中，其余部分系数较小，所以仅使用左上角的DCT 系数就能对图像内容进行较好的近似表示，有利于图像的压缩。而在JPEG-200中，小波系数中幅值较大的系数更少，系数分布更加稀疏,能够采用更少的数据对图像进行表示。对大多数类型的图像， JPEG-2000 比JPEG 拥有更好的图像压缩性能。

此后，在很长一段时间里，小波都以其强大的实用价值和理论体系受到了人们的广泛关注。但是，小波变换不能有效的表示出图像中的线状奇异性，只是对点状奇异性的对象表现出良好的效果，这就造成了小波推广到多维信号处理时的局性。其不足之处表现在变换不具备平移不变性以及对具有各种方向性的集合奇异特性的表示不稀疏。基于小波变换的缺点和劣势，在上世纪九十年代末开始。Donoho、Mallat、Coifman、Daubechies等学者和研究人员提出了一系列的与小波变换类似但也不完全一样的一类新的方法，这一类方法在2003年的纯粹应用数学（Pure and AppliedMathematics）会议上被统一定义为“几何多尺度分析方法”。具有代表性的如Ridgelet、Curvelet、Bandelet、Contourlet等[3]。这类方法为信号稀疏表示的发展提供了一种新的途径，并解决了小波方法未能解决的方向性问题。在此之后国外对几何多尺度分析的研究非常活跃，各类新的概念、理论、方法层出不穷。 多几何分析工具往往只能表示出信号的某一特定特征，例如纹理，边缘等。Coifman、Wickerhauser和Mallat、Z.Zhang[4]先后在1993年提出了将信号在过完备基（over-complete dictionary）上分解的思想，即信号的稀疏表示方法。将信号在过完备基上进行分解，可以得到信号的一个非常简洁的表达式。这种新的理论可以获得更加稀疏的信号表示。随后Mallat在1994年提出了匹配跟踪算法（MatchingPursuit,简称MP），用于实现图像的稀疏分

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解。这一算法之后又被扩展为OMP正交匹配跟踪算法。基于针对图像的稀疏分解方法，目前已经发展出了多种算法，包括BP、MP、OMP算法等。在此类方法中，用于图像稀疏分解的过完备基的构造和选取是其中十分重要的一个环节。这一点也在随后研究者的研究成果中得到了验证。所使用的过完备基由最先的固定基，如小波包、Bandelet等之类，逐渐发展成了现在的基于样本的学习算法，常见的有：最大似然法，最优方向法（Method of Optimal Direction,MOD）、K-SVD字典方法、最大后验概率法等[5]。通过研究发现，使用过完备基对图像进行稀疏表示可以获得更好的图像质量。

国内对稀疏表示的研究近些年也开始日益发展起来，并取得了长足的进步。国内学者们已在这一领域发表了大量的论文，涉及图像处理的多个方面，其中包括识别、去噪、超分辨率等，引起了同行的关注，并在国际上造成了一定的影响力。

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第2章 信号的稀疏表示理论

2.1 数学基础及相关说明

信号表示实际就是把给定的信号在己知的函数(或矢量)集上进行分解,然后在变换域上表达原始信号。这种在变换域上用尽量少的基函数来(准确地)表示原始信号，就是信号的稀疏表示，而得到信号的稀疏表示过程就是稀疏分解。

对于信号矢量gi??9?(其中，i—信号时频参数组，i=1,2,,,k,N—信号长度)，由其组成

N的集合构成了一个过完备原子库，也称之为词典D，词典中的元素被称为原子。

设D = {gi}为用于进行信号稀疏分解的过完备原子库，其元素是在整个Hilbert空间H=?9?的单位矢量。由于原子库的冗余性(i >>N)，矢量gi不再是线性无关的[6]。一般地，

N对于任意给定的长度为N的实信号f?H，用少数的原子(与信号长度相比较而言)就可以表示信号的主要成分，即

m?1j?0f??cjgij,m??N

(2.1)

式中， j是原信号分解的原子个数；cj是信号f在原子gij上的分量，无因次；gij是

由参数组i定义的原子，无因次；ij第j个原子对应的时频参数组，无因次。式(2.1)中，关在于如何从各种可能的线性组合中寻求出分量最为稀疏的一个解。理论上，以上问题可以通过线性规划的方法加以解决，但由于算法所涉及的计算量非常大，因此，早期的研究主要集中在寻求快速算法和降低算法复杂度，以及选择何种类型的原子来造合适的词典等方面。最近几年，许多研究者尝试通过分析冗余词典的互不相干性来寻求新的解决办法。

2.1.1 从逼近论到过冗余稀疏表示

从逼近论的角度，信号的表示可以分为：线性逼近和非线性逼近。线性逼近是将信号f投影到从规范正交基B??gm?m?N中事先选取的M个向量上。

M?1 fM?m?0?f,gmgm (2.2)

而非线性逼近是根据信号的性质选取M个向量gm,改进(2.2)式的线性逼近结果。记IM为这 M 个向量的指标集，则 f 的逼近为：

fM?其逼近误差为：

m?IM?f,gmgm (2.3)

ε?M??f?fM

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2?n?IM?f,gm2 (2.4)

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为使上面的误差最小，选择M个向量使得内积的幅值f,gm, 是前M个最大的。因此按照逼近论的思想，逼近的目标是为了选择最能刻画信号固有性质的基，在变换域用尽量少的系数来描述信号。

相对线性信号，能够通过选择更广泛的函数类里的向量来替代原来的基底，用这些向量来对非线性信号逼近，可以改善逼近质量。此时，为了更好的表示信号，基的正交性也不是必要的，这样，就可以有更大的自由度去选择逼近元。

由此，可以给定一个集合D??gk,k?1,2?,K?，把这个集合称为字典(或原子库)，集合中的元素称为原子，这里K>>N, N为信号的长度，所以这个字典是过冗余的,用字典中少量的原子对信号进行逼近,即:

fM??αgγγ?IMy (2.5)

而由于N>>M,所以也把这种逼近称为稀疏逼近。这种系数αγ不是唯一的，可以通过应用的不同而灵活的选取系数，一般的从众多系数的选择中选取最为稀疏的系数，也即系数矩阵里为零值的占大多数，仅含少量的非零系数，但是只需要通过这几个大系数就能够很好的展现出信号的本质特征。这样在实际应用中我们仅用少量的几个系数就可以对信号进行描述，简化后续处理的工作量。这个稀疏度可以用范数l0进行度量，建立如下的数学模型并将下面的问题称为P0问题：

P0：minα0,s.t.fm??αkgk (2.6)

k?0K?1l0范数是lp范数中p?0的情况，定义为α中非零元素的个数。将字典中的所有原子

作为列向量依次排列，可以构成一个N?L?L?N?的矩阵，记为Φ。用矩阵(向量)的形式来表示原有的稀疏表示模型：

minα0s.t.f?Φα (2.7)

矩阵的分解过程中可以看到系数矩阵α中的非零值仅占很小的比例，达到了稀疏的要求。

2.1.2 稀疏性的度量

在上一节中我们看到，过完备稀疏表示问题可以用一个有约束的l0范数问题等价和度量，但是由于l0问题是 NP-Hard 问题，现有的算法无法解决，所以只能另辟蹊径用其他方法对它进行近似。lp范数准则可以在对稀疏表示系数的非零个数度量的同时兼顾信号的重建误差，在数学分析理论中通常是使用lp范数进行稀疏度量，将lp范数定义如下[7]：

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xp?p????xi??i?1/p (2.8)

当 0

同上面所提到的用l0范数对信号稀疏程度度量的方法相似，稀疏因子(SF，SparseFactor)也是一种度量手段，l0范数方法是计算系数中的非零项的个数，以此进行度量，而稀疏因子是计算非零项个数与总系数个数之间的比值。定义如下:

SF?#?i,xi?T?/#?x? (2.9)

实际中，系数并不是绝对为零的，而是系数间相互比较，得出大幅值和小幅值，所以一般将系数通过阈值的方法进行划分，而不是用零。除此之外，式(2.3)的非线性逼近误差也是衡量标准之一，它体现了用逼近元表示信号时的稀疏程度或者分解系数的能量集中程度，当然这个值是越小越好。

2.1.3 唯一性和不确定性

第一节中提到，可以将精确的过完备表示用一个欠定线性方程组f?Φα(Φ为满秩阵，

Φ?RN?L,L?N)来表示，那么就会有下面两个问题:

Q1:什么条件下可以唯一的确定稀疏解？

Q2:能否确定候选解是全局最优也就是保稀疏的呢？

研究者们经过严密的推导得到下面的定理，回答上面的问题。 首先给出两个定义[8]：

定义 1：矩阵 A 的 spark 是让 A 中具有相关性的最少的列数。

spark(A)?mindd?00s.t.Ad?0 (2.10)

定义 2：字典的相干系数为字典中不同的原子间的内积的绝对值的最大值。

μ?maxΦi,Φj (2.11) i?j 正交基的相干系数为 0，字典的相干系数越小，与正交基越相似。当相干系数为 1时，则意味着字典里至少有两个一样的原子。

定理1.1 唯一性定理 ：如果给定的欠定系统存在某一稀疏解?满足

α0?spark(Φ(a)) (2.12)

其中spark(Φ(a))定义为字典Φ中任意一组原子线性相关时所需的最小个数，则该解是唯一

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的且为最稀疏解。

定理 1.2 如果一个线性方程组f?Φα有一个解α,满足

1α0?(1?1/u(Φ)) (2.13)

2那么这个解必然是一种最稀疏的可能情况。

以上两个定理就可以充分解答以上的两个问题，在有了唯一解的情况下，满足定理1.2就可以确定唯一的稀疏解。

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第3章 图像稀疏表示基本理论的发展

3.1 从傅里叶到小波

自从法国著名学者Fourier提出傅里叶变换以来，傅里叶变换一直是处理各种平稳信号的主要工具。傅里叶变换揭示了时域与频域之间的内在联系，反映了信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。但它不能反映非平稳信号在局部区域的频域特征及其对应关系，即不具有时间局域化能力。而实际问题中的信号往往都是非平稳信号，并且信号处理主要关心的是信号的突变。由于这些突变与傅里叶基函数并不十分相似，因此傅里叶变换不能对这些信号进行稀疏表示。

为了克服傅里叶变换的局限性，Gabor提出了窗口傅里叶变换(也称 Gabor 变换)。它的基本思想是通过对信号进行加窗，再对加窗后的信号进行傅里叶变换。由于窗口傅里叶变换中时间窗和频率无关，因此它仍然是一种恒分辨率分析。利用窗口傅里叶变换对信号进行分析时，相当于用一个形状、大小和放大倍数相同的“放大镜”在时－频相平面上移动，以此来观察某固定长度时间内的频率特性，这种做法并不适合信号本身的规律。实际中，对信号的低频分量必须用较长的时间段才能给出完全的信息；而对信号的高频分量必须用较短的时间段以给出较好的精度，即窗口大小应随频率变化。

小波变换理论和方法是从傅里叶变换演变而来的。小波变换以牺牲部分频域定位性能来取得时－频局部的折衷，它不仅能提供较精确的时域定位，也能提供较精确的频域定位。自小波变换提出以来，它已成功应用于诸多学科领域，尤其是在图像、视频等信号处理方面。小波变换的成功，得益于它对信号的时－频局域分析能力以及它对一维有界变差函数类的最优逼近性能。对于具有点状奇异性的目标函数来说，小波基是最优基。它能有效表示信号的零维奇异特性，即反映奇异性的位置和特性。对一维有界变差函数f，设其在[0,1]上具有有限个不连续点，且在这些不连续点之间是一致 Lipschitz α 的，则小波变换 M项非线性逼近误差ε?M?为OM?2α，傅里叶变换非线性逼近误差为O?M?1? 。无疑，小波变换比傅里叶变换能更稀疏地表示一维分段光滑或有界变差函数[9]。

然而，小波变换在一维情况下所具有的优异特性并不能简单地推广到二维或更高维。常用的二维可分离小波是由两个一维小波的张量积形成，其基函数仅有水平、垂直、对角三个方向。二维可分离小波变换仅能描述三个方向的奇异性，而事实上图像中特征的方向远远不止三个。用二维小波变换对图像进行表示时，由于小波变换并没有充分考虑图像本身的几何正则性，因此图像中的几何特征会同时出现在不同的小波系数子带，造成表示的不稀疏性。

将原始信号f(t)表示成有限或无限项基函数的加权和。即，

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f(t)??cmgrm (3.1)

m?0M?1式子中f(t)表示原始信号，cm被称为变换系数或者展开系数，grm为基函数。

式(3.1)表示了一种通用的信号表示方法，将信号转化到变换域以便能更加方便的对其进行处理和应用。根据基函数grm不同，通常将信号分解分为两类：正交基展开和基于过完备原子库的展开，即稀疏分解。

当我们使用一组相互正交的函数作为(3.1)式中的基函数时，这一信号分解过程就被称为正交分解。最常用的有傅立叶变换、余弦变换和小波变换。

3.1.1 傅立叶变换

傅立叶变换最先将信号从时间域转换到频率进行处理，这点在信号处理技术发展中起到了举足轻重的作用。傅立叶变换反应了信号在整个时间范围内的全部的频谱成分，将信号从时域转换到频域上，在频域里对信号进行所需要的处理，并最终变换到时域上得想要的结果。图像数据而言，二维傅立叶变换对应关系如下：

F?ω1,ω2??m???n?????f?m,n?e???jω1m?jω2me (3.2)

1ππf?m,n??2??F?ω1ω2?ejω1mejω2mdω1ω2 (3.3)

4π?π?π 式为二维的傅立叶变换及其反变换。其中f(m,n)为原始图像信号，ω1ω2表示频域分量，

ω1ω2的取值范围为-π?ω1，ω2?π。

傅立叶变换虽然在平稳信号的处理中显示出了强大的优越性，但是在实际问题中依然有其局限性，其局限性表现在傅里叶变换为全局变换，无法反映信号的局部频率特征，此外信号往往并非平稳信号，而且信号处理更加关注的是信号的突变，这些突变与傅立叶基函数通常并不十分相似，这也就限制了傅立叶变换在非平稳信号上的信号表示能力。

3.1.2 余弦变换

傅里叶变换由于使用的系数都为复数，所以信号表示的数据量往往是实数形式下的两倍，这也成为了傅里叶变换的一个很大的问题。离散余弦变换（DCT）的出现在一定程度上克服这一问题，找到了一种能够实现相同功能但是数据量又不大的信号表示方法。使用不同的频率和幅值的正弦函数来近似表示一副图像就是图像的二维 DCT 变换，在图像的 DCT 变换中大部分的可视化信息集中在少数的 DCT 数上。这一特性也就是 DCT 变换成为了 JPEG 压缩标准的核心表示方法原因。压缩方法也与傅立叶变换类似，对高频系数大

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间隔量化，低频部分小间隔量化。 离散余弦变换定义如下：

M?1N?12?π??π?2y?1?v?F?u,v??c(u)c(v)??f(x,y)cos??2x?1?u?cos? (3.4) ?2N2MMN????x?0y?02F?x,y??MNM?1N?1??u?0v?0?π??π?2y?1?v?c(u)c(v)f?u,v?cos??2x?1?u?cos? (3.5) ?2N2M???? 式3.4、3.5 为离散余弦变换的正变化以及逆变换。其中0?u?M?1,0?V?N?1，

0?x?M?1,0?y?N?1。

3.1.3 小波变换

小波变换理论是从傅立叶变换演变而来，可以根据需要选取所需的时间或者频率精度，是一种以牺牲部分的时域性能来获得一定的频域内性能的方法。小波是从一个单一函数（基函数，或者叫基本小波）通过在时域的尺度变换与位移产生函数。用ψ?t?来表示基本小波，其他小波?α,b?t?则可以表示为：

?α,b(t)?1α?(t?b) (3.6) α 这里，a 和 b 是两个任意实数。变量 a 和 b 分别表示在时间轴上的尺度变换和位移参数。从傅立叶变换到余弦变换再到小波变换，在正交变换的范畴内，信号处理的能力也在不断加强。但是正交变换在二维以及更高维的信号表示能力依然不尽人意。就小波而言，常用两个一维小波的张积量来形成一个二维的可分离小波，其中只水平、垂直、对角三个方向能够被基函数表示出来。而实际过程中信号的特征方向往往远不止三个。这也是造成正交变换信号表示结果不够稀疏的原因。

3.2 超完备图像表示

与调和分析中的傅里叶变换与小波变换不同，超完备表示不是通过基来对图像进行表示，而是采用函数的任意字典。字典D由一组函数组成，并且这组函数至少能张成整个空间。例如，正交基可以称为字典，两个正交基的联合同样可以称为字典。超完备图像表示是通过超完备的冗余函数系统对图像进行自适应地表示，图像的表示随字典变化，表示更为灵活。

字典的使用意味着超完备的函数集。字典可以由任意函数集组成，甚至不同的函数族也可以存在同一个字典。在这种情况下，一个字典可以由不同的子字典构成。通常，字典的选取必须依据实际的应用。如果要确保图像存在稀疏表示，则要求字典中的基函数必须

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具有几何结构特征。相反，如果要得到图像最稀疏的表示，则要求所用字典具有有限的冗余性。而基于稀疏图像表示的应用研究，则要求字典的基函数必须具有某些特定的特征，如人眼视觉系统特性。根据生理学家和人类视觉系统的研究结果和自然图像统计模型，一种“最优”的图像表示方法应该具有如下的特性[10]：

(1) 多分辨率，能够对图像从粗分辨率到细分辨率进行连续近似，也即“带通”性； (2) 局域性，在空域和频域，该表示的“基函数”都必须是局部的；

(3) 方向性，表示的“基函数”应该具有不同的方向，不仅仅局限于二维可分离小波的三个方向；

(4) 各向异性，“基函数”应该具有不同的形状，特别地具有不同的纵横比，这样有利于更稀疏地表示图像的轮廓。

3.3 超小波图像稀疏表示

最近几年，出现了一些新的图像变换表示方法： 如脊波( Ridgelet)，曲波(Curvelte)，轮廓波( Contourlet)，线波(Beamlet)，楔波( Wedgelet)，板波( Platelet) 等。这些方法的基本思想是为了使基函数能更好地表现图像特征，放宽了对基函数的正交性要求，改用一组超完备的框架基作为图像稀疏表示的原子。事实证明，基于超小波变换的图像表示方法可以更加稀疏地表示图像。

超小波关注如何表达图像的不连续性( 或奇异性) ，沿袭小波的理论模式，构造出一些列能够多分辨力表达图像的基或标架，这些超小波的母函数具有各向异性的特点，通过灵活地调整基的方向和支撑区间的形状，可以用较少的系数快速有效地捕捉图像的奇异信息。它们具有下列共同特点：

（1）具有几何规则性，能够逼近图像中任意方向的线或曲线的不连续性； （2）有容易计算的分析(正变换)和综合(反变换)表达；

（3）对分析(变换) 域的结果有明确的物理解释，便于实施去噪，压缩的近似处理，以及超分辨重建的进一步工作。

3.3.1 Ridgelet (脊波) 变换

1998年，Candes在他的博士论文中提出“Ridgelet (脊波)”的概念。脊波变换是用一系列脊函数的叠加来表示相当广泛的函数类，同时具有基于离散变换的“近似正交”的脊函数框架。脊波的理论框架是由Candes和Donoho完成的，脊波能够对直线状和超平面状的奇异性进行很好的逼近。数字脊波变换的核心思想是利用Radon变换把线状奇异性变换成点状奇异性，再利用小波变换来处理Radon域的点状奇异性。因此对于具有直线奇异的函数来说，脊波的表示是最优的[11]。

设f是Cα的函数，且沿某一直线是不连续的，除此之外均为α阶连续，则函数f的脊

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波变换M项非线性逼近误差衰减速度为：

ε(M)?f?fM?CM?α (3.7)

遗憾的是，对于含曲线奇异的多变量函数，脊波的逼近性能仅相当于小波，不具有最优的非线性逼近误差衰减阶。为了较好地解决含曲线奇异的多变量函数的稀疏表示问题，Candes 又提出了单尺度脊波变换的概念，并给出了其构建方法。单尺度脊波变换的基本思想是利用剖分的方法，用直线来逼近曲线。

2设函数f?L2?0,1?，用二进方形Q?k1/2s,(k1?1)/2s?k2/2s,(k2?1)/2s剖分区域

2?????0,1?2，其中，剖分尺度s>0，k1,k2为整数。设Ωs表示剖分尺度为s时的全体二进方形集合，

对每个块Ωs进行脊波变换得到脊波系数。设f是Cα的函数，且沿某一直线是不连续的，除此之外均为α阶连续，则函数的单尺度脊波变换M项非线性逼近误差衰减速度为：

ε(M)?f?fM?C?max(M?α,M?3/2) (3.8)

由于单尺度脊波变换的基本尺度是固定的，导致了函数逼近的不稀疏性。

23.3.2 Curvelet (曲线波) 变换

Curvelet(曲线波)变换理论由 Candes 于 1999 年提出，它由脊波变换理论衍生而来。曲线波变换克服了单尺度脊波变换固定尺度的缺陷，对曲线状奇异特征具有稀疏的表示。曲线波变换的发展经历了二代，第一代曲线波变换主要基于脊波变换，其数字实现比较复杂；第二代曲线波变换通过对信号频谱的多方向分解实现信号的多方向分解，它借助快速傅里叶变换，其数字实现更加简单、快速。第一代曲线波变换的主要步骤如下：

步骤 1. 对图像进行子带分解；

步骤 2. 对分解出的子带进行平滑分割处理； 步骤 3. 对分割出的子块进行正则化处理；

步骤 4. 对正则化后的块进行脊波变换，得到曲线波变换系数。

第二代曲线波变换利用构造出的多方向多尺度频率窗对信号频谱进行分解，因此其关键在于方向多尺度频率窗函数的构造。在数字实现过程中，Candes 提出了两种实现方案，即非等空间隔快速傅里叶变换(Unequally-spaced Fast FourierTransforms, USFFT)法和频率Wrapping 法[12]。第二代曲线波变换实现步骤如下：

步骤 1. 对图像进行二维傅里叶变换；

步骤 2. 用构造出的窗函数对图像频谱进行分割，得到方向频谱子带； 步骤 3. 对方向频谱子带进行反傅里叶变换，得到曲线波变换系数。

曲线波变换对曲线具有稀疏表示的重要原因在于，它的基函数的支撑区间表现为长方

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形，且满足尺度关系width?length2，即满足“各向异性尺度关系”。对于支撑在?0，1?上的

2C2函数f，设其沿曲线奇异，则曲线波变换对该函数的M项非线性逼近误差为：

ε(M)?f?fM2?C?M?2?(logM)3 (3.9)

3.3.3 Contourlet 变换

2003年，Do 和 Vetterli提出了一种新的图像多尺度几何表示方法－Contourlet变换。它继承了曲线波变换的各向异性尺度关系，基的支撑区间具有随尺度变换的“长方形”结构，具有良好的各向异性，能沿着图像轮廓边缘用最少的系数来逼近奇异曲线。与小波变换和其它多尺度几何分析方法不同，Contourlet理论首先完成的是离散域的Contourlet构建。与第二代离散曲线波变换不同，Contourlet变换通过空域的方向滤波器来实现图像的多方向分解，而第二代离散曲线波变换通过频域的方向滤波器来实现图像的多方向分解。

Contourlet 变换中尺度分析与方向分析是独立进行的，其数字实现主要包括两步： 步骤 1. LP (Laplacian Pyramid, LP) 滤波。使用 LP 滤波器对图像进行子带分解，以捕获二维图像信号中存在的点奇异。一次 LP 分解将图像信号分解为原图像信号的近似分量和高频分量；

步骤 2. 多方向滤波。使用方向滤波器组(Directional Filter Bank, DFB)对高频分量进行方向变换，将分布在同一方向上的奇异点合成一个系数。

Contourlet变换具有“最优”变换所必须具备的条件，能稀疏地表示图像轮廓边缘。对于支撑在?0，1?上的C2函数 f ，且沿曲线奇异，则Contourlet变换对该函数的M项非线

2性逼近误差为：

ε(M)?f?fM2?C?M?2?(logM)3 (3.10)

这与曲线波的逼近效率是完全相同的。因此，Contourlet变换可以认为是一种近似的曲线波变换。但与曲线波变换系数相比，Contourlet变换系数的冗余度要小得多。

3.3.4 Bandelet 变换

Bandelet变换最早是由Pennec和Mallat于2002年提出的，它是一种基于图像边缘的表示方法，能自适应地跟踪图像几何正则方向。Bandelet变换引入几何矢量流，对图像空间结构灰度值变化的局部正则方向进行刻画，自适应地获得图像的最稀疏表示[20]。 Bandelet变换提出至今经历了两代，第一代Bandelet变换由于要对原始图像重采样，并要把任意几何方向弯曲到水平和垂直方向，进而借助二维可分离小波变换来处理，实现复杂度较高。第二代Bandelet变换巧妙地借助多尺度几何分析和方向分析，既保留了第一代Bandelet的优点，又能获得更简单的运算。

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第一代 Bandelet 变换首先采用四叉树 (quadtree) 对原始图像作二进连续剖分，直到每剖分子块中只含唯一的一个边界，并将相应的子区域分别标示为水平区域、垂直区域、正则(或光滑) 区域或角点区域；然后通过弯曲 (warping) 算子把相应区域内的边界弯曲至水平或垂方向；最后借助二维可分离小波来处理这种水平和垂直奇异性。Bandelet 变换实现过程中需要进行重采样操作，为避免二进剖分时带来块状效应，在块与块相接的边界处引入仿射函数，并采用改进的提升程序。

第二代 Bandelet 变换避免了重采样和弯曲等繁杂操作，通过多尺度分析和几何方向分析共同完成图像的分解。多尺度分析通过二维小波变换完成，几何方向分析通过几何正交方向上的一维小波变换完成。首先对图像进行二维小波分解；然后对高频系数图作二进四叉树剖分，自底向上对四叉树进行修剪；最后分别找出平行于子块中实际几何方向的方向，通过这个方向上的正交投影，将二维小波系数转换成一维离散信号，采用一维小波变换对该离散信号进行分析，得到 Bandelet 系数。

设f是Cα的函数，除轮廓线外，函数为α阶连续，则Bandelet变换M 项非线性逼近误差性能为：

ε(M)?f?fM2?CM?α (3.11)

从上式可以看出，Bandelet变换对轮廓线状奇异性的非线性逼近性能与Ridgelet变换对线状奇异性的非线性逼近性能一样。

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第4章 图像稀疏字典的设计和构造

4.1 图像的稀疏分解

当基于正交分解的信号表示方法已经不能满足研究人员的要求的时候,Coifman 和 Wicker hauser 等提出了稀疏分解的概念。以小波变换为基础，Mallat 和 Zhang 提出了信号在过完备基上分解的思想。其基本思想就是：用一种过完备冗余函数来替代之前用于信号分解的基函数，这种新的过完备冗余函数被称之为原子库。同时在图像稀疏表示中，我们将原子库改称为字典。字典的选择并没有任何特殊的限制，以让信号能够尽可能好的符合被分解的信号为准。这一过程被赋予了新的名称：信号的稀疏分解（Sparse decomposition）。

4.1.1 稀疏分解的定义

给定一个集合D??gγ,γ?1,2,...Γ?，其中的元素可以张成完整的 Hilber 空间H?RN的单位矢量，Γ??N，我们把其中的元素称之为原子（或者基函数），对于任意的给定的

N?N维的图像信号s?H，都可以将其表示成为gγ迭加的形式：

s??αgγγ??γ (4.1)

上式表示在集合 D 的字典中选取一定个数的原子对信号 s 进行逼近。其中为展开系数。如果字典 D 能够张成为一个完整的 Hilber 空间，则称字典 D 是完备的（Complete），如果Γ??N ，则称字典为冗余的，如果冗余字典同时能够张成完整的 Hilber 空间则称 D 为过完备的（Overcomplete）。对于过完备字典，矢量gγ内的原子不是线性无关的，因此式 4.1 中的信号表示是非唯一的。

表示结果的不唯一性也就意味着我们可以根据需要选择最合适的表示系数，这恰恰为图像的自适应表示提供了可能。在稀疏分解的结果中，最好的结果是表示系数中系数向量的大部分分量为零，仅存在少数的非零系数，而这些非零系数又能很好的揭示图像的内在结构。采用l0范数的稀疏性度量，过完备稀疏表示可以从所有表示中找出分解系数最为稀疏的一个，即，

argminα0subjecttos?Dα (4.2)

其中l0范数为lp范数p?0时的极限形式，表示系数中非零项的个数。对于式 4.2 而言，通常将其转化为稀疏逼近的问题，

argmine2subjecttos?Dα?eandα0?k (4.3)

α

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即稀疏表示原子个数为k 时，求残差 e 的最小表示。反之，用非零项的个数 作为约束项，最大化残差，则以上问题又可以转化为：

argminα2subjecttos?Dα?eande0?k (4.4)

α其中 ε?0，组合（4.3）和（4.4）式定义的两个问题，对非零项的个数以及稀疏逼近误差取一个折中的值。即，

argmins?Dα2?τα0 (4.5)

在此，不同约束条件下的最优化问题代替了信号过完备稀疏表示的问题。当字典为正交基时，得到其稀疏表示是非常容易的，但是当字典为过完备冗余字典时，求解其最优化问题是一个 NP 难的问题。

?2?4.2 过完备字典

通过在过完备字典上对信号进行分解，可以自适应的根据信号的结构和特性对表示信号的原子进行选择。在此情况下，字典的选取，以及如何构造过完备字典就成了一个很重要的问题。因此在信号稀疏分解的过程中存在两个很重要的环节：一是过完备字典的形成，二是最佳原子的搜索。

我们已经知道，能否对图像信号形成稀疏表示以及表示是否符合图像的结构特征，取决于字典自身的结构以及字典中的原子与图像信号的匹配程度，越与图像匹配的原子越能形成稀疏表示。

4.2.1 分数频率法

通常来说，直接通过正交变换所获得的字典为完备字典，能够独立的张成空间，为了通过完备字典得到过完备字典，这里引入分数频率法。分数频率法是一种把完备字典扩展到过完备字典的方法。其本质在于将一个正交变换得到的完备字典，通过对其频率做更加精细的遍历和抽样，以获得一个过完备的字典[13]。

以傅立叶字典为例，我们知道傅立叶字典就是一组正弦波的集合，设正弦波集合为

Φ(ω,v)其中ω??0,2π),v??0,1?。可得，

Φ(ωω0)?cos(ωt) (4.6) Φ(ωω1)?sin(ωt) (4.7)

标准的傅里叶字典中，遍历频率按如下方式选择：对于正弦，ωk?2πk/n，k=0,1... n/2;对于余弦ωk，k=1,2...n/2-1。

标准的傅里叶字典中含有 n 个原子，各个原子相互正交，组成一个完备的字典。为

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了得到过完备的傅里叶字典，将标准傅里叶字典采用如下方式遍历：对于正弦，

ωk?2πk/ln,k?0,1...ln/2;对于余弦，ωk,k?1...ln/2?1。

完成遍历过程后，原先的完备傅立叶字典将会变成一个新的l倍的过完备字典。采用相同的方法可以得到其它正交变换的过完备字典，如过完备离散余弦变换字典或过完备小波字典等等。

4.2.2 图像稀疏表示字典的选择和构造

事实上，在早前的多尺度分析中就已经对上述的最佳变换表示方法的逼近方法有了一定的体现，只是几何多尺度分析只能最优的表示某一特定类型的结构信号。所以为了能够稀疏的表示图像中的各类信息，例如边缘、纹理、轮廓等，通常需要一个足够大的过完备字典，字典内的原子能够匹配各类图像结构的特征。

理论上来说，在极限情况下甚至需要一个 Hilber 空间中的所有信号构成的无限大的字典，当然这种情况在现实中显然是没有任何实际意义。为了提高图像的稀疏表示能力，目前主要采用以下几类方式来选择和构造图像稀疏表示字典：

（1） 直接采用常用的正交基、多尺度几何分析工具作为稀疏表示字典。例如离散 DCT 字典，小波字典以及 Curvelet、Bandelet 等等一系列几何多尺度分析工具。优点在于具有快速的变换和反变换算法，缺点是受字典特性的影响大，不能充分稀疏的表示信号和图像。 （2） 组合不同的正交基来构造字典，不同的正交基可以与图像中不同的几何特性进行匹配，得到更加稀疏的表示。这种方法在当今的图像处理字典构造问题中得到了广泛的应用。 （3） 通过学习的方法得到稀疏表示字典，如 MOD 算法、K-SVD 算法、CNDL-FOCUSS 以及在线学习算法（Online Learning）等等。该方法是基于给定的训练样本集，通过学习算法学习出特定的稀疏表示字典。由于给点的样本通常符合目标图像的结构特性，该方法往往能得到良好的表示结果。但是缺点在于计算复杂度较高。

4.3 稀疏分解算法的实现

从 1993 年 Mallat 和 Z.Zhang 提出应用过完备基对信号进行稀疏分解的思想以来，研究者们又先后提出了多种稀疏分解算法，较著名的如基本跟踪算法（BP）、匹配跟踪算法（MP）、正交匹配跟踪算法（OMP）、框架方法（MOF）和最佳正交基方法（BOB）等。本节主要对 BP、MP 及 OMP 算法做详细介绍。

4.3.1 BP 算法

前面我们已经知道，想要找到最好的最稀疏的稀疏表示，等同于求解下述问题：

minαα0subjecttos?Dα (4.8)

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其中α0表示表示系数中非零项的个数。但是从一个随机冗余的原子库中寻找信号的稀疏表示的是一个 NP 难的问题，为了解决这一难题，BP[14] 算法的提出者将上式转化为下面的问题，

minαα1subjecttos?Dα (4.9)

BP 算法的基本思想是将零范数的问题转化为 1 范数下的问题来求解，这一修改转化了问题的本质。事实上，最小化 1 范数是一个较为简单的问题，可以通过线性规划的方法求解其结果。BP 算法结合了当前线性规划以及基于原子库结构的特定快速变换，但仍然具有很大的计算复杂度，对于结构特性不好的原子库来说并不是一种可靠的算法。

4.3.2 MP 算法

在信号和图像的分解方法中，MP[15] 算法是较早提出的，其优点在于算法原理简单，易于理解，并且算法复杂度也是所有稀疏分解算法中最低的，因此也是目前最为广泛运用的稀疏分解方法。

MP 算法是一种贪婪算法，通过选取字典中与信号最匹配的项来迭代构造出信号的逼近。贪婪算法由 Devore 等人首先提出，最早用于解决统计上的问题。算法思想表述如下： 在 Hilbert 空间Γ中给点字典D??gγ,γ?1,2,...??,gγ设定初始值R0s?s，信号首先被分解为：

22 s为待分解信号，且s??。 ?1，

R0s??gγ0,R0s?gγ0?R1s (4.10)

其中gγ0为字典中信号内积最大的原子，R1s表示用原子gγ0信号 s 产生的残差。

gγ0st.?R0s,gγ0??max?R0s,gγ? (4.11)

由于gγ0与R1s是正交的，可以得到

同理可得，

Rs??gγ0,Rs??Rs020212 (4.12)

R1s??gγ1,R1s?gγ1?R2s (4.13)

上述过程经过 M 次迭代后，信号可以表示为：

s???gγm,Rms?gγm?RMs (4.14)

m?1M?1其中，RMs为 M 项的近似残差，并满足下式，

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Rs?s??gγm,Rs (4.15)

Mmm?022M?12由上面的分析可知，MP 算法的最终结果是收敛的。在 MP 算法的信号分解过程中，每一步都要计算一次信号分解的残差，并完成残差在每个过完备字典原子上的投影计算，因此实际上每一步的稀疏分解都要进行很多次的高维空间内的内积运算，MP 算法在本质上属于多次的迭代算法，所以虽然说 MP 算法是众多稀疏分解算法中计算量较小的一个，但是其信号稀疏分解的计算量仍然是非常巨大的。

在实际的运用中，MP 算法的实现主要用两种方式，如图4.1和4.2 所示，两种算法的最大区别在于是否先构成过完备字典，为了分析这两类算法的区别。先以第一类算法为例来说明 MP 算法流程。

开始 开始 输入待分解信号 输入待分解信号

设置分解参数 设置分解参数

形成过完备原子库

形成原子，寻找最佳

的原子，删除形成的

原子 在过完备原子库中寻找最佳原子

从信号或信号残差中减去最佳原子从信号或信号残差中减去最佳原子

中的分量，完成一步分解 中的分量，完成一步分解 N N 分解完成 分解完成 Y Y 保存分解结果 保存分解结果 结束 结束

图4.1 第一类算法 图4.2 第二类算法

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第一步，设置分解参数。对于给点的信号，为了对其进行稀疏分解，首先要针对信号的特征以及稀疏分解的用途选取适当的参数。这些参数包括字典的结构、相干性以及原子的稠密程度等等信息。

第二步，形成过完备字典。根据选定好的参数挑选或者构造合适的稀疏字典构造方法及原则如上节所述。在实际的运用中，过完备字典往往非常巨大，需要占据大量的内存来存储字典。

第三步，寻找最佳原子。这一步也就是 MP 算法的核心部分，用于寻找在过完备第四步，完成当前一步分解。运用上步中得到的最佳原子。

第四步，完成当前一步分解。运用上步中得到的最佳原子，去除信号残差在此原子上的分量，并记录下该原子的参数。

第五步，继续分解。重复第三和第四步，直到分解到一定的次数 m，获得 m个稀疏分解原子。终止算法。

显而易见，这两种方法的本质区别在过完备字典的形成方式上，第一类算法的字典形成在稀疏分解之前，但是要求计算机拥有足够大的内存。第二类算法实际上是针对可能出现的计算机内存不足的情况而设计的，在进行稀疏分解的每一步中，一边生成原子，一边搜索最佳的原子，然后在搜索下一个最佳原子之前删除前面产生的原子。可见第二类算法对计算机内存并没有太大的要求，但以此换来的代价是计算量更加大，大大超越了第一类方法。

4.3.3 OMP 算法

OMP[16] 算法是对 MP 算法的一种改进。该算法采用与 MP 算法相同的原子选择方法，都是从过完备字典中找到与待分解信号或者信号残差最为匹配的原子。不同点在于，OMP 算法将选择到的原子利用 Gram-Schmidt 正交化的方法进行正交化处理。在 MP 算法中，对信号在选择原子组成的空间上展开的结果并不是最优的，OMP 算法对原子进行的正交化处理能够很好的解决这一缺陷。

给定字典D?gγ??,且gγγ?Γ22?1，利用正交匹配跟踪对信号 s 进行分解的过程如下。

设定初始值R0s?s，信号首先被分解为：

R0s??gγ0,R0s?gγ0?R1s (4.16)

其中gγ0为字典中与信号残差最小的原子，即展开信号与原子gγ0的内积最大。

gγ0st.?R0s,gγ0??max?R0s,gγ? (4.17)

同理，

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gγ0st.?Rms,gγm??max?Rms,gγ? (4.18)

???原子选定以后，采用 Gram-Schmidt 算法对原子进行 Gram-Schmidt 正交化处理。即，

?gγm,up?pum?gym??u (4.19) 1p?0upm?1此时，残差Rms投影在um上，得，

Rs?m?Rms,um?um2um?Rm?1s (4.20)

上述过程经过 M 此迭代后，信号可以表示为：

s??M?1m?1?Rms,um?um2um?RMs (4.21)

其中，M

s??m?1M?1?Rms,um?um2um (4.22)

从上面的算法介绍我们可以看出 MP 算法和 OMP 算法的区别。MP 算法每一次迭代能够保证当前选择的原子与信号或者信号残差相互正交，但是并不能保证信号或者残差信号与之前已选择的原子张成的空间相互正交，这个缺陷降低了收敛速度。OMP 算法在分解的每一步都要对所选的全部原子进行正交化处理，正交化处理的好处在于对于同样精度的稀疏表示，OMP 算法可以选择更少的原子，这在一定程度上可以加快收敛速度，但是 OMP 算法每迭代一步都要进行一次原子正交化处理，随着原子数量的增加，正交化处理的计算量也会越来越大，使它的算法复杂度也比 MP 算法有了显著的提高。因此，从分解的角度来说，OMP 算法的收敛速度比 MP 算法要快；从分解精度的角度来看，采用相同个数的原子表示原始信号，OMP 算法的稀疏表示精度要高于 MP 算法。

4.4 稀疏字典发展趋势

图像的稀疏字典的发展将会继承现代字典设计的一些理念，比如，局部性、多分辨率、自适应性、几何不变性、过完备性和方向性等。特别地，多尺度几何以及后小波的发展更会推动字典超这些方向发展。针对特殊的图像信号，可能需要结合具体性质的结构字典和

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联合基进行学习；在针对象图像序列或视频之类大容量数据表示时，可能需要在线训练字典。

但是图像的稀疏字典的发展也存在不尽人意的地方，比较突出表现在以下几个方面：首先，字典理论不完善。尽管稀疏理论提出sPark、相参数、Babel函数以及RIP等概念和理论，但是这些理论很少或者根本就没有用于字典的设计和构造[19]。这就可以提出一些问题，比如，训练字典时如何保证其相干参数较小？其次，字典设计和构造没有一个评价的标准。尽管有的学者在这方面作了一些有益的探索，但是在几乎所有关于字典构造的文献中，最终在评价字典的好坏时，都是与具体的求解算法相联系，也就是通过具体的实验的数据所取得的经验来说明字典设计和构造的成功。再次，稀疏字典与稀疏求解密不可分，但现有的设计中两者又可能出现冲突。在贪婪类算法中,通常考察字典的几何性质，而数值优化算法通常考虑字典的代数性质,通常把字典当作一个矩阵处理，这样算法在稀疏求解过程可以利用己有的数值优化算法，但是可能损失稀疏字典潜在的几何特性。本章所涉及到的字典主要是基于数据表示能力的设计和构造，能否设计和构造基于算法的字典？或者同时照顾到数据表示和算法实现的字典如何构造？诸如此类的问题，可能是开放的难题，也是图像的稀疏字典的设计和构造中要努力的方向。

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第5章 不同稀疏表示方法的性能研究

5.1 基于不同小波基的稀疏性能研究

5.1.1 小波去噪原理

小波变换实际上是对函数的分解,小波变换具有带通的功能,即可以利用小波变换将原信号分解成不同频率的信号，每个频率带互不重叠，所分解的频率区间包含了原函数的所有频段。其分解过程可以用图5.1 表示：（WT:Wavelet Transfer，小波变换）

原始信号S

WT

低频信号A1 WT 低频信号A2 WT 低频信号A3 WT 低频信号A4 高频信号D1 高频信号D2 高频信号D3 高频信号D4 图5.1 小波分解示意图

小波变换主要是将信号按照不同频率进行分解,噪声信号主要集中在小波分解的高频层。因此，通过选取合理的阈值可以有效去掉高频部分的噪声信号，进而小波去噪主要包括以下三个基本步骤：

(1)信号的小波分解。选择小波基以及分解层次，计算各层小波分解系数。

(2)高频系数的阈值量化处理。针对每一分解层次选择一个阈值，对高频系数进行处理，去除集中在高频部分的噪声成分。

(3)信号的小波重构。针对每个分解层次，对低频系数和阈值量化处理后的高频系数进行小波重构，获得得去掉噪声后的信号。

在小波去噪过程中,小波基的选择十分重要，不同的小波基对图像稀疏表示的性能有很大的影响。通常用峰值性噪比（PSNR）来衡量重构后图像的质量。

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?(2n?1)2?PSNR?10lg??MSE?? (5.1)

??其中，MSE是原图像与处理图像之间均方误差。PSNR的单位为dB。PSNR值越大，代表失真越少。

5.1.2 实验分析及结论

为了比较不同小波基对图像稀疏表示性能方面的差异，本文设计了如下实验： 对原始图像添加噪声，然后选择不同的小波基对含噪tire 图像进行二层分解，每层都采用同一个阈值进行处理。进行小波重构后，获得小波去噪后的图形。通过比较峰值性噪比（PSNR）及去噪后图像的细节来衡量小波基的稀疏表示性能。

从图5.2可知含噪图像的峰值性噪比为16.1099dB。图5.3-5.5显示经过小波去噪的图像峰值性噪比及图像细节都明显比含噪图像高。其中sym4小波基的去噪图像PSNR最高，为24.4378dB，因此选择为最优小波基。

图5.2 原始图像和含噪图像

图5.3 sym4和haar去噪后图像

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图5.4 db2和coif2去噪后图像

图5.5 bior去噪后图像

5.2 学习字典实验

5.2.1 MOD算法研究

MOD(Method of Optimal Direction)

[17]

算法是由 Engan 等最早提出的的一种简单的字

典学习算法。该算法在每次完成稀疏分解的同时都会更新字典内的所有原子，以此来达到加强表示系数的稀疏性以及减少表示误差的作用。在 MOD 算法迭代的每一步，都运用上一步的字典进行稀疏表示来获得一个稀疏矩阵，随后运用最小二乘法来获得下一个新的字典。

最小二乘法更新字典的数学描述如下：

25

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D(k)?argmins?Dα(k)?sα(TK)(α(K)α(TK))?1?sα(?k)其中 s 为原始图像，D 为稀疏字典，α 为稀疏矩阵。 MOD 算法过程分为如下两步：

2F (5.2)

第一步为稀疏分解（Sparse Coding），该阶段使用固定好的过完备字典，通过 跟踪算法得到稀疏表示系数。

第二步为字典更新（Dictionary Update），该阶段使用第一步得到的稀疏表示 系数运用最小二乘法计算新的字典。

以上两步重复迭代，直到得到想要的结果。 MOD 算法过程描述如下： 初始化：赋值 k=0，

初始化字典：建立D0?Rn?m。 标准化：标准化D0的列。 主循环：k 加 1

稀疏编码阶段：用追踪算法逼近结果

2? αi?argminsi?D(k?1)αsubjecttoα0?k0 (5.3)

α2 字典学习：用下面公式更新字典

D(k)?argmins?Dα(k)D2F?sα(TK)(α(K)α(TK))?1 (5.4)

停止规则：s?Dα(K)2F值的变化满足要求。

输出：想要的结果D(K)。

5.2.2 K-SVD算法研究

K-SVD

[18]

是另一种常用的字典学习算法，K-SVD 算法最早由 Aharon 等提出。在这

个算法中，字典内的原子被循环的更新处理，字典的原子指的就是字典矩阵的列向量。K-SVD 每次更新字典内的一个原子，更新时保持除了该原子以外的其他原子不变，并同时更新稀疏系数的表示参数。为了得到新的字典和稀疏表示系，重写（5.2）为：

26

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s?Dα2F?s??djαTjj?1F2T?(s??djαT)?dαjj0j0j?j0Fm2 (5.5)

T 在这个描述中，xTj表示 X 的第 j 行。这个更新步骤能够同时得到aj0和xj0，并将此

时的表示误差矩阵表示为，

Ej0?(s??djxTj) (5.6)

j?j0假设需要选取的原子数个数为 1 时，并且将表示系数二元化（1 或者是 0），上述问题将会变成一个简单的 K 均值聚类问题。并且字典的训练过程将会类似于熟悉的 K-means 算法。在每一次迭代的过程中，K-means 算法都会计算一次均值，而在 K-SVD 算法中每次都会基于不同的子矩阵计算一次 SVD 分解，这也是该算法叫做 K-SVD 算法的原因。

K-SVD 算法与 MOD 算法相同依然包括稀疏分解以及字典学习两个步骤，稀疏分解部分与 MOD 无异，也是采用固定过完备字典，然后使用跟踪算法求信号在字典上的稀疏表示系数；两者最大的区别在于字典学习时，K-SVD 每次更新一个原子（即字典的一列）和其对应的稀疏系数，直到所有的原子更新完毕，重复迭代给点的次数即可得到优化的字典和稀疏表示系数。

K-SVD 算法流程如下： 初始化：赋值 k=0，

初始化字典：建立D0?Rn?m 标准化：标准化D0的列。 主循环：k 加 1

稀疏编码阶段：用追踪算法逼近结果

2?αi?argminsi?D(k?1)αsubjecttoα0?k0 (5.7)

2? 获得图像的稀疏表示xi，1?i?M。用以组成稀疏表示矩阵。

K-SVD 字典更新阶段：采用如下过程更新字典的列向量并且获得新的字典D(k)。

定义一个使用原子αj0的表示系数的集合Ωj0，

Ωj0?{i|1?i?M,X(k)[j0,i]?0} (5.8)

27

计算出残差矩阵

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Ej0?s??djαTj (5.9)

j?j0 αTj为矩阵α(k)的第 j 行。

R用ERj0?Ej0?j0获得矩阵Ej0去掉零输入后的收缩结果Ej0。

T运用 SVD 算法分解ER，更新获得的字典原子dj0?u1，表示系数j0?U?VαR,1]?v1。 j0??[1迭代停止规则：当s?Dα(k)环。

2F值的变化小到满足要求时停止循环，否则继续下一轮循

5.2.3 实验分析及结论

为了比较MOD和K-SVD两种字典学习算法在信号及图像稀疏表示方面的性能，本文

设计了如下实验：

将 MOD 和 K-SVD 算法用于确切的图像数据，获得各自的稀疏表示字典和表示系数，并比较其重构图像与原图像的平均表示误差值，以此分析两种算法获得的字典在图像稀疏表示上的性能差异。将大小为512 × 512的图像 barbara 分解成为大小8 × 8的重叠图像块。这张图像可以产生个重叠图像块，从中取出 10%的图像块用于自适应字典训练。采用 MOD 和 K-SVD 算法迭代 50 次运算。统一取k = 4。两个算法都采用大小为 64 × 121的二维离散 DCT 字典作为稀疏表示的初始化字典。

图 5.6和5.7显示了用 MOD 和 K-SVD 两种算法进行处理时的平均表示误差，从结果看来，MOD 和 K-SVD 两算法在字典学习方面的性能似乎很相近，但是随着迭代次数的增加，K-SVD 算法在表示误差上的优势也在逐步的显示出来，以此证明K-SVD 算法与 MOD 算法相比，可以获得更好的表述字典。

图5.10和5.11显示了用 MOD 和K-SVD 两种算法进行图像去噪后的峰值信噪比，分别为27.5658dB和29.56dB。从结果看，两种算法相较含噪图像都有不小的改善，但K-SVD 的去噪效果更好，以此证明K-SVD算法的字典学习性能优于MOD算法。

图5.6 MOD平均误差

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图5.7 K-SVD平均误差

图5.8 原始图像 图5.10 MOD去噪后图像 图5.9 含噪图像

图5.11 K-SVD去噪后图像 29

5.3 基于小波变换和稀疏字典的图像表示性能比较

为了比较小波基，MOD和K-SVD两种字典学习算法图像稀疏表示方面的性能，本文设计了如下实验：

由前面的实验可知sym4小波基的稀疏性能最优。因此，选择sym4小波来与MOD和K-SVD两种字典学习算法进行比较。先对图像lena进行加噪处理，获得含噪图像，然后分别用三种方法去噪，比较重构图像，得出结论。

图5.14-5.16显示，三种去噪方法处理后的图像相较含噪图像都有不小的提升。尽管sym4小波基对于含噪图像的处理有一定效果，但和MOD及K-SVD字典比较，不论是PSNR的大小，还是图像细节的保留，仍有不小的差距。自此，得出结论，基于过完备字典的稀疏表示性能确实高于基于小波变换的简单图像稀疏表示，毕竟这两种研究方法不是同一层面的。

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图5.12 原始图像 图5.13 含噪图像

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图5.14 MOD去噪后图像 图5.15 K-SVD去噪后图像

图5.16 sym4去噪后图像

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第6章 全文总结与展望

6.1 论文工作总结

本文主要研究了图像稀疏表示理论的发展和改善，对稀疏表示中稀疏分解以及字典学习过程和方法进行了有侧重点的研究，对稀疏表示与图像去噪的问题进行了实验，以此来比较稀疏性能。

首先，本文阐述了图像稀疏表示理论的发展历程，并对国内外相关方面的研究进行了简单的介绍，交代了本文研究的背景及意义，最后分析了图像的稀疏表示在图像处理中的实际应用，给出了全文的组织框架。其次，本文在第三章对传统的稀疏表示理论方法进行了详细的介绍和分析，并比较了各类方法之间的优缺点，就稀疏表示在各种图像处理的适用条件给出了理论依据。随后在第四章介绍了目前图像稀疏表示的热点，基于过完备字典的图像稀疏表示理论。根据不同的情况来选择和构造图像稀疏表示字典。同时比较了图像稀疏分解算法MP，BP以及OMP的优缺点。结合目前稀疏字典的研究现状对未来稀疏字典的发展趋势作了展望。

实验论证部分主要分配了三组实验来比较不同稀疏表示方法的性能。首先是不同小波基的选择，通过去噪图像的PSNR的大小及图像细节来选择稀疏性能最优的小波基。其次是基于KSVD和MOD算法的稀疏字典的性能比较。最后通过最优小波基和稀疏字典的对比实验来论证字典稀疏性能的优越性。全文回顾整个图像稀疏表示理论的发展历史及研究现状，对稀疏表示理论的后续研究提出了一定要求。

6.2 未来工作展望

就目前来说，图像稀疏表示的思想已经相当成熟，但是通过本文在该领域的研究之后发现依然存在很多问题需要解决和克服，具体内容如下：

1、就目前而言，图像表示问题在图像处理领域是最为核心的问题，如何获得一种最优的图像表示依然是研究的主要方向。就本文目前所涉及到的稀疏分解和字典学习算法上来看，过完备字典的选取，以及字典大小和算法迭代次数等问题对最终表示结果的影响问题依然是一个需要进一步研究的问题。

2、考虑到稀疏表示问题在实际运用中的复杂性，单一的某种稀疏表示方法是无法获得良好的表示效果的。对图像表示中小波基，多尺度几何分析方法以及过完备字典的选择，甚至是对不同的图像小块采用不同的稀疏表示算法的研究也就有积极地意义。

3、任何算法都要面向现实的运用才有其意思，对于稀疏表示算法上的研究必须要将其系统化，并由浅入深的将其形成一种系。这也是未来发展和研究的趋势。

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参考文献

[1] 方志军.图像的多小波稀疏表示及其应用 [M].北京交通大学出版社.2010 [2]（美）冈萨雷斯等.数字图像处理（第三版）[M].电子工业出版社.2011 [3] 刘光斌等.信号稀疏表示理论及其应用 [M].科学出版社.2013

[4] 李晖晖, 郭雷, 刘航. 基于二代 curvelet 变换的图像融合研究 [J]. 光学学报.2006 [5] 王振飞, 施保昌, 王能超. 基于曲线波变换的图像融合方法 [J]. 小型微型计算机系统.2007 [6] 张贤达, 保铮. 非平稳信号分析与处理. 北京: 国防工业出版社.1998. [7] 焦李成，谭山. 图像的多尺度几何分析：回顾和展望 [J]. 电子学报.2003 [8] 汪胜前. 图像的小波稀疏表示及收缩去噪算法 [D]. 上海交通大学博士论文.2002. [9] 张春梅, 尹忠科, 肖明霞. 基于冗余字典的信号超完备表示与稀疏分解 [J]. 科学通报.2006 [10] 焦李成, 侯彪, 刘芳. 基函数网络逼迫: 进展与展望 [J]. 工程数学学报.2002 [15] 王文波, 羿旭明, 费浦生. 基于曲波系数相关性的去噪算法 [J]. 光电子激光.2006

[16] X. Q. Jiang, W. H. Zeng, P. Scott, et al. Linear feature extraction based on complex ridgelet transform [J]. Wear, 2011

[17] S. Arivazhagan, L. Ganesan, T. G. Subash Kumar. Texture classification using ridgelet transform [J]. Pattern Recognition Letters, 2010

[18] L. Dettori, L. Semler. A comparison of wavelet, ridgelet, and curvelet-based texture classifaction algorithms in computed tomography [J]. Computers in Biology and Medicine, 2012

[19] W. Pan, T. D. Bui and C. Y. Suen. Rotation invariant texture classification by ridgelet transform and frequency-orientation space decomposition [J]. Signal Processing, 2010

[20]邓承志, 图像稀疏表示理论及其应用研究［L］, 湖北: 华中科技大学,2008

33

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附 录

稀疏字典及小波实验的部分代码：

%============================================================ % demo2 - denoise an image

% this is a run_file the demonstrate how to denoise an image, % using dictionaries. The methods implemented here are the same % one as described in \ % representations over Learned Dictionaries\ % IEEE Trans. on Image Processing, Vol. 15, no. 12, December 2006).

%============================================================ clear

bb=8; % block size RR=4; % redundancy factor

K=RR*bb^2; % number of atoms in the dictionary

sigma = 25; pathForImages =''; imageName = 'lena.png';

[IMin0,pp]=imread(strcat([pathForImages,imageName])); IMin0=im2double(IMin0); if (length(size(IMin0))>2) IMin0 = rgb2gray(IMin0); end

if (max(IMin0(:))<2) IMin0 = IMin0*255; end

IMin=IMin0+sigma*randn(size(IMin0));

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PSNRIn = 20*log10(255/sqrt(mean((IMin(:)-IMin0(:)).^2)));

%==========================================================================

% P E R F O R M D E N O I S I N G U S I N G WAVELET sym4

%==========================================================================

[c,s]=wavedec2(IMin0,2,'sym4');

[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',IMin); xc=wdencmp('gbl',IMin,'sym4',2,thr,sorh,keepapp);

PSNROut = 20*log10(255/sqrt(mean((xc(:)-IMin0(:)).^2))); figure;

imshow(IMin0,[]); title('原始图像'); figure;

imshow(IMin,[]); title(strcat(['含噪图像 ',num2str(PSNRIn),'dB'])); figure;

imshow(xc,[]); title(strcat(['sym4去噪后图像 ',num2str(PSNROut),'dB']));

%==========================================================================

% P E R F O R M D E N O I S I N G U S I N G O V E R C O M P L E T E % D C T D I C T I O N A R Y

%==========================================================================

[IoutDCT,output] = denoiseImageDCT(IMin, sigma, K);

PSNROut = 20*log10(255/sqrt(mean((IoutDCT(:)-IMin0(:)).^2))); figure;

imshow(IoutDCT,[]); title(strcat(['DCT字典去噪后图像 ',num2str(PSNROut),'dB'])); figure; I

=

displayDictionaryElementsAsImage(output.D,

floor(sqrt(K)),

floor(size(output.D,2)/floor(sqrt(K))),bb,bb,0); title('DCT字典');

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%==========================================================================

% P E R F O R M D E N O I S I N G U S I N G G L O B A L % ( O R G I V E N ) D I C T I O N A R Y

%==========================================================================

[IoutGlobal,output] = denoiseImageGlobal(IMin, sigma,K);

PSNROut = 20*log10(255/sqrt(mean((IoutGlobal(:)-IMin0(:)).^2))); figure;

imshow(IoutGlobal,[]); title(strcat(['MOD ',num2str(PSNROut),'dB'])); figure; I

=

displayDictionaryElementsAsImage(output.D,

floor(sqrt(K)),

floor(size(output.D,2)/floor(sqrt(K))),bb,bb); title('MOD字典');

%==========================================================================

% P E R F O R M D E N O I S I N G U S I N G A D I C T I O N A R Y % T R A I N E D O N N O I S Y I M A G E

%==========================================================================

[IoutAdaptive,output] = denoiseImageKSVD(IMin, sigma,K);

PSNROut = 20*log10(255/sqrt(mean((IoutAdaptive(:)-IMin0(:)).^2))); figure;

imshow(IoutAdaptive,[]); title(strcat(['KSVD',num2str(PSNROut),'dB'])); figure; I

=

displayDictionaryElementsAsImage(output.D,

floor(sqrt(K)),

floor(size(output.D,2)/floor(sqrt(K))),bb,bb); title('KSVD字典');

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load tire; figure;

subplot(1,2,1),imshow(X,map); title('原始图象');

A=615499988; randn('seed',A); x=X+40*randn(size(X));

PSNRIn = 20*log10(255/sqrt(mean((x(:)-X(:)).^2)));

subplot(1,2,2),imshow(x,[]);

title(strcat(['含噪图像 ',num2str(PSNRIn),'dB']));%输出含噪图像

[c,s]=wavedec2(X,2,'sym4');

[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x); xc=wdencmp('gbl',x,'sym4',2,thr,sorh,keepapp);

PSNROut = 20*log10(255/sqrt(mean((xc(:)-X(:)).^2))); figure;

subplot(1,2,1),imshow(xc,[]);

title(strcat(['sym4去噪后图像 ',num2str(PSNROut),'dB']));%输出sym4去噪图像

[c,s]=wavedec2(X,2,'haar');

[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x); xc=wdencmp('gbl',x,'haar',2,thr,sorh,keepapp); PSNROut = 20*log10(255/sqrt(mean((xc(:)-X(:)).^2)));

subplot(1,2,2),imshow(xc,[]);

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title(strcat(['haar去噪后图像 ',num2str(PSNROut),'dB']));%输出haar去噪后图像

[c,s]=wavedec2(X,2,'db2');

[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x); xc=wdencmp('gbl',x,'db2',2,thr,sorh,keepapp); PSNROut = 20*log10(255/sqrt(mean((xc(:)-X(:)).^2))); figure;

subplot(1,2,1),imshow(xc,[]);

title(strcat(['db2去噪后图像 ',num2str(PSNROut),'dB']));

[c,s]=wavedec2(X,2,'coif2');

[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x); xc=wdencmp('gbl',x,'coif2',2,thr,sorh,keepapp); PSNROut = 20*log10(255/sqrt(mean((xc(:)-X(:)).^2)));

subplot(1,2,2),imshow(xc,[]);

title(strcat(['coif2去噪后图像 ',num2str(PSNROut),'dB'])); figure;

[c,s]=wavedec2(X,2,'bior2.4');

[thr,sorh,keepapp]=ddencmp('den','wv',x); xc=wdencmp('gbl',x,'bior2.4',2,thr,sorh,keepapp); PSNROut = 20*log10(255/sqrt(mean((xc(:)-X(:)).^2)));

imshow(xc,[]);

title(strcat(['bior2去噪后图像 ',num2str(PSNROut),'dB'])); clear;

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致 谢

在论文即将完成之际，首先，我要向我尊敬的导师杨媛媛致以诚挚的谢意，感谢导师在我课题研究上长期的指导和支持。杨老师开阔的视野、渊博的学术知识、严谨的工作态度和崇高的敬业精神是我学习的楷模，论文的每一步进展都离不开杨老师的严格要求和细心教导，在此过程中，我学到了很多知识和经验，这对我以后的学习和工作有很大的帮助。同时我也要感谢我的同窗好友陈俊宝，胡涵，周国阳对我的帮助和支持!在和他们的讨论过程中拓宽了思路，开阔了视野。在生活上，大家互相关心，互相鼓励，一起渡过了四年年的快乐时光，将成为我人生中最美好的回忆!

本课题的完成离不开国内外的相关的资料与文献，在此对参考文献的作者、译者及出版单位表示感谢!

最后，衷心的感谢评阅本文的各位老师。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/soco.html