江苏省南通市2020届考前练习卷数学试题

1 Read x If x ≥

2 Then 6y x ←- Else 283y x ←-- End If Print y （第4题） 高 三 练 习 卷

数学Ⅰ试题

参考公式：球的表面积公式：24S R =π球面，其中R 为球的半径．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．

置上．．

． 1． 已知集合{}3113A =--，

，，，{}2|230B x x x =--=，则A B =I ▲ ． 2． 已知复数z 满足(2)i 4z -=，其中i

是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．

3． 某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女

生的体重，所得数据均在区间[]4858，

中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 100名女生中，体重在区间[]5056，

的女生数为 ▲ ．

4． 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为7-，则输入的x 的值为 ▲ ． （第3题）

58 56 54 525048体重(千克)

2 5． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2216416

y x -=上一点M 到它的一个焦点的距离等于1，则点M 到另一个焦点的距离为 ▲ ．

6． 已知区域{}

()22A x y x y =≤≤，，和{}()002B x y x y x y =>>+≤，，，．若在区域 A 内随机取一点，则该点恰好落在区域B 内的概率为 ▲ ．

7． 若实数x y ，满足34x y +=，则28x y +的最小值为 ▲ ．

8． 已知数列{}n a 满足112n n n n

a a a a +++=-，且119a =，则6a 的值为 ▲ ． 9． 已知()f x 是定义在R 上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1f f -=+，则(2020)f 的值

为 ▲ ．

10．已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉

研究并证明了多面体的顶点数（V ）、棱数（E ）、面数(F )之间存在如下关系：2V F E +-=．利用这个公式，可以证明柏拉图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为S 1，S 2，则

12S S 的值为 ▲ ．

11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 经过直线l

：0x -+=与圆C ：224x y +=

的两个交点．当圆M 的面积最小时，圆M 的标准方程为 ▲ ．

12．如图，四边形ABCD 是以AB 为直径的圆的内接四边形．若AB =2，AD =1，则DC AB ?uuu r uu u r

的取值范围是 ▲ ．

13．已知函数230()20x x f x x x x

， ，，≥，则函数(()2+4)y f f x x =-的不同零点的个数为 ▲ ． 14．已知点G 是ABC △的重心，且GA GC ⊥．若111tan tan A C

+=，则tan B 的值为 ▲ ．

B （第12题）

3

F E

C

B

A

P

（第15题）

（第17题）

M A

D C

B

N

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答．解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥P ABC -中，PC ABC ⊥平面，10AB =，6BC =，8AC PC ==，

E F ，分别是PA PC ，的中点． 求证：（1）AC ∥平面BEF ； （2）PA ⊥平面BCE ．

16．（本小题满分14分）

已知函数2()2cos ()cos(2)46f x x x x ππ=+++∈，R ．

（1）求()f x 的最小值；

（2）在ABC △

中，03A π<<，且1()2f A =-．若2AC BC ==，B 的大小．

17．（本小题满分14分）

如图，在市中心有一矩形空地ABCD ，AB =100 m ，AD =75 m ．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边AD ，AB 上分别取点M ，N ，在三角形AMN 内建造假山，在以MN 为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物． （1）若假山区域面积为400 m 2，求喷泉区域

面积的最小值；

（2）若MN =100 m ，求假山区域面积的最大值．

4

（第18题）

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:195

y x C +=与22221(06)36y x C b b +=<<: 的

离心率相等．椭圆1C 的右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆1C 交于A B ，两点，射线OB 与椭圆2C 交于点C ．椭圆2C 的右顶点为D （1）求椭圆2C 的标准方程； （2）若ABO △

求直线AB 的方程；

（3）若2AF BF =，求证：四边形AOCD

是平行四边形．

19．（本小题满分16分）

已知函数()(1ln )f x x x m =++（m ∈R ）. （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）设()

()f x g x x x

=

+，求函数()y g x =的单调区间； （3）若()f x mx ≥对任意的(0)x ∈+∞，恒成立，求满足题意的所有整数m 的取值集合．

20．（本小题满分16分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()n

n n

S b n a *=∈N ．若{}n b 是公差不为0的等差数列， 且2711b b b =．

（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n a 是等差数列； （3）记2

n

n

n a S c =

，若存在12k k *∈N ，（12k k ≠），使得12k k c c =成立，求实数1a 的取值 范围．

高三练习卷

数学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】本题包括A、B、C共3小题，请．选定其中两小题

．．．．．．．，并在相应的答题区域内

．．．．．．．．．．

作答

．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤．

A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵

1

14

a

??

=??

-??

A的一个特征值为2．

（1）求实数a的值；

（2）求矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l

的参数方程为

x m

y

?

=

?

?

?

?=

??

，

（t为参数），椭圆C

的参数方程为

2cos

sin

x

y

?

?

=

?

?

=

?

，

（?为参数）．若直线l被椭圆C

，

求实数m的值．

C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）

若实数a，b，c满足7

a b c

++=，求证：222

4936

a b c

++≥．

5

6

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．

， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均相等，且60BAD ∠=?，M 是侧棱1DD 的中点，

N 是棱11C D 上的点．

（1）求异面直线1BD 与AM 所成角的余弦值； （2）若二面角M AC N --的大小为4

π，

试确定点N 的位置．

23．（本小题满分10分）

设230123(12)k k k x a a x a x a x a x +=+++++L （2k k *∈N ≥，）． （1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k 的值；

（2）设2

22

n n k +-=（n *∈N ），且各项系数0a ，1a ，2a ，…，k a 互不相同．现把

这1k +个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，

第n 列n 个数．设i t 是第i 列中的最小数，其中1i n ≤≤，且i n *∈N ，．记 123n t t t t >>>>L 的概率为n P . 求证：12(1)!

n P n >

-．

（第22题）

A

B

C

D

A 1

D 1

C 1

B 1 M N

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