离散数学试题+答案

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一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)在每小题列出的四个选

项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条( ) A.汉密尔顿回路 B.欧拉回路 C.汉密尔顿通路 D.初级回路

2.设G是连通简单平面图，G中有11个顶点5个面，则G中的边是( ) A.10 B.12 C.16 D.14

3.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( ) A.b∧(a∨c)

B.(a∧b)∨(a’∧b)

C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D.(b∨c)∧(a∨c) 4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的子群是( ) A.<{1},·> B.〈{-1},·〉 C.〈{i},·〉 D.〈{-i},·〉

5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )

A.〈Z，+，/〉 B.〈Z，/〉 C.〈Z，-，/〉 D.〈P(A)，∩〉 6.下列各代数系统中不含有零元素的是( ) A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算

B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算 C.〈Z，?〉，Z是整数集，?定义为x?xy=xy,?x,y∈Z D.〈Z，+〉，Z是整数集，+是数的加法运算

7.设A={1,2,3}，A上二元关系R的关系图如下： R具有的性质是 A.自反性 B.对称性 C.传递性 D.反自反性

8.设A={a,b,c}，A上二元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉〈,a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( ) A.R∪IA B.R C.R∪{〈c,a〉} D.R∩IA 9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( ) A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝ B.{〈c,b〉，〈b,a〉} C.{〈c,a〉，〈b,a〉} D.{〈a,c〉，〈c,b〉} 10.下列式子正确的是( )

A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈?

11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x

A.( ? x)( ?y)( ?z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z)) B.( ?x)A(f(a,x),a)

C.(?x)(?y)（A(f(x,y),x))

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D.(?x)(?y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))

12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(?x)(A(x)→B)等价于( ) A.(?x)A(x)→B B.(?x)A(x)→B

C.A(x)→B D.(?x)A(x)→(?x)B

13.谓词公式(?x)(P(x,y))→(?z)Q(x,z)∧(?y)R(x,y)中变元x( ) A.是自由变元但不是约束变元 B.既不是自由变元又不是约束变元 C.既是自由变元又是约束变元 D.是约束变元但不是自由变元

14.若P：他聪明；Q：他用功；则“他虽聪明，但不用功”，可符号化为( ) A.P∨Q B.P∧┐Q C.P→┐Q D.P∨┐Q 15.以下命题公式中，为永假式的是( )

A.p→(p∨q∨r) B.(p→┐p)→┐p

C.┐(q→q)∧p D.┐(q∨┐p)→(p∧┐p) 二、填空题(每空1分，共20分)

16.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为______，称为树根，其余结点的入度均为______。 17.A={1,2,3,4}上二元关系R={〈2，4〉，〈3，3〉，〈4，2〉}，R的关系矩阵MR中m24=______,m34=______。 18.设〈s,*〉是群，则那么s中除______外，不可能有别的幂等元；若〈s,*〉有零元，则|s|=______。 19.设A为集合，P(A)为A的幂集，则〈P(A)，是格，若x,y∈P(A),则x,y最大下界是______，?〉最小上界是______。

20.设函数f:X→Y,如果对X中的任意两个不同的x1和x2，它们的象y1和y2也不同，我们说f是______函数，如果ranf=Y，则称f是______函数。

21.设R为非空集合A上的等价关系，其等价类记为〔x〕R。?x,y∈A，若〈x,y〉∈R，则 〔x〕R与〔y〕R的关系是______，而若〈x,y〉?R，则〔x〕R∩〔y〕R=______。

22.使公式(?x)( ?y)(A(x)∧B(y))?(?x)A(x)∧(?y)B(y)成立的条件是______不含有y，______不含有x。 23.设M(x):x是人，D(s):x是要死的，则命题“所有的人都是要死的”可符号化为(?x)______,其中量词(?x)的辖域是______。 24.若H1∧H2∧?∧Hn是______，则称H1,H2,?Hn是相容的，若H1∧H2∧?∧Hn是______，则称H1,H2,?Hn是不相容的。

25.判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为 ，然后再看它是否具有唯一的 。

三、计算题 (共30分)

26.(4分)设有向图G=(V,E)如下图所示，试用邻接矩阵方法求长度为2的路的总数和回路总数。

27.(5)设A={a,b},P(A)是A的幂集，?是对称差

运算，可以验证是群。设n是正整数，求({a}-1{b}{a})n?{a}-n{b}n{a}n 28.(6分)设A={1,2,3,4,5},A上偏序关系 R={〈1，2〉，〈3，2〉，〈4，1〉，〈4，2〉，〈4，3〉，〈3，5〉，〈4，5〉}∪IA;

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(1)作出偏序关系R的哈斯图

(2)令B={1,2,3,5}，求B的最大，最小元，极大、极小元，上界，下确界，下界，下确界。 29.(6分)求┐(P→Q)?(P→┐Q)的主合取范式并给出所有使命题为真的赋值。

30.(5分)设带权无向图G如下，求G的最小生成树T及T的权总和，要求写出解的过程。

31.(4分)求公式┐((?x)F(x,y)→(?y)G(x,y))∨(?x)H(x)的前束范式。 四、证明题 (共20分)

32.(6分)设T是非平凡的无向树，T中度数最大的顶点有2个，它们的度数为k(k≥2),证明T中至少有2k-2片树叶。

33.(8分)设A是非空集合，F是所有从A到A的双射函数的集合，?是函数复合运算。 证明：〈F, ?〉是群。

34.(6分)在个体域D={a1,a2,?，an}中证明等价式： (?x)(A(x)→B(x))?(?x)A(x)→(?x)B(x) 五、应用题(共15分)

35.(9分)如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。

36.(6分)一次学术会议的理事会共有20个人参加，他们之间有的相互认识但有的

相互不认识。但对任意两个人，他们各自认识的人的数目之和不小于20。问能否把这20个人排在圆桌旁，使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么?

参考答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)

1.B 2.D 3.A 4.A 5.D 6.D 7.D 8.C 9.D 10.B 11.A 12.A 13.C 14.B 15.C 二、填空题 16.0 1 17.1 0

18.单位元 1

19.x∩y x∪y 20.入射 满射

21.［x］R=［y］R  22.A(x) B(y)

23.(M(x)→D(x)) M(x)→D(x)

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24.可满足式 永假式(或矛盾式) 25.陈述句 真值 三、计算题

?1100??1010???26. M=??

1011????0011???2?2?2 M=??2??1110?111???

121?011??M2ij?18,

ij?6 ?M2i?14

??i?1j?144 G中长度为2的路总数为18，长度为2的回路总数为6。

27.当n是偶数时，?x∈P(A),xn=? 当n是奇数时，?x∈P(A),xn=x 于是：当n是偶数，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n =??(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=????? 当n是奇数时， (｛a｝-1｛b｝｛a｝)n?｛a｝-n｛b｝n｛a｝n =｛a｝-1｛b｝｛a｝?(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n =｛a｝-1｛b｝｛a｝?｛a｝-1｛b｝｛a｝=? 28.(1)偏序关系R的哈斯图为

(2)B的最大元：无，最小元：无； 极大元：2，5，极小元：1，3 下界：4， 下确界4； 上界：无，上确界：无

29.原式?(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q)) ((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q)) (┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q)) (┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q)) (P∧Q)∨(P∧┐Q) P∧(Q∨┐Q) P∨(Q∧┐Q) (P∨Q)∧(P∨┐Q)

命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=1

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30.令e1=(v1,v3), e2=(v4,v6) e3=(v2,v5), e4=(v3,v6) e5=(v2,v3), e6=(v1,v2) e7=(v1,v4), e8=(v4,v3) e9=(v3,v5), e10=(v5,v6) 令ai为ei上的权，则

a1

取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，

T的总权和=1+2+3+4+5=15

31.原式?┐(?x1F(x1,y)→?y1G(x,y1))∨?x2H(x2) (换名) ?┐?x1?y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨?x2H(x2) ??x1?y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨?x2H(x2) ??x1?y1?x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2) 四、证明题

32.设T中有x片树叶，y个分支点。于是T中有x+y个顶点，有x+y-1 条边，由握手定理知T中所有顶点的度数之的

x?y

?d(vi)=2(x+y-1)。

i?1 又树叶的度为1，任一分支点的度大于等于2 且度最大的顶点必是分支点，于是

x?y

?d(vi)≥x·1+2(y-2)+k+k=x+2y+2K-4

i?1 从而2(x+y-1)≥x+2y+2k-4 x≥2k-2

33.从定义出发证明：由于集合A是非空的，故显然从A到A的双射函数总是存在的，如A上恒等函数，因此F非空

(1)?f,g∈F,因为f和g都是A到A的双射函数，故f?g也是A到A的双射函数，从而集合F关于运算?是封闭的。

(2)?f,g,h∈F,由函数复合运算的结合律有f?(g?h)=(f?g)?h故运算?是可结合的。 (3)A上的恒等函数IA也是A到A的双射函数即IA∈F,且?f∈F有IA?f=f?IA=f,故IA是〈F，

?〉中的幺元

(4)?f∈F,因为f是双射函数，故其逆函数是存在的，也是A到A的双射函数，且有f?f-1=f-1

?f=IA,因此f-1是f的逆元 由此上知〈F，?〉是群

34.证明(?x)(A(x)→B(x)) ? ?x(┐A(x)∨B(x))

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?(┐A(a1)∨B(a1))∨(┐A(a2)∨B(a2))∨?∨(┐A(an)∨B(an))) ?(┐A(a1)∨A(a2)∨?∨┐A(an)∨(B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an)) ?┐(A(a1)∧A(a2)∧?∧A(an))∨(┐B(a1)∨B(a2)∨?∨(B(an)) ?┐(?x)A(x)∨(?x)B(x) ? (?x)A(x)→(?x)B(x) 五、应用题

35.令p：他是计算机系本科生 q：他是计算机系研究生 r：他学过DELPHI语言 s:他学过C++语言 t:他会编程序

前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t 结论：p→t

证①p P(附加前提) ②p∨q T①I

③(p∨q)→(r∧s) P(前提引入) ④r∧s T②③I ⑤r T④I ⑥r∨s T⑤I

⑦(r∨s)→t P(前提引入) ⑧t T⑤⑥I

36.可以把这20个人排在圆桌旁，使得任一人认识其旁边的两个人。

根据：构造无向简单图G=,其中V={v1,v2,?，V20}是以20个人为顶点的集合，E中的边是若任两个人vi和vj相互认识则在vi与vj之间连一条边。

?Vi∈V,d(vi)是与vi相互认识的人的数目，由题意知?vi,vj∈V有d(vi)+d(vj)?20,于是G中存在汉密尔顿回路。

设C=Vi1Vi2?Vi20Vi1是G中一条汉密尔顿回路，按这条回路的顺序按其排座

位即符合要求。

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