学案练习 数学人教版选修2-1 第三章 空间向量

§3.1.1空间向量及其运算

（2）方向相反的两个向量是相反向量；

（3）若a、b满足a?b且a、b同向，则

?????? 学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；

2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

?a?b；

???（４）零向量没有方向；

（5）对于任何向量a、b，必有a?b?a?b 其中正确命题的序号为（ ）

A.(1)(2)(3) B.(5) C.(3)(5) D.(1)(5) 变:1：下列命题中正确的个数是（ ）

???? 自我评价 复习1：平面向量基本概念：

具有 和 的量叫向量， 叫向量的????模（或长度）； 叫零向量，记（1）如果a、b是两个单位向量，则a?b 着 ； 叫单位向量.

?（叫相反向量， a的相反向量记着 . 2 ）两个空间向量相等，则他们的起点相同，终 点也相同； 叫相等向量. 向量的表示方法

有 ， ， （3）若a、b，c为任意向量，则（a+b）+c=

和 共三种方法. ???a+（b+c） 复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：

(4)空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面1. 向量的加法和减法的运算法则有 内 法则 和 法则.

A.1 B.2 C.3 D.4 2. 实数与向量的积：

??实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其

变式2：给出下列命题：①若空间向量a、b满足

长度和方向规定如下：

???? (1)|λa|＝ . ，则a=b；②在正方体a?b (2)当λ＞0时，λa与A. ；

??当λ＜0时，λa与A. ；

ABCD?A1B1C1D1中，必有AC?A1C1; 当λ＝0时，λa＝ .

???????3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？ ③若空间向量m、n、p满足m=n，n=p，则

加法交换律：a＋b＝b＋a ??加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） m=p；④空间中任意两个单位向量必相等. 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 其中假命题的个数是（ ） 新课：（1）在空间，把具有 和 的量叫A.1 B.2 C.3 D.4 做空间向量 类型二 空间向量的线性运算 （2）向量的 叫做向量的长度（或模） 例2 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'（如图），（3）空间向量用 表示，有向线段的 化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

?????????就是空间向量的长度

⑴AB?BC；（4）空间向量可用一个 表示，如 ??????????????⑵AB?AD?AA'；其模记为 ，也可用有向线段的

?????????1?????表示如 其模记为 ⑶AB?AD?CC'

2（5） 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， a的

相反向量记着 . 叫相等向量.

（6）加法运算 减法运算

加法交换律 加法结合律

?⑷??????1???????? (AB?AD?AA')．2??????

变式：在上图中，用

????????????'AB,AD,AA?????和DB'.

表示

??????????''AC,BD典型例题

类型一空间向量及有关概念

例1 下列五个命题：（1）所有的单位向量都相等；

67

变式2．如图所示的是平行

六面体ABCD—A1B1C1D1，化简下列各式．

→→→→→→(1)AB＋AD＋AA1；(2)DD1－AB＋BC. 例3化简下列各式：

????????????⑴ AB?BC?CA; ⑵AB?MB?BO?OM;

????????????????????????????⑶AB?AC?BD?CD; ⑷ OA?OD?DC.

??????????????????C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D. 同向且等长的有向线段表示同一向量

6. 如图，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，点M为

??????????AC与的BD的交点，AB?a，AD?b?????则下列向量中与B1M相等的是（ ）

1?1??A. ?a?b?c

221?1??B. a?b?c

221?1??C. a?b?c

221?1??D. ?a?b?c

22?????，A1A?c，

变式1：化简下列各式：

????????????????（1） OA?OC?BO?CO;

????????????（2） AB?AD?DC;

?????????????????（3）NQ?QP?MN?MP.

7.下列命题是真命题的是（ ）

A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

????

变式2：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，下列各

?B.若非零向量a、b方向相反，则a与b是相反向量

?????C.若向量AB、CD满足AB?CD,则AB与

?式的运算结果为向量AC1的是（ ）

?????CD同向，且AB?CD

??（1）(AB?BC)?CC1;

??????D.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，

??(2) (AA1?A1D1)?D1C1;

???(3) (AB?BB1)?B1C1

???则AB与CD为相反向量 8．下列命题正确的有( )

(1)若|a|＝|b|，则a＝b；

→→

(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；

(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；

?|a|＝|b|，?

(4)向量a，b相等的充要条件是?

?a∥b；?

(4) (AA1?A1B1)?B1C1

课后作业 1. 下列说法中正确的是（ ）

????A. 若∣a∣=∣b∣，则a，b的长度相同，方向相反或相同;

????B. 若a与b是相反向量，则∣a∣=∣b∣; C. 空间向量的减法满足结合律;

D. 在四边形ABCD中，一定有AB?AD?AC. 2. 长方体ABCD?A'B'C'D'中，化简

????????????

????????????????'''AA'?A?B= A D

?????????3. 已知向量a，b是两个非零向量，a0,b0是与a，?b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）

??????????????????A. a0?b0 B. a0?b0或a0??b0

?????C. a0?1 D. ∣a0∣=∣b0∣

????????????4. 在四边形ABCD中，若AC?AB?AD,则四边形

是（ ）

A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向

B. 空间向量不可以平行移动

68

(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件； →→

(6)AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D重合．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

→→→→

9．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是( )

→→→→→→→A.AB＝BC＋CD B.AB－DC＋BC＝AD →→→→→→→C.AD＝AB＋BC＋DC D. BC＝BD－DC

10．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC

→→→

与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则

→

下列向量中与B1M相等的向量是( )

1111

A．－a＋b＋c B.a＋b＋c

22221111

C.a－b＋c D．－a－b＋c 222212．给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；

②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；

③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向．

其中假命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

13．空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )

→→→→

A.EB＋BF＋EH＋GH＝0 →→→→B.EB＋FC＋EH＋GE＝0 →→→→C.EF＋FG＋EH＋GH＝0 →→→→D.EF－FB＋CG＋GH＝0 二、填空题

→→

14．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA＝a，CB＝

→→

b，CC1＝c，则A1B＝________. 15．已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、N分别是

→→

BC、CD的中点，则MN用AB、→→

AC、AD表示的结果为______________________．

16．已知平行六面体ABCD—A′B′C′D′，则

→→→

下列四式中：①AB－CB＝AC；

→→→→②AC′＝AB＋B′C′＋CC′；

→→→→→→→③AA′＝CC′；④AB＋BB′＋BC＋C′C＝AC′. 正确的是________． 三、解答题

17．如图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′，化简下列各式．

§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）

学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 自我评价 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：

??????定理：对空间任意两个向量a,b（b?0）， a//b的

充要条件是存在唯一实数?，使得 推论：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直

线l上的充要条件是

典型例题

例1 已知直线AB，点O是直线AB外一点，若????????????且x+y＝1，试判断A,B,P三点是OP?xOA?yOB，

否共线？

变式：已知A,B,P三点共线，点O是直线AB外一点，若OP???????????1???OA?tOB2?，那么t＝

变式2：设e1、e2是空间两个不共线的向量，已知

??????AB??e1??ke2?，BC?5e1+4e2，

DC??e1?2e2，且A,B,D三点共线，求实数k

→→→→→(1)AB＋BB′－D′A′＋D′D－BC； →→→→(2)AC′－AC＋AD－AA′.

69

的值.

例2 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，点M是棱AA'的中点，点G在对角线A'C上，且CG:GA

'????=2:1,设CD?=a???????????'，CB?b,CC?c，试用向量

????????????????????'a,b,c表示向量CA,CA,CM,CG.

变式1：四棱锥P?OABC的底面为一矩形，设

?????? 课后作业： 1. 下列说法正确的是（ ）

??????A.a与非零向量b共线,b与c共线，则a与c共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 D. 若向量a与b共线，则a??b

????????2. 已知a?3m?2n,b?(x?1)m?8n，a?0，若

??a//b，求实数x.

????OA?a，OC?b，OP?c，E,F分别是PC

???????和PB的中点，用a、b，c表示BF,BE,EF,AE

例3：已知正四棱锥P?ABCD ,O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x,y,z的值.

???→→

3．设M是△ABC的重心，记a＝BC，b＝CA，c→→

＝AB，a＋b＋c＝0，则AM为( )

b－cc－bb－cc－bA. B. C. D.

2233

4．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量→

OP的为( )

（1）OQ?PQ?yPC?zPA;

????(2)PA?xPO?yPQ?PD

变式1：本例中的条件不变，若

????PO?xBA?yBC?zBP,试求x,y,z的值.

变式2：设O是平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若

?AE?12???OD?xOB?yOA,求x,y的值.

70

→→→→→→A.OA＋2AB＋2AC B.OA－3AB－2AC →→→→→→C.OA＋3AB－2AC D.OA＋2AB－3AC

5．已知正方体ABCD－A′B′C′D′ ，点E是

1

A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝

2

→

EF，则AF等于( )

1→1→1→1→1→→

A.AA′＋AB＋AD B.AA′＋AB＋AD

22222

1→1→1→1→1→1→C.AA′＋AB＋AD D.AA′＋AB＋AD 2663666．如图所示，空间四边形

→→→

OABC中，OA＝a，OB＝b，OC

→

＝c, 点M在OA上，且OM＝→→2MA，N为BC中点，则MN等于( ) 121211A.a－b＋c B．－ a＋b＋c 232322112221C.a＋ b－c D.a＋b－c 223332

7．在三棱锥S—ABC中，G为△ABC的重心，则有( )

→1→→→→1→→→A.SG＝(SA＋SB＋SC) B.SG＝(SA＋SB＋SC)

23

→1→→→→→→→C.SG＝(SA＋SB＋SC) D.SG＝SA＋SB＋SC

4

8．有下列命题：①当λ∈R，且a1＋a2＋?＋an＝0时，λa1＋λa2＋?＋λan＝0；

②当λ1，λ2，?，λn∈R，且λ1＋λ2＋?＋λn＝0时，λ1a＋λ2a＋?＋λna＝0；

③当λ1，λ2，?，λn∈R，且λ1＋λ2＋?＋λn＝0时，a1，a2，?，an是n个向量，且a1＋a2＋?，an＝0，则λ1a1＋λ2a2＋?＋λnan＝0. 其中真命题有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9. 已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，M是AC与BD交点，若

等的向量是（ ） A. ?a?C.

1????????????????'AB?a,AD?b,AA?c→→→→(3)GF＝xBB′＋yBA＋zBC.

§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）

学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

?????，则与B'M相

1??1?1??； B. b?ca?b?c；

22221?1??1?1??a?b?c； D. ?a?b?c. 2222 自我评价 1.共面向量： 同一平面的向量.

2. 空间向量共面：

????定理：对空间两个不共线向量a,b，向量p与向量

??a,b共面的充要条件是存在 ，

10．如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD

外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD中点，

→→→→

则满足MN＝xAB＋yAD＋zAP的实数x＝________，y＝________，z＝________.

使得 .

推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：

⑴ 存在 ，使

⑵ 对空间任意一点O，有

典型例题 例1 下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ）

11．在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，若

????AC1?xAB?2yBC?3zC1C，

则x?y?z?________.

??????????????????OM?OA?OB?OC; ①?????1????1????1?????②OM?OA?OB?OC;

532????????????????????????????????③MA?MB?MC?0;④OM?OA?OB?OC?0.

12. 正方体ABCD?A'B'C'D'中，点E是上底面

????????????????''A'B'C'D'的中心，若BB?xAD?yAB?zAAA. 1 B. 2 C. 3 D. 4

变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一

????1????7????????点，若向量OP?OA?OB??OC???R?,

53,

则x＝ ，y＝ ，z＝ .

13. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则OP? OA + OB. 14. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D的交点,则(AB?AD?AA')? AO

3?1???????????????????????????15．如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，

点E在AC′上，且AE∶EC′＝1∶2，点F，G分别是B′D′和BD′的中点，求下列各式中的x，y，z的值． →→→→(1)AE＝xAA′＋yAB＋zAD； →→→→(2)BF＝xBB′＋yBA＋zBC；

71

则P,A,B,C四点共面的条件是??

例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使

OEOA?OFOB?OGOC?OHOD?k,

求证：E,F,G,H四点共面.

变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.

A

E H

D B G F

C

例3四棱锥P?ABCD的底面ABCD是平行四边形，点E,F,G,H分别为?PAB,?PBC,?PCD

?PDA的重心.

例4 H为四棱锥P?ABCD的棱PC的三等分点，PH?12四边形ABCD是平行四边形，若G,B,P,D四点共

HC,点G在AH上，AG?mAH，

（1）试用向量法证明四点E,F,G,H共面. （2）判断平面EFGH与平面ABCD是否平行，

并用向量法证明你的判断.

变式：已知斜三棱柱ABC?A1B1C1,点M,N分别在

?面，求实数m的值.

???变式：PA,PB,PC

是不共面的三个向量，若实数k1,k2,k3满足

????AC1?和

?BC?上，且满足

k1PA?k2PB?k3PC?0,求k1,k2,k3的值.

AM?kAC1,BN?kBC,(0?k?1)，求证：

???MN与向量AB,AA1共面.

72

??????????????11.已知两个非零向量e1,e2不共线,AB?e1?e2,

课后作业： 1. 在平行六面体

??????????D1C、A1C1?????ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、

??????????????????AC?2e1?8e2,AD?3e1?3e2. 求证：A,B,C,D共

面．

是（ ）

12．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1

→

的中点，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1N→→

与A1B、A1M共面．

A. 有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量.

2．当|a|＝|b|≠0，且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是( )

A．共面 B．不共面C．共线 D．无法确定 3. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）.

A．0 B.1 C. 2 D. 3

4．对空间任一点O和不共线三点A、B、C，能得到P、A、B、C四点共面的是( ) →→→→→1→1→1→A.OP＝OA＋OB＋OC B.OP＝OA＋OB＋OC

333

→→1→1→

C.OP＝－OA＋OB＋OC D．以上皆错

22

5. 正方体ABCD?A'B'C'D'中，点E是上底面

????????????????''A'B'C'D'的中心，若BB?xAD?yAB?zAA,

则x＝ ，y＝ ，z＝ .

6. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，

????则OP?

7. 平行六面体ABCD?A'B'C'D', O为A1C与B1D

????????????????1 的交点,则(AB?AD?AA')? AO.

313．已知i、j、k是不共面向量，a＝i－2j＋k，b＝

1－i＋3j＋2k，c＝－3i＋7j，证明这三个向量共面． 8．已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝2

i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝________.

9.已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足

????1????2????2????A,B,C条件OP?OA?OB?OC，则点P与

555

(是否)共面 三、解答题 ????????10. 若a?3m?2n?4p,b?(x?1)m?8n?2yp， ???? a?0，若a//b，求实数x,y.

14．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b

－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，

q，r是否共面？

+ .

73

????OA ????OB

例2 如图，在平行四边形ABCD-A1B1C1D1中，

AB?4,AD?3,AA'?5,?BAD?90?,?BAA'?DAA'=

=60°,求AC'的长.

§3.1.3．空间向量的数量积

学习目标 1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法； 2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题． 自我评价 1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量a,b，

??????????aOB,b?，在空间 一点O，作OA?则?AOB??做向量a与b的夹角，记作 .

??叫

2) 向量的数量积：

变式：在正四面体ABCD中，棱长为a，M,N分别是棱AB,CD上的点，且

???????已知向量a,b，则 叫做a,b的数量积，

????记作a?b，即a?b? .

MB?2AM,CN?12??ND,求MN.

规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 3) 空间向量数量积的性质：

??????（1）设单位向量e，则a?e?|a|cos?a,e?． （2）a?b?a?b? ．

??（3）a?a? ＝ .

4) 空间向量数量积运算律：

??????（1）(?a)?b??(a?b)?a?(?b)． （2）a?b?b?a（交换律）．

???????（3）a?(b?c)?a?b?a?c（分配律

例1 如图，在空间四边形ABCD中，AB?2，

?BC?3，BD?23，CD?3，?ABD?30，

??ABC?60，求AB与CD的夹角的余弦值 D

A C

B 变式：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若

???????? 例

在空间四边形OABC中，

?AO?B?BO?C?AO,且COA?OB?OC

G是MN的中点，, M,N分别是OA,BC的中点，

3

求证：OG?BC

AB=2BB1,则AB1与C1B所成的角为（ ）

A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°

变式：在空间四边形OABC中，M,N，P,Q分

别为BC,AC,OA,OB的中点，若AB?OC,求证：

74

PM?QN

中，AA1?2AB，则异面直线BE与E为AA1中点，

CD1所成的角的余弦值为（ ）

A.

1010 B.

15 C.

31010 D.

35

课后作业： 1．已知向量a、b是平面α的两个不相等的非零向

量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么( ) →→→→A.AE·BCAE·CD

→→→→ D.AE·BC与AE·CD不能比较大小 3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为 a，→→→→→

设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则〈A′B，B′D′〉＝( ) A．30° B．60° C．90° D．120°

4．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )

A．62 B．6 C．12 D．144

5．已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|＝( )

A．14 B.14 C．4 D．2 6．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOCπ→→

＝，则cos〈OA，BC〉等于( ) 3

121

A. B. C．－ D．0 222

7．在空间四边形ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，则下列结论不成立的是( )

→→→→→→A．|AB＋AC＋AD|＝|AB＋AC－AD|

→→→→→→B．|AB＋AC＋AD|2＝|AB|2＋|AC|2＋|AD|2

→→→→C．(AB＋AD＋AC)·BC＝0 →→→→→→D.AB·CD＝AC·BD＝AD·BC

→→

8．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC

→→→→＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD是( ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 9.（2009全国Ⅱ） 已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1

75

10．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为

→→→

1，设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，则

→→→→(1)AC′·DB′＝________；〈AC′，DB′〉＝

→→

________；(2)BD′·AD＝________.

11．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则→→A1B·B1C＝________.

12．已知在空间四边形OABC中，OA⊥BC，→→OB⊥AC，则AB·OC＝________.

13．如图所示，已知空间四边形ABCD，连AC、BD，若AB＝CD，AC＝BD，E、F分别是AD、BC的中点，试用向量方法证明EF是AD与BC的公垂线．

14. 已知空间四边形ABCD中，AB?CD，

D AC?BD，求证：AD?BC.

A C

B

15. 已知线段AB、BD在平面?内,BD⊥AB, 线段AC??,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.

⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ；

⑷a·b＝ .

典型例题

?????例1已知?e1,e2,e3?是空间的一个基底，且

??????????§3.1.4 空间向量的正交分解

及其坐标表示

学习目标 1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理

和坐标表示；

2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；

OA?e1?2e2?e3????，OB??3e1?e2?2e3，

?????OC?e1?e2?e3,试判断?OA,OB,OC?能否作

??为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量

????OD?2e1?e2?3e3，若不能，请说明理由.

复习1：平面向量基本定理： ?????对平面上的任意一个向量P，a,b是平面上两个

向量，总

?????

是存在 实数对?x,y?，使得向量P可以用a,b来

??? 表示，表达式为 ，其中a,b叫

????

做 . 若a?b，则称向量P正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量

??????i,j作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对变式：已知向量a,b,c是空间的一个基底，从向量

自我评价 ???实数x，y，使得a?xi?yj，，则称有序对?x,y?

??为向量a的 ，即a＝ .

?⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a，均

?????????可分解为不共面的三个向量?1a1、?2a2、?3a3，???????????????????使a??1a1??2a2??3a3. 如果a1,a2,a3两两 ，

????????a,b,c中选哪一个向量，一定可以与向量p?a?b, ???q?a?b构成空间的另一个基底？

???(2)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c ，

??对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得

????????p?xa?yb?zc. 把 的一个基底，a,b,c都叫做

这种分解就是空间向量的正交分解.

基向量.

反思：空间任意一个向量的基底有 个. ⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.

⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得

????a?xi?yj?zk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a

??的坐标，记着p? .

????⑸设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .

例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC

????????????OA,OB,OC 的中点，P,Q是MN的三等分点，用

????????表示OP和OQ.

⑹向量的直角坐标运算：

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 ⑴a＋b＝ ；

76

变式：已知平行六面体ABCD?A'B'C'D'，点G

????????????????'''OC?b,OO?c是侧面BBCC的中心，且OA?a，

???试用向量a,b,c表示下列向量: ?????????????????⑴OB',BA',CA'; ⑵ OG.

变式 已知正四面体ABCD棱长为a，试建立适当的坐标系并表示出各个点的坐标. ?????1. 若a,b,c为空间向量的一组基底，则下列各项

课后作业 ，

??中，能构成基底的是（ ）

?????aA.,a?b,a?b B. ?????C. c,a?b,a?b D.

?????b,a?b,a?b ??????a?2b,a?b,a?b

例3 PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点，并且PA?AB?1,试建立

?适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标.

77

2．以下四个命题中正确的是( )

A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量

→→

C．△ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

→→

3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若AB＝3i，AD＝

→→

2j，AA1＝5k，则AC1( )

111

A．i＋j＋k B.i＋j＋k

325

C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k 4．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空

→

间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若BA，→→

BM，BN不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4 5．给出下列两个命题：

①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；

→→→

②O，A，B，C为空间四点，且向量OA，OB ，OC不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．其中正确的命题是( )

A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确 6．已知i、j、k是空间直角坐标系O－xyz的坐标

→

向量，并且AB＝－i＋j－k，则B点的坐标为( )

A．(－1,1，－1) B．(－i，j，－k) C．(1，－1，－1) D．不确定

7．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G

→→→

是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝xOA＋yOB

→

＋zOC，则(x，y，z)为( )

111333A.?，，? B.?，，? ?444??444?111222C.?，，? D.?，，? ?333??333?8. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z，则点B的坐标是

9. 在三棱锥OABC中，G是?ABC的重心（三条中

????????????线的交点），选取OA,OB,OC为基底，试用基底表????示OG＝ ?????????????坐标原点，以AB,AD,AA'

16．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：

???????轴正方向的单位向量，且AB??i?j?k

→→→→(1)BD′＝xAD＋yAB＋zAA′. →→→→(2)AE＝xAD＋yAB＋ zAA.

17．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA＝AD＝1.选取恰

→→

当的基底求向量MN、DC的坐标．

10. 正方体ABCD?A'B'C'D'的棱长为2，以A为为x轴、y轴、z轴正方

向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .

11. 已知e1、e2、e3是不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，则α、β、γ分别为________． 12．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________，在基底{2a，b，－c}下的坐标为________．

→→→

13．在四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝

→

c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________.

14．三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC

→→→→

中点，以{BA，BC，BP}为基底，则MN的坐标为________． 15．如图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，→→→

且OA＝a，OC＝b，OO′＝c.

18．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

12

E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝

33

DD1.

→→

(1)用a，b，c表示向量OB′，AC′.

(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和

→

O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH.

78

(1)证明：A、E、C1、F四点共面；

→→→→

(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA1，求x＋y＋z的值．

??变式：设向量a?(2,1,6)，b?(?8,?3,2)，计算：

????2a?3b，3a?4b，

12??a?b

§3.1.5 空间向量运算的坐标表示

学习目标 1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式； 2. 会用这些公式解决有关问题.

例2：已知?ABC的顶点坐标分别为A（-2,0,2）B

??（-1,1,2），C(-3,0,4)且满足(kAB?AC)?

??(kAB?2AC),求实数k的值.

自我评价 1. 向量的模：设a＝(a1,a2,a3)，则｜a｜＝

2. 两个向量的夹角公式： ????设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)， 变式：设a?(1,2,?1)，b?(?2,3,2)，若(ka?b)

??由向量数量积定义： a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，

//(a?3b),求实数k的值. 又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，

由此可以得出：cos＜a,b＞＝

① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ；

② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角

是 ；

③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ，

例3. 如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E1,F1即a与b的位置关系是 ，用符合表示

分别是A1B1,C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所

为 .

成的角的余弦值． 3.设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴ a//B. ? a与b所成角是 ? a与b的坐

标关系为 ； ⑵ a⊥b?a与b的坐标关系为 ；

4. 两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x,y,z)，111

B(x2,y2,z2)，则线段AB的长度为：

222 AB?(x2?x1)?(y1?y2)?(z1?z2).

5. 线段中点的坐标公式： 在空间直角坐标系中，已知点 A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标

为: .

典型例题

???? 例1 已知a?(2,?1,?2)，b?(0,?1,4)，求a?b， ?????????? a?b，a?b，2a?(?b)，(a?b)?(a?b)

变式：如上图,在正方体ABCD?1A1BC中，D 11

79

B1E1?D1F1?A1B13，求BE1与DF1所成角的余弦值．

例4. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别是BB1,D1B1的中点，求证：EF?DA1.

变式：如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值.

80

课后作业 1. 若a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

??a1b1?a2b2?a3b3是a//b的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不不要条件

2．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα) ，且a b则向量a＋b与a－b的夹角是( )

A．90° B．60° C．30° D．0° 3．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为( )

A．4 B．1 C．10 D．11 4．下列各组向量中共面的组数为( )

①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)

②a＝(1,2，－1)，b(0,2，－4)，c＝(0，－1,2) ③a＝(1,1,0)，b＝(1,0,1)，c＝(0,1，－1) ④a＝(1,1,1)，b(1,1,0)，c＝(1,0,1) A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列各组向量不平行的是( )

A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)

D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)

6．若两点的坐标是A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，

→

2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是( )

A．[0,5] B．[1,5] C．(1,5) D．[1,25] 7．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是( ) A．x<－4 B．－44

,1,?1,OA??OB与OB的夹8. 已知A?1,0,0?,B?0?????????????角为120°，则?的值为（ ） A. ?66 B.

66 C. ?66 D. ?6

9．如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD

1→

－A1B1C1D1棱长为1，B1E1＝A1B1，则BE1等于

4

( )

11

A．(0，，－1) B．(－，0,1)

4411

C．(0，－，1) D．(，0，－1)

44

10．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )

11

A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4

32

1

C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1

4

11．如图AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所成的角为( )

2ππ B．arctan2 C. D. 232→→

12．已知向量OA＝(2，－2,3)，向量OB＝(x,1－y,4z)，

3

且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0，，2

1

－)，则(x，y，z)＝( ) 2

A．(－2，－4，－1) B．(－2，－4,1) C．(－2,4，－1) D．(2，－4，－1)

????13. 已知a??2,?1,3?,b???4,2,x?，且a?b，

A．arctan

则x＝ .

14．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－1,0)，单位向量n满足n⊥a，n⊥b，则n＝________. 15．已知空间三点A(1,1,1)、B(－1,0,4)、C(2，－2,3)，→→

则AB与CA的夹角θ的大小是____________．

16．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，－3,0)，c＝(7，－2，1)，则：

(1)a＋b＋c＝________；(2)(a＋b)·c＝________； (3)|a－b＋c|2＝________.

17．已知a，b，c不共面，且m＝3a＋2b＋c，n＝x(a－b)＋y(b－c)－2(c－a)，若m∥n，则x＋y＝__________________.

18．已知点A(2,3，－1)，B(8，－2,4)，C(3,0,5)，

→→→

是否存在实数x，使AB与AB＋xAC垂直？

81

19．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点．

求证：(1)AE⊥D1F； (2)AE⊥平面A1D1F.

20．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－

→→

3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.

→

(1)设|c|＝3，c∥BC，求c.(2)求a与b的夹角． (3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.

21. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M,N分别为棱A1A,B1B的中点，求CM和D1N所成角的余弦值.

????②定理：对空间两个不共线向量a,b，向量p与向

??量a,b共面的充要条件是存

§3.1 空间向量及其运算（复习）

在 ， 使得 . ③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：

⑴ 存在 ，使 ⑵ 对空间任意一点O，有

??7. 向量的数量积：a?b? .

8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.

9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{x,y,z}，使得

????a?xi?yj?zk，则称有序实数组{x,y,z}为向量a

??的坐标，记着p? . ????10. 设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB＝ .

学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运

算，向量的数量积运算及其坐标表示；

2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题. 11. 向量的直角坐标运算：

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ； ⑶λa＝ ； ⑷a·b＝

自我评价 典型例题 ?????1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量

点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC的OC?c，的模； 叫零向量，记?????中点，则N ? . 着 ； 具有 M

叫单位向量.

2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.

3.实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝ . (2)当λ＞0时，λa与A. ；

当λ＜0时，λa与A. ；

变式：如图，平行六面体ABCD?A'B'C'D'中，

????????????????当λ＝0时，λa＝ . 'AB?a,AD?bAA?c,点P,M,N分别是，4. 向量加法和数乘向量运算律：

交换律：a＋b＝ 结合律：(a＋b)＋c＝ CA',CD,'CD'的中点，点Q在CA'上，且CQ?4,

'QA1数乘分配律：λ(a＋b)＝

???5.① 表示空间向量的 所在的直用基底a,b,c表示下列向量：

?????????????????线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，

⑴ AP; ⑵ AM; ⑶ AN; ⑷ AQ.

也叫平行向量.

?? a,b②空间向量共线定理：对空间任意两个向量 ???? （b?0）， a//b的充要条件是存在唯一实数?， 使得 ；

③ 推论： l为经过已知点A且平行于已知非零向

?量a的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l 上的充要条件是

6. 空间向量共面：

①共面向量： 同一平面的向量.

例1 如图，空间四边形OABC中，OA?a,OB?b，

??????????? 82

例2 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，?ABC?90?,CB?1,CA?2,AA?,6点M是CC11的中点，求证：AM?BA1.

变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使得MN?AB1

例3已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CC1上的点.（1）求证：A1E?BD

(2)若平面A1BD?平面EBD，试确定E点得位置.

变式：正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4,点E在CC1上，且C1E?3EC.

课后作业 1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（ ） A．0 B. 1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、、A1C1是 ）

A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2）， c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（ ） A.

627?????D1C?????????? B.

6374．若a、b

7均为非零向量，则a?b?|a||b|是

C.

647 D.

65

a与b

共线的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

??????????????6. a?3i?2j?k,b?i?j?2k,则5a?3b?（ ） A．－15 B．－5 C．－3 D．－1

????????7．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CA?a，CB?b，， 则A1B?（ ） A. a?b?c B. a?b?c C. ?a?b?c D.?a?b?c

?????CC1?c?????????????8.m?a,m?b,向量n??a??b(?,??R且?、

证明：A1C?平面EBD

83

??????A．m//n B． m与n不平行也不垂直

???C. m?n， D．以上情况都可能.

???????9. 已知a+b+c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝19??0)则（ ）

，??则向量a与b???之间的夹角?a,b?为（ ）

?A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 10.已知a??1,1,0?b,???1,0,?2且,ka?b与2a?b互相垂直，则k的值是（ ） A. .1

B.

15???? C.

35 D.

75

11. 在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点。若AB?a，AD?b，

则DM= .（用a,b,c表示） AA1?c，

12. 若A(m＋1，n－1,3)， B. (2m,n,m－2n)，

C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=

??13.（2010广东）若向量a?(1,1,x)，b?(1,2,1)

????c?(1,1,1)满足条件(c?a)?(2b)??2，则x?

§3.2立体几何中的向量方法（1）

14. 若a={3,m,4}与b={-2,2,m}的夹角为钝角，则m的取值范围是 . 15.下列是真命题的命题序号是 .

①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

②若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

③若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与

CD

学习目标 1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念; 2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题． 1.

?平面的法向量：如果表示向量n?? 学习过程 同向，则AB＞CD

AB的有向线段所在

?④若两个非零向量

AB与CD满足

AB+CD=0，则直线垂直于平面?，则称这个向量n垂直于平面?,记作n⊥?，那 么向量n叫做平面?的法向量. 系 .

?∥CD

16.如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.

⑴ 求证：EF?CF；

⑵ 求EF与CG所成角的余弦； ⑶ 求CE的长.

17（2010天津）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC,CC1上的点，

CF?AB?2C,EAB:AD:AA1?1:2:4

????（1）.如果a,b都是平面?的法向量，则a,b的关

（2）.向量n是平面?的法向量，向量a是与平面?平行或在平面内，则是 .

2. 向量表示平行、垂直关系：

?n?与

?a的关系

??设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面?,? 的

??法向量分别为u,v，则

????① l∥m?a∥b?a?kb

???? ② l∥??a?u?a?u?0

???? ③ ?∥??u∥v?u?kv.

（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； （2）证明AF?平面

的正弦值。

84

AED

(3)求二面角A1?ED?F类型一 求平面的法向量

例1 已知?ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,0,?1),C(3,?2,0),试求出平面ABC的一个法向量.

变式：在空间直角坐标系中,已知A?3,0,4?,,试求平面0,0ABC,0的一个,2?,B?0,?0?C法向量.

变式2：在四棱锥S?ABCD中，底面是直角梯形，

?ABC?90???（3）设u是平面?的法向量，a是直线l的方向向

量，根据下列条件判断?与l的位置关系

??①u?(2,2,?1)，a?(?3,4,2)

??②u?(0,2,?3)，a?(0,?8,12)

??，SA?底面ABCD12，且

③u?(4,1,5)，a?(2,?1,0)

??变式：1.设a,b分别是直线l1,l2的方向向量，判断直线l1,l2的位置关系： ??⑴ a??1,2,?2?,b???2,3,2?；

??⑵ a??0,0,1?,b??0,0,3?

??2. 设u,v分别是平面?,?的法向量，判断平面?,?⑴ ⑵

??u??1,2,?2?,v???2,?4,4?； ??u??2,?3,5?,v???3,1,?4?.

??SA?AB?BC?1,AD?SBA的一个法向量.

,求平面SCD与平面

类型2 利用方向向量、法向量判断线面关系

??的位置关系：

3. 设u是平面?的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断?与l的位置关系

??（1）u?(1,?4,?3)，a?(2,0,3)

??例2（1）设a,b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1与l2的位置关系

??①a?(2,3,?1)，b?(?6,?9,3)

??②a?(5,0,2)，b?(0,4,0)

??③a?(?2,1,4)，b?(6,3,3)

??（2）设u,v分别是不同的平面?,?的法向量，根据下列条件判断?,?的位置关系

??①u?(1,?1,2)，v?(3,2,)

2??1（2）u?(1,?2,1)，a?(3,2,1)

类型3 平行与垂直

例3 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，

E,F分别为BB1,DD1的中点，求证：

②u?(0,3,0)，v?(0,5,0)

??③u?(2,?3,4)，v?(4,?2,1)

85

（1）FC1//平面ADE (2)平面ADE//平面B1FC1

变式：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，O1为B1D1的中点，求证：BO1//平面ACD1

例4在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱BC 的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P?平面C1DE

课后作业 1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面

1

α的法向量为(1，，2)，则m为( )

2

A．－4 B．－6 C．－8 D．8 2．若n＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是( )

A．(1，－2,0) B．(0，－2,2) C．(2，－4,4) D．(2,4,4) 3．(2010·雅安高二检测)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝( )

731A. B．1 C. D. 555

4.下列说法正确的是（ ）

A.平面的法向量是唯一确定的

B.一条直线的方向向量是唯一确定的

C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量 D.若m是直线l的方向向量，l//?，则m//? 5. 已知n??，下列说法错误的是（ ）

??A. 若a??，则n?a B.若a//?，则n?a

??????????

变式：在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，

E是棱BC的中点，F是棱CD上的动点，确定FC.若m??,，则n//m D.若m??,，则n?m 6. 已知

ABC?????????????AB??1,0,??1,AC??0,3?,?，1能做平面

的位置，使得D1E?平面AB1F

86

的法向量的是（ ）

??1??3A. ?1,2,1? B.?1,,1? C.?1,0,0? D. ?2,1,3? 7．已知A(3,0，－1)、B(0，－2，－6)、C(2,4，－2)，则△ABC是( )

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8.

??设a??2,?1,?2?,b??6,?3,?6?分别是直线l1,l2的

方向向量，则直线l1,l2的位置关系是 .

9.

??设u???2,2,5?,v??6,?4,4?分别是平面?,?的

法向量，则平面?,?的位置关系是 . 10．在直角坐标系O—xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________． 11．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，

→→→如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，

→

－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是

→→

平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的是________．

?????12. 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：DB1是平

面ACD1的一个法向量.

13．如图，△ABC中，AC＝BC，D为AB边中点，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求证：AB⊥PC.

14．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，如果BC⊥PB，求证ABCD是矩形．

87

15．如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.

(1)求证：BC1⊥AB1； (2)求证：BC1∥平面CA1D.

16．在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定

点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.

§3.2立体几何中的向量方法（2）

学习目标 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；

2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.

自我评价 1. 用空间向量表示空间线段，然后利用公 式 求出线段长度.

2. 叫二面角，二面角的大小

3. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为 利用公式 求解.

典型例题 例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？

变式1：上题中平行六面体的对角线BD1的长与棱

长有什么关系？

88

变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于?, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?

变式3：如图，已知线段AB在平面α内，线段AC??，线段BD⊥AB，线段DD'??，

??DBD'?30，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.

例2 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离AC,BD分别为a,b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.

变:1：如图，60?的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB?4,AC?6,BD?8,求CD的长.

变式2：如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点．求异面直线MN与CD'所成的角.

例3 （2011北京）如图，在四棱锥P?ABCD中，

PA?且?DAB?600,PA?PD?2,PB?2,

E,F分别是BC,PC的中点， （1）证明：AD?平面DEF;

（2）求二面角P?AD?B的余弦值. 平面ABCD，底面ABCD是菱形，

?AB?2,?BAD?60.

(Ⅰ)求证：BD?平面PAC;

课后作业 1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为( )

A．30° B．45° C．60° D．90° 2．(08·全国Ⅱ)已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( )

1232A. B. C．－ D. 3333

3.正方体ABC?D'A'B'C中D棱长为a，

??????1????'AM?AC3（Ⅱ）若

PA?AB,求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

变式1：（2011广东）如图，在椎体P?ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，

89

,N是BB'的中点，则MN为（ ）

66aA.

216a B. C.156a D.153a

4. 若M、N分别是棱长为1的正方体的棱A'B',BB'的中点,那么直线

AM,CN所成的角的余弦为（ ）

ABCD?A'B'C'D'A.

32 B.1010 C. D.

5325

5．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为( ) A．(0°，90°) B．90°C．120° D．(60°，120°) 6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为( )

A．90° B．60° C．45° D．30° 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于( )

2533 B. C. D. 3436

8．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是( )

1133A. B. C. D. 2332

9．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，

1

沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，这时二

2

面角B—AD—C的大小为( )

A．30° B．45° C．60° D．90° 10．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．

A.

14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值．

15．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．

11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．

12．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝

1

BC＝1，AD＝，则SC与平面

2

ABCD所成的角的大小为________．

13．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝3，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC.

90

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；

(3)求DB与平面DEF所成角的大小．

16．(2010·湖南)如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

变式1：如图,ABCD是矩形,PD?平面

,PD?DC?a,AD?2a,M、N分别是ABCDAD、PB的中点,求点A到平面MNC的距离.

P

N

D C

M A

B

§3.2立体几何中的向量方法（3）

变式2：已知?ABC是以?B为直角的直角三角形，SA?平面ABC，SA?BC?2,AB?4，M.N,D分别是SC,AB,BC的中点，求A到平面

SND的距离.

学习目标 1. 进一步熟练求平面法向量的方法；

2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；

3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用. 自我评价 1.用向量求点到平面的距离的方法：

设A??,空间一点P到平面?的距离为d,平面?的一个法向量为n，则

2.两条异面直线间的距离公式 典型例题 例1 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.

91

?

例2 如图，两条异面直线a,b所成的角为?，在直线a,b上分别取点A',E和A,F,使得AA'?a,且

AA?b.已知AE?m,AF?n,EF?l，求公垂线AA'''

的长.

变式：已知直三棱柱ABC─A1B1C1的侧棱AA1?4,底面△ABC中, AC?BC?2，且?BCA?90?,E是AB的中点,求异面直线CE与AB1的距离. 课后作业 1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为( )

3213A. B. C. D. 2423

2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是( )

1360

A．5 B. C. D．8

213

3．将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD间的距离为( )

3333A.a B.a C.a D.a 2244

4．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为( )

23

A.2 B.3 C. D.

33

5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在

AM1

AC1上且＝，N为BB1的中点，则|MN|的长为

MC12

( )

2161515A.a B.a C.a D.a

6663

6．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( )

A.2 B.3 C．2 D.5 7．△ABC中，∠C＝90°，点P在△ABC所在平面外，PC＝17，点P到AC、BC的距离PE＝PF＝13，则点P到平面ABC的距离等于( )

92

A．7 B．8 C．9 D．10

8．已知夹在两平行平面α、β内的两条斜线段AB＝8 cm，CD＝12 cm，AB和CD在α内的射影的比为35，则α、β间的距离为( ) A.5cm B.17cm C.19cm D.21cm 9．矩形ABCD中，∠BCA＝30°，AC＝20，PA⊥平面ABCD，且PA＝5，则P到BC的距离为________． 10．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．

11．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．

12. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，异面直线A'B和CB'所成角是 ；

13. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，两个平行平面间的距离是 ；

14. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，异面直线A'B和CB'间的距离是 ； 15. 在棱长为1的正方体ABCD?A'B'C'D'中，点

''''O是底面ABCD中心，则点O到平面A'CDB'的距离是 . 16．三棱柱ABC－A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点．

(1)求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1； (2)求点C到平面AB1D的距离．

17．如图所示，AB和CD是两条异面直线，BD是它们的公垂线，AB＝CD＝a，点M，N分别是BD，AC的中点． (1)求证：MN⊥BD；

(2)若AB与CD所成的角为60°，求MN的长．

18．如图所示，已知边长为42的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA⊥平面ABC，且PA＝2，设平面α过PF且与AE平行，求AE与平面α间的距离． 19．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．

§第三章 空间向量（复习）

学习目标 1. 掌握空间向量的运算及其坐标运算；

2. 立体几何问题的解决──熟练掌握向量是很好的工具. (1)证明：D1E⊥A1D； (2)当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

π

(3)AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为.

4

93

自我评价 复习1：如图，空间四边形OABC中，

???????????????OA?a,OB?b,OC?c.点M在OA上，且OM=2MA,

?????N为BC中点，则MN?

?????复习2：平行六面体ABCD?A'B'C'D'中，AB?a

??????????'AD?b,AA?c，点P,M,N分别是CA',CD',C'D'

的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'?4:1,用基底

???a,b,c表示下列向量：

?????????????????⑴ AP; ⑵ AM ; ⑶ AN; ⑷ AQ.

??

※主要知识点：

1. 空间向量的运算及其坐标运算：

空间向量是平面向量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是“二维的”变成 “三维的”了.

2. 立体几何问题的解决──向量是很好的工具 ①平行与垂直的判断

②角与距离的计算

变式：如图，长方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别在BB1,DD1上，且AE?A1B,AF?A1D. ⑴ 求证：A1C?平面AEF;

典型例题

例2 如图，在直三棱柱ABC??ABC?90?,CB?1,CA?21,AA?1A1B1中C，

,点6M是CC1的

中点，求证：AM?BA1.

变式：正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为1，棱长为2，点M是BC的中点，在直线CC1上求一点N，使MN?AB.

例3.（2011福建）如图甲，四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，四边形ABCD中，AB?AD，

AB?AD?4，CD?2，?CDA?45?． （Ⅰ）求证：平面PAB?平面PAD； （Ⅱ）设AB?AP．

（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30?，求线段AB的长；

（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P,B,C,D的距离都相等？说明理由．

时，求平面AEF与平

面D1B1BD所成的角的余弦值.

?3,AA1?5⑵ 当AB?4,AD例4:如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．

（Ⅰ）当CF?1时，求证EF?A1C；

（Ⅱ）设二面角C?AF?E的大小为?，tan?的最小值．

A1 C1

B1

A C

E

B

变式：如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

12

94

PD。

（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ （II）求二面角Q-BP-C的余弦值。

课后作业 1．已知非零向量a、b，及平面α，若向量a是平面α的法向量，则a·b＝0是b所在直线平行于α或在α内的( )

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件 2．下列说法中不正确的是( )

A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量

B．一个平面的所有法向量互相平行

C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直

D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量

3．已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，则以下等式中可能不成立的是( ) →→→→A.DA·PB＝0 B.PC·BD＝0 →→→→C.PD·AB＝0 D.PA·CD＝0

4．如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为( )

12222A. B. C. D. 3323

5．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )

95

111

A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2

232

6. 在正三棱柱ABC－A1B1C1，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成角的大小( ) A．60° B．90° C．105° D．75°

7．在下列条件中，使M与不共线三点A、B、C一定共面的是( )

→→→→A.OM＝2OA－OB－OC →1→1→1→B.OM＝OA＋OB＋OC

532→→→

C.MA＋MB＋MC＝0 →→→→D.OM＋OA＋OB＋OC＝0

8．如图，P是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，为求P与CD的距离作PQ⊥CD于Q，则( )

A．Q为CD的中点 B．Q与D重合 C．Q与C重合 D．以上都不对 9．如图，空间四边

→→→

形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA

1→

上，且OM＝MA，N为BC中点，则MN等于( )

2121A.a－b＋c 232

111B．－a＋b＋c

322112C.a＋b－c 223221D.a＋b－c 332

10．如图ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错．误的是( ) ．

A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1

所成的角为60°

11．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，→→

则AC与AB的夹角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90°

12．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )

A．3 B．4 C．5 D．6 13．过二面角α－l－β内一点P作PA⊥α于A，作PB⊥β于B，若PA＝5，PB＝8，AB＝7，则二面角α－l－β为________．

14．若△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AB＝8，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一点，则PM的最小值为________．

15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的角的正弦值为________．

16．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为________．

17．若e1、e2、e3是三个不共面向量，则向量a＝3e1＋2e2＋e3，b＝－e1＋e2＋3e3，c＝2e1－e2－4e3是否共面？请说明理由．

18．在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一→→

点，BG＝2GD，PA＝a，PB＝

→→b，PC＝c，试用基底{a，b，c}表示向量PG.

19．如图所示，已知空间四边形ABCD，P、Q分别是△ABC和△BCD的重心．

求证：PQ∥平面ACD.

96

20已知空间三点A(0,2,3)，B(－2，1,6)，C(1，－→→

1,5)．若|a|＝3，且a分别与AB、AC垂直，求向量a.

21．如图，已知正三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，在直线CC′上是否存在一点N，使得MN⊥AB′？若存在，请指出它的位置；若不存在，请说明理由．

22．(2010·重庆)如图，四

棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝6，点E是棱PB的中点．(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD＝3，求二面角A—EC—D的平面角的余弦值．

第三章综合能力检测

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则下列各命题中的真命题有( )

→→→→

①OA＋OD与OB1＋OC1是一对相反向量 →→→→

②OB－OC与OA1－OD1是一对相反向量 →→→→→→→③OA＋OB＋OC＋OD与OA1＋OB1＋OC1＋→

OD1是一对相反向量

→→→→

④OA1－OA与OC－OC1是一对相反向量 A．1个 B．2个C．3个 D．4个

2．若a、b、c是非零空间向量，则下列命题中的真命题是( ) A．(a·b)c＝(b·c)a B．a·b＝－|a|·|b|，则a∥b C．a·c＝b·c，则a∥b D．a·a＝b·b，则a＝b 3．四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，→→→

AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是( ) A．相交 B．垂直C．不垂直 D．成60°角

4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D, 使得DB∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为( ) A．(－1,1,1) B．(－1,1,1)或(1，－1，－1)

97

111111

C．(－，，) D．(－，，)或(1，－1,1)

222222

5．下面命题中，正确命题的个数为( ) ①若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2

?α∥β；

②若n1、n2分别是平面α、β的法向量，则α⊥β?n1·n2＝0；

③若n是平面α的法向量，b、c是α内两不共线向量a＝λb＋μc，(λ，μ∈R)则n·a＝0；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

→

6．已知ABCD是四面体，O是△BCD内一点，则AO1→→→

＝(AB＋AC＋AD)是O为△BCD重心的( ) 3

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

7．同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量是( )

122??－1，2，－2? A.?，－， B.?3?3333?3?112122122C.?，－，? D.?，－，?或?－，，－? ?333??333??333?8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F

21

分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则

33

( )

A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF是A1D，AC的公垂线

C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面

9．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是

→→→→

侧面CDD′C′的中心，若AF＝AD＋xAB＋yAA′，则x－y等于( )

11

A．0 B．1 C. D．－

22

10．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C是线段AB上一

AC1

点，且＝，则C点的坐标为( )

AB3715??8，－3，2? A.?，－， B.?2?3?22?107??5，－7，3? C.?，－1， D.?3?23?22?11．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是( )

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

12．a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )

5553511A. B. C. D. 5555

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．|a|＝|b|＝|c|＝1，a＋b＋c＝0，则a·c＋b·c＋a·b＝________.

14．已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，

→→→

存在三个不为零的实数λ、m、n使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值等于________．

15．在平面直角坐标系中，A(－2,3)，B(3，－2)，沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB的长度为________．

16．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为______．

三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－

→→→

A′B′C′，设AB＝a，AC＝b，AA′＝c，在面对

→

角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使AM＝→→→→

kAC′，BN＝kBC(0≤k≤1)，求证：三向量MN、a、c共面．

18．(本小题满分12分)如图所示，在棱长为1的正方体AC1中，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.

98

19．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．(1)求证：AC⊥BC1. (2)求证：AC1∥平面CDB1

(3)求AC1与BC1所成角的余弦值． 20．(本小题满分12分)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求：

(1)M到直线PQ的距离； (2)M到平面AB1P的距离．

21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD

中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝

1

90°，AB＝BC＝AD.

2

(1)求证：平面PCD⊥平面PAC；

1

(2)设E是棱PD上一点，且PE＝PD，求异面

3

直线AE与PB所成的角．

22．(本小题满分14分)(09·山东)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．

(1)证明：直线EE1∥平面FCC1； (2)求二面角B－FC1－C的余弦值．

99

本册综合检测一

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2

＝2相切”的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

2．设直线l1、l2的方向向量分别为a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则直线l1、l2的夹角是( )

15210A．arccos B．π－arcsin

151521015

C．arcsin D．arccos(－) 1515

3．(2010·陕西)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆

22

(x－3)＋y＝16相切，则p的值为( ) 1

A. B．1 C．2 D．4 2

y22

4．设P为双曲线x－＝1上的一点，F1，F2是

12

100

该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则ΔPF1F2的面积为( )

A．63 B．12 C．123 D．24 5．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B是A的充分条件，则实数m的取值范围是( )

A．[－3,3] B．[3，＋∞) C．[0,3] D．(－∞，3]

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运

→

算的结果为向量BD1的是( )

→→→→→→①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；

→→→→→→③(AD－AB)－2DD1；④(B1D1＋A1A)＋DD1. A．①② B．②③ C．③④ D．①④

π

7．(2010·上海)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”

4

成立的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，A、B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是( ) 1512A. B. C. D. 2532

9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于( )

A．4 B．4或－4 C．－2 D．－2或2

10．如图，在正三棱锥P—ABC中，D是侧棱PA的中心，O是底面ABC的中点，则下列四个结论中正确的是( )

A．OD∥平面PBC B．OD⊥PA C．OD⊥AC D．PA＝2OD 11．已知正方体ABCD－

→→

A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若AE＝zAA1

→→

＋xAB＋yAD，则x＋y＋z的值为( )

33

A．1 B. C．2 D. 2422

12．双曲线x－y＝1的左焦点为F1，点P在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF1的斜率为( )

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，0)∪(1＋∞)

C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线；以上两个命题中，逆命题为真命题的是______________．(把符合要求的命题序号都填上)．

14．如图所示，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是________．

x2y2

15．椭圆＋＝1上有n个不同的点P1，P2，??，

43

1

Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于

100

的等差数列，则n的最大值为________．

x2y2

16．与椭圆＋＝1有公共焦点，且两条渐近线互

94

相垂直的双曲线方程为________．

三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知△ABC，A(－2,0)，B(0，

2

－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．

18．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．

(1)求证：CM∥平面PAD； (2)求证：平面PAB⊥平面PAD.

x2

19．(本小题满分12分)设双曲线C：2－y2＝1(a>0)

a

与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B. (1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

101

→5→

(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA＝PB，求a

12

的值．

20．(本小题满分12分)已知条件p：|5x－1|>a和条

1

件q：2>0，请选取适当的实数a的值，

2x－3x＋1

分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题：若A则B.使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题． 21．(本小题满分12分)已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，面A1ACC1⊥面ABC，∠ABC＝90°，BC＝2，AC＝23，且AA1⊥A1C，AA1＝A1C，求侧面A1ABB1

与底面ABC所成的锐二面角的大小． 22．(本小题满分14分)(2010·安徽)已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，

1

离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；

2

(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；

本册综合检测二

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．(2010·山东)设{an} 是首项大于零的等比数列，则“a1

31

是BC的中点，点A的坐标是(，，0)，点D在

22

平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则向→

量OD的坐标为( )

?31? A.－，－，0?2?2 B.?0，－1，3?

?22??13?

C.－，－，0?2?2

102

?13?D.0，，－

?22?3．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )

A．43 B．8 C．83 D．16

4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－

8

1,2)，a、b的夹角的余弦值为，则9

λ的值为( )

22

A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－

5555

2

5．若抛物线y＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4，m)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆一共有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 6．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1 ,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程( ) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0

2

7．直线y＝kx－2与抛物线y＝8x交于A，B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是( )

A．－1 B．2

C．－1或2 D．以上都不是 8．如图双曲线的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为( )

A．相交 B．相切C．相离 D．以上情况都有可能 9．(2010·全国卷Ⅰ)已知F1、F2为双曲线Cx2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )

A．2 B．4 C．6 D．8

10．对于直线m，n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是( )

A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 11．(08·福建)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )

6251510 B. C. D. 3555

12．“－2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2＋ax＋1＝0无实根”的( )

A.

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

x2y2

13．(2010·天津)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)

ab

的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点与抛物

2

线y＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为______．

22xy

14．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P为其上

94

的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是______．

15．已知ABCD为正方形，P是ABCD所成平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点．

→→→→

(1)若OQ＝PQ＋xPC＋yPA，则x＝________，y＝________；

→→→→

(2)若PA＝xPO＋yPQ＋PD，则x＝________，y＝________.

22xy

16．过双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点

ab

222

作圆x＋y＝a的两条切线，切点分别为A、B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．

三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时指出它们的真假．

18．(本小题满分12分)已知双曲线上两点P1、P2

9

的坐标分别为(3，－42)，(，5)，求双曲线的标

4

准方程．

19．(本小题满分12分)过定点A(3,4)任作互相垂直的两条线l1与l2，且l1与x轴交于M点，l2与y轴交于N点，求线段MN中点P的轨迹方程．

103

20.（2011全国新课标）

如图，四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，?DAB?60?，AB?2AD，PD?底面ABCD．（I）证明：PA?BD；

（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

21．(本小题满分12分)如图，x22直线y＝kx＋b与椭圆＋y

4＝1，交于A、B两点，记ΔAOB的面积为S.

(1)求在k＝0,0

22．(本题满分14分)(2010·安徽·)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；

(2)求证：AC⊥平面EDB； (3)求二面角B－DE－C的大小．

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