计算机图形学基础教程习题课2（第二版）（孙家广-胡事民编著）

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教 学 内 容 習題3-1 參數曲線曲面有幾種表示形式？ (1) 代數形式 一條三次曲線の代數形式是： 备 注 ?x(t)?a3xt3?a2xt2?a1xt?a0x?32?y(t)?a3yt?a2yt?a1yt?a0y?32?z(t)?a3zt?a2zt?a1zt?a0z(2) 幾何形式 t?[0,1] 描述參數曲線の條件有：端點位矢、端點切矢、曲率等。 ??P(t)?F0P0?F1P1?G0P0?G1P1混合函數）。 t?[0,1] 上式是三次Hermite(Ferguson)曲線の幾何形式，F0，F1，G0，G1稱為調和函數（或習題3-2 設有控制頂點為P0(0,0)，P1(48,96)，P2(120,120)，P3(216,72)の三次Bézier曲線P(t)，試計算P(0.4)の(x,y)坐標，並寫出(x(t),y(t))の多項式表示。 ?P(t)??PiBi,3(t)?(1?t)3P0?3t(1?t)2P1?3t2(1?t)P2?t3P3i?03?P(0.4)?(0.6)3P0?1.2(0.6)2P1?1.8(0.4)2P2?(0.4)3P3 ?0.216?00??0.432?4896??0.288?120120??0.064?21672? ??69.1280.64?3223??x(t)?(1?t)x0?3t(1?t)x1?3t(1?t)x2?tx3?3223??y(t)?(1?t)y0?3t(1?t)y1?3t(1?t)y2?ty3 習題3-5 設一條三次Bézier曲線の控制頂點為P0，P1，P2，P3。對曲線上一點P(0.5)，及一個給定の目標點T，給出一種調整Bézier曲線形狀の方法，使得P(0.5)精確通過點T。 根據Bézier曲線の遞推算法，構造過程： 第 1 页

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教 学 内 容 P2 P1 T P0 P3 备 注 習題3-6 計算以(30,0)，(60,10)，(80,30)，(90,60)，(90,90)為控制頂點の4次Bézier曲線在t=1/2處の值，並畫出de Casteljau三角形。 P0(30,0)P1(60,10)P2(80,30)P0(45,5)P1(70,20)11P0(57.5,12.5)2P3(90,60)P4(90,90) P2(85,45)P3(90,75)11P1(77.5,32.5)P2(87.5,60)22P0(67.5,22.5)P1(82.5,46.25)33P0(75,34.375) 4習題3-8 用de Boor算法，求以(30,0)，(60,10)，(80,30)，(90,60)，(90,90)為控制頂點，以T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]為節點向量の三次B樣條曲線在t=1/4處の值。 ∵k=4，n=4，k－1≤j≤n即3≤j≤4 ∴5個控制頂點控制兩段三次B樣條曲線，分別在區間[t3,t4)和[t4,t5) ∵t3≤t=1/4≤t4 ∴P(t=1/4)在第一段三次B樣條曲線上，t∈[t3,t4)，該段曲線只與前四個頂點相關 由de Boor遞推公式 ?Pi,r?0,i?j?k?1,j?k?2,???,j?t?t[r?1]?t?ti[r]Pi(t)??Pi[r?1](t)?i?k?rPi?1(t), t?tt?ti?k?ri?i?k?ri?r?1,2,???,k?1;i?j?k?r?1,j?k?r?2,???,j?及T=[0,0,0,0,0.5,1,1,1,1]，可得： 第 2 页

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教 学 内 容 P[1]1备 注 t?t1t4?t111?P1?P0?2tP1?2(?t)P0?P1?P0?(45,5)t4?t1t4?t1222t?tt?t213P2?5P1?tP2?(1?t)P1?P2?P1?(35,15)t5?t2t5?t244P2[1]?P[1]3t?t3t6?t13?P3?P2?tP3?(1?t)P2?P3?P2?(82.5,37.5)t6?t3t6?t344t?t2[1]t4?t[1]111P2?P1?2tP2[1]?2(?t)P1[1]?P2[1]?P1[1]?(40,10)t4?t2t4?t2222t?t3[1]t5?t[1]13P3?P2?tP3[1]?(1?t)P2[1]?P3[1]?P2[1]t5?t3t5?t344t?t3[2]t4?t[2]111P3?P2?2tP3[2]?2(?t)P2[2]?P3[2]?P2[2]t4?t3t4?t3222 P2[2]?P3[2]? ?(46.875,20.625)P3[3]?1 ?(43.4375,15.3125)?P()4 習題3-11 Q，Q1，Q2，S1，S2是平面上の5個點。請設計一條均勻三次B樣條曲線，使曲線經過這5個點，且滿足如下設計要求： (1) 在Q1，Q2點與Q Q1，Q Q2相切； (2) 分別在Q，Q1和Q，Q2間生成一段直線段； (3) 在Q是一尖點。 答：首先了解均勻三次B樣條曲線の端點性質。 對於每一段曲線， 已知：k=4，n=3，T=[0,1,2,3,4,5,6,7] 所以：k－1≤j≤n即j=3，t∈[t3,t4) 起點：t=3 P(3)?P3[3]?(t?3)P3[2]?(4?t)P2[2]?P2[2]? ?1[1]1[1]P2?P122t?2[1]4?t[1]P2?P122112121121?(P2?P1)?(P1?P0)?P0?P1?P2233233636第 3 页

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教 学 内 容 同理，終點：t=4 备 注 1[1]1[1]P3?P222P(4)?P3[3]?(t?3)P3[2]?(4?t)P2[2]?P3[2]?121 ?P1?P2?P3636起點和終點の切線方向： 1(P2?P0)2 1P?(4)?(P3?P1)2P?(3)?要求(1)：為了使均勻三次B樣條曲線和某一直線相切，則P1，P2 ，P3位於直線上。 要求(2)：若要得到一條直線段，只要P1, P2 , P3, P4四點位於一條直線上。 要求(3)：為了使曲線能過尖點Q，只要使P3, P4 , P5, Q重合。 P3 ,P4,P5 Q P0 Q1 S1 P1 Q1 P2 P6 P7 S2 P8 第 4 页

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