利用反函数确定新的一元二次方程（林福凯）

利用反函数确定新的一元二次方程

数学组 林福凯

经过中学数学教学洗礼的人都会知道：方程的根是由原方程各项的系数决定的。因此，根与系数之间存在着密切的联系！其中就有重要的数学命题——“韦达定理及其逆定理”，即：已知x1,x2是关于x的方程f(x)?ax2?bx?c?0（a,b,c为常数，a?0），以下简称方程f(x)?0，则x1,x2满足x1?x2?反之，y1,y2满足y1?y2??h(y)?ay2ca。

ba,y1?y2?ca，则以y1,y2为根的关于y的方程

?by?c?0（a,b,c为常数，a，以下简称方程h(y)?0。 ?0）

此命题在中学数学教学中占有举足轻重的地位和作用，并在各省，地市高考，中考的数学命题中深受命题者的青睐，因此，数学教学中应强调熟练掌握并会应用它进行解题！

本人经过多年的数学教学总结，研究发现：解决“不解方程，确定一个方程

h(y)?0，使它的两根分别是已知方程f(x)?0两根的什么关系”的类型问题，通

常地，人们采用“韦达定理及其逆定理”知识进行解题，此解法以下简称“韦达定理法”。但笔者认为：并非“韦达定理法”是解决此类问题的唯一捷径！现将研究发现的解决此类问题的新方法——“反函数法”呈现如下：

设x是方程f(x)?0的根，y是方程h(y)?0的根，其中y与x存在可逆的函数关系，即存在y?g(x)，有x?g?1(y),则方程f(x)?ax2?bx?c?0（

a,b,c为常数，a?02），可化为方程

h(y)?a1y?b1y?c1?0（a1,b1,c1为常数，a?0）。

为了便于读者的对照认识，下面本人例举三种典型例题，部分例题将采用“韦达定理法”和“反函数法”并举进行解答，敬请同行批评指正！

例题1：不解方程，确定一个方程h(y)?0，使它的两根分别是已知方程

f(x)?0两根的mba倍多n（m?0）。

ca“韦达定理法”解：根据“韦达定理及其逆定理”可得：

x1?x2??,x1?x2?;y1?mx1?n,y2?mx2?n.

∴y1?y2?mx1?n?mx2?n?m(x1?x2)?2n

?m?(?)?2n??abbm?2ana

y1?y2?(mx1?n)(mx2?n)?m2x1x2?mn(x1?x2)?n2 ?m?2ca?mn(?ba)?n2?cm2?bmn?anacm2

2∴以y1,y2为根的方程是y?2bm?2anay??bmn?ana2?0

化简可得：h(y)?ay2?(bm?2an)y?cm2?bmn?an2?0

“反函数法”解：∵y?mx?n,∴x?a(y?nm)?b?2y?nm2代入方程f(x)?0可得：

?(bm?2an)y?cm2y?nm?c?0,化简得h(y)?ay?bmn?an2?0

例题1深入研究：两种解法殊路同归，但“反函数法”是否可以分步完成呢？ 以下演变过程用“反函数法”容易推导，为了便于表述，不做具体推导，敬请读者各自完成！具体步骤简述为：

1． f(x)?ax2先m倍?bx?c?0 z?mx(m?0) d(z)?az2?bmz?cm2?0 再多ny?z?n h(y)?ay2?(bm?2an)y?cm2?bmn?an2?0 先多n2． f(x)?ax2?bx?cz?x?n

再m倍v?mz(m?0) d1(z)?az2?(b?2am)z?an2?bn?c?0 h(y)?ay2?(bm?2an)y?cm2?bmn?an2?0

研究总结得出：1）先倍分再和差可以分步完成！2）先和差再倍分不能分步完成！

例题2：不解方程，确定一个方程h(y)?0，使它的两根分别是已知方程

f(x)?0两根的

1）相反数；2）倒数：3）负倒数。

“韦达定理法” 解：（略）。 “反函数法” 解：根据题意，得：

1）∵y??x，∴x??y代入f(x)?ax2?bx?c?0得：h(y)?ay2?by?c?0. 2）∵y?(ac?0).

1x1x，∴x?1y代入f(x)?ax2?bx?c?0得:h(y)?cy2?by?a?0，

3) ∵y??(ac?0).

,∴x??1y代入f(x)?ax2?bx?c?0得:h(y)?cy2?by?a?0,

综合例题2所述，又可以发现1）、2）、3）各自所确定的新方程h(y)?0与原方程f(x)?0存在着漂亮的“八阵图”关系（简洁、方便、易记）：

方程f(x)?ax2?bx?c?0 (a、b、c为常数，ac?0) 方程g(y)?cy2互为相反数 x?y?0 方程h(y)?ay2?by?c?0?0)(a、b、c为常数，ac 互为倒数互为负倒数 xy??1 互为倒数2(a、b、c为常数，ac例题3：不解方程，确定一个方程h(y)?0，使它的两根分别是已知方程

f(x)?0两根的

xy=1 xy=1 ?by?a?0?0) 互为相反数 x?y?0 方程d(x)?cx(a、b、c为常数，ac ?bx?a?0?0) 1）立方；2）平方。

“韦达定理法”

解：1）根据“韦达定理及其逆定理”可得：

x1?x2??ba,x1?x2?ca;y1?x1,y2?x2

3333∴y1?y2?x13?x2?(x1?x2)?3x1x2(x1?x2)

=(?)?3?(?)??3bcbb?3abca33aa3a

y1?y2?x?x?(x1?x2)?()?3

aa31323cc3∴以y1,y2为根的方程是y?2b?3abca33y?ca33?0

化简可得：h(y)?a3y2?(b3?3abc)y?c3?0 2）（略） “反函数法”

解：1）∵y?x3，∴x?3y代入方程f(x)?0得：

a?(3y)2?b?3y?c?0，即：a?(3y)2?b?3y??c

两边立方可得：a3?y2?3?(a?3y)2?(b?3y)?a?(3y)2?b?3y??b3y??c3 化简为：a3y2?3ab?y?(?c)?b3y??c3， 可得：h(y)?a3y2?(b3?3abc)y?c3?0 2）∵y?x2，∴x??2y代入方程f(x)?0得:

a?(?2y)?b?(?2y)?c?0，即：a?y?c??b?2y

2两边平方可得：a2?y2?2?ay?c?c2?b2?y 化简可得：h(y)?a2y2?(b2?2ac)y?c2?0.

综合例题1，2，3所述，有两种解决“不解方程，确定一个方程h(y)?0，使它的两根分别是已知方程f(x)?0两根的什么关系”的类型问题的方法，它们各有不同的优缺点。“韦达定理法”比较直观，具体，较容易理解，但解题过程比较繁琐，步骤通常比较多（特别如例题1）；“反函数法”比较抽象，不易理解，也较不容易想到，但它解题比较直截了当，步骤通常比较简间（特别如例题2）；“反函数

法”要求读者具有较强的变式，运算和整理的能力（特别如例题3）；“反函数法”是拓宽解题思路，增进思维发展的好方法。

当然，本人在研究“不解方程，确定一个方程h(y)?0，使它的两根分别是已经知方程f(x)?0两根的什么关系”的问题时，清楚认识到用“反函数法”也可以轻松地解决一元一次方程的同等问题（当然不必如此画蛇添足！）。但是，本人还存在着诸多问题有待深入研究，例如：

1）是否也可以用“反函数法”解决一元n(n?2的整数）次方程的同等问题？ 2）是否也可以用“反函数法”解决“方程f(x)?0与h(y)?0的根满足：

y?a0x?a1xnn?1?a2xn?2???an?1x?an，（其中a0,a1,a2,?,an至少有三个不为0）

的问题”？如果可以，怎么解决？以上两类问题，本人尚未能诠解，敬请同行们赐教！

综上所述，我们在利用“反函数法”解决此类问题时，务必因题择法，切勿生搬硬套！

最后，本人拟一个练习供读者小试牛刀！

练习：不解方程，确定一个方程h(y)?0，使它的两根分别是已知方程

f(x)?x?x?1?0两根的

21）相反数；2）倒数；3）负倒数；4）一半；5）一半

少2；6）平方；7）立方。

参考答案：1）h(y)?y2?y?1?0； 2）h(x)??y2?y?1?0； 3）h(y)??y2?y?1?0； 4）h(y)?4y2?2y?1?0； 5）h(y)?4y2?18y?19?0； 6）h(y)?y2?3y?1?0； 7）h(y)?y2?4y?1?0。

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