二次函数测试卷中等难度含详细答案

组卷二次函数中等题31-60

一、选择题（共12小题） 31．（2012?株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（ ）

A．（﹣3，0） 2B． （﹣2，0） C． x=﹣3 D． x=﹣2 32．（2013?德州）函数y=x+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论： 22①b﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（ ）

1 A． 2 B． 23 C． 4 D． 33．（2013?鞍山）如图所示的抛物线是二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：

①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0． 其中正确的结论有（ ）

A．5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个 234．（2013?吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）+k，则下列结论正确的是（ ）

A．h＞0，k＞0 B． h＜0，k＞0 C． h＜0，k＜0 D． h＞0，k＜0 组卷二次函数中等题31-60

35．（2013?济南）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（ ）

2 A．a＜0 B． a﹣b+c＜0 C． ﹣ 2D． 4ac﹣b＜﹣8a 36．（2013?湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（ ）

16 A． 15 B． 214 C． 13 D． 37．（2013?衢州）抛物线y=x+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为

2

y=（x﹣1）﹣4，则b、c的值为（ ） A．b=2，c=﹣6 B． b=2，c=0 C． b=﹣6，c=8 D． b=﹣6，c=2 238．（2013?南昌）若二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ） 2 A．a＞0 B． C． D． b﹣4ac≥0 x1＜x0＜x2 a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 239．（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中， 正确的是（ ）

①② A．③④ B． 2

①④ C． ①③ D． 40．（2012?重庆）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（ ）

组卷二次函数中等题31-60

a+b=0 A．abc＞0 B． C． 2b+c＞0 D． 4a+c＜2b 41．（2012?镇江）若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（ ） A．m＜﹣1 B． ﹣1＜m＜0 C． 0＜m＜1 D． m＞1 42．（2013?呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ） A．B． C． D． 2 二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值） 2222

43．（2012?南京）已知下列函数①y=x；②y=﹣x；③y=（x﹣1）+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x+2x﹣3的图象的有 _________ （填写所有正确选项的序号）． 44．（2013?大连）如图，抛物线y=x+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 _________ ．

2

45．（2013?黑龙江）二次函数y=﹣2（x﹣5）+3的顶点坐标是 _________ ． 46．（2013?葫芦岛）如图，一段抛物线C1：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）与x轴交于点O，A1；将C1向右平移得第2段抛物线C2，交x轴于点A1，A2；再将C2向右平移得第3段抛物线C3，交x轴于点A2，A3；又将C3向右平移得第4段抛物线C4，交x轴于点A3，A4，若P（11，m）在C4上，则m的值是 _________ ．

2

47．（2012?扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 _________ ．

组卷二次函数中等题31-60

48．（2012?牡丹江）若抛物线y=ax+bx+c经过点（﹣1，10），则a﹣b+c= _________ ．

2

49．（2012?贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取

值范围是 _________ ．

2

50．（2012?无锡）若抛物线y=ax+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 _________ ．

51．（2013?贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=﹣n始终保持相切，则n= _________ （用含a的代数式表示）．

2

52．（2013?荆门）若抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= _________ ． 53．（2012?百色）如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是 _________ ．

2

2

54．（2012?黔南州）如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为 _________ ．

2

三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）

2

55．（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

组卷二次函数中等题31-60

56．（2013?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）﹣m+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴． （1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？ （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

2

2

57．（2014?沙坪坝区一模）如图，抛物线y1=x﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C． （1）请直接写出抛物线y2的解析式； （2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标； （3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

2

组卷二次函数中等题31-60

58．（2013?宜昌）如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）

（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A _________ ，k= _________ ； （2）随着三角板的滑动，当a=时：

①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=

的图象上；

②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；

（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．

59．（2013?株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直

2

线AB与x轴的距离是m（m＞0）． （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值；

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

组卷二次函数中等题31-60

60．（2013?遵义）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

2

组卷二次函数中等题31-60

【章节训练】第2章 二次函数-2

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题）

组卷二次函数中等题 难度 3 级 31．（2012?株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（ ）

A．（﹣3，0） B． （﹣2，0） C． x=﹣3 D． x=﹣2 考点： 抛物线与x轴的交点． 专题： 探究型． 分析： 设抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），再根据AB两点关于对称轴对称即可得出． 解答： 解：抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0）， ∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=﹣1， ∴=﹣1，解得b=﹣3， ∴B（﹣3，0）． 故选A． 点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，熟知抛物线与x轴的交点关于对称轴对称是解答此题的关键． 组卷二次函数中等题 难度

2

4.5

级

32．（2013?德州）函数y=x+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论： 22①b﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x+（b﹣1）x+c＜0． 其中正确的个数为（ ）

1 A． 考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 压轴题． 2 B． 3 C． 4 D．

组卷二次函数中等题31-60 分析： 由函数y=x2+bx+c与x轴无交点，可得b2﹣4c＜0；当x=1时，y=1+b+c=1；当x=3时，y=9+3b+c=3；当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x+bx+c＜x，继而可求得答案． 2解答： 解：∵函数y=x+bx+c与x轴无交点， 2∴b﹣4ac＜0； 故①错误； 当x=1时，y=1+b+c=1， 故②错误； ∵当x=3时，y=9+3b+c=3， ∴3b+c+6=0； ③正确； ∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值， ∴x+bx+c＜x， 2∴x+（b﹣1）x+c＜0． 故④正确． 故选B． 点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 22组卷二次函数中等题 难度

4.5

2

级

33．（2013?鞍山）如图所示的抛物线是二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论： ①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0． 其中正确的结论有（ ）

A．5个 B． 4个 C． 3个 D． 2个 考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 压轴题． 分析： 由开口方向、与y轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定a，b，c的正负；由对称轴x=﹣=1，可得b+2a=0；由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1，可得抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0；a﹣b+c＜0，b+2a=0，即可得3a+c＜0． 解答： 解：∵开口向上， ∴a＞0， ∵与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∵对称轴x=﹣∴b＜0， ∴abc＞0； 故①正确；

＞0， 组卷二次函数中等题31-60 ∵对称轴x=﹣=1， ∴b+2a=0； 故②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）； 故③正确； ∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a+c＜b， 故④错误； ∵a﹣b+c＜0，b+2a=0， ∴3a+c＜0； 故⑤正确． 故选B． 点评： 主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 组卷二次函数中等题 难度 3 级

2

34．（2013?吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）+k，则下列结论正确的是（ ）

A．h＞0，k＞0 B． h＜0，k＞0 C． h＜0，k＜0 D． h＞0，k＜0 考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 压轴题；探究型． 分析： 根据抛物线所的顶点坐标在x轴的上方即可得出结论． 2解答： 解：∵抛物线y=﹣2（x﹣h）+k的顶点坐标为（h，k），由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限， ∴h＞0，k＞0． 故选A． 点评： 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键． 组卷二次函数中等题 难度 4 级

35．（2013?济南）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（ ）

2

A．a＜0 B． a﹣b+c＜0 C． ﹣

2D． 4ac﹣b＜﹣8a

组卷二次函数中等题31-60

考点： 二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 分析： 由开口方向，可确定a＞0；由当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，可确定B错误；由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，可确定x=﹣＜1；由二次函数y=ax+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0，2可得最小值：＜﹣2，即可确定D正确． 解答： 解：A、∵开口向上，∴a＞0，故本选项错误； B、∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故本选项错误； C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，∴x=﹣2＜1，故本选项错误； D、∵二次函数y=ax+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0， ∴最小值：2＜﹣2， ∴4ac﹣b＜﹣8a． 故本选项正确． 故选D． 点评： 此题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 组卷二次函数中等题 难度

5

级

36．（2013?湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（ ）

16 14 13 A．C． D． 考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： 根据在OB上的两个交点之间的距离为3可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解． 2解答： 解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x+4x， 然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线， 可平移6次， 所以，一共有7条抛物线， 同理可得开口向上的抛物线也有7条， 15 B．

组卷二次函数中等题31-60 所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14． 故选C． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，作出图形更形象直观． 组卷二次函数中等题 难度

2

4.5

级

37．（2013?衢州）抛物线y=x+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为

2

y=（x﹣1）﹣4，则b、c的值为（ ） A．b=2，c=﹣6 B． b=2，c=0 C． b=﹣6，c=8 D． b=﹣6，c=2 考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 压轴题． 分析： 先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、c的值． 解答： 解：函数y=（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（1，﹣4）， ∵是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到， ∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1， ∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）， 2∴平移前的抛物线为y=（x+1）﹣1， 2即y=x+2x， ∴b=2，c=0． 故选B． 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便． 组卷二次函数中等题 难度

2

4.5

级

38．（2013?南昌）若二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ） 2 A．a＞0 B． C． D． b﹣4ac≥0 x1＜x0＜x2 a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 考点： 抛物线与x轴的交点． 专题： 压轴题． 分析： 根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解． 解答： 解：A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；

组卷二次函数中等题31-60 B、∵x1＜x2， 2∴△=b﹣4ac＞0，故本选项错误； C、若a＞0，则x1＜x0＜x2， 若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误； D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0， 所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0， ∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0， 若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号， ∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0， 综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确． 故选D． 点评： 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论． 组卷二次函数中等题 难度

2

5

级

39．（2013?义乌市）如图，抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中， 正确的是（ ）

①② ③④ ①④ ①③ A．B． C． D． 考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 计算题；压轴题． 分析： ①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（﹣1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断； ②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=﹣2a，将其代入（3a+b），并判定其符号； ③根据两根之积=﹣3，得到a=﹣，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围； ④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围． 2解答： 解：①∵抛物线y=ax+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x=1， ∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0． 故①正确； ②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．

组卷二次函数中等题31-60 ∵对称轴x=﹣=1， ∴b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a＜0，即3a+b＜0． 故②错误； ③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（﹣1，0），（3，0）， ∴﹣1×3=﹣3， ∴=﹣3，则a=﹣． ∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）， ∴2≤c≤3， ∴﹣1≤﹣≤﹣，即﹣1≤a≤﹣． 故③正确； ④根据题意知，a=﹣，﹣∴b=﹣2a=， =1， ∴n=a+b+c=c． ∵2≤c≤3， ∴≤c≤4，即≤n≤4． 故④错误． 综上所述，正确的说法有①③． 故选D． 点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 组卷二次函数中等题 难度

2

4.5

级

40．（2012?重庆）已知二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（ ）

组卷二次函数中等题31-60

a+b=0 A．abc＞0 B． C． 2b+c＞0 D． 4a+c＜2b 考点： 二次函数图象与系数的关系． 专题： 压轴题． 分析： 由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x=﹣，即可求得a=b；由当x=1时，a+b+c＜0，即可判定C错误；然后由抛物线与x轴交点坐标的特点，判定D正确． 解答： 解：A、∵开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∵对称轴在y轴左侧， ∴﹣＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0， 故本选项错误； B、∵对称轴：x=﹣=﹣， ∴a=b， 故本选项错误； C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0， 故本选项错误； D、∵对称轴为x=﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1， ∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2， ∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0， 即4a+c＜2b， 故本选项正确． 故选D． 点评： 此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性． 组卷二次函数中等题 难度 4 级 41．（2012?镇江）若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（ ） A．m＜﹣1 B． ﹣1＜m＜0 C． 0＜m＜1 D． m＞1 考点： 抛物线与x轴的交点． 专题： 压轴题；探究型． 分析： 先令（x+1）（x﹣m）=0求出x的值即可得出二次函数与x轴的交点坐标，再根据抛物线的对称轴在y轴的右侧即可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 解答： 解：∵令y=0，即（x+1）（x﹣m）=0，则x=﹣1或x=m，

组卷二次函数中等题31-60 ∴二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象与x轴的交点为（﹣1，0）、（m，0）， ∴二次函数的对称轴x=， ∵函数图象的对称轴在y轴的右侧， ∴＞0， 解得m＞1． 故选D． 点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，先根据函数的解析式得出二次函数的图象与x轴的交点是解答此题的关键． 组卷二次函数中等题 难度 4 级

2

42．（2013?呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ） A．B． C． D． 考点： 二次函数的图象；一次函数的图象． 专题： 压轴题． 分析： 本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=c）． 解答： 解：当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0， 一次函数图象过一、二、三象限． 当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0， 对称轴x=＜0， 2，与y轴的交点坐标为（0，这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧， 一次函数图象过二、三、四象限． 故选D． 点评： 主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值） 组卷二次函数中等题 难度 4 级

2222

43．（2012?南京）已知下列函数①y=x；②y=﹣x；③y=（x﹣1）+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x+2x﹣3的图象的有 ①③ （填写所有正确选项的序号）． 考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 探究型． 分析： 先把原式化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 解答： 解：原式可化为：y=（x+1）2﹣4， 2由函数图象平移的法则可知，将函数y=x的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数2y=（x+1）﹣4，的图象，故①正确； 22函数y=（x+1）﹣4的图象开口向上，函数y=﹣x；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；

组卷二次函数中等题31-60 将y=（x﹣1）+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）﹣4的图象，故③正确． 故答案为：①③． 点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 22组卷二次函数中等题 难度

2

5

级

44．（2013?大连）如图，抛物线y=x+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 y=x﹣x+ ．

2

考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 压轴题． 分析： 先求出点A的坐标，再根据抛物线的对称性可得顶点C的纵坐标，然后利用顶点坐标公式列式求出b的值，2再求出点D的坐标，根据平移的性质设平移后的抛物线的解析式为y=x+mx+n，把点A、D的坐标代入进行计算即可得解． 解答： 解：∵令x=0，则y=， ∴点A（0，）， 根据题意，点A、B关于对称轴对称， ∴顶点C的纵坐标为×=， 即=， 解得b1=3，b2=﹣3， 由图可知，﹣∴b＜0， ∴b=﹣3， ∴对称轴为直线x=﹣=， ＞0， ∴点D的坐标为（，0），

组卷二次函数中等题31-60 设平移后的抛物线的解析式为y=x+mx+n， 2则， 解得， 所以，y=x﹣x+． 故答案为：y=x﹣x+． 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数图象的对称性确定出顶点C的纵坐标是解题的关键，根据平移变换不改变图形的形状与大小确定二次项系数不变也很重要． 组卷二次函数中等题 难度 3 级

2

45．（2013?黑龙江）二次函数y=﹣2（x﹣5）+3的顶点坐标是 （5，3） ． 考点： 二次函数的性质． 2分析： 因为顶点式y=a（x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=﹣2（x﹣5）+3的顶点坐标． 2解答： 解：∵二次函数y=﹣2（x﹣5）+3是顶点式， ∴顶点坐标为（5，3）． 故答案为：（5，3）． 点评： 此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握． 22组卷二次函数中等题 难度

4.5

级

46．（2013?葫芦岛）如图，一段抛物线C1：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）与x轴交于点O，A1；将C1向右平移得第2段抛物线C2，交x轴于点A1，A2；再将C2向右平移得第3段抛物线C3，交x轴于点A2，A3；又将C3向右平移得第4段抛物线C4，交x轴于点A3，A4，若P（11，m）在C4上，则m的值是 2 ．

考点： 二次函数图象与几何变换． 分析： 利用抛物线C1的解析式求出A1的坐标为（3，0），然后确定出平移到C4的平移距离，并求出平移后的顶点坐标，然后写出顶点式解析式，最后把点P的坐标代入进行计算即可得解． 解答： 解：令y=0，则﹣x（x﹣3）=0， 解得x1=0，x2=3， ∴点A1（3，0）， 由题意得，平移到C4的平移距离为3×3=9， ∵y=﹣x（x﹣3）=﹣（x﹣）+，

2组卷二次函数中等题31-60 ∴C4的解析式为：y=﹣（x﹣﹣9）+， ∵P（11，m）在C4上， ∴m=﹣（11﹣﹣9）+=﹣+=2． 故答案为：2． 点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移的距离并利用写出C4的顶点式解析式是解题的关键，也是本题的难点． 组卷二次函数中等题 难度 4 级 47．（2012?扬州）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是 1 ．

22

考点： 二次函数的最值；等腰直角三角形． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 设AC=x，则BC=2﹣x，然后分别表示出DC、EC，继而在RT△DCE中，利用勾股定理求出DE长度的表达式，利用函数的知识进行解答即可． 解答： 解：如图，连接DE． 设AC=x，则BC=2﹣x， ∵△ACD和△BCE分别是等腰直角三角形， ∴∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=∴∠DCE=90°， ，CE=（2﹣x）， 故DE=DC+CE=x+（2﹣x）=x﹣2x+2=（x﹣1）+1， 当x=1时，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1． 故答案为：1． 22222222 点评： 此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是表示出DC、CE，得出DE的表达式，还要求我们掌握配方法求二次函数最值． 组卷二次函数中等题 难度 4 级

2

48．（2012?牡丹江）若抛物线y=ax+bx+c经过点（﹣1，10），则a﹣b+c= 10 ． 考点： 二次函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题． 分析： 由于函数图象上的点符合函数解析式，将该点坐标代入解析式即可． 解答： 解：将（﹣1，10）代入y=ax2+bx+c得， a﹣b+c=10． 故答案为10． 点评： 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，知道函数图象上的点符合函数解析式是解题的关键．

组卷二次函数中等题31-60

组卷二次函数中等题 难度

4.5

级

49．（2012?贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取

值范围是 0＜m＜2 ． 考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象． 专题： 压轴题；图表型． 分析： 首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围． 解答： 解：分段函数y=的图象如图： 故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2， 故答案为：0＜m＜2． 点评： 本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一． 组卷二次函数中等题 难度 4 级

50．（2012?无锡）若抛物线y=ax+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 y=2

﹣x+4x﹣3 ． 考点： 待定系数法求二次函数解析式． 专题： 计算题． 分析： 设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式． 解答： 解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1， 2将B（1，0）代入y=a（x﹣2）+1得， a=﹣1， 2函数解析式为y=﹣（x﹣2）+1， 2展开得y=﹣x+4x﹣3． 2

组卷二次函数中等题31-60 故答案为y=﹣x+4x﹣3． 点评： 本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键． 2组卷二次函数中等题 难度

4.5

级

2

51．（2013?贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=﹣n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： 设P（m，am2）．如图，连接PF．设⊙P与直线y=﹣n相切于点E，连接PE．根据题意知PE、PF是⊙P的半径，所以利用两点间的距离公式得到=am+n，通过化简即可求得n的值． 2解答： 解：如图，连接PF．设⊙P与直线y=﹣n相切于点E，连接PE．则PE⊥AE． 2∵动点P在抛物线y=ax上， 2∴设P（m，am）． ∵⊙P恒过点F（0，n）， ∴PF=PE，即∴n=． ． =am+n． 2故答案是： 点评： 本题考查了二次函数综合题，此题涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离等知识点．根据题意得到PF是⊙P的半径是解题的关键． 组卷二次函数中等题 难度

2

4.5

级

52．（2013?荆门）若抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 9 ．

组卷二次函数中等题31-60 考点： 抛物线与x轴的交点． 专题： 压轴题． 分析： 222首先，由“抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b﹣4c=0，即b=4c； 其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）； 最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）+b（﹣﹣3）+c=入即可求得n的值． 解答： 解：∵抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点， ∴当x=﹣时，y=0．且b﹣4c=0，即b=4c． 又∵点A（m，n），B（m+6，n）， ∴点A、B关于直线x=﹣对称， ∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n） 将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）+b（﹣﹣3）+c=∵b=4c， ∴n=×4c+c+9=9． 222222b+c+9，所以把b=4c代22b+c+9 2故答案是：9． 点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程2ax+bx+c=0根之间的关系． 2△=b﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． 2△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； 2△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点； 2△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 组卷二次函数中等题 难度

4.5

2

级

53．（2012?百色）如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是 3﹣＜m＜2或4＜m＜3+ ．

考点： 二次函数综合题．

组卷二次函数中等题31-60 专题： 压轴题． 分析： 22由圆心P在抛物线y=x﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），可得n=m﹣3m+3，又由⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，可得|m﹣3m+3|＜1，继而可求得答案． 解答： 解：∵圆心P在抛物线y=x﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n）， ∴n=m﹣3m+3， ∵⊙P半径为1，⊙P与x轴相交， ∴|n|＜1， ∴|m﹣3m+3|＜1， ∴﹣1＜m﹣3m+3＜1， 解m﹣3m+3＜1，得：3﹣2222222＜m＜3+， 解m﹣3m+3＞﹣1，得：m＜2或m＞4， ∴点P的横坐标m的取值范围是：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+． 故答案为：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+． 点评： 此题考查了二次函数上点的性质、直线与圆的位置关系以及不等式的求解方法．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 组卷二次函数中等题 难度

4.5

级

2

54．（2012?黔南州）如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x+6x

2

上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为 l=﹣2m+8m+12 ．

考点： 待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 求l与m的函数解析式就是把m当作已知量，求l，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用l=2（AD+CD），建立函数关系式． 解答： 解：把x=m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得AD=﹣m2+6m 22把y=﹣m+6m代入抛物线y=﹣x+6x中，得 22﹣m+6m=﹣x+6x 解得x1=m，x2=6﹣m ∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m 2∴矩形的周长是l=2（﹣m+6m）+2（6﹣2m） 2即l=﹣2m+8m+12． 点评： 求函数解析式的过程就是一个列代数式的过程，求线段的长度的问题一般要转化为求点的坐标的问题．

组卷二次函数中等题31-60

三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）

组卷二次函数中等题 难度

5

2

级

55．（2013?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； （3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 解答： 解：（1）将B、C两点的坐标代入得， 解得：； 2所以二次函数的表达式为：y=x﹣2x﹣3（3分） （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形； 设P点坐标为（x，x﹣2x﹣3），PP′交CO于E 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO； 连接PP′，则PE⊥CO于E， ∵C（0，﹣3）， ∴CO=3， 又∵OE=EC， ∴OE=EC= ∴y=22；（6分）

∴x﹣2x﹣3=

组卷二次函数中等题31-60 解得x1=，x2=，（不合题意，舍去） ）（8分） ∴P点的坐标为（ （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x﹣2x﹣3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则解得：， 2∴直线BC的解析式为y=x﹣3， 则Q点的坐标为（x，x﹣3）； 2当0=x﹣2x﹣3， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ =AB?OC+QP?BF+QP?OF ==当 （10分） 时，四边形ABPC的面积最大 ，四边形ABPC的面积的最大值为．（12分） 此时P点的坐标为 点评： 此题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质以及图形面积的求法等知识，当所求图形不规则时通常要将其转换为其他规则图形面积的和差关系来求解．

组卷二次函数中等题31-60

组卷二次函数中等题 难度

5.5

级

2

2

56．（2013?舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）﹣m+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴． （1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？ （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题；数形结合． 分析： （1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标； （2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4； （3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m+m+4，将m=代入y=﹣m+m+4，即可求出二次函数的表达式； ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答． 解答： 解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）+1， 把x=0代入y=（x﹣2）+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m+m）=m， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， 2222222

组卷二次函数中等题31-60 ∴=，即：=， ∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m+m+4， ∴y=﹣?++4， x+x+4， 2222∴所求函数的解析式为：y=﹣②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF， （Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）﹣（m）=﹣m+m+4， 把P（3m，﹣m+m+4）的坐标代入y=﹣﹣m+m+4=﹣22222x+x+4得： 2×（3m）+×（3m）+4， 2解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8． （Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m+m+4）+（m）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣m+4=﹣m+m+4， 222x+x+4得： 2解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8， 综上所述：m的值为8或﹣8． 点评： 本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．

组卷二次函数中等题31-60

组卷二次函数中等题 难度

5

2

级

57．（2014?沙坪坝区一模）如图，抛物线y1=x﹣1交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C． （1）请直接写出抛物线y2的解析式； （2）若点P是x轴上一动点，且满足∠CPA=∠OBA，求出所有满足条件的P点坐标； （3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得△QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题；压轴题；探究型；数形结合． 分析： （1）写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可； （2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出∠OBA=45°，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解； （3）先求出直线OC的解析式为y=x，设与OC平行的直线y=x+b，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式△=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CD⊥x轴于D，然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值． 2解答： 解：（1）抛物线y1=x﹣1向右平移4个单位的顶点坐标为（4，﹣1）， 所以，抛物线y2的解析式为y2=（x﹣4）﹣1； （2）x=0时，y=﹣1， 2y=0时，x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1， 所以，点A（1，0），B（0，﹣1）， ∴∠OBA=45°， 联立， 2解得， ∴点C的坐标为（2，3）， ∵∠CPA=∠OBA， ∴点P在点A的左边时，坐标为（﹣1，0）， 在点A的右边时，坐标为（5，0）， 所以，点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）； （3）存在．

组卷二次函数中等题31-60 ∵点C（2，3）， ∴直线OC的解析式为y=x， 设与OC平行的直线y=x+b， 联立2， 消掉y得，2x﹣19x+30﹣2b=0， 当△=0，方程有两个相等的实数根时，△QOC中OC边上的高h有最大值， 此时x1=x2=×（﹣此时y=（2）=， ， ﹣4）﹣1=﹣∴存在第四象限的点Q（2，﹣），使得△QOC中OC边上的高h有最大值， 此时△=19﹣4×2×（30﹣2b）=0， 解得b=﹣， ， ∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=x﹣令y=0，则x﹣=0，解得x=， ，0）， 设直线与x轴的交点为E，则E（过点C作CD⊥x轴于D，根据勾股定理，OC=则sin∠COD=解得h最大==×， =． =， 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，等腰三角形的判定与性质，（3）判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键，也是本题的难点． 组卷二次函数中等题 难度

5

级

组卷二次函数中等题31-60

58．（2013?宜昌）如图1，平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）

（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A （t，4） ，k= （2）随着三角板的滑动，当a=时：

①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=

的图象上；

（k＞0） ；

②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；

（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围． 考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值； （2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=即表示该顶点在函数y=图象上；反之，该顶点不在函数y=，若该点满足函数解析式y=图象上； ，②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=x（x﹣t）即可求得t=2； （3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是关系式． 解答： 解：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4， ∴点A的坐标是（t，4）． 又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）， ∴4=kt，则k=（k＞0）． （2）①当a=时，y1=x（x﹣t），其顶点坐标为（，﹣对于y=来说，当x=时，y=×=﹣）． ）在抛物线y=上． +4．则t+4=+4，由此可以求得a与t的，即点（，﹣故当a=时，抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y= ②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．

的图象上；

组卷二次函数中等题31-60 ∵AC⊥x轴， ∴AC∥EK． ∵点E是线段AB的中点， ∴K为BC的中点， ∴EK是△ACB的中位线， ∴EK=AC=2，CK=BC=2， ∴E（t+2，2）． ∵点E在抛物线y1=x（x﹣t）上， ∴（t+2）（t+2﹣t）=2， 解得t=2． （3）如图2，，则x=ax（x﹣t）， 解得x=+t，或x=0（不合题意，舍去）．． +t． +t， 故点D的横坐标是当x=+t时，|y2﹣y1|=0，由题意得t+4=解得a=（t≥4）． 点评： 本题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用． 组卷二次函数中等题 难度

5

级

59．（2013?株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直

2

线AB与x轴的距离是m（m＞0）． （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值；

组卷二次函数中等题31-60

（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．

考点： 二次函数综合题． 专题： 代数几何综合题；压轴题． 分析： 2（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1），（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可； （2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可； 2（3）先把直线AB与x轴的距离是m代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证． 解答： （1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0）， ∵抛物线过点（0，）， ∴a（0﹣1）=， 解得a=， ∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）， 一般形式为y=x﹣x+； （2）解：当m=2时，m=4， ∵BC∥x轴， ∴点B、C的纵坐标为4， ∴（x﹣1）=4， 解得x1=5，x2=﹣3， ∴点B（﹣3，4），C（5，4）， ∵点A、C关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣5，4），

22222组卷二次函数中等题31-60 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 则（﹣5﹣1）﹣h=4， 解得h=5； （3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m， 2∴点B、C的纵坐标为m， ∴（x﹣1）=m， 解得x1=1+2m，x2=1﹣2m， 2∴点C的坐标为（1+2m，m）， 又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1， ∴CE=1+2m﹣1=2m， ∵点A、C关于y轴对称， ∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m）， ∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m， 设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）﹣h， 则（﹣1﹣2m﹣1）﹣h=m， 解得h=2m+1， 22∴EF=h+m=m+2m+1， ∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=， 222222222∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=． 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点． 组卷二次函数中等题 难度

2

5

级

60．（2013?遵义）如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．

组卷二次函数中等题31-60

考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题；压轴题． 分析： （1）利用顶点式求得二次函数的解析式后令其等于0后求得x的值即为与x轴交点坐标的横坐标； （2）线段BC的长即为AP+CP的最小值； （3）连接ME，根据CE是⊙M的切线得到ME⊥CE，∠CEM=90°，从而证得△COD≌△MED，设OD=x，在RT△COD中，利用勾股定理求得x的值即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法确定线段CE的解析式即可． 解答： 2解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）﹣（a≠0） ∵抛物线经过（0，2） ∴a（0﹣4）﹣=2 解得：a= ∴y=（x﹣4）﹣ 即：y=x﹣x+2 当y=0时，x﹣x+2=0 解得：x=2或x=6 ∴A（2，0），B（6，0）； （2）存在， 如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4， 因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小 ∵B（6，0），C（0，2） ∴OB=6，OC=2 ∴BC=2， ∴AP+CP=BC=2 ∴AP+CP的最小值为2； （3）如图3，连接ME ∵CE是⊙M的切线 ∴ME⊥CE，∠CEM=90° 由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD与△MED中 2222

组卷二次函数中等题31-60 ∴△COD≌△MED（AAS）， ∴OD=DE，DC=DM 设OD=x 则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x 222则Rt△COD中，OD+OC=CD， 222∴x+2=（4﹣x） ∴x= ∴D（，0） 设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点， 则 解得： ∴直线CE的解析式为y=﹣+2；

组卷二次函数中等题31-60 点评： 本题考查了二次函数的综合知识，特别是用顶点式求二次函数的解析式，更是中考中的常考内容，本题难度偏大．

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