广西玉林师院附中、玉林十一中等五校2022-2022学年高二上学期期

玉林市田家炳中学、玉林师院附中、玉林市育才中学、玉林市第十一中学、玉林市福绵高中2020年秋季期期中教学质量评价高二数学（理）试卷

玉林市田家炳中学高二数学基组命题、审题

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将★★答案★★正确填写在答题卡上

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( )

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．椭圆

22

1

49

x y

+=的焦点坐标是（）

A．(0,5)B．(5,0)C．(13,0)D．(0,13)

3．现要完成下列3项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从2000名学生中抽取100名进行课后阅读情况调查；③从某社区100户高收人家庭，270户中等收人家庭，80户低收人家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是（）A．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

4．射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

甲乙丙丁

平均环数x8.3 8.8 8.8 8.7

方差2s 3.5 3.6 2.2 5.4

从这四个人选择一人参加该射击项目比赛，最佳人选是（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 5．以下命题正确的个数是（ ）

①命题“R x ?∈，sin 0x >”的否定是“R x ?∈，sin 0x ≤”．

②命题“若2120x x +-=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2120x x +-≠”． ③若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个 6．将十进制数19转化为二进制数为（ ）

）（211110.A ）（210101.B ）（210011.C ）（210001.D

7．若椭圆22

1164

x y +=的弦AB 被点(1,1)M 平分，则AB 所在直线方程为（ ） A ．450x y -+= B ．450x y +-=

C ．450x y -+=

D ．450x y +-=

8．以下给出的是计算111124620

++++的值的一个程序框图 （如图所示），其中判断框内应填入的条件是 （ ） A ．i >10

B ．i <10

C ．i <20

D ．i >20

9．相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性

相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）

A ．1201r r <<<

B ．2101r r <<<

C ．1210r r -<<<

D ．2110r r -<<<

10．设2F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若2253MF PF =

，且260MF N ?∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）

A ．6

B ．23

C ．43

D ．192

11．某小学要求下午放学后的17：00-18：00接学生回家，该学生家长从下班后到达学校（随机）的时间为17：30-18：30，则该学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为（ ）

A ．78

B ．34

C ．12

D ．14

12．已知双曲线22

222

:1(0)x y C c a a c a -=>>-的右焦点为F ，右顶点为M ，A ，B 两点在双曲线C 的右支上，F 为AB 中点，N 为x 轴上一点，且AN BM ⊥.若||FN a c ≤+，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）

A ．(1,2]

B ．[2,)+∞

C ．(1,2]

D ．[2,)+∞

二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将正确的★★答案★★填在题中的横线上．）

13．已知随机事件A ，B ，C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()0.3P A =，()0.6P C =，则()P A B +=______.

14．已知13235+-+-=x x x x x f ）（，应用秦九韶算法计算3=x 时的值时，

3v 的值

为________．

15．命题“0x R ?∈，使()200110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为__________.

16．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为32

，短轴长为2，点P 为椭圆上任意一点，则12

14PF PF +的最小值是______.

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）分别求适合下列条件的方程：

（1）焦点在x 轴上，长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；

（2）一个焦点为()3,0-，渐近线方程为2y x =

的双曲线标准方程.

18．（12分）（1）从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，求a +b 为奇数的概率；

（2）已知[]5,5a ∈-，关于x 的一元二次方程240x ax -+=，求此方程没有实根的概率．

19．（12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ （1）求出直方图中m 的值；

（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）.

20．（12分）已知命题()():230p x x -+≤；命题():110q a x a a -≤≤+>． （1）若6a =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围． （2）若q ?是p ?的充分条件，求实数a 的取值范围．

21．（12分）2020年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下表

（1）根据2015-2019年的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并预测到2020年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫；

（2）2019年的新脱贫户中有20户五保户，20户低保户，60户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层抽样的方法对2019年新脱贫户中的5户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况.为防止这些脱贫户再度返贫，随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户中至

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 少有1户是扶贫户的概率. 参考数据：5115526838049251001299i

i i x y ==?+?+?+?+?=∑ 参考公式：()()()1

1222

11n n

i

i i i i i n n i

i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，x b y a -=∧

22．（12分）已知定圆:A ()22316x y ++=,动圆M 过点()

3,0B ,且和圆A 相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；

（2）设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P 、Q ，点4,0N

．若P 、Q 、N 三点不共线,且ONP ONQ ∠=∠．证明：动直线PQ 经过定点．

玉林市田家炳中学、玉林师院附中、玉林市育才中学、玉林市第十一中学、玉林市福绵高中 2020年秋季期期中教学质量评价高二数学（理）试卷

参考★★答案★★

1．B 【解析】，所以★★答案★★选择B

2．A 【详解】由题意，椭圆22149

x y +=，即22

194y x +=，可得椭圆的焦点在y 轴上，且945c =-=(0,5).故选：A.

3．D 【详解】在①中，由于总体个数较少，故采用简单随机抽样即可；

在②中，由于总体个数较多，故采用系统抽样较好；

在③中，由于高收入家庭、中等收入家庭和低收人家庭的消费水平差异明显，

故采用分层抽样较好.故选：D ．

4．C 【详解】由统计的知识可知：平均越大越好，方差越小越好，从数表中提供的数据信息可以看出：这四个人中，平均数较大，方差较小的是丙，应选★★答案★★C ．

5．C 【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，①正确；②正确；p 、q 一真一假时，

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ p q ∧为假命题，③错误；

6．C 【详解】19÷2=9…1，9÷2=4…1，4÷2=2…0，2÷2=1…0，1÷2=0…1，故19（10）=10011

（2）．

7．B 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则满足221122221164116

4x y x y ?+=????+=??，两式作差得()222212124x x y y -=--，

又AB 被点(1,1)M 平分，故12121212

x x y y +?=???+?=??， 且直线AB 的斜率存在，所以1221122114x x y y y y x x ??+--

= ?+-??， 化简得212114AB y y k x x -==--，则AB 所在直线方程为()1114

y x =--+，化简得450x y +-=故选：B 8．A 【详解】算法要求最后计算＋120，此时10i =，但计算S ＋120

后，11=i ，结束循环，条件应为10?i >，故选A ．

9．D 【详解】由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D.

10．D 【详解】解：设双曲线的左焦点1F ，由双曲线的对称性可得21MF PF 为平行四边形，所以12||||MF PF =，1//MF PN ，1260F PF ∠=?

设2||PF m =，则25||3MF m =，所以21522||||33

a MF MF m m m =-=-=，即3m a =， 2||3PF a =，12||2||235PF a PF a a a =+=+=，

在12F PF ?中，由余弦定理可得：222(2)(3)(5)235cos60c a a a a =+-?，整理可得：22419c a =，

可得离心率e =D ． 11．A 【详解】解：根据题意，设学生出来的时间为x ，家长到达学校的时间为y ， 学生出来的时间为17：00-18：00，看作56x ≤≤，

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 家长到学校的时间为17：30-18：30，5.5 6.5y ≤≤，

要使得家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子，则需要y x ≥，

则相当于565.5 6.5x y ≤≤??≤≤?

，即求y x ≥的概率， 如图所示：

约束条件对应的可行域面积为：1，

则可行域中y x ≥的面积为阴影部分面积：111712228

-??=， 所以对应的概率为：77818

=，即学生家长从下班后，在学校规定时间内接到孩子的概率为：78.故选：A.

12．C 【详解】解：设()0,0N x ，由题意可知(,0)M a ，AB x ⊥轴，不妨令2,b A c a ?? ???，2,b B c a ??- ???（其中222b c a =-）.因为AN BM ⊥，所以22

01b b a a c x c a

-?=---，解得4

02()b c x a c a -=-. 由题易知4

02||()b FN c x a c a c a =-=≤+-，整理得()

4222b a c a ≤-，即222c a a -≤，即22e ≤，又1e >

，所以1e <≤故选C.

13．0.7【详解】随机事件A ，B ，C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且P （A ）0.3=，P （C ）0.6=，P ∴（B ）1P =-（C ）0.4=，()P A B P ∴+=（A ）P +（B ）0.30.40.7=+=．故★★答案★★为：0.7．

14．24【解析】试题分析：1)1)3)2)0(((()(+-+-+=x x x x x x f

∴ 0v =1，1v =1×3+0=3， 2v =3×3-2=7， 3v =7×3+3=24

15

．m >【详解】0x R ?∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题， 则x R ?∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题，

当10m +=，即1m =-，()2

110m x mx m +-+->转化为20x ->，不是对任意的x ∈R 恒成立；

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 当10m +≠，x R ?∈，使()2

110m x mx m +-+->即恒成立，即 ()()()210

4110

m m m m +>???--+-，

解得m >

或m <

所以m > 16．94

【详解】据题意2

c a =，1b =，解得2a =

，c =，于是1224PF PF a +==， 所以()121212141144PF PF PF PF PF PF ??+=++ ? ???

∣(2112411955444PF PF PF PF ??=++≥+= ? ???， 当且仅当212PF PF =，即283PF =，143

PF =时等号成立.故★★答案★★为：94. 17．【详解】（1）由已知条件可得21024a c =??

=?，可得52a c =??=?，22221b a c ∴=-=， 因此，所求椭圆的标准方程为22

12521

x y +=； （2）设所求双曲线的方程为222x y λ-=，化为标准方程得2

2

12

x y λλ-=，

由于该双曲线的一个焦点坐标为()，则32λ

λ+=，解得2λ=， 因此，该双曲线的标准方程为2

2

12y x -=. 18．【详解】（1）根据题意，任取两个不同的数字，()()()()()()2,3,2,8,2,9,3,8,3,9,8,9 所有的基本事件共有6个，若b a +为奇数，则a 和b 一个是奇数一个是偶数，共有4种情况，故所求的概率为4263

=． （2）由题意知本题是一个几何概型问题，试验的全部结果构成区域{}

55a a Ω=-≤≤，其长度为10．

若关于x 的一元二次方程240x ax -+=没有实根，则2440a ?=-?<，解得44a -<<．

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 因此，所求的概率为84105

=． 19.【详解】（1）由()100.0100.0150.0150.0250.051m ?+++++=，得0.030m =. （2）平均数为450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =?+?+?+?+?+?=， 设中位数为n ，则()0.10.150.15700.030.5n +++-?=，得22073.333

n =≈. 故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.

20．【详解】由()()230x x -+≤得 :32p x -≤≤，():110q a x a a -≤≤+>， 设[3,2],[1,1]A B a a =-=-+

（1）6a =时:57q x -≤≤，由已知可知p 与q 一真一假

若p 为真命题，q 为假命题，则3275

x x x -≤≤??><-?或，所以x φ∈ 若p 假命题，q 为真命题，则5723x x x -≤≤??

><-?或， 则[)(]5,32,7x ∈--?，

综上：[)(]

5,32,7x ∈--? （2）根据题意知：q ?是p ?的充分条件，p 是q 的充分条件，即A B ?

1312

a a -≤-??+≥?，解得4a ≥，所以实数a 的取值范围4a ≥. 21．【详解】解：（1）5115526838049251001299i

i i x y ==?+?+?+?+?=∑

3x =，556880921003957955y ++++===521149162555i i x

==++++=∑，

21299537911411.4555310

b -??===-?，7911.4344.8a =-?=， ∴11.444.8y x =+，当6x =时，11.4644.8113.2y =?+=，

即预测2020年一年内该乡镇约有113贫困户脱贫.

∴预测6年内该乡镇脱贫总户数有55688092100113508500+++++=>，

不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！ 即预测到2020年底该乡镇500户贫困户能全部脱贫. （2）由题意可得：按分层抽样抽取的5户脱贫户中，有1户五保户a ，1户低保户b ，3户扶贫户c ，d ，e .从这5户中选2户，共有10种情况：

(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e .

其中抽取的2户中至少有1户是扶贫户有(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e 共9种情况∴求抽取的2户中至少有1户是扶贫户的概率为910

22．试题解析：(1)圆A 的圆心为(30)A -，,半径14r =. 设动圆M 的半径为2r ,依题意有2r MB =．由 23AB =,可知点B 在圆A 内,从而圆M 内切于圆A ,故12MA r r =-, 即 4MA MB +=.所以动点M 的轨迹E 是以A 、B 为焦点,长轴长为4的椭圆, 其方程为

(2) 设直线的方程为(0)y kx b k =+≠,联立22{44y kx b x y =++=，

，消去得,

222(14)8440k x kbx b +++-=, 2216(41)k b ?=-+.

设11()P x kx b +，,11()Q x kx b +，,

则122814kb x x k +=-+,21224414b x x k

-=+. 于是12121212112(4)()844(4)(4)

kx b kx b kx x k b x x b x x x x ++--+-+=----, 由ONP ONQ ∠=∠知

. 即 21212224482(4)()82(4)81414b kb kx x k b x x b k k b b k k

----+-=---++ 322

2288328801414k k k b kb b k k

--=+-=++,得b k =-,216(31)0k ?=+>. 故动直线的方程为y kx k =-,过定点(10)，

.

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