高中数学典型例题解析：第十章 - 导数及其应用

第十章 导数及其应用

一、知识导学

§10.1导数及其运算

1.瞬时变化率：设函数y?f(x)在x0附近有定义，当自变量在x?x0附近改变量为?x时，函数值相应地改变?y?f(x0??x)?f(x)，如果当?x趋近于0时，平均变化率

?yf(x0??x)?f(x0)趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝??x?x对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率。

2.导数：当?x趋近于零时，

f(x0??x)?f(x0)趋近于常数c。可用符号“?”记作：

?x当?x?0时，

f(x0??x)?f(x0)f(x0??x)?f(x0)?c，符号“?”?c或记作lim?x?0?x?x读作“趋近于”。函数在x0的瞬时变化率，通常称作f(x)在x?x0处的导数，并记作f?(x0)。

3.导函数：如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a,b)可导。这样，对开区间(a,b)内每个值x，都对应一个确定的导数f?(x)。于是，在区间(a,b)内，

f?(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y?f(x)的导函数。记为f?(x)或y?（或y?x）。

4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则

(f(x)?g(x))??f?(x)?g?(x)即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数

的和（或差）。

2）函数积的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，则

[f(x)g(x)]??f?(x)g(x)?f(x)g?(x)即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数

乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。

3）函数的商的求导法则：设f(x)，g(x)是可导的，g(x)?0，则

1

??f(x)?g(x)f?(x)?f(x)g?(x)??g(x)?g2(x)???5.复合函数的导数:设函数u??(x)在点x处有导数u?x??(x),函数y?f(u)在点x的??f?(u),则复合函数y?f[?(x)]在点x处有导数,且对应点u处有导数yu??y?x?yu?ux.

6.几种常见函数的导数：

??nx (1)C??0(C为常数) (2)（x）nn?1(n?Q)(3)(sinx)??cosx (4)(cosx)???sinx (5)(lnx)??x11 (6)(logax)??logae xxxxx(7)(e)??e (8)(a)??alna 二、疑难知识导析

1.导数的实质是函数值相对于自变量的变化率

??2.运用复合函数的求导法则y?x?yu?ux,应注意以下几点

（1）利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量的函数,层层求导.

(2) 要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，

常出现如下错误，如(cos2x)???sin2x实际上应是?2sin2x。

(3) 求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中间变量，如

y?114u?v,v?1?w,w?3x计算起来就复杂了。选成，y?4u(1?3x)3.导数的几何意义与物理意义

导数的几何意义，通常指曲线的切线斜率.导数的物理意义，通常是指物体运动的瞬时速度。对导数的几何意义与物理意义的理解，有助于对抽象的导数定义的认识，应给予足够的重视。

4.f?(x0)与f?(x)的关系 f?(x0)表示f(x)在x?x0处的导数，即f?(x0)是函数在某一点的导数；f?(x)表示函数f(x)在某给定区间(a,b)内的导函数，此时f?(x)是在(a,b)上x的函数，即f?(x)是在(a,b)内任一点的导数。

5.导数与连续的关系

若函数y?f(x)在x0处可导，则此函数在点x0处连续，但逆命题不成立，即函数

2

y?f(x)在点x0处连续，未必在x0点可导，也就是说，连续性是函数具有可导性的必要条

件，而不是充分条件。

6.可以利用导数求曲线的切线方程

由于函数y?f(x)在x?x0处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0))处切线的斜率，因

此，曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程可如下求得：

（1）求出函数y?f(x)在点x?x0处的导数，即曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：y?y0?f?(x0)(x?x0)，如果曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x?x0.三、经典例题导讲

[例1]已知y?(1?cos2x),则y?? .2错因：复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:y???2sin2x(1?cos2x).

2????正解：设y?u,u?1?cos2x,则y?x?yuux?2u(1?cos2x)?2u?(?sin2x)?(2x)?2u?(?sin2x)?2??4sin2x(1?cos2x)?y???4sin2x(1?cos2x).

?12(x?1)(x?1)??2[例2]已知函数f(x)??判断f(x)在x=1处是否可导？

?1(x?1)(x?1)??211[(1??x)2?1]?(12?1)2错解：?lim2?1,?f?(1)?1。

?x?0?x11[(1??x)2?1]?(12?1)?y2解：lim??lim?2?1?x?0?x?x?0?x分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .

3

∴ f(x)在x=1处不可导.

?注：?x?0，指?x逐渐减小趋近于0；?x?0，指?x逐渐增大趋近于0。点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即lim＋

－

??x?0f(x0??x)?f(x0)，△x→0，包括

?x△x→0，与△x→0，因此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.[例3]求y?2x?3在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。错因：直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。

2分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y?在x?1处的函数值；

点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．

解：?y?2x?3,?y??4x.?y?2x?1?4即过点P的切线的斜率为4，故切线为：y?4x?1．

设过点Q的切线的切点为T(x0,y0)，则切线的斜率为4x0，又kPQ?y0?9，

x0?22x?6?4x0，?2x02?8x0?6?0.?x0?1,3。故0x0?2即切线QT的斜率为4或12，从而过点Q的切线为：

2y?4x?1,y?12x?15点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．

[例4]求证：函数y?x?的切线方程.

1图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0x1的图象上各点处切线的斜率都小于1，只x分析： 由导数的几何意义知，要证函数y?x?要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（1）y?x?111,?y??1?2?1，即对函数y?x?定义域内的任一x，其导数值xxx都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数y?x?1图象上各点处切线的斜率都小于1.x 4

（2）令1?1，得，当时，?0y?1??2；当x??1时，y??2，x??1x?121x1?曲线y?x?为y?2或

1的斜率为0的切线有两条，其切点分别为(1,2)与(?1,?2)，切线方程分别xy??2。

点评： 在已知曲线 y?f(x)切线斜率为k的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是y?f(x)的导数值为k时的解，即方程f?(x)?k的解，将方程求出了切点坐标即可写出切线方程，要f?(x)?k的解代入y?f(x)就可得切点的纵坐标，

注意的是方程f?(x)?k有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.

3[例5]已知a?0，函数f(x)?x?a，x??0,???，设x1?0，记曲线y?f(x)在点

M(x1,f(x1))处的切线为 l .

（1）求l 的方程；

（2）设 l 与 x轴交点为(x2,0)，求证：

1a3；

① x2? ②若x1?11a3，则a3?x2?x1分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 .

?y(x??x)3?a?x3?a?lim解：（1）f(x)?lim?x?0?x?x?0?x/3x2?x?3x(?x)2?(?x)3 ?lim?x?0?x?lim[3x2?3x?x?(?x)2]?3x2?x?02?f?(x1)?3x1?切线l的方程为y?f(x1)?f?(x1)(x?x1)即y?(x1?a)?3x1(x?x1).

32（2）①依题意，切线方程中令y=0得，

5

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