第一讲 两个计数原理及排列组合

新九章教育高三数学一对一讲义

第一讲

两个计数原理与排列组合

主讲教师：谢彬

教学重难点;

教学重点：两个计数原理，排列组合的概念、性质及公式的应用等 教学难点：两个计数原理的应用及排列组合的计算等

·知识点归纳

1．分类计数原理

做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法??在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法． 2．分步计数原理

做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同方法??做第n步有mn种不同方法，那么完成这件事有N＝ 种不同的方法．

二、典型例题解析 题型一 两个计数原理

例1 (1)若a，b∈N*，且a＋b≤5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有________个． (2)集合P＝{1,2,3}，Q＝{2,3,4,5}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则集合P※Q中元素的个数为( )

A．4 B．6 C．12

D．20

练习 (1) 全体两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

(2)设集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，b∈M，P可以表示 ①平面上多少个不同的点？ ②第二象限内的多少个点？

③不在直线y＝x上的多少个点？

例2 (1)5名旅客投宿到一个旅店的3个房间，问共有多少种不同的住店方法？ (2)5名学生争夺3项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数有多少？

练习 三封信投入到4个不同的信箱中，共有________种投法．

1

题型二 两个计数原理的综合应用

例3 (1)(09·宁夏)7名志愿者中安排6人在周六、周日两 天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)

(2)(07·浙江)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是________种(用数字作答)．

练习 4张卡片的正、反面分别有0与1、2与3、4与5、6与7，将其中3张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？

例4 (08·全国卷Ⅰ)如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )

A．96 B．84 C．60 D．48

练习．已知如图的每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能，在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有( )

A．30种 B．10种 C．16种

达标练习

D．24种

1．已知a∈{－1,2,3}，b∈{0,1,3,4}，R∈{1,2}则方程?x?a???y?b??R所表示的不

222同的圆的个数有( )

A．3×4×2＝24 B．3×4＋2＝14 C．(3＋4)×2＝14

D．3＋4＋2＝9

2．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有( )

A．21种 B．315种 C．143种 D．153种 3．(2012·衡水调研)春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况． 4．(2010·湖北)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )

5×6×5×4×3×2

B．65 C. D．6×5×4×3×2

2

5．为了应对金融危机，某公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________ A．56

2

二、排列和组合

1．两个概念 (1)排列

从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)，按照 个不同元素中取出m个元素的一个排列．

一定顺序排成一列 ，叫做从n

(2)组合

从n个元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2、排列组合公式

(1)排列：Amn?n(n?1)(n?2)...(n?m?1)?n!(n?m)! 规定：0!?1.

(2)组合：Cm?1)(n?2)....(n?m?1)n!0n?n(nm!?m!(n?m)!. 规定：Cn?1.

(3)重要性质：①Cr?Crr?1n?mnn?1?Cn?1 ③Cmn?Cn. 利用组合公式Cr(n?1)!(n?1)!)!n?1?Cr?1n?1?r!(n?r?1)!?(r?1)!(n?r)!?(n?Crr!(n?r)!n

②C01???Cnn(1?1)n?C01nnn?Cnn?2 由二项式展开，得n?Cn???Cn?2

即可证明。

二．典型例题解析

题型一 排列数、组合数公式

例1 (1)求证：Ammm?1n?1?An?mAn

(2)求证：mCmm?1n?nCn?1.

(3)计算：C2222?C3?.....?C10

3

练习 以下四个式子中正确的个数是( )

m＋1n＋1mAnm

(1)Cn＝； (2)Anm＝nAn－1m－1； (3)Cnm÷Cnm＋1＝； (4)Cn＋1m＋1＝C.

m！n－mm＋1n

m

A．1个 题型二 排列应用题

B．2个 C．3个 D．4个

例2 7位同学站成一排：

(1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？ (2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ (7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？

(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？

练习 (1)(2010·北京卷，理)8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为( )

A．A88A92 B．A88C92 C．A88A72 D．A88C72 (2)(2010·山东卷，理)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A．36种

B．42种 C．48种

D．54种

题型三 组合应用题

4

例3 7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？

①A，B必须当选；②A，B必不当选；

③A，B不全当选；④至少有2名女生当选； ⑤选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．

练习 有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． (1)共有多少种做法？

(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ (4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？

题型四 排列、组合的综合应用

例4 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

练习 (2010·浙江，理)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．

总结

1．解排列组合题的“16字方针，12个技巧”：

(1)“16字”方针是解排列组合题的基本规律，即：有序排列、无序组合；分类为加、分步为乘．

(2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径．即： ①相邻问题捆绑法； ②不相邻问题插空法； ③多排问题单排法； ④定序问题倍缩法； ⑤定位问题优先法； ⑥有序分配问题分步法； ⑦多元问题分类法； ⑧交叉问题集合法；

⑨至少(至多)问题间接法； ⑩选排问题先取后排法；

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