基于分数Black_Scholes模型的外汇期权定价及其评判检验

基于分数Black_Scholes模型的外汇期权定价及其评判检验

价格月刊

２００８２经济分析

６８

总第３６９期

基于分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型的外汇期权定价及其评判检验

傅强王凯刘晓羽

【摘

要】笔者打破传统的有效市场假设，在假定外汇市场为分形市场的前提下，结合Ｂｅｎｄｅｒ和Ｅｌｌｉｏｔｔ等给出的欧

式未定权益的分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型，建立了基于分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型的欧式外汇定价公式。利用招商银行提供的外汇期权交易数据进行了实证检验，检验结果表明：基于分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型的外汇期权定价公式的定价性能与定价精度都优于传统的外汇期权定价公式。【关键词】

外汇期权分形市场

分数布朗运动

定价偏差

【中图分类号】

Ｆ８３０．９【文献标识码】Ａ【文章编号】１００６－２０２５（２００８）０２－００６８－０３【作者简介】

傅强，重庆大学经济与工商管理学院教授，博士生导师，主要研究方向为金融数学和金融系统动力学；王凯，重庆大学数理学院硕士研究生，主要研究方向为金融数学与动力系统分析；刘晓羽，重庆大学数理学院硕士研究生，主要研究方向为金融数学与动力系统分析（重庆４０００４４）。

一、引言

业的一个重要任务。虽然我国各银行已开始推出个人外汇外汇期权是期权家族的重要一支，自１９８２年１２月１０期权，但它只是外汇期权中最简单的一种，因此对于外汇日美国费城交易所（ＰＨＬＸ）推出了外汇期权交易以来，外汇期权的研究，特别是对于定价模型的研究，将对我国外汇期权得到了迅速的发展，目前已成为国际上一种发展成期权市场的发展提供重要理论和实践意义。

熟、运用广泛的能有效规避和控制汇率风险的外汇衍生工外汇期权的定价模型中最具影响力的当属ＢＳＧＫ模具。我国已加入了ＷＴＯ，成功规避汇率风险也成为我国企型，该模型是Ｇａｒｍａｎ和Ｋｏｈｌｈａｇｅｎ（１９８３）将Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ速率使进口贸易额回到长期均衡。

品质量和档次，增强品牌在国际市场上的知名度，从而扩大从模型（４）得知，外商直接投资与我国进口贸易额呈正出口。事实也是如此，２００５年～２００６年，外商投资企业出向关系，短期内外商直接投资每增加１％，将带动滞后三、口、进口总额已占我国出口、进口总额已接近５８．１８％、

五期的进口贸易额分别增加６８％、５６％；当误差校正项

５８．２９％和５８．７０％、５９．７０％。

ＥＣＭ（－１）的校征机制是ＬｎＩＭ－０．５９９８ＬｎＦＤＩ－４．０８４４＞０时，２．外商直接投资和我国进出口贸易之间关系由短期偏

ＥＣＭ（－１）对ＬｎＩＭ有减小的作用，相反ＬｎＩＭ－０．５９９８ＬｎＦＤＩ－离向长期均衡调整的速度很快，每年对上一年非均衡偏离４．０８４４＜０时，ＥＣＭ（－１）对ＬｎＩＭ有增加的作用。系数－０．５３８２

的纠正程度出口为３０％、

进口为５４％。短期而言，进出口变表示调整均衡偏差的幅度，说明长期均衡趋势误差校正项动受误差修正项的影响，外商直接投资对我国进出口贸易对均衡偏差的调整幅度为５３．８２％，若出现偏离长期均衡的的短期变动影响敏感。因此，我国政府相关部门及企业界，情况，外商直接投资将以５３．８２％的速率使进口贸易额回到应大力响应党中央的号召，积极发展ＦＤＩ，从而带动我国出长期均衡。

口贸易的持续稳定发展。

三、结论

通过上述的分析，可以得出如下一些结论：

【

参考文献】１．外商直接投资与我国进出口贸易之间都存在着长期

［１］张晓峒．计量经济分析［Ｍ］．北京：经济科学出版社．均衡关系。外商直接投资每增加１％，我国进出口贸易额会２０００，（９）．

分别同方向增加６７％和５９％，外商直接投资推动了我国进［２］张二震，马野青，方勇．贸易投资一体化与中国的战略

出口的增加。其原因是外资企业通过增加销售渠道，增加了［Ｍ］．北京：人民出版社．２００４，（１）．

我国商品在国际市场上的占有率。并通过我国企业在国际［３］王晨钟．ＦＤＩ对我国出口贸易及出口商品结构影响的

上的竞争，增加了我国企业的危机感，促使我国企业提高产

实证分析［Ｊ］．利用外资，２００４，（５）．

基于分数Black_Scholes模型的外汇期权定价及其评判检验

期权定价模型拓展到外汇期权领域得到的，因此称之为

ＢＳＧＫ模型。该模型是建立在与实际不相符合的有效市场

假设上，这一假设认为汇率的波动是独立的，即遵循随机游走的布朗运动，且其收益率服从正态分布。但长期的市场验证及大量的实证研究发现，外汇市场价格变化的经验分布具有厚尾性，并表现出正的高峰度，即所谓的“尖峰厚尾”，而且汇率之间在不同的时间存在着长期相关性，并不是随机游走的。传统的基于有效市场的正态分布假设无法完全反映这些特征，也就是说外汇市场并不是一个有效市场。１９８９年，Ｐｅｔｅｒｓ提出了分形市场假说，并用Ｒ／Ｓ分析方法证明了不同资本市场都存在着分形结构与非周期循环；我国学者侯永建、杨胜刚等以Ｒ／Ｓ分析方法对外汇市场作了分形分析，分形市场假说由于不依赖于汇率波动的独立及正态分布等假设，而且能够利用这一假说中的分数布朗运动很好地解释外汇市场中的“尖峰厚尾”和长期相关性等有效市场假说无法解释的现象，因此，在对金融资产（特别是外汇期权）定价时，运用分形市场假说中的分数布朗运动代替有效市场假说中的标准布朗运动来建立定价模型，能够更加准确的刻画市场的真实性。

２０００年，Ｈｕ和!ｋｓｅｎｄａｌ等介绍了分数布朗运动的Ｗｉｃｋ积分，并在２００３年通过分数白噪声发展了当郝斯特

系数Ｈ＞１／２时的分数布朗运动的Ｗｉｃｋ积分，Ｂｅｎｄｅｒ和Ｅｌ－

ｌｉｏｔｔ等将分数布朗运动的Ｗｉｃｋ积分推广到了郝斯特系数Ｈ!（０，１）的情形，并且给出了欧式未定权益的分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃ－ｈｏｌｅｓ模型。本文在前人的工作基础上，推导出了外汇期权

的分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ定价模型，并对中国招商银行给出的个人外汇期权的参考数据进行了该模型定价性能的评判和检验。

二、外汇期权定价模型

１．欧式外汇期权定价ＢＳＧＫ模型

ＢＳＧＫ模型现在被广泛运用于外汇期权定价上，该模

型假设汇率具有对数正态分布特征，遵循标准布朗运动，假设报价币种的无风险利率为ｒｆ，被报价币种无风险利率为ｒｄ，即期汇率为Ｓ（ｔ），汇率波动率为"，执行价格为Ｋ，期权有效时间（年）为Ｔ－ｔ，看涨期权价格用Ｃ表示，看跌期权价格用Ｐ表示，则ＢＳＧＫ模型如下：

Ｃ＝Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［－ｒ!

（Ｔ－ｔ）］Ｎ（ｄ１）－Ｋｅｘｐ［－ｒｄ（Ｔ－ｔ）］Ｎ（ｄ２）

（１）Ｐ＝Ｋｅｘｐ［－ｒｄ

（Ｔ－ｔ）］Ｎ（－ｄ２）－Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［－ｒ!

（Ｔ－ｔ）］Ｎ（－ｄ１）

（２）

其中：

１ｎ（Ｓ）＋（ｒｄ－ｒ!＋１"２ｄ）（Ｔ－ｔ）

１ｎ（１＝

＋（ｒｄ－ｒ!－"）（Ｔ－ｔ）

"√Ｔ－ｔ

ｄ）２

２＝

"√Ｎ（ｘ）为标准正态分布函数。

２．分数布朗运动及其意义

分数布朗运动的概念是由Ｍａｎｄｅｌｂｒｏｔ首先提出，简称ＦＢＭ。

与标准的布朗运动相比较，它的一个显著特征是时间相关函数不为零，即有持久性和反持久性，或者说具有“长程相关性”。下面给出分数布朗运动的定义和一些基本性质：

称随机过程ＢＨ（ｔ）是分数布朗运动，若其连续且满足：

Ｐ（ＢＨ（０）＝０）＝１，ＢＨ（ｔ）－ＢＨ（Ｓ）￣Ｎ（０，｜ｔ－ｓ｜２Ｈ）

其中ｔ，ｓ为两个不同的时点，Ｈ为参数，且Ｈ!（０，１）。

指数Ｈ!（０，１）的分数布朗运动是一个具有平稳增量的连续的零均值高斯过程，且协方差函数：

Ｅ（ＢＨ（ｔ）ＢＨ（Ｓ））＝（｜ｔ｜２Ｈ＋｜ｓ｜２Ｈ－｜ｔ－ｓ｜２Ｈ

）

如果Ｈ＜１／２，相关系数为负，该过程的增量是负相关的，当

Ｈ＞１／２时，相关系数为正，它是正相关的，当Ｈ＝１／２时相关系

数为零，这时是标准布朗运动。分数布朗运动的上述性质使得它成为数理金融合适的工具。

３．基于分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ的欧式外汇期权定价模型

假定外汇汇率价格Ｓ（ｔ）满足分数布朗运动：

ｄＳ（ｔ）＝$（ｔ）Ｓ（ｔ）ｄｔ＋"（ｔ）Ｓ（ｔ）ｄＢＨ（ｔ）

（３）

此处#（ｔ）为对数外汇价格的期望率，"（ｔ）为外汇价格的波动

率。

无风险债券满足：ｄＭ（ｔ）＝（ｒｄ（ｔ）－ｒ!（ｔ））Ｍ（ｔ）ｄｔ

（４）

在风险中性概率测度Ｐ

＾下，有：ｄＳ（ｔ）＝ｒ＊（ｔ）Ｓ（ｔ）＋"（ｔ）Ｓ（ｔ）ｄＢＨ（ｔ）（５）其中：ｒｄ（ｔ）为国内货币无风险利率，ｒｆ（ｔ）为国外货币无风险利率。ｒ＊（ｔ）＝ｒｄ（ｔ）－ｒｆ（ｔ）表示在本币兑换外币过程中本币持有者获得的收益。

根据分数布朗运动的积分公式可以得到：

Ｓ（Ｔ）＝Ｓ（ｔ）ｅｘｐ｛ｒ＊ｔ＋"（ＢＨ（Ｔ）－ＢＨ（ｔ））－１２"２（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ）｝

（６）

当分数风险中性定价公式Ｆ（ｔ）＝ｅｘｐ｛－ｒｄ（Ｔ－ｔ）｝Ｅ［Ｆ］

＾时，可以计算外汇期权的价格，如下：Ｃ（Ｓ（ｔ），ｔ）

＝Ｅ

＾ｔ｛ｅｘｐ［－ｒｄ（Ｔ－ｔ）］（Ｓ（Ｔ）－Ｋ）＋｝＝ｅｘｐ［－ｒｄ（Ｔ－ｔ）］Ｅｔ｛Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［ｒ＊ｔ＋"（ＢＨ（Ｔ）－ＢＨ（ｔ））－"２（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ）］－Ｋ｝＝ｅｘｐ［－ｒｄ（Ｔ－ｔ）］∫Ａ｛Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［ｒ＊ｔ＋"√ｘ－"２（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ

）］－Ｋ

｝１

－ｘ２√２%

ｅｄｘ

１ｎ（其中Ａ＝｛

ｘ：ｘ$

）＋"２（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ）－（ｒｄ－ｒ!

）（Ｔ－ｔ）

"√Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ

＝－ｄ２

｝

作积分变换可得得到欧式看涨外汇期权的定价公式为：

Ｃ（Ｓ（ｔ），ｔ）＝Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［－ｒｆ（Ｔ－ｔ）］Ｎ（ｄ１）－Ｋｅｘｐ［－ｒｄ（Ｔ－ｔ）］Ｎ（ｄ２）（７）

１ｎ（Ｓ

）＋"２（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ）＋（ｒｄ－ｒｆ

ｄ）（Ｔ－ｔ）

１＝

"√Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ

１ｎ（ｄ）－

"２（Ｔ２Ｈ－ｔ２Ｈ）＋（ｒｄ－ｒ!）（Ｔ－ｔ）２＝

"√Ｔ２Ｈ２Ｈ

欧式外汇看跌期权的公式可相应给出：

Ｃ（Ｓ（ｔ），ｔ）＝Ｋｅｘｐ［－ｒｄ（Ｔ－ｔ）］Ｎ（－ｄ２）－Ｓ（ｔ）ｅｘｐ［－ｒｆ（Ｔ－ｔ）］Ｎ（－ｄ１）

（８）

当Ｈ＝１／２时，基于分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型的欧式看涨、看跌外汇期权定价公式（７）、（８）与ＢＳＧＫ模型得到的定价公式（１）、（２）相同，为方便起见，将基于分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型的欧式外汇期权定价公式记为Ｆ－ＢＳＧＫ模型。

三、实证分析

自２００２年中国银行上海分行推出第一个外汇期权产

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品“两得宝”以来，外汇期权产品在中国得到迅速的发展，各大银行纷纷推出个人外汇期权。本文选出招商银行个人外汇期权作为实证研究的对象。招商银行的个人外汇期权主要有欧元／美元、英镑／美元、美元／日元、澳元／美元的看涨与看跌欧式期权，由于美元、欧元、日元在国际上有着重要的影响力，本文选取我国招商银行２００７年２月１３日开始

２００７年６月２９日到期以及２００７年４月３日开始２００７年

６月２９日到期的对美元／日元、

欧元／美元和欧元／美元三种看涨、看跌外汇期权作为研究对象。根据公式（５）可以计算出分数布朗运动下的外汇期权价格，若设定Ｈ＝０．５，可计算出传统的Ｂ－Ｓ模型下的外汇期权价格，并对两种模型的定价性能进行比较。执行价格、汇率是已知的，日元和美元的利率均选取央行公布的三个月小额定期的存款利率；波动率的估计方法有多种，本文采用历史波动率来预测；对于分数布朗运动中的郝斯特指数，可以通过Ｒ／Ｓ方法求得。本文选取标的资产（即汇率）的样本空间为２００１年１月３日到２００７年２月１２日，运用Ｍａｔｌａｂ软件编程技术可以算出三种外汇汇率日回报的均值，标准差及郝斯特指数（见表

１）。

根据表１的数据，三种外汇汇率的年波动率可以计算出来，一年中有２５２个交易日，由公式! ＝!√

Ｔ三种外汇的年波动率分别为：０．０９９７、０．０９５４、０．０８２１。至此，可以计算出三种外汇期权的看涨与看跌期权在ＢＳＧＫ模型下和Ｆ－ＢＳＧＫ模型下的两种理论价格。再通过两种理论价格与实际价格相比较，可以得到两种理论模型下的定价偏差，以比较模型的好坏，本文着重对两种定价偏差进行平均偏差平方的百分比率比较，简称为ＡＭＳＥ，定义如下：

其中ｚ表示使用的定价模型，Ｃｉ表示外汇期权的市场价格，而Ｃｉ（ｚ）表示外汇期权的理论价格。显然，当平均偏差百分比率越小时，模型越好。

表２是对美元／日元、欧元／美元和欧元／美元三种看涨外汇期权理论价格的偏差进行平均偏差的百分比率的比较，从表中可以看出，三种外汇看涨期权价格的偏差在ＦＢＳ模型下都要比ＢＳ模型下小，由此可知：ＦＢＳ模型下的外汇看涨期权定价模型能更加精确的进行定价。

表３是对美元／日元、欧元／美元和欧元／美元三种外汇看跌期权理论价格的偏差进行平均偏差的百分比率的比

较，从表中可以看出，三种外汇看跌期权价格的偏差在ＦＢＳ模型下都要比ＢＳ模型下小，由此可知：ＦＢＳ模型下的外汇看跌期权定价模型也能更加精确的进行定价。

综合以上分析，基于分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ的外汇期权定价公式，在看涨和看跌期权的定价方面，都比传统的ＢＳＧＫ公式的定价偏差更小，能更准确的逼近市价。

四、结论

本文打破了传统的有效市场假设，在Ｐｅｔｅｒｓ等提出的分形市场假说下，利用Ｅｌｌｉｏｔｔ等提出的分数Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型结构，给出了一种新的外汇期权定价公式，这种新的定价模型是通过将传统的ＢＳＧＫ定价模型中的布朗运动，用分数布朗运动代替来实现的，本文选取我国招商银行发行的２００７年２月１３日开始２００７年６月２９日到期以及２００７年４月３日开始２００７年６月２９日到期的对美元／日元、欧元／美元和欧元／美元三种看涨、看跌外汇期权作为研究对象，并通过ＢＳＧＫ模型、Ｆ－ＢＳＧＫ模型下理论期权价格与实际期权市价比较，发现ＦＢＳ外汇期权定价模型的定价偏差要比传统ＢＳ外汇期权定价模型小，更加逼近我国外汇期权的市场价格，也便于计算，说明该模型对于我国银行和投

资者个人都具有一定的适用价值。【

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