高中数学必修第一册课后限时训练61 函数的概念与性质

高中数学必修第一册课后限时训练+单元检测卷。

高中数学必修第一册课后限时训练61 函数的概念与性质

题组1

1.函数f (x )=√x+1√4－2x 的定义域为( )

A ．[－1，2]

B ．(－1，2]

C ．[2，+∞)

D ．[1，+∞)

解析：由{x +1>0，

4－2x ≥0，得－1<x ≤2，故选B ．

答案：B

2.下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)内单调递减的是

( ) A ．y=x －2 B ．y=x －1 C ．y=x 2 D ．y=x 1

3

答案：A

3.已知函数f (x )={1－x 2

，x ≤1，x 2－x －3，x >1，则f (1

f (3))的值为

( ) A ．15

16 B ．－27

16 C ．8

9 D ．18

解析：因为3>1，所以f (3)=32－3－3=3.

因为1<1，所以f (1)=f (1)=1－(1)2

=8

.

答案：C

4.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )=x 3+x 2+1，则f (1)+g (1)等于(

) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3

解析：f (1)+g (1)=f (－1)－g (－1)=(－1)3+(－1)2+1=1.

答案：C

5.函数y=f (x )对于任意x ，y ∈R ，有f (x+y )=f (x )+f (y )－1，当x>0时，f (x )>1，且f (3)=4，则( )

A ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)=3

B ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)=3

C ．f (x )在R 上是减函数，且f (1)=2

D ．f (x )在R 上是增函数，且f (1)=2

解析：设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)=f [(x 2－x 1)+x 1]－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1. 因为x 2－x 1>0，又已知x>0时，f (x )>1，

所以f (x 2－x 1)>1，

所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1)<f (x 2).

因此f (x )在R 上是增函数.

因为f (3)=f (1+2)=f (1)+f (2)－1=f (1)+[f (1)+f (1)－1]－1=3f (1)－2=4，

所以f (1)=2.

答案：D

6.已知f (x+2)=x 2－4x ，则f (x )= .

解析：设t=x+2，则x=t －2，f (t )=(t －2)2－4(t －2)=t 2－8t+12.

答案：x 2－8x+12

7.已知定义在R 上的函数f (x )=ax 2+2x+3的值域为[2，+∞)，则f (x )的单调递增区间为 .

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解析：依题意知{a >0，12a －44a

=2， 解得a=1，这时f (x )=x 2+2x+3，

故f (x )的单调递增区间为[－1，+∞).

答案：[－1，+∞)

8.已知定义在R 上的奇函数f (x )=x 2+2x (x ≥0)，若f (3－m 2)>f (2m )，则实数m 的取值范围是 . 解析：因为函数f (x )=x 2+2x 在区间[0，+∞)内单调递增，

又f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )是R 上的增函数.

要使f (3－m 2)>f (2m )，只需3－m 2>2m ，解得－3<m<1.

答案：(－3，1)

9.若f (x )是定义在区间(0，+∞)内的增函数，且对一切x ，y>0，满足f (x y

)=f (x )－f (y ). (1)求f (1)的值；

(2)若f (6)=1，解不等式f (x+3)－f (13)<2.

解析：(1)在f (x y )=f (x )－f (y )中，令x=y=1，则有f (1)=f (1)－f (1)，所以f (1)=0.

(2)因为f (6)=1，

所以f (x+3)－f (13

)<2=f (6)+f (6)， 所以f (3x+9)－f (6)<f (6)，

即f (x+32)<f (6).

因为f (x )在区间(0，+∞)内单调递增，

所以{x+32>0，x+32<6，

解得－3<x<9. 即不等式的解集为(－3，9).

10.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成面积为200平方米的十字形区域，且计划在正方形MNPK 上建一座花坛，其造价为4 200元/平方米，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/平方米，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/平方米.

(1)设AD 的长为x 米，试写出总造价Q (单位：元)关于x 的函数解析式；

(2)当x 取何值时，总造价最少?求出这个最小值.

解析：(1)设AM=y 米，

则x 2+4xy=200，所以y=200－x 24x .

故Q=4 200x 2+210×4xy+80×2y 2=38 000+4 000x 2+400 000x 2(0<x<10√2).

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(2)令t=x 2，则Q=38 000+4 000(t +100t )，且0<t<200.

由基本不等式可得t+100t ≥2√t ·100t =20，当且仅当t=100t ，即t=10时，等号成立，此时x=√10. 且Q min =38 000+4 000×20=118 000.

故当x=√10时，总造价最少，最少是118 000元.

题组2

1.若幂函数f (x )=(m 2－5m+7)x m －2

为奇函数，则m=( )

A ．3

B ．2

C ．2或3

D ．1

解析：由f (x )=(m 2－5m+7)x m －2为幂函数，得m 2－5m+7=1，解得m=2或m=3.

又因为该函数为奇函数，所以m=3.

答案：A

2.已知函数f (x )=－x 5－3x 3－5x+3，若f (a )+f (a －2)>6，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，1)

B ．(－∞，3)

C ．(1，+∞)

D ．(3，+∞)

解析：g (x )=f (x )－3为奇函数，且在R 上单调递减，f (a )+f (a －2)>6可化为f (a )－3>－f (a －2)+3=－[f (a －2)－3]=－g (a －2)，即g (a )>g (2－a )，所以a<2－a ，故a<1.

答案：A

3.设f (x )={x ，x ∈(－∞，a )，x 2，x ∈[a ，+∞)，若f (2)=4，则a 的取值范围为 . 解析：若2∈(－∞，a )，则f (2)=2，不合题意，所以2∈[a ，+∞)，故a ≤2.

答案：(－∞，2]

4.定义在R 上的奇函数f (x )为减函数，若a+b ≤0，给出下列不等式：

①f (a )·f (－a )≤0；

②f (a )+f (b )≤f (－a )+f (－b )；

③f (b )·f (－b )>0；

④f (a )+f (b )≥f (－a )+f (－b ).

其中正确的是 .(填序号)

解析：因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)=0.

又因为f (x )为R 上的减函数，所以当x>0时，f (x )<0，当x<0时，f (x )>0.

因为a ·(－a )≤0，所以f (a )·f (－a )≤0.

又因为a+b ≤0，即a ≤－b ，所以f (a )≥f (－b ).

同理，得f (b )≥f (－a )，

故f (a )+f (b )≥f (－a )+f (－b ).

答案：①④

5.如图，定义在区间[－1，+∞)内的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.

(1)求f (x )的解析式；

(2)写出f (x )的值域.

解析：(1)当－1≤x ≤0时，设解析式为y=kx+b (k ≠0).

则{－k +b =0，b =1，得{k =1，b =1.所以y=x+1.

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当x>0时，设解析式为y=a(x－2)2－1，

因为图象过点(4，0)，所以0=a(4－2)2－1，得a=1

4

.

因此f(x)={x+1，－1≤x≤0，1

4

(x－2)2－1，x>0.

(2)当－1≤x≤0时，y∈[0，1].

当x>0时，y∈[－1，+∞).

所以函数的值域为[0，1]∪[－1，+∞)=[－1，+∞).

6.已知函数f(x)=x2－2mx+m2+4m－2.

(1)若函数f(x)在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数m的取值范围；

(2)若函数f(x)在区间[0，1]上有最小值－3，求实数m的值.

解析：f(x)=(x－m)2+4m－2.

(1)由f(x)在区间[0，1]上单调递减，得m≥1.

(2)当m≤0时，f(x)min=f(0)=m2+4m－2=－3，

解得m=－2－√3或m=－2+√3.

当0<m<1时，f(x)min=f(m)=4m－2=－3，

解得m=－1

4

(舍去).

当m≥1时，f(x)min=f(1)=m2+2m－1=－3，无解.

综上可知，实数m的值是－2±√3.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/smu4.html