随机过程参考题

2014-2015随机过程参考题

一.判断题

1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布． （ ） 2．对于独立的随机变量X1,3．若F(x1,x2,?n?n,Xn，都有E??Xk???E?Xk?． （ ）

?k?1?k?1,Xn)的联合分布函数，则它对每个变量都是

xn)是随机向量X=（X1,单调不减的． （ ） 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性． （ ） 5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性． （ ） 6．参数为?的泊松过程第n次与第n?1次事件发生的时间间隔Xn服从参数为n和n?的?分布． （ ）

n程一定是计数过程． （ ） 7．复合Poisso过

8．若随机变量X服从周期为d的格点分布，则对自然数n总有P?X?nd??0．（ ） 9．设i,j是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等． （ ） 10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （ ） 11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定． （ ） 12．对独立的随机变量X1,?n?n,Xn，都有Var??Xk???Var?Xk?． （ ）

?k?1?k?113．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。 （ ）

（s,t）14．若一个随机过程的协方差函数?只与时间差t?s有关，则它一定是宽平稳过

程． （ ） 15．参数为?的泊松过程中，第n次事件发生的时刻Tn服从参数为?的指数分布．（ ） 16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性． （ ） 17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新． （ ） 18．更新过程的更新函数M?t?是t的单调不增函数． （ ） 19．马尔科夫链具有无后效性． （ ） 20．Poisson过程是更新过程． （ ） 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。 （ ） 21．若一个随机过程是宽平稳的，则它一定是严平稳的。 （ ）

22．参数为?的泊松过程中，两次事件发生的等待时间服从参数为?的指数分布。 （ ） 23．泊松过程具有独立增量性，但不一定有平稳增量性。 （ ） 24．随机变量X服从周期为d的格点分布，但不是所有的d的整数倍处都能取到。（ ） 25．更新过程的更新函数M?t?是t的单调不增函数 。 （ ） 26．设i,j是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的常返性一样。 （ ） 二填空题. 1．设X1,X2,是一列独立同分布的随机变量，N为一个非负整值随机变量，且与序列

X1,X2,?N?独立，则E??Xi?? ．

?i?1?2．设X?t??Y?tZ?a?t?b?，其中Y和Z是相互独立的且均服从标准正态分布的随机变量，则随机过程X?t?,a?t?b的协方差函数??t1,t2?? ． 3．设X?t?,???t??为一平稳过程，均值为?，如果lim该随机过程 ．

4．设N?t?,t?0是参数为?的泊松过程，则N?t?服从均值为_______的泊松分布． 5．设N?t?,t?????1T??2T?T?TX?t?dt??，则称

???P?N??t?h??0是参数为?的泊松过程，则对?t?0，当h?0时，有

_____________． 1??N? t=??是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为F?x?，则由其所定

6．设?Xn,n?1,2,义更新过程N?t?,t?0的更新函数M?t??_________________（分布函数表示）． 7．设X1,X2,是一列独立同分布的随机变量，且其期望存在，N?t?,t?0是由该随机

????变量序列所定义的更新过程，则第N?t??1次更新发生时刻的期望E?TN?t??1??_________．

??8．设

?Xn,n?0,1,?为离散时间的马氏链，则对?n?0,?i,j,i0,n?1,in?1，有

P?Xn?1?jXXn?,in?1?9．设?Xn,n?0,1,转移概率pij?m?n?,i,0X??0____________________i?．

?为离散时间的时齐马氏链，状态空间为S，则状态i到j的m?n步

． ?____________________（C-K方程）

10．状态i为常返的当且仅当 ；状态i为非常返状态时有 ． 11.设随机变量X服从参数为?的指数分布，则X的期望为 ． 12． ． dF?x??b?a13．设X?t?=X0?tV (at?b?)，其中X0和V是相互独立且均服从N?0,1?分布的随机

变量，则它的均值函数为 ，协方差函数?（t1,t2）= ．

14．设N?t?,t?0是参数为?的泊松过程，则N?t??N(s)服从参数为_______的泊松分布．

15.称随机过程X?t?,t?0为复合泊松过程，如果对于t?0，X?t?可表示为： ????式中，N?t?,t?0是一个泊松过程，?Yi,i?1,2,且与N?t?,t?0独立。

16．设?Xn,n?1,2,???是一族独立同分布的随机变量，并

???是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为F?t?，则由其所定

义更新过程N?t?,t?0的更新函数M?t??_________________________． 17．若X1，X2，是独立同分布的随机变量，设E[Xi]??(i?1,2,??)，则

E[X1?X2??XN(t)?1]? 18．随机过程?Xn,n?1,2,?称为马尔科夫链，若它只取有限或可列个值，并且对任意的

,in?1，

,X1?i1,X0?i0??____________________．

n?0及任意的状态i,j,i0,i1,P?Xn?1?jXn?i,Xn?1?in?1,19．非周期的正常返状态称为__________________． 20．离散时间马氏链中的转移矩阵中，

?pj?Sij?__________________．

21.设{An,n?1,2,}为一集合序列，则limsupAn? ，n??liminfAn? ．

n??22.若X是F可测的，则E(XF)? . 23．设X??Xn,n?0,?1,?2,?是平稳序列，其协方差函数为?(?)，则X的均值具有遍

历性的充分必要条件是 ．

24．设N?t?,t?0是参数为?的泊松过程，则E[N?t?]? ____ ___． 25．设?Xn,n?1,2,???是一列独立同分布的非负随机变量，分布函数为F?x?，则

n?N?t?,t?0?由其所定义更新过程，则P?N?t??n?= _________________（其中F是F的n重卷积）． 26．设X1,X2,是一列独立同分布的随机变量，且其期望存在，N?t?,t?0是由该随机

t????M(t)变量序列所定义的更新过程，M?t?为其更新函数，?=E(Xn)，则 _________． lim?t27．设马氏链的一步转移概率矩阵P?(pij)，n步转移矩阵P为 ．

三 计算题

(n)(n)?(pij)，二者之间的关系

1．设顾客以每分钟2人的速率到达商场，这一过程可用泊松过程来描述，进入商场的每位顾客的消费额服从均值为200元的正态分布，求： （1）在5分钟内至少有一个顾客到来的概率； （2）商场一个小时的平均营业额．

2．设某控制器用一节电池供电，电池寿命Xi服从均值为5小时的正态分布，电池失效时需要去仓库领取，领取新电池的时间Yi服从期望为0.5小时的均匀分布．求长时间工作时，控制器更换电池的速率．

3．设马氏链的状态空间为S??0,1,2,试写出：

（1）画出各状态的概率转移图；

（2）给出各个状态的分类，确定哪些状态是遍历的． 4．设随机变量X服从参数为?的指数分布，即密度函数为：

转移概率为p00??，

111i?S.，pi,i?1?，pi0?，

222??e??x, x?0f(x)???0, x?0试利用矩母函数求它的期望和方差。

5.设X?t?=Z1cos?t?Z2sin?t，其中Z1，Z2是独立同分布的随机变量，服从均值为0，方差为?的正态分布，?为实数。求过程{X?t?, t?T}的均值函数与方差函数，并讨论它

2的宽平稳性。

6. 设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是??2（人/分）的泊松过程，试求：

（1）在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率；

（2）第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率； （3）相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

7.设有一个单服务员银行，顾客到达可看做速率为?的泊松分布，服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量，服从均值为

1?的指数分布。顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进

来。试求：

（1）顾客进银行的速率；

（2）服务员工作的时间所占营业时间的比例。

8．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率.

9．考虑离散时间的更新过程N?n?,(n?0,1,2,M(n))，在每个时间点独立地做伯努利试验，

设试验成功的概率为p，失败的概率为q?1?p，以试验成功作为更新事件，并以M(n)记此过程的更新函数，求其更新率 lim ．

n??n

10．设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为?，而今天无雨明天有雨的概率为?；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设??0.7,??0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

?1?2??111．设马氏链的状态空间为S??1,2,3,4?，其一步转移概率矩阵??0??1??2（1）画出各状态的概率转移图；

（2）给出各个状态的分类，确定哪些状态是遍历的．

12. 设N?t?,t?0是强度为?的泊松过程，Yk,k?1,2,且与N?t?,t?0独立，令X(t)?

120130?0??00??，试写出： 20?3??10?2?0??是一列独立同分布随机变量，

21??N(t)k?1?Y，t?0，证明：若EYk则E[X()t]?tE?Y??，

1.

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