随机过程参考题

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2014-2015随机过程参考题

一.判断题

1.若随机变量的特征函数存在,则可以用它来刻画随机变量的概率分布. ( ) 2.对于独立的随机变量X1,3.若F(x1,x2,?n?n,Xn,都有E??Xk???E?Xk?. ( )

?k?1?k?1,Xn)的联合分布函数,则它对每个变量都是

xn)是随机向量X=(X1,单调不减的. ( ) 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性. ( ) 5.非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性. ( ) 6.参数为?的泊松过程第n次与第n?1次事件发生的时间间隔Xn服从参数为n和n?的?分布. ( )

n程一定是计数过程. ( ) 7.复合Poisso过

8.若随机变量X服从周期为d的格点分布,则对自然数n总有P?X?nd??0.( ) 9.设i,j是离散时间马氏链的两个互通的状态,则它们的周期相等. ( ) 10.离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . ( ) 11.一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定. ( ) 12.对独立的随机变量X1,?n?n,Xn,都有Var??Xk???Var?Xk?. ( )

?k?1?k?113.一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。 ( )

(s,t)14.若一个随机过程的协方差函数?只与时间差t?s有关,则它一定是宽平稳过

程. ( ) 15.参数为?的泊松过程中,第n次事件发生的时刻Tn服从参数为?的指数分布.( ) 16.非齐次泊松过程不具有独立增量性,但具有平稳增量性. ( ) 17.更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新. ( ) 18.更新过程的更新函数M?t?是t的单调不增函数. ( ) 19.马尔科夫链具有无后效性. ( ) 20.Poisson过程是更新过程. ( ) 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。 ( ) 21.若一个随机过程是宽平稳的,则它一定是严平稳的。 ( )

22.参数为?的泊松过程中,两次事件发生的等待时间服从参数为?的指数分布。 ( ) 23.泊松过程具有独立增量性,但不一定有平稳增量性。 ( ) 24.随机变量X服从周期为d的格点分布,但不是所有的d的整数倍处都能取到。( ) 25.更新过程的更新函数M?t?是t的单调不增函数 。 ( ) 26.设i,j是离散时间马氏链的两个互通的状态,则它们的常返性一样。 ( ) 二填空题. 1.设X1,X2,是一列独立同分布的随机变量,N为一个非负整值随机变量,且与序列

X1,X2,?N?独立,则E??Xi?? .

?i?1?2.设X?t??Y?tZ?a?t?b?,其中Y和Z是相互独立的且均服从标准正态分布的随机变量,则随机过程X?t?,a?t?b的协方差函数??t1,t2?? . 3.设X?t?,???t??为一平稳过程,均值为?,如果lim该随机过程 .

4.设N?t?,t?0是参数为?的泊松过程,则N?t?服从均值为_______的泊松分布. 5.设N?t?,t?????1T??2T?T?TX?t?dt??,则称

???P?N??t?h??0是参数为?的泊松过程,则对?t?0,当h?0时,有

_____________. 1??N? t=??是一列独立同分布的非负随机变量,分布函数为F?x?,则由其所定

6.设?Xn,n?1,2,义更新过程N?t?,t?0的更新函数M?t??_________________(分布函数表示). 7.设X1,X2,是一列独立同分布的随机变量,且其期望存在,N?t?,t?0是由该随机

????变量序列所定义的更新过程,则第N?t??1次更新发生时刻的期望E?TN?t??1??_________.

??8.设

?Xn,n?0,1,?为离散时间的马氏链,则对?n?0,?i,j,i0,n?1,in?1,有

P?Xn?1?jXXn?,in?1?9.设?Xn,n?0,1,转移概率pij?m?n?,i,0X??0____________________i?.

?为离散时间的时齐马氏链,状态空间为S,则状态i到j的m?n步

. ?____________________(C-K方程)

10.状态i为常返的当且仅当 ;状态i为非常返状态时有 . 11.设随机变量X服从参数为?的指数分布,则X的期望为 . 12. . dF?x??b?a13.设X?t?=X0?tV (at?b?),其中X0和V是相互独立且均服从N?0,1?分布的随机

变量,则它的均值函数为 ,协方差函数?(t1,t2)= .

14.设N?t?,t?0是参数为?的泊松过程,则N?t??N(s)服从参数为_______的泊松分布.

15.称随机过程X?t?,t?0为复合泊松过程,如果对于t?0,X?t?可表示为: ????式中,N?t?,t?0是一个泊松过程,?Yi,i?1,2,且与N?t?,t?0独立。

16.设?Xn,n?1,2,???是一族独立同分布的随机变量,并

???是一列独立同分布的非负随机变量,分布函数为F?t?,则由其所定

义更新过程N?t?,t?0的更新函数M?t??_________________________. 17.若X1,X2,是独立同分布的随机变量,设E[Xi]??(i?1,2,??),则

E[X1?X2??XN(t)?1]? 18.随机过程?Xn,n?1,2,?称为马尔科夫链,若它只取有限或可列个值,并且对任意的

,in?1,

,X1?i1,X0?i0??____________________.

n?0及任意的状态i,j,i0,i1,P?Xn?1?jXn?i,Xn?1?in?1,19.非周期的正常返状态称为__________________. 20.离散时间马氏链中的转移矩阵中,

?pj?Sij?__________________.

21.设{An,n?1,2,}为一集合序列,则limsupAn? ,n??liminfAn? .

n??22.若X是F可测的,则E(XF)? . 23.设X??Xn,n?0,?1,?2,?是平稳序列,其协方差函数为?(?),则X的均值具有遍

历性的充分必要条件是 .

24.设N?t?,t?0是参数为?的泊松过程,则E[N?t?]? ____ ___. 25.设?Xn,n?1,2,???是一列独立同分布的非负随机变量,分布函数为F?x?,则

n?N?t?,t?0?由其所定义更新过程,则P?N?t??n?= _________________(其中F是F的n重卷积). 26.设X1,X2,是一列独立同分布的随机变量,且其期望存在,N?t?,t?0是由该随机

t????M(t)变量序列所定义的更新过程,M?t?为其更新函数,?=E(Xn),则 _________. lim?t27.设马氏链的一步转移概率矩阵P?(pij),n步转移矩阵P为 .

三 计算题

(n)(n)?(pij),二者之间的关系

1.设顾客以每分钟2人的速率到达商场,这一过程可用泊松过程来描述,进入商场的每位顾客的消费额服从均值为200元的正态分布,求: (1)在5分钟内至少有一个顾客到来的概率; (2)商场一个小时的平均营业额.

2.设某控制器用一节电池供电,电池寿命Xi服从均值为5小时的正态分布,电池失效时需要去仓库领取,领取新电池的时间Yi服从期望为0.5小时的均匀分布.求长时间工作时,控制器更换电池的速率.

3.设马氏链的状态空间为S??0,1,2,试写出:

(1)画出各状态的概率转移图;

(2)给出各个状态的分类,确定哪些状态是遍历的. 4.设随机变量X服从参数为?的指数分布,即密度函数为:

转移概率为p00??,

111i?S.,pi,i?1?,pi0?,

222??e??x, x?0f(x)???0, x?0试利用矩母函数求它的期望和方差。

5.设X?t?=Z1cos?t?Z2sin?t,其中Z1,Z2是独立同分布的随机变量,服从均值为0,方差为?的正态分布,?为实数。求过程{X?t?, t?T}的均值函数与方差函数,并讨论它

2的宽平稳性。

6. 设在[0, t)时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是??2(人/分)的泊松过程,试求:

(1)在5分钟内有10位乘客到达售票处的概率;

(2)第10位乘客在5分钟内到达售票处的概率; (3)相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔。

7.设有一个单服务员银行,顾客到达可看做速率为?的泊松分布,服务员为每一位顾客服务的时间是随机变量,服从均值为

1?的指数分布。顾客到达门口只有在服务员空闲时才准进

来。试求:

(1)顾客进银行的速率;

(2)服务员工作的时间所占营业时间的比例。

8.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率.

9.考虑离散时间的更新过程N?n?,(n?0,1,2,M(n)),在每个时间点独立地做伯努利试验,

设试验成功的概率为p,失败的概率为q?1?p,以试验成功作为更新事件,并以M(n)记此过程的更新函数,求其更新率 lim .

n??n

10.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为?,而今天无雨明天有雨的概率为?;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设??0.7,??0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

?1?2??111.设马氏链的状态空间为S??1,2,3,4?,其一步转移概率矩阵??0??1??2(1)画出各状态的概率转移图;

(2)给出各个状态的分类,确定哪些状态是遍历的.

12. 设N?t?,t?0是强度为?的泊松过程,Yk,k?1,2,且与N?t?,t?0独立,令X(t)?

120130?0??00??,试写出: 20?3??10?2?0??是一列独立同分布随机变量,

21??N(t)k?1?Y,t?0,证明:若EYk则E[X()t]?tE?Y??,

1.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/smqt.html

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