数学运算题型汇总与解析(21-30)

数学运算题型详讲（上）

21.排列组合问题

公务员考试是一种人才测评手段，公考的数学运算部分考查的重点不是一个人数学能力的如何，而是人的素质水平高低。过多的涉及公式的考试，是不符合人才测评目的的考试。因此，在解答数学运算部分试题时，尽量不要涉及太多公式，对于排列组合部分，更是如此。由于公考考生的地域分布、学科分布较散，有相当一部分考生对排列公式、组合公式的运用并不娴熟，甚至是相当陌生的，强记、强用这些本身就很易混淆的公式，效果往往事倍功半，会将很多简单的问题复杂化，使解答题目的用时过长，正确率却得不到保证。

加法原理和乘法原理是数学概率方面的最基本原理，运用基本方法解决问题是解决公考中一切问题的最重要、最常用手段。在这里，我们提倡考生在解决排列组合问题时，用最简单、最好理解的加法原理和乘法原理解题，以达到快捷、正确解题的目的。

解答排列组合题目时，要求考生注意以下几点：

1、关于加法原理的运用：

加法原理的运用：一项任务，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有MN种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+MN种不同的方法。

2、关于乘法原理的运用：

乘法原理的运用：一项任务，完成它需要分成N个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，做第N步有MN不同的方法.那么完成这件事共有M1·M2·M3…Mn 种不同的方法。

3、注意排列组合问题中的“捆绑”与“插空”

当题目中出现“相邻”、“连续”等字眼时，我们要注意使用捆绑法，将这些“相邻”、“连续”的元素捆绑起来，看做一个整体（要考虑被捆绑元素之间有无位置变化关系），再与其他元素一起进行排列组合。

如，A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种排法？

A.120

B.72

C.48

D.24

此题为基本的捆绑问题，先将A、B二人捆绑在一起，有A左B右，A右B左两种捆绑方法。就可以把此题看做四个人无附加条件的排列组合问题。共有（4×3×2×1）×2=48种排法。解决捆绑问题时，要注意计算捆绑方法。

当题目中出现“不相邻”、“不连续”等字眼时，我们要注意使用插空法，先将其他元素排好，再将“不相邻”、“不连续”元素排到以排好元素的空当中。

如，A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站在一起，共有（）种排法？

A.120

B.72

C.48

D.24

要使A、B两人不站在一起，需先将C、D、E三人进行排列，有3×2×1=6种排法。

C、D、E三人排队后产生4个空位，将A、B两人排到4个空位中，有4×3=12种排法。共有6×12=72种排法。解决插空问题，一般步骤是“先找空，再插入”。

4、用“剔除法”解决排列组合问题

当题目中出现元素较多时，从正面解决排列组合问题就相对复杂、繁琐。此时，我们可以运用“剔除法”，先将全部排列组合方式列出，再剔除重复的、不合要求的方法，从逆向角度，快捷、准确的解决排列组合问题。

还看这道例题，A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站在一起，共有（）种排法？用剔除法解决此题，也比较方便。

如果5个人没有任何限定条件共有5×4×3×2×1=120种排法，A、B两人相邻的排法有48种（见捆绑法例题），则两人不相邻的排法有120-48=72种。

【例题1】自然数12321，90009，41014 ……有一个共同特征：它们倒过来写还是原

来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有（）个。

A.400

B.500

C.900

D.40000

【例题解析】

本题就是一道典型乘法原理题目

由于所求是偶数，同时，第一位也不能是0，

所以个位只有四种可能2、4、6、8

十位有十种可能1、2、3……9、0

百位有十种可能1、2、3……9、0

所以一共有4×10×10=400种可能

故应选择A选项。

【重点提示】任何数字的首位均不能为“0”。

【例题2】(2008国考第57题)一张节目表上有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加进去两个新节目，有多少种安排方法？

A.20

B.12

C.6

D.4

【例题解析】第一个新节目加入有4种选择。第一个新节目安排进去之后，为四个节目。那么第五个节目添加进去的时候有5种选择，所以添加方法总共有4x5=20种，故应选择A选项。

【例题3】有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？

A 1021 B1022 C 1023 D 1024

【例题解析】分币一共3种，可有8种取法1、2、5、1+2、1+5、2+5、全取和全不取

同理角币也是8种取法，元币有16种取法。这样共有8×8×16-1=1023种取法，减一种是因为不能都不取，0不算一种币值。故应选择C选项。

【思路点拨】将十个币种按“元、角、分”分类考虑，结合乘法原理的应用，可以有效简化答题步骤。

【例题4】(2005年国家考试一卷48题)从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意选出

三个数，使它们的和为偶数，则共有（）种不同的选法。

A.40

B.41

C.44

D.46

【例题解析】欲使任意3数的和为偶，则只有两种情况，①三个数都是偶数②三个数中，一个为偶数，两个为奇数。

1—9中有4个偶数，2、4、6、8，他们三个一组，共是4种可能

1—9中有5个奇数，1、3、5、7、9，他们两两一组，共有10种可能。

三个数都是偶数的情况有4种可能；一个为偶数，两个为奇数有10×4=40种可能。共有4+40=44种不同选法，故应选择C选项。

【例题5】（2007年浙江第16题）同时扔出A、B两颗骰子（其六个面上的数字都为1,2,3,4,5,6）问两个骰子出现的数字的积为偶的情形有几种？

A、27种

B、24种

C、32种

D、54种

【例题解析】两个骰子出现的数字的积的情况共有6×6=36种

只有两个骰子同时出现奇数时，它们的积才是奇数，共有3×3=9

那么出现偶数的情况为：36-9=27

故应选择A选项。

【重点提示】此题采用剔除的办法，有效地简化了答题步骤。

【例题6】（2009浙江51题）如图所示，圆被三条线段分成四个

部分。现有红、橙、黄、绿四种涂料对这四个部分上色，假设每部分

必须上色，且任意相邻的两个区域不能用同一种颜色，问共有几种不

同的上色方法？

A.64种

B.72种

C.80种

D.96种

【例题解析】先涂区域○1，有4种颜色选择；再涂区域○2，颜色选择不能与区域○1相同，故有4-1=3种选择方法；区域○3与区域○1、区域○2颜色选择不同，只能有4-2=2种选择方法；区域○4只与区域○3相邻，有4-1=3种颜色选择的方法。根据乘法原理，总的上色方法共有4×3×2×3=72种。故应选择B选项。

【例题7】（2008湖北42题）四个房间，每个房间里不少于2人，任何三个房间里的人数不少于8人，这四个房间至少有多少人？

A.9

B.11

C.10

D.12

【例题解析】要保证每个房间里不少于2人，且任何三个房间里的人数不少于8人，那么若每个房间都安排3人，可保证任意三个房间的人数都为9人，要使三个房间的人数不少于8人，则可使且仅可使其中一个房间的人数为2人，才能符合题意，故四个房间至少有3×3+2=11人。故应选择B选项。

【例题8】（2009国考115题）厨师从12种主料中挑出2种，从13种配料中挑选出

3种来烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴?

A.131204

B.132132

C.130468

D.133456

【例题解析】主料的选择共有12×11÷2=66

配料的选择共有13×12×11÷（2×3）=286

所以总的选择方法共有66×286×7=132132

【例题9】（2010国考46题）某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料。问一共有多少种不同的发放方法？

A.7

B.9

C.10

D.12

【例题解析】由题干中将30份材料分配到3个部门，每个部门至少发放9份材料，可知，需要均分到三个部门的材料数为9×3=27（份），从而此题需要考虑的发放方法为3份材料的分配方案（30-27=3）。

当3份材料均分时，分配方法为1/1/1，一种；

当3份材料分成两组分配时，分配方法为0/1/2、0/2/1、1/0/2、1/2/0、2/0/1、2/1/0，六种；

当3份材料按一组分配时，分配方法为3/0/0、0/3/0、0/0/3，三种。

故共有1+3+6=10种分配方法，故选择C选项。

【例题10】(2006年国家考试一卷46题) 四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式（）。

A．60种 B．65种 C．70种 D．75种

【例题解析】大家知道，题目中只给出了一个要求条件“由甲发球，五次后，回甲手中”。

相对问题“共有多少种传球方式？”我们可以对要求条件进行提炼①“由甲发球”给定了第一次传球后的接球对象②“五次后，回甲手中”给定了第五次传球者，不能是甲，也就是第四次传球后，接球者不能是甲。

好，明白了这两个条件后，我们对传球过程进行逐级分析：

第一次传球，球可以传至任意其他三人，有三种方式

第二次传球，球可以传至任意其他三人，有三种方式

第三次传球，球可以传至任意其他三人，有三种方式

第四次传球，注意，通过提炼条件，我们已知，此时球不能传至甲手上，则，分两种情况①第四次传球者为甲时，有三种方式②第四次传球者为非甲时，只有两种方式（因不能传给甲）

第五次传球，球只能传至甲手中，只有一种可能

大家发现，第四次传球时，若甲传球则比非甲球员方式多一种。我们暂且按当甲传球时，也只有两种方式计算

????=种

那么，共有传球方式3332154

然后，我们对甲传球时，少计算的一种方式进行补齐

因为补齐的是：第四次传球的传球者，也就是第三次传球后的接球者为甲的情况。

所以，要求条件变更为“由甲传球，三次后，球传至甲手中”那么就是说，第三次传球者不能是甲，也就是第二次传球的接球者不能是甲，

则，第一次传球，球可传至任意其他三人，有三种方式

第二次传球，球已不能传至甲手中，有二种方式

第三次传球，只能传给甲，只有一种方式

那么，共有传球方式3216

??=种

则补齐后，共有传球方式54660

+=种

答案为A

22.概率问题

本类问题应该注意的事项：

概率问题类似于排列组合问题，只要在答题过程中找准所要求条件的概率，正确根据题目要求对所分析得到的事件概率累加或者相乘即可。

1、对立法求概率问题：一般运用所求次数除以总次数的方法求概率；

但是运算比较复杂的问题时，也可以考虑运用对立面事件来求，用1减去

对立面事件概率即为所求概率。

2、单独概率与“之前如何无关”：要看清楚题中所给的条件，分清求

连续概率还是求单独概率。如一个人投篮命中率为90%，当他连续投篮九

次都没命中之后，在这一事件过程中，他第十次投篮的命中率是多少？注

意，这人第十次投篮的命中率还是90%。

3、抽奖问题：在不知道前一个人是否中奖的情况下，不论抽奖券的

顺序先后，中奖的机会都是一样的。

4、有放回的抽取问题：在有放回的抽取中，前一次的抽取不影响后

一次抽取的概率，即每次抽取的概率是相同的；在无放回抽取中，前一次

的抽取会影响到后一次抽取的概率。

【例题1】(2005年北京第21题)现有甲乙两个水平相当的技术工人需进行三次技术比赛,规定三局两胜者为胜方。如果在第一次比赛中甲获胜,这时乙最终取胜的可能性有多大? A.41 B.31 C.21 D.6

1 【例题解析】由于甲、乙两人技术相当，所以每次比赛乙获胜的可能性都是

12，甲已经胜了一场，乙只有在剩下的两场中全部获胜，才能赢得比赛

111224

?= 答案为C

【例题2】(2005年山东第7题)有一个摆地摊的摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里，让人们摸球中奖。只需2元就可以从袋子里摸3个球，如果摸到的3个球都是白球，可得10元回扣，那么如果一天有300人摸奖，摊主能骗走多少元?

A. 350

B. 400

C. 420

D.450 【例题解析】第一次摸到白球的可能性是3162

= 第二次摸到白球的可能性是25

第三次摸到白球的可能性是14

连续三次摸到白球的可能性是121125420

??= 也就是说平均每收20次2元，可能给出10元

摊主能骗走300×2×

2

20)10220(?-?=450元。 故应选择D 选项。

【例题3】（2007年吉林乙级第9题）有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人只能抓走一张，问谁抓到奖的机会最大？

A.第一个人

B.第二个人

C.第三个人

D.一样大 【例题解析】因为三张中只有一张是有奖的，那么第一个人抽到奖的概率为3

1， 第二个人抽到的概率为（1-

31）×21=3

1 第三个人抽到的概率为1-31-31=3

1 所以三个人抽到奖的概率都是31 故应选择D 选项。

【重点提示】任何抽奖券的活动，在不知道前一个人是否中奖的情况下，不论抽的先后，中奖的机会都是一样的。

【例题4】（2010年福建春季第101题）田忌与齐威王赛马并最终获胜被传为佳话，假设齐威王以上等马、中等马和下等马的固定程序排阵，那么田忌随机将自己的三匹马排阵时，能够获得两场胜利的概率是：

A. 2/3

B. 1/3

C. 1/6

D. 1/9

【例题解析】田忌的第一场可以共有3种选择，第二场可以共有2种选择，第三场只有1种选择，所以总的排列方式共有6种，而田忌能获胜两场的方式只有1种，所以田忌能获胜两场的概率为1/6。故应选择C 选项。

【例题5】（2009江苏79题）某商店搞店庆，购物满200元可以抽奖一次。一个袋中装有编号为0到9的十个完全相同的球．满足抽奖条件的顾客在袋中摸球，一共摸两次．每次摸出一个球（球放回），如果第一次摸出球的数字比第二次大，则可获奖，则某抽奖顾客获奖概率是（ ）

A.5％

B.25％

C.45％

D.85％

【例题解析】总的抽奖方式共有10×10=100种

当第一次摸到球为9时，第一次比第二次大的方式共有9种； 当第一次摸到球为8时，第一次比第二次大的方式共有8种；

以此类推，第一次比第二次大的摸球方式共有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种； 所以获奖的概率为100

45=45%。故应选择C 选项。 【重点提示】第一次摸球，有数字“0-9”10种不同情况，且每种情况都是独立存在的，故可使用加法原理解题。

【例题6】（2009福建省第112题）一个袋子里放有10 个小球（其中4 个白球，6 个黑球），无放回地每次抽取1 个，则第二次取到白球的概率是多少？ A.215 B. 415 C. 15 D. 25 【例题解析】题目分为两种情况，

若第一次抽到的是白球，那么第二次抽到白球的概率为：

104×93=15

2 若第一次抽到的是黑球，那么第二次抽到白球的概率为：106×=15

4 所以第二次抽到白球的概率为152+154=52，故应选择D 选项。 【重点提示】由于是无放回的抽取，故抽取球的概率是不断变化的。

【例题7】（2007年江苏省第19题）某射击运动员每次射击命中10环的概率是80%,5次射击有4次命中10环的概率是:

A.80%

B.63.22%

C.40.96% D32.81%

【例题解析】五次射击有四次命中10环，那么剩余的一次射击可以命中10环也可以不命中10环，故只需计算四次射击命中的概率。即命中率为80%4=40.96%，故应选择C选项。

【重点提示】实际上，本题省略了一个步骤，5次射击有4次命中，剩余一次射击命中的概率也为80%，此种情况的概率为80%4×80%；剩余一次射击没有命中的概率为80%4×20%。综合两种情况，5次射击有4次命中的概率即为80%4×（80%+20%）=80%4。

23.集合问题

集合问题是公考数学运算部分最常考察的一类问题，要求考生理解的掌握解答集合问题的公式，熟练掌握图解法这一形象直观的解题方法，学会灵活解题。

解答集合问题，需要掌握的技巧：

1.理解的掌握集合问题的基本公式：

当题目中出现两个集合时：

∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

当题目中出现三个集合时：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-∣C∩A∣+∣A∩B∩C∣

无论是几个集合，集合公式表达的含义都是先将几个集合相加，再将重复计算的部分刨除。

2.掌握利用韦恩图解题的技巧，所谓韦恩图就是用一条封闭曲线（内部区域）直观地表示集合及其关系的图解方法。画韦恩图解题的总的方法概述就是“从内至外，边减边标”。例如：正灵教育教师团队共有教务人员和任课讲师共97人，任课讲师中善讲行测课程的讲师有52人，善讲申论课程的讲师有40人，善讲面试课程的讲师有49人。其中既善讲行测课程又善讲申论课程的有19人，既善讲行测课程又善讲面试课程的有29人，既善讲申论课程又善讲面试课程的有15人，三门课程都善讲的有1人。求正灵教育教师团队中的教务人员有多少？

此题为典型的集合问题，利用画韦恩图的方法，可以直观形象的解题。

首先，依照题目描述画圆，

外大圆表示正灵教育教师团队的

总人数，内部互相相交的三个小

圆分别表示行测、申论和面试三

门课程，大圆与三小圆间的空白

部分，表示教师团队中除讲师外Array的教务人员，即为所求。

三个小圆的共同相交处表示

的是三门课都善讲的讲师人数，在

此处填上对应的数字“1”。

小圆两两相交处表示的是善

讲两门课程的讲师人数。在两两相

交处填上相应数字，注意，要剔除

【例题1】(2006年广东第10题)在棋艺协会中，有69人会象棋，58人会军棋，有12人两样都不会，有30人两样都会。问这个协会共有多少人？

A.109

B.139

C.149

D.150

【例题解析】本题是一个典型的集合问题，30人两种项目

都会，则只会象棋、军棋的人分别是69-30=39、58-30=28，只

会象棋的，只会军棋的，两者都会，两者都不会的，四类相加

即为总数39+28+30+12=109，故应选择A 选项。

【重点提示】此题若使用图解法，应先标注两个项目都会

的30人，再标注只会象棋的39人和只会军旗的28人。

【例题2】（2006年国考一卷第42题）现有50名学生都做物理、化学实验，如果物此时，三个小圆中各封闭面上

已都填满了数字，小圆上各部分的

数字和即为教师团队中讲师人数

的总和。 再用正灵教育教师团队总人

数减去讲师总人数，即得到教务人员的人数。 三个小圆的不相交部分，表示

的是只善讲一门课的讲师人数，将

相应的数字填入空白部分。需要注

意的是，例如在填只善讲行测的讲

师人数时，要用善讲行测的讲师总

人数减去既善讲行测又善讲申论，

既善讲行测又善讲面试，以及三门

课程都善讲的讲师人数。要保证每

位讲师在韦恩图中都出现且只出

现1次。

理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（）。

A．27人 B．25人 C．19人 D．10人【例题解析】本题如上题一样，50名学生可以看作一个集合，她有两个相交的子集，也可以将50名学生看作由4个不相交的子集组成，即只做对物理的，只做对化学的，都对的和都做错的，设都做对的人数为x，可列方程50=（40-x）+(31-x)+x+4，解得x=25，故应选择B选项。

【例题3】 (2007年国家考试第58题)共有20个玩具交给小王手工制作完成，规定，制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣，最后小王共收到56元，那么它制作的玩具中，不合格的共有（）个

A.2

B.3

C.5

D.7

【例题解析】本题貌似条件不足，但这种所谓“条件不足”的题型是包括公务员考试在内的各种招聘中最常出现的。这样的考题，往往很明显的存在“间接条件”，比如此题，设合格的为x，不合格的为y，则有5x-2y=56，同时我们更应注意到还有几条很重要的条件就是x+y≤20，5x≥56，且x、y都为正整数。又由于2y必为偶数，要使5x-2y=56，需使x也为偶数。这样我们就会发现，x最小可取12，当x=12时，y=2，当x=14时y=7，不符合条件。故只有x=12、y=2符合题意。故应选择A选项。

【例题4】(2007年国家考试第55题) 一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息；要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都呆在屋里。其间，不下雨的天数是12天，他上午呆在旅馆的天数为8天，下午呆在旅馆的天数为12天，他在北京共呆了：

A.16天

B.20天

C.22天

D.24天

【例题解析】不下雨则只会在旅馆呆半天，也就是说，

?+不下雨的天数=所有的在旅馆的半天数，下

下雨的天数2

雨天数=[（上午天数+下午天数）-不下雨天数]÷2

可以求出下雨的天数为[(8+12)-12]÷2=4

他在北京共呆了12+4=16天,故应选择A选项。

【例题5】 (2005年国家考试一卷45题)对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有( )。

A.22人

B.28人

C.30人

D.36人

【例题解析】由于三项娱乐都喜欢的有12人

又喜欢看球赛又喜欢看戏剧但不喜欢看电影的有18-12=6人

又喜欢看戏剧又喜欢看电影但不喜欢看球赛的有16-12=4人

则只喜欢看戏剧的有38-12-6-4=16人

由图所示，则只喜欢看电影的有100-58-16-4=22人

故应选择A选项。

【例题6】 (2006年国家考试二卷43题)某工作组有１

2名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说

西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说

法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；

有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种

语言都不会说的人多（）

A.1

B.2

C.3

D.4

【例题解析】这是一道典型的利用韦恩图作答的集合

问题题目，按以下步骤分别标注：

由于只有一个人三种语言都会说

则只会说英语和法语不会说西语的有3-1=2人，

只会说西语和法语不会说英语的有2-1=1人，

只会说英语和西语不会说法语的有2-1=1人，

则只会说英语的有6-2-1-1=2人，

只会说西语的有5-1-1-1=2人，

只会说法语的有5-2-1-1=1人，

则只会说一种语言的共有2+2+1=5人，

则三种语言一种也不会说的有12-5-2-1-1-1=2人

故只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多5-2=3人，故应选择C选项。

【重点提示】集合图解法的步骤总的来说就是“从内至外，边减边标”。

【例题7】樊政一次买了30本书，其中有25本是中文书，24本是2011新出版的书，23本是精装本，19本是工具类书。问樊政这次购买的书中，至少有多少本是中文的2011新出版的精装的工具类书？（）

A.1

B.2

C.3

D.4

【例题解析】30本书中有25本是中文的，则有5本不是中文的。又知有24本是2011年新出版的，这样新出版的24本书中，最多有5本不是中文的，也就是说24本书至少有24-（30-5）=19本是新出版的中文书。同理23本精装书中，不是新版中文的最多有（30-19）=11本，这样23本精装书中至少有12本是精装的新版中文书，不能同时满足以上三个条件的最多有18本。19本工具书中最多有18本不是新版精装中文书，则满足四个条件的至少有1本。故应选择A。

答案为A

【例题8】（2011国考74题）某市对52种建筑防

水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量

不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三

项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？

A.37

B.36

C.35

D.34

【例题解析】利用容斥原理，则三项指标全部合格的产品有52-8-10-9+7+1×2=34，

故应选择D选项。

【例题9】（2010国考47题）某高校对一些学生

进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册

会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89

人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备

参加的有24人，准备选择两种考试都参加的有46人，

不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学

生共有多少人？

A.120

B.144

C.177

D.192

【例题解析】利用容斥原理，则接受调查的学生共有，63+89+47-24×2-46+15=120，故应选择A选项。

【例题10】（2010年9月18日联考第40题）某社团共有46人，其中35爱好戏剧，

30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有（）人以上四项活动

都喜欢。

A.5

B.6

C.7

D.8

【例题解析】方法一：若让喜欢四项活动的人最少，须使喜欢三项活动的人最多，

即设

全体社团人员都喜欢三项活动，共有46×3=138人次，喜欢各项活动的总人次为

35+30+38+40=143人次，故有143-138=5人喜欢四项活动。故选择A选项。

方法二：不爱好戏剧的有46-35=11人，不爱好体育的有46-30=16

人，不爱

好写作的有46-38=8人，不爱好收藏的有46-40=6人，四项活动都爱好的有46-

（11+16+8+6）=5人，故应选择A选项。

【重点提示】图解法是解答集合问题时最常用的辅助手段，但也不必拘泥于这种方

法。运用最合理的方法解题，才能又快又好的解答集合类问题。

24.比赛规则问题

比赛问题属常识型数学运算题，只要考生掌握了常出现的比赛规则模式，即可按规

律轻松解题。

【例题1】(2004年北京一卷16题)某足球赛决赛，共有24个队参加，它们先分成六个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按照确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军和第三、四名。总共需要安排 场比赛。

A. 48

B. 51

C. 52

D. 54

【例题解析】24个人分为6组，则每组4队，单循环每组需6场，6组则需6×6=36场，16个球队进行淘汰赛，第一轮8场，第二轮8个球队进行4场比赛，决出4强，到此共进行了36+8+4=48场比赛，4强赛进行半决赛2场，然后负者争3、4名一场，胜者决赛场，共又进行4场， 48+4=52场

答案为C 。

【重点提示】24个球队分为6组，每组4个球队，循环赛共需进行6×（4×3÷2）=36场比赛（N 队参加的循环赛中比赛场次=2

)1(-N N ）。16个球队进行淘汰赛，还要决出三、四名，则需进行16场比赛（N 队参加决出三、四名的淘汰赛的比赛场次=N ）。整比赛规则

1.比赛问题中的基本规律

（1）一项赛事中，若产生一个胜者，则必然有一个与之对应的负者，

胜者和负者的数量是永远相等的。

（2）比赛中，每一个平局都会产生两个打平者，故对于所有参赛者而

言，平局的数量一定为偶数。

（3）一项赛事中，若有一个参赛者保持全胜，则不可能有另一个参赛

者保持不败。

2.循环赛

单循环赛中，每两个参赛者之间都要进行一场比赛，当有N 个参赛者参

赛时，每个参赛者都要进行（N-1）场比赛，整项赛事共要进行2

)1(-N N 场比赛。

双循环赛中每两个参赛者都要进行两场比赛，当N 个参赛者参赛时，每

个参赛者都要进行2（N-1）场比赛，整项赛事共要进行N （N-1）场比赛。

3.淘汰赛

淘汰赛中，当N 个队参赛时，若只决出冠亚军，需进行N-1场比赛；若

还需决出三四名，则共需进行N 场比赛。

4.比赛中的得分问题

在很多比赛规则中都规定每场比赛的胜者得2分，平局两参赛者各得1

分，负者得不得分。在此种规则下，整项赛事的总分数一定为比赛总场数×2。

项赛事共进行16+36=52场比赛。

【例题2】(2006年国家考试二卷41题)100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛,要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛( ) 。

A.90场

B.95场

C.98场

D.99场

【例题解析】此题可运用“假设数值法”。由于答案是唯一的，所以我们假设某个数值（取值范围内）所得的结论，就应该是正确答案。

假设男运动员有64人，则女运动员有36人

男子组共需进行32+16+8+4+2+1=63场

女子组36人，第一轮只需赛36-32=4场，其它人直接进入第二轮

则女子组共需赛4+16+8+4+2+1=35场

男、女运动员共需进行63+35=98场比赛。故应选择C选项。

【思路点拨】对于此题，可暂不考虑男女运动员的分布情况。设男运动员数为M人，女运动员数为N人，男子比赛决出冠军需M-1场比赛，女子比赛决出冠军需N-1场比赛，则共需安排M+N-2场比赛，既100-2=98场比赛。

【例题3】一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个人都与其他9人各赛1盘，每盘的胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分,结果甲队选手平均得4.5分,乙队选手平均得3.6分,丙队选手平均得9分,那么甲乙丙三个队参加比赛的选手的人数依次是?

A．4.3.3 B．5.3.2 C．4.5.1 D．5.4.1

【例题解析】因为每个人一共赛9场，最多得9分，且只能有1人全胜得9分，所以丙队只能有一个选手，且这个选手全胜。

乙队平均得分3.6，乙队的人数是大于等于1小于等于7的整数，而乙队的总分又必须是0.5的倍数，所以只有当乙队有5人时才有3.6×5=18分

这样甲队就有10-1-5=4人，故应选择C选项。

【例题4】四名棋手每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分。比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有（）局平局。

A．1 B． 2 C．3 D．4

【例题解析】四名选手之间共要进行6场比赛，这样四人总分是12分，没有人全胜，且分数各不相同，这样四人得分只能是5、4、2、1或5、4、3、0，由于一场平局会使两名选手的积分变为奇数，故至少出现了一局平局。故应选择A选项。

【例题5】（2010年黑龙江省第40题）某校八年级学生数学竞赛共有20道题目，每答对一道得5分，不答或答错扣一分，80分以上至少要答对的题目数是多少?( )

A.15道

B.16道

C.17道

D.18道

【例题解析】因为每答对一道得5分，所以答对16道才得80分，但是，不答或答错扣

一分，所以要想得80分以上，答对的题目至少要比16道题多，故排除A、B选项。当答对17道题时，可得5×17-1×（20-17）=82分，可得到80分以上，故应选择C选项。

【例题6】（08年江西省第43题）A、B、C、D、E这 5 个小组开展扑克比赛，每两个小组之间都要比赛一场,到现在为止，A组已经比赛了4场，B组已经比赛3场， C组已经比赛了2场，D组已经比赛了1场。问 E 组比了几场？

A.0 B 1 C. 2 D. 3

【例题解析】首先5个小组比赛，那么每个小组比赛的场次都是4场。我们可以看到，A比赛了4场，那么说明A和每个组都比赛过了，肯定有1场是和E组比的；D组已经比赛了1场，则此场比赛一定是与A组比赛；B组已经比赛3场，C组已经比赛了2场，由此说明B组除和A组比赛外，还和C组比赛了1场，E组比赛了1场，而C组的2场比赛是分别与A组和B组比赛的；故E组分别与A组合B组进行了2场比赛。故应选择C选项。

【例题7】（2011年国考第73题）小赵，小钱，小孙一起打羽毛球，每局两人比赛，另一人休息，三人约定每一局的输方下一局休息，结束时算了一下，小赵休息了2局，小钱共打了8局，小孙共打了5局，则参加第9局比赛的是：

A.小钱和小孙

B.小赵和小钱

C.小赵和小孙

D.以上皆有可能

【例题解析】共有三人打羽毛球，由于小赵休息了两局，则小钱与小孙打了2局。则小赵与小钱打了8-2=6局，小赵与小孙打了5-2=3局。共进行了2+6+3=11局比赛。由于每局比赛的输方下一局休息，故不可能有人连续休息两局。小孙共打了2+3=5局，故他休息的六局必定相隔，即小孙11局中奇数局休息，偶数局打球，则第九局小孙休息，小赵和小钱比赛，故应选择B选项。

【例题8】 (2007年国家考试第51题) 学校举办一次中国象棋比赛，有10名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局，比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分，比赛结束后，10名同学的得分各不相同，已知：

（1）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；

（2）前两名的得分总和比第三名多20分；

（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等。

那么，排名第五名的同学的得分是：

A．8分B． 9分C．10分D．11分

【例题解析】本题被绝大多数参加过2007年国家公务员考试的同学认为是此次行测考试140道题目中难度最大的。其实，做过上面的两道题后，本题也就思路很清晰了。首先，后四名的得分和最多为12分，因为即使这四人与其他人的比赛都输了，但它们之间的6场比赛的得分和是12分。这样第四名同学最少为12分。

第二，由于第一、二名都一局没输，且分值不同，他们最高可得17、16分，因为第一名如果全胜，第二名就会输一局。如果两人赛平，第二名只有分数更低才能不与第一名分

数相同。

这样第三名最多为17+16-20＝13分

由第四名最少得12分，这样第三名就只能得13分了，第三名得13分，则前三名的分数和为33+13＝46，第四名与后四名的分数和最少为12+12＝24，这样第五、六名的分数和为45×2-46-24＝20，由于第四名是12分，五、六名的分数是20，只有第五、六名是11、9分才能使第五名比第四名分数少，且比第六名分数多。故应选择D 选项。

【重点提示】在比赛规则问题中，若有一个参赛队全胜，不会有另一个参赛队保持不败。在每场比赛的胜者得2分，平局两参赛者各得1分，负者得不得分的比赛规则下，某一阶段比赛中各队所得的总分数一定等于这一阶段这几个参赛队的比赛总场数×2。

25.几何最值问题

几何最值问题主要考察考生对几何常识的了解程度，研究在满足一定前提条件的情况下对所给几何图形如何变形的问题。

【例题1】（08湖北）3条直线最多能将平面分成几部分?( )。

A ．4部分

B ．6部分

C ．7部分

D ．8部分 【例题解析】三条直线两两相交，但不交与一点时可以分为最多的7部分。正确答案为C 。

【重点提示】要使N 条直线将一平面分成的部分数最多，须使每条直线都与另外的N-1条直线相交，且所有交点不重合。

【例题2】一条12米的铁丝（可折）与一面7米的墙最大能组成多

解答“几何最值”类题目时，应掌握以下解题技巧：

1.在平面图形中，当周长一定时，越接近于圆的图形，面积越大；（平面图形中边数越多的图形，越接近于圆）边数越少，面积越小。

2.在平面图形中，当面积一定时，越接近于圆的图形，周长越小；边数越少，周长越大。

3.要使N 条直线将一平面分成的部分数最多，须使每条直线都与另外的N-1条直线相交，且所有交点不重合。

直线数 1

2

3

4 5 …

… 最多面数

2

4

7

1

1

16

……

通过观察可发现，直线数与所形成面数有递推和关系。

1

2

3 5

4 6 7

大面积的四边形？（ ）

A ．10

B ． 16

C ．18

D ．24

【例题解析】这道题目可以是这样的一个思路，墙是固定不能动的，为了考虑方便，我们以墙为对称轴，做该图形的对称四边形，这样就使四边都不是固定的了。欲使围成的四边形是面积最大的，则这个四边形加上它的对称图形形成的四边形也应该最大，显然，当这个图形是正四边形时最大。也就是说，当铁丝围成半个正方形，面积最大为3618?=。

答案为C

【思路点拨】在周长一定的矩形中，正方形的面积最大。

【例题3】如右图，正方形ABCD 的边长为8厘米， E ，F 是边上的两点，且AE=3厘米，AF=4厘米，在正方形的边界上再选一点P ，使得三角形EFP 的面积尽可能大，这个面积的最大值是（ ）平方厘米？

A ．16

B ． 18

C ．22

D ．24

【例题解析】这是一道典型的“等底法”求三角形面积

最值的题目。FE 是三角形FEP 的底边且长度不变，则P 点

到FE 距离越大，ΔFEP 的高就越大，当P 与C 重合时，显

然最大。至于求ΔFEP 的面积可以用：

□ABCD-△FAE-△CDF-△CEB=64-6-16-20=22㎝2

，故应

选择C 选项。

【例题4】（08浙江）17、有面积为1m 2、4m 2、9m 2、16m 2的正方形地毯各10块，现有面积25平方米的正方形房间需用以上地毯铺设，要求地毯互不重叠而且刚好铺满。问最少需要几块地毯？

A.6块

B.8块

C.10块

D.12块

【例题解析】25=9+3×4 +4×1 （1块9平，3块4平，4块1平） 共8块

【例题5】（2011年国考75）用一个平面将一个边长为1的正四面体切分为两个完全相同的部分，则切面的最大面积为： 1

1 2 2 2

3

1 1

A.41

B.42

C. 43

D.2

1 【例题解析】若使切面面积最大，需按右图方法切割。面ACE 为

等腰三角形，AE=CE=

23，AC=1可计算△ACE 面积为4

2。故应选择B 选项。

【例题6】（08广西第15题）有一种长方形小纸板，长为29毫米，宽为11毫米。现在用同样大小的这种小纸板拼合成一个正方形，问最少要多少块这样的小纸板( )

A ．197块

B 。192块

C 。319块

D 。299块

【例题解析】长方形小纸板面积为29×11=319，组成的正方形面积为319×纸板块数，因为必须为整数，所以纸板块数必定为319。

正确答案为C 。

【思路点拨】本题是几何最值和最小公倍数题目的结合，是几何最值问题的特色题目。

【例题7】（2008年四川第8题）如果不堆叠，直径16厘米的盘子里面最多可以放多少个边长6公分的正方体？( )

A1 B. 2 C.3 D.4

【例题解析】由于正方体表面积上的对角线长度为62厘米，若在盘中摆放四个正方体，则拼成的大正方体表面积上的对角线长度就为122厘米﹥盘子的直径16厘米，故盘子中无法摆放四个正方体。按下图方法摆放，只能放下3个正方体，故应选择C 选项。

【例题8】用10块长7厘米,宽5厘米,高3厘

米的长方体积木拼成一个长方体,问这个长方体的

表面积最小是（ ）平方厘米？

A.750

B.650

C.860

D.900

【例题解析】欲使表面积最小，则需互相重叠的面积最多。如图，按右图方法拼接时，长方体的表面积为15×10×2+10×7×2+15×7×2=650cm 2。故应选择B 选项。

【例题9】 (2005年北京一卷25题)某工人用

直径为50毫米的废铁片冲制垫圈，每块铁片冲４

个相同的垫圈，试问垫圈的最大直径能有多少毫

米？

A.20.3

B.20.5

C.20.7

D.20.9

【例题解析】设大圆半径为R ，小圆半径为r 。

如图所示，R-r=OC ，2CO=AB ，AB=2(R-r)

AB 2=2AC 2?4（R-r ）2=8r 2?(R-r)2=2r 2? R-r=2r 。r=211

+×25=10.356

解得d=2r ≈20.7，故应选择C 选项。

26.统筹与最值问题

解决此类题目的关键是首先要根据已知条件计算出题目中所给不同限制条件的特点，然后根据题目要求进行合理统筹安排。

解决统筹与最值问题的主要注意事项：

1.灵活运用“木桶效应”。由于一项工作的最终成果往往是由最弱的环节决定

的，也就是所谓的最“短板”。因此在解题前不妨先做比较，找出整项工程的最弱环节，在“短板”的约束下统筹题目中的问题，才能找到最合理的解题途径。

2.解答统筹与最值问题的关键在于统筹，欲得到最佳效果，关键在于抓住“最

大化”这一解题的钥匙。例如n个数的和是m，欲使n个数中最小的数尽量大，那么在数字总和不变时，其他数就要尽量小。再例如，甲一小时能组装课桌10张或15把椅子，乙每小时能组装5张课桌或20把椅子。这种情况下怎样才能使甲、乙二人在100小时之内生产的课桌椅套数最多？

要使甲、乙二人在100小时内生产的课桌椅套数最多，需使甲、乙二人尽量发挥自己的优势，即使甲尽量生产课桌，乙尽量生产椅子。但若让甲只生产课桌，乙只生产椅子，最终生产出的椅子数要远远大于桌子数，故应使乙抽出一定时间也生产课桌。甲100小时能生产10×100=1000张桌子，乙生产1000把椅子需要1000÷20=50小时，乙剩余的50小时时间内只要生产的课桌和椅子数相同，就能使他俩生产的课桌椅总套数最大，因为乙生产课桌与生产椅子的效率比为1：4，所以生产课桌与生产椅子的所用时间比应为4:1，即乙剩余的50小时内，用40小时生产5×40=200张桌子，用10小时生产20×10=200把椅子。故甲乙二人能生产的课桌椅的最大套数为1000+200=1200套。

【例题1】 (2008年国考54题)某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资，工人每做出一个合格零件能得到工资10元，每做出一个不合格的零件将被扣除5元，已知某人一天共做了12个零件，得到工资90元，那么他在这一天做了多少个不合格的零件？

A.2

B.3

C.4

D.6

【例题解析】从整体上考虑本题，假设该工人所做12个零件均为合格产品，应得工资120元。因为实得90元，所以工资差120-90=30应为做出不合格零件所损失的钱数（5+10=15），所以不合格零件数为30÷15=2个，故应选择A选项。

【思路点拨】本题考查的是在做出合格零件得10元，不合格零件扣5元的情况下，综合情况考虑。若不用整体思考方法，也可使用列方程解答。

【例题2】 (2006年国家考试一卷38题) 人工生产某种装饰用珠链，每条珠链需要珠子25颗，丝线3条，搭扣1对，以及10分钟的单个人工劳动。现有珠子4880颗，丝线586条，搭扣200对，4个工人，则8小时最多可以生产珠链（）。

A．200条 B．195条 C．193条 D．192条

【例题解析】这是一道典型的“木桶效应”问题，产量的多少是由最弱的环节决定的。

珠链：4880÷25=195（取整）搭扣：200

丝线：586÷3=195（取整）人工：8×60×4÷10=192

人工是“最短的木板”，最多少生产192条

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