数值分析复习之数值积分与数值微分

第四章 数值积分与数值微分

一、纲要

数值积分与数值微分一章中主要的要点如下：

１、数值积分的提法、插值型求积公式的导出及其余项估计 ２、低阶数值积分公式及其余项的估计

３、数值积分的加速过程：Romberg算法与埃特金方法 ４、高精度求积公式：Gauss求积公式 二、要点

１、若要求积分I??f?x?dx，当f?x?的解析表达式未知或其解析表达式不易于计算积分值

ab时，可以考虑用数值的方法求得它的一个近似值I*。如果已知函数f?x?在n?1个节点上的值f?xi?,i?0,1,?,n，那么可以用这些节点构造一个插值多项式Pn?x?，用Pn?x?近似表示f?x?，并用I?*?nbaPn?x?近似表示I，这时

nbnI*??bbaPn?x?dx???f?x?l?x?dx??f?x??l?x?dx??Af?x?

aiiii?0i?0aiiii?0nb上式就称为插值型求积公式。更一般地，如果一种求积公式可以写为：

I??f?x?dxa?I*??Af?x?

iii?0就称为机械求积公式，显然，插值求积公式就是一种机械求积公式。

２、在上述的插值型求积公式中，特别地，当给定的n?1个节点是等距的时候，构造出来的求

积公式称为Newton-Cotes求积公式它的一般表达式可以写为：

In??b?a??Ckk?0n?n?f?xk?

?n?其中Ck称为Cotes系数。特别地当n?1时Newton-Cotes求积公式称为梯型求积公式，写

为：

T?12?b?a??f?a??f?b??

当n?2时Newton-Cotes求积公式称为抛物求积公式（或辛甫森求积公式），写为：

S?16?b?a??f?a??4f?????a?b???f?b??

?2??当n?4时Newton-Cotes求积公式称为Cotes求积公式，写为：

C?190?b?a??7f?a??32f?x1??12f?x2??32f?x3??7f?b??

其中a,x1,x2,x3,b是区间?a,b?的四等分点。

３、为了估计上面求积公式的精度，引入代数精度的概念。如果一种求积公式

I??f?x?dxab?I*??Af?x?

iii?0n对于f?x?是n次代数多项式时是精确成立的，但对于n?1的代数多项式不能再精确成立那么，就称上面的求积公式具有n次代数精度。由概念可以直接得到这样的结论（１）插值型求积公式至少具有n次代数精度。容易证明第二个结论：（２）当n为偶数的时候插值型求积公式至少具有n?1次代数精度。由代数精度的概念出发，再加上积分中值定理可以得到一些低阶的求积公式的余项估计。

４、梯型求积公式的余项估计为：

R?T??I?T??bf''??2?a?x?a??x?b?dx??f''???12?b?a?3,???a,b?

辛甫森求积公式的余项估计为： R?S??I?S??bf?4????a4!a?b???x?a??x??2??62b?a?b?a??x?b?dx????f180?2?4?4????

Cotes求积公式的余项估计为： 2?b?a??b?a?R?C??I?C????f945?4??6????

５、当用Newton-Cotes求积公式的时，当n很大时一样存在数值不稳定性。为了使用低阶求积

公式，并且能达到较高的计算精度，可以将区间?a,b?做若干等分，在每个子区间?xi,xi?1?上使用低阶求积公式，这样的方法称为复化求积方法。若在子区间中用梯型求积公式就有：

?baf?x?dx???ixi?1xif?x?dx??i?1?????????x?xfx?fxi?1iii?1?2?????Tii?Tn

称为复化梯型求积公式；若在子区间上用辛甫森求积公式，就有：

?baf?x?dx???ixi?1xif?x?dx?????f?xi?1????? ???????ii?1????xi?1?xi??f?xi??4f?x1?i??6?2???i?S?Sn称为复化辛甫生求积公式；同理可得其它的复化求积公式。

６、复化求积公式的余项估计是先估计每个子区间的误差，然后再取和。其过程是简单的。（请

大家勿必会证明推导复化求积公式的余项表达式，并会熟练使用）几个简单复化求积公式的余项估计：

I?Tn??b?a12hf''???,h是区间?a,b?的等分步长2

I?Snb?a?h?????f180?2?4?4????

?6?I?Cn2?b?a??h?????f945?4?6???

７、由以上的误差估计式，在f?x?较平坦、光滑（即光顺）的假设下，可以容易导出复化求积

过程的一个收敛加速算法：Romberg算法，可以表示为

Tn?Sn?Cn?Rn??i?1?????????x?xfx?fxi?1iii?1?2???13Tn11516343T2n?16156463

SnCnS2n?C2n?

８、Romberg算法可以实现的前提是“f?x?较平坦、光滑”，如果这个条件不成立，那么Romberg

算法的收敛是值得商榷的。为了解决这个问题，利用一致逼近的思想可以找到一个高精度

的数值求积算法：Gauss求积方法，它可以达到最高的代数精度为2n?1。一般表达式可以写为：

G??Af?x?

iii?0n其中xi,i?0,1,?,n是Gauss点，Ai,i?0,1,?,n是求积系数。

９、利用一些插值方法可以求得在给定的那些节点上的微分值，这种方法称为数值微分。

三、例题

１、确定下列求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度。

?1??h?hf?x?dx?A?1f??h??A0f?0??A1f?h?

解：这是n?2的Newton－Cotes求积公式，至少具有三次代数精度。由此可以确定它的系数，取f?x??1,f?x??x,f?x??x2,f?x??x3可得以下方程组： ?h1dx?A?A?A?2h?101???h?h???hxdx??hA?1?hA1?0??h2??x2dx?h2A?1?h2A1?h33??h ?h333xdx??hA?1?hA1?0????h1?A?A?h?11??3???A?4h0?3?如果取f?x??x4，它的积分真值为I?131323?h?hxdx?425h，如果用积分公式来计算则得到它的近

5似值为I?*h?5h5?h，所以I*?I，求积公式只具有3次代数精度。

5

２、验证梯型求积公式只具有一次代数精度 证明：梯型求积公式为T?12?b?a??f?a??f?b??，取f?x??1时，有

?ba1dx?b?a?12?b?a??1?1??T

取f?x??x时

?baxdx?12?b?a??f?a??f?b???T

2取f?x??x时，积分真值为

?baxdx?213?b3?a3?

梯型求积公式的值为

T?b?a2?a2?b2?

故I?T，即梯型求积公式只具有1次代数精度。

３、分别应用梯型求积公式、Simpson求积公式、Cotes求积公式计算积分?exdx，并估计各

01种方法的误差（要求小数点后至少保留5位） 解：运用梯形求积公式

?10edx?x12?e10?e1??1.8591409112

其误差

R?f???12e?1?0???3e?0.22652

应用Simpson求积公式，

1?1?012?0edx?6?e?4e?e??1.718861

??1x其误差为

R?f???12880e??e2880?0.000944

应用Cotes求积公式，有

113?1?01424?0edx?90?7e?32e?12e?32e?7e??1.7182827

??1x其误差为：

R?f?2?1??2e???0.0000014 ??e?6945?4?945?46

４、推导下列三种矩形求积公式 bf'???2????????fxdx?b?afa?b?a?a2bf'???2????????fxdx?b?afb?b?a?a2

?

baf''????a?b??b?a?3f?x?dx??b?a?f???24?2?解：将f?x?在x?a处Taylor展开，得

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