第八章 相量法11

第八章 相量法 34

第八章 相量法

1.学习要点

(1)正弦量及其三要素 (2)相位差的概念

(3)相量的概念及其性质 (4)KCL、KVL的相量形式

(5)R、L、C元件VAR的相量形式

2.内容概述

Ⅰ 正弦量

1)正弦量的时域表达式(以i为例)：i?Imcos(?t??) ① 2)正弦量的三要素、有效值的定义 (1)角频率、频率、周期(要素之一) 角频率：??d(?t??)dt，即正弦量单位时间内变化的电角度，单位：rad／s(弧度/秒)。

频率：f—单位时间内正弦量变化的周波数，单位：HZ

周期：T—正弦波变化一次所需要的时间，即一个完整周波在时间轴上的宽度，

单位：s、ms、?s

?、f、T之间的关系：??2?f f? (2)最大值、有效值(要素之二)

式①中：Im—最大值；I—有效值

1T 或 T?1f

有效值的定义：若i为周期性电流函数(不一定是正弦量)，则i有效值的定义式为 I?1T?T0idt

22上式可写成：IRT??T0Ridt,含义是：对同一电阻R，在周期T内，i通过R时产生的热量

2与恒定电流I通过R时产生的热量相等。 正弦量：Im?

2I

对电压等量有效值的定义式在形式上与电流i的定义式相同。 (3)相位角、初相角(要素之三)

相位角：?t?? ，单位：rad或(o)(弧度或度)。 初相角：?，单位：rad或(o)(弧度或度)。

注意：正弦量的一个周期对应的相位角为2?rad或360o 3)相位差

相位差是正弦稳态电路中的一个重要概念，设两个正弦量分别为 f1?f1mcos(?t??1) f2?f2mcos(?t??2) 则f1与f2之间的相位差定义为

?12?(?t??1)-(?t??2)=?1??2 ② 设????12??则：

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第八章 相量法 35

(1)当?12＞0时，称f1越前(超前) f2 (?12角)，或f2滞后f1 (?12角)。 (2)当?12＜0时，称f1滞后f2 (?12角)，或f2越前f1 (?12角) (3)特例：

当?12=0o与f2同相。

当?12=±90o时，称f1与f2正交。

当?12=±180o时，称f1与f2反相。

注意：(1)一般情况下只有两个正弦量同频时，求相位差或进行相位比较才有实际意义。

(2)利用式②求相位差时，两个正弦量的表达形式要一致，同为正弦形式或余弦形式，

且f1m＞0，f2m＞0

Ⅱ 相量法的基本概念

线性动态电路的描述方程是微分方程，求解微分方程的正弦稳态解(特解)，在高等数学微分方程求解中是通过待定系数法进行的。这种方法非常繁琐，为此，电路中引入相量概念，通过相量法使常微分方程的正弦稳态求解问题变为复数的代数方程求解问题，这不仅使计算简化，书写方便，而且使正弦稳态电路物理概念更加突出。 1)正弦量的相量

设正弦量：u?2Ucos(?t??u)

将u的有效值作为幅值，u的初相角作为辐角所构成的复数： Ue

..j?u简记为

U?U∠?u ③

则称U是正弦量u的有效值相量，简称相量。

相量是一个特殊的复数，它与一个正弦量相对应，其符号为在对应正弦量有效值U上加“.” 2)相量的正弦量

设相量U?U∠?u，正弦量u的角频率为? (已知)。

... 若将U的幅值U作为正弦量u的有效值， U的辐角?u作u的初相角而构成的正弦量： u?.2Ucos(?t??u) ④

则称u是相量U对应的正弦量。

可以将正弦量与相量的关系看成是一种数学变换。

. 3)u与U关系

u与U的关系式为 u?Re?2ej?tU??Re?2Ue????式中：Re—表示取实部。 U?U∠?u是复指数函数

...j(?t??u)??2Ucos?(t??u) ⑤

2ej?t.Uej?u复常数部分，而u是复指数函数2ej?t.Uej?u的实部。

4)正弦量 相量变换的性质

表8—1列出了正弦量 相量变换的几条常用性质，这些性质可以用式⑤证明。

表8—1 性质名称 微分性质 积分性质 叠加性质 比例性质 线性性质 35

正弦量 相量 dfdt假设条件 f?2Fcos(?t??) j?F 1j?.. .F?F.∠? ?f(t)dt F f1?2F1cos(?t??1) f1±f2 F1±F2 .F1?F1∠?1 k.kf kF. F2、k1、k2—实常数 k1f1±k2f2 k1F1±k2 第八章 相量法 36

Ⅲ 电路定律的相量形式

基尔霍夫定律（KCL、KVL）的时域形式与相量形式（频域形式）和元件R、L、C的伏安关系(VAR)的时域形式与相量形式如表8-2所示。表中的相量形式可用正弦量 相量变换的性质证明。

表8-2 KL和元件VAR的时域形式与相量形式 定律 KL KCL KVL R 元件的VAR L C 时域形式 相量形式 ?i?0 ?uL?L1C?I?U..R..?0 ?0.u?0 U. .uR?RiR 或iG?GuG diLdt?RIR 或IG?GUG .或iL?1?uLdt LUL?j?LIL或IL?1j?C..1j?L.U.L uC??iCdt 或iC?CduCdt .UC?IC 或I.C?j?CUC 3．典型例题

Ⅰ正弦量

【例题1】已知正弦电流的I=2A,?i=30o , f=50HZ，求该正弦量的最大值、角频率；写出该 电流的正弦量函数式；画出其波形图。 解：最大值：Im?22A

角频率：?=2πf≈314 rad/s

?i=π/6

正弦量函数式： i?22cos(314t??/6)A i波形图如图L8.1所示。

【例题2】求下面各组正弦量的相位差，并说明越前、滞后的关系。 （1）u1?2202cos(?t?1200)V u2?2202cos(?t?1200

)V

（2）i?10cos(?t?1300)A u?200sin(?t)V

（3）i1?30sin(?t?200)A i2?40sin(3?t?500)A 解：（1）?12=-120o-120o=-240o

将?12转化为：0~±180o范围，则有 ?12=360o-240o =120o

所以u1越前u2120o，或者说u2滞后u1120o。

（2）计算相位差前，应先将两正弦量统一成余弦或正弦形式； u?200sin(?t)?200cos(?t?900) ?iu=?i-?u=-130o- (-90o)= -40o

所以i滞后u40o。

（3）由于i的角频率为?1=?，而i2的角频率为?2=3?，i1与i2的频率不同，相位

差是一个时间函数，不能判定越前、滞后。

Ⅱ相量

【例题3】求下列正弦量的相量；画出相量图；根据相量求其相位差，并说明越前、滞后的关系。

0i1?14.14cos(?t?30)A； u1?220sin(?t?300)V

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第八章 相量法 37

解：（1）u1?220cos(?t?300?9000)V

o

=

.220cos(?t?60)Vi1的相量式 I1?(14.14/1.414)∠30

A=10∠30oA

u1的相量式 U...1?20∠-60V

o

（2）I1、U1的相量图如图8.3所示。

（3）i1与u1的相位差为：?=30o- (-60o)=90o

o

o

所以i1越前u190，或者说u1滞后i190。

图L8.3

【例题4】 在图L8-4所示电路中，已知us1?200sin(?t?100)V，us1?300sin(?t??)V。 试求：（1）???300时的uAB；（2）在?可调时，AB两端

为最大值和最小值时的?值及相 应的电压幅值uABm。 解：（1）uAB?us1?us2

用相量计算

Us1m?200?100V,Us2m?300??300V

...

电压

UABm

=200∠-10+300∠-30o =197+j17.4+259.8-j150 =456.8-j132.6

=475.8∠-16.2o（V） uAB=475.8sin(?t?16.20)V

?Us1m..?Us2mo

图L8-4

（2）当us1与us2同相位时，即??100时，AB间电压最大，其幅值为 uABm=US1m?US2m?(200?300)V?500V

当us1与us2反相位时，即10 o -??1800，???1700时，AB间电压最小，其幅值为 uABm=US2m?US1m?(300?200)V?100V

Ⅲ 电路定律的相量形式

【例题5】在图L8.5所示的RL串联电路中，已知：i?22cos(?t?300)A，R=100Ω，L=0.5H，

f=50HZ。求总电压：u?uR?uL。

解：由KVL得 u?uR?uL=Ri利用相量概念及性质：

..?Ldidt

I?2∠-30oV

... U=RI?j?LI?(R?j?L)I

=（100+j314×0.5）Ω×2∠-30oA =186.14∠57.5o×2∠-30oV =372.3∠27.5oV

所以u?2372.3cos(314t?27.50)V

图L8.5

【例题6】在图L8.6（a）所示电感元件的正弦交流电路中，L=200mH,f=50HZ： （1）已知i?72sin?t，求电压u； （2）已知U37

.?254∠-30V，求电流I，并画出相量图

o

. 第八章 相量法 38

解：（1）当f=50HZ 时

XL=2πfL=2×3.14×50×0.2Ω=62.8Ω U?jXLI=j62.8Ω×7A=439.6∠90oV

所以u=439.62sin(?t?900)V （2）U?254∠—30oV

.....I=

UjXL?254??30Vj62.8?0?4.04??1200A

相量图如图8.6（b）所示。

【例题7】已知图8.7（a）电路中，各并联支路中电流表的分别为第一只5A,第二只20 A,第三只25 A： （1）求图示电路中电流表A的读数 （2）画出电压电流相量图

0解：（1）设R的电压U?U?　0V，则

.

图L8.6

.I。L=

.Uj?L??j。U?L??j20A

IC?j?CU?j?CU?j25A

...I?IR?IL?IC?5?j20?j25A

＝5＋j5A

=52∠45oA ≈7.07∠45oA

所以电流表A的读数为7.07A

（2）相量图如图8.7（b）。

也可先画出相量图，由相量图可知： I?

I2R 图L8.7

?(IL?IC)?225?5A?7.07A

22

4．典型习题

[题1] 图示电路中，已知电流表A1读数为10A，电压表V1读数为100V，试用相量图求电流表A2和电压表V2读数。

图X8.1 图X8.2

[题8.2] 图示电路中，试确定方框内最简单串联组合和并联组合元件值。已知u(t)?10cos2tV，

0i(t)?2cos(2t?60)A。

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第八章 相量法 39

[题8.3]图示电路中，1＞?C，I1=4A，I2=5A，则I=？

?L1

图X8.4

[题8.4] 已知u1?502cos(?t?302cos(?t)V0)V，

u2?30，

u3?4002sin(?t?60)V

用相量法求u?u1?u2?u3

[题8.5] RLC串联电路如图所示，u为正弦电压，设电路已处于稳态，求各元件电压有效值之间的关系式。

图X8.5

图X8.6

[题8.6] 图示电路中，R1=6Ω，L=0.3H，R2=6.25Ω，C=0.012F，u?102cos(10t)V，求稳态电流i1、i2和

i3，并画出电路的相量图。

[题8.7] 图示电路，已知us(t)?试求元件参数R、L和C。

2002cos(100?t??3)V，电流表的读数为2A，两个电压表的读数均为200V，

图X8.8

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