2006考研数三真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) lim?n???n?1???n???1?n?_________

fx(2) 设函数f(x)在x?2的某领域内可导,且f??x??e??,f?2??1,则f????2??______

(3) 设函数f(u)可微,且f??0??122,则z?f?4x?y?在点(1,2)处的全微分dz2?1,2??_____

?21?(4) 设矩阵A???,E为2阶单位矩阵,矩阵E满足BA?B?2E,则B?_________

??12?(5) 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间?0,3?上的均匀分布,则Pmax?X,Y??1?

??_________

(6) 设总体X的概率密度为f?x??221?xe????x????,x1,x2,......xn为总体x的简单随2机样本,其样本方差S,则ES=__________

二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则( )

(8) 设函数f?x?在x?0处连续,且limh?0(A)0?dx??y. (C)?y?dy?0.

(B)0??y?dy.

(D)dy??y?0.

f?h2?h2?1,则( )

'(A)f?0??0且f??0?存在 (B)f?0??1且f??0?存在

'(C)f?0??0且f??0?存在 (D)f?0??1且f??0?存在

''

1

(9) 若级数

?an?1??n收敛,则级数 ( )

(A)

?an收敛 (B)

n?1????1?n?1??nan收敛

(C)

?anan?1收敛 (D)

n?1an?an?1收敛 ?2n?1(10) 设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个的解y1?x?,y2?x?,C为任意常数,则该方程通解是( )

(A)C??y1?x??y2?x??? (B)y1?x??C??y1?x??y2?x??? (C)C??y1?x??y2?x??? (D)y1?x??C??y1?x??y2?x???

(11) 设f?x,y?与??x,y?均为可微函数,且??y?x,y??0,已知?x0,y0?是f?x,y?在约束条件??x,y??0下的一个极值点,下列选项正确的是 ( )

(A) 若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0 (B) 若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0 (C) 若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0 (D) 若fx??x0,y0??0,则fy??x0,y0??0

(12) 设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A是m?n矩阵，下列选项正确的是( )

(A)若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B)若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C)若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (D)若?1,?2,?,?s线性无关，A?1,A?2,?,A?s线性无关.

(13) 设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B第一列的 -1倍加到第2列得C,

?110???记P??010?，则( )

?001???(A) C?PAP (B) C?PAP (C) C?PAP (D) C?PAP

2

?1?1TT

22(14) 设随机变量X服从正态分布N?1,?1,随机变量Y服从正态分布N?2,?2,且

????P?X??1?1??P?Y??2?1?,则必有 ( )

(A)?1??2 (B)

?1??2 (C) ?1??2 (D) ?1??2

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分7分)

设f?x,y??yy?,x?0,y?0, 求 1?xyarctanxx?01?ysin?xg?x?. (I) g?x??limf?x,y?; (II) lim?y???

(16)(本题满分7分)

计算二重积分

??Dy2?xydxdy,其中D是由直线y?x,y?1,x?0,所围成的平面区域.

(17)(本题满分10分)

证明:当0?a?b??时,bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

(18)(本题满分8分)

在XOY坐标平面上,连续曲线L过点M?1,0?,其上任意点P?x,y??x?0?处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0)

(I) 求L的方程;

(II) 当L与直线y?ax所围成平面图形的面积为

(19)(本题满分10分)

8时,确定a的值. 3??1?x2n?1求幂级数?的收敛域及和函数s(x).

n2n?1??n?1?n?1

(20)(本题满分13分)

设4维向量组 ?1??1?a,1,1,1?,?2??2,2?a,2,2?,?3??3,3,3?a,3?,

TTT?4??4,4,4,4?a?问a为何值时?1,?2,?3,?4线性相关?当?1,?2,?3,?4线性相关时,求

3

T

其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

(21)(本题满分13分)

设3 阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.

(I) 求A的特征值与特征向量

(II) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ?A; (III) 求A及(A?

(22)(本题满分13分)

TT36E),其中E为3阶单位矩阵. 2?1?2,?1?x?0??12设随机变量X的概率密度为fX?x???,0?x?2,令Y?X,F?x,y?为二维随机

?4?0,其它??变量?X,Y?的分布函数,

求: (I) Y的概率密度fY?y?;

(II) cov?X,Y?; (III) F???1?,4?. ?2?

(23)(本题满分13分)

0?x?1??,?设总体X的概率密度为f?x,????1??,1?x?2,其中?是未知参数

?0,其它??0???1?,X1,X2,......Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2,......xn中小

于1的个数,

求: (I) ?的矩估计; (II) ?的最大似然估计.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

4

一、填空题 (1)【答案】1

【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有(?1)，故求此数列的极限，分为奇数列和偶数列两个部分进行。

记un?(nn?1(?1)n)，则 n2n?1(?1)2n2n?1limu?lim()?lim()?12n2n2nn??n??n??2n(?1)2n?12n?1limu?lim()?lim()?1 n??2n?1n??2n?1n??2n

1所以 limun?.

n??

(2)【答案】2e

【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。 利用题目已知的函数关系式进行求导便

可得出。

由

3f?(x)?ef(x)，有f??(x)?(e2f(x)?e)?f(x))??ef(x)f?(x)?e2f(x)

所以 f??(?x)?(e2f(x)?))(2f(x?2fx()?f?e2x()f3xe2

3f(2)?2e3以x?2代入，得f???(2)?2e.

(3) 【答案】4dx?2dy

【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法： 方法1： 由微分形式不变性，有

dz?f?(4x2?y2)d(4x2?y2)?f?(4x2?y2)(8xdx?2ydy)

dz(1,2)?f?(0)(8dx?4dy)?4dx-2dy

方法2： 求偏导数，

?z?z?f?(4x2?y2)?8x, ?f?(4x2?y2)(?2y). ?x?y以x?1,y?2,f?(0)?1?z?zdx?dy便得如上结果. ，代入dz?2?x?y5

(4)【答案】 2

【详解】由已知条件BA?B?2E变形得，BA?2E?B?B(A?E)?2E, 两边取行列式, 得

B(A?E)?2E?4E?4 其中，A?E??11?21??10?2???2， 2E?2E?4 ?????12??01??11因此，B?

(5)【答案】19

2E4??2.

A?E2【详解】根据独立性原理：若事件A1,?,An独立，则

P?A1?A2???An??P?A1?P?A2??P?An?

事件?max{X,Y}?1???X?1,Y?1???X?1???Y?1?，而随机变量X与Y均服从区间[0,3]上的均匀分布，有P?X?1??量X与Y相互独立，所以，

11111dx?PY?1?dy?和?033???033. 又随机变1111P?max(x,y)?1??P?x?1,Y?1??P?x?1??P?Y?1????

339

(6)【答案】2.

【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量E(S)?D(X)，故只要计算D(X)即可.

2X概率密度函数f(x)是偶函数，则xf(x)为奇函数，所以E(X)??所以 E(S)?D(X)?E(X)?[E(X)]?E(X)

2222????xf(x)dx?0

??????xf(x)dx?2??02??0xf(x)dx??xedx???x2de?x

00?02?2?x???????x2e?x|0??e?xdx2??x2e?x|0?2?xde?x

??????x2e?x|0?2xe?x|0?2?e?xdx??0?0?2?0?(?1)??2.

0?

二、选择题 (7)【答案】A

6

【详解】

方法1： 图示法.

因为f?(x)?0,则f(x)严格单调增加；因为f??(x)?0, 则f(x)是凹函数，又

?x?0，画f(x)?x2的图形 y

y=f(x) Δy

dy

O x0 x0+Δx x

结合图形分析，就可以明显得出结论：0?dy??y. 方法2：用两次拉格朗日中值定理

?y?dy?f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x(前两项用拉氏定理)

?(0x?) x?f?(?)?x?f (再用一次拉氏定理)

?f??(?)(??x0)?x, 其中x0???x0??x,x0????

由于f??(x)?0，从而?y?dy?0. 又由于dy?f?(x0)?x?0，故选[A] 方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：

(n)??f(x)f(x0)20f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn， 2!n!其中Rn?f(n?1)(x0)(n?1)!(x?x0). 此时n取1代入，可得

1f??(?)(?x)2?0 2n?y?dy?f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x?又由dy?f?(x0)?x?0，选(A) .

(8) 【答案】C

【详解】题目考察该抽象函数在0点处的函数值，及0点处的左右导数，计算如下： 换元令x?h，由题设可得

2f(h2)f(x)lim2?lim?1 . h?0x?0?hxf(x)?lim于是 lim??f(x)?x?1?0?0

x?0x?0xf(x)?0，进而有 因为函数f(x)在点x?0处连续，故f(0)?lim?x?0 7

f(x)f(x)?f(0)?lim?f??(0) . ?x?0x?0xx?0这表明f(0)?0且f??(0)存在. 故应选(C) .

1?lim?

(9) 【答案】D 【详解】

方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛

因为

?an收敛，所以?an?1也收敛，所以?(an?an?1)收敛，从而?n?1n?1n?1??????(?1)n方法2：记 an?，则?an收敛. 但?an??nn?1n?1n?1???1(p级数，p?1级数发散)均发散。由排除法可知，应选D. aa???nn?1nn?1n?1n?1an?an?1也收敛.选D. 2n?111，(p级数，p?级数发散)；

2n?

(10) 【答案】B

【详解】线性方程解的性质与结构：1. 由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通解；2. 线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.

因为y1(x)?y2(x)，所以(y1(x)?y2(x))是齐次微分方程的一个非零解，C是任意常数，所以C(y1(x)?y2(x))是对应的齐次微分方程的通解. 再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解，[B].

(11) 【答案】D 【详解】

方法1： 化条件极值问题为一元函数极值问题。

已知?(x0,y0)?0，由?(x,y)?0，在（x0,y0)邻域，可确定隐函数y?y(x)，

满足y(x0)?y0，

dydx?????x???y。

)（x0,y0)是f(x,y)在条件?(x,y?z?f(x,y(x))的极值点。它的必要条件是

dzdxx?x00的一个极值点?x?x0是 下

?x?(x0,y0)??(x0,y0)y??f(x0,y0)?x??f(x0,y0)dy?ydxx?x0?fx?(x0,y0)?fy?(x0,y0)?0

x?x0?(x0,y0)?0，因此不选(A)，(B). 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0，或?x若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0(否则

dzdxx?x0?0). 因此选(D)

方法2：用拉格朗日乘子法. 引入函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，有

8

?(x,y)?0(1)?Fx??fx?(x,y)???x?(2) ?Fy??fy?(x,y)????y(x,y)?0?F????(x,y)?0??因为??y(x0,y0)?0，所以???fy?(x0,y0)，代入(1)得

??(x,y)y00fx?(x0,y0)???(x0,y0)fy?(x0,y0)?x

??y(x0,y0)若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0，选(D)

(12)【答案】A 【详解】

方法1：若?1,?2,?,?s线性相关, 则由线性相关定义存在不全为0的数k1,k2,?,ks使得

k1?1?k2?2???ks?s?0

为了得到A?1,A?2,?,A?s的形式，用A左乘等式两边, 得

k1A?1?k2A?2???ksA?s?0 ①

于是存在不全为0的数k1,k2,?,ks使得①成立，所以A?1,A?2,?,A?s线性相关. 方法2：如果用秩来解,则更加简单明了. 只要熟悉两个基本性质, 它们是:

1.

?1,?2,?,?s线性相关?r(?1,?2,?,?s)?s；2. r(AB)?r(B).

矩阵(A?1,A?2,?,A?s)?A(?1,?2,?,?s), 设B?(?1,?2,?,?s)， 则由

r(AB)?r(B)得r(A?1,A?2,?,A?s)?r(?1,?2,?,?s)?s. 所以答案应该为(A).

(13) 【答案】B

【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出

?1?将A的第2行加到第1行得B，即 B??0?0?1100??0?A 记 PA ?1??1?10???将B的第1列的-1倍加到第2列得C，即C?B?010? 记 BQ

?001???

9

?110??1?10??????1因为PQ??010??010??E，故Q?P?1E?P.

?001??001?????从而C?BQ?BP?1?PAP?1 ,故选(B).

(14) 【答案】A.

【详解】由于X与Y的分布不同，不能直接判断P{|X??1|?1}和P{|Y??2|?1}的大小与参数关系. 如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。

随机变量标准化，有

X??1?1~N(0,1)，且其概率密度函数是偶函数. 所以

P(X??1?1)?P(?X??11?11X??11???2[?()??(0)]?2?()?1. ?)?2P?0??1?1??1?1?1?1?同理有，P(Y??2?1)?2?(1?2)?1

因为?(x)是单调递增函数，当P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1}时，

2?(1?1)?1?2?(1?2)?1，即

1?1?1?2，所以?1??2，故选(A).

三、解答题

(15)【详解】题目考察二元函数的极限，求g(x)时，可以将y视为常数

(I) g(x)?limf(x,y)?lim[?y???y???1?xyy1?ysin?xy],

arctanx由于x?0，所以 limysiny????xy?limy?y????xy??x,limy11?lim?,

y???1?xyy???1?xxy所以g(x)?11??x?. xarctanx11??xarctanx?x??x2arctanx?x??x2g(x)?lim(?)?lim?lim(II) lim 2??x?0?x?0?xx?0x?0arctanxxarctanxx 10

1?1?2?x2?x?2??2?x21?x?lim??lim???

x?0x?02x2(1?x2)

(16)【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出。计算步骤如下：

积分区域D如下图所示. D?{(x,y)0?y?1,0?x?y} ，

故

??Dy?xydxdy??dy?021y03y21221y?xydx???y(y?x)2dy??y2dy?.

3090302(17)【详解】令f(x)?xsinx?2cosx??x，只需证明0?x??时,f(x)单调增加(严格)

f?(x)?sinx?xcosx?2sinx???xcosx?sinx??

f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0

?f?(x) 单调减少(严格)，

又f?(?)??cos????0，故0?x??时f?(x)?0，则f(x)单调增加(严格)

由b?a有f(b)?f(a)

得证

(18)【详解】(I) 设所求的曲线方程为y?y(x)，按题意，在其上任意一点P(x,y)处的切线斜率y?与OP的斜率

yy的差等于ax(a?0,x?0)，即有y???ax, 并且有初始条件xxy(1)?0. 解之，按一阶线性微分方程解的公式，有

11

dx??dx?xy?e[?axexdx?C]?elnx[?axe?lnxdx?C]?x[?adx?C]?x(ax?C)

111?xdx不写成lnx而可以写成lnx的原因是，题中有初始条件y(1)?0，x取在1处而微分方程的解应是连续的，题设x?0，故其解只能取在包含x?1而不跨过x?0区间，

(以上

故x?0,因此lnx可以写成lnx).

再由y(1)?0定出C??a，于是所求的曲线方程为 y?ax(x?1),a?0. (II) 直线y?ax与曲线y?ax(x?1)的交点(0,0)与(2,2a). 所以直线y?ax与曲线

y?ax(x?1)所围平面图形的面积为

S(a)??[ax?ax(x?1)]dx??[2ax?ax2]dx?00224a 3按题意，

48a?，故a?2. 33

(19)【详解】

nx2n?3(-1）un?12(n?1)(2n?1)(-）1n-1xn2?1??xlimlim记 un?， 有 n-1x2n?1n??unn??(-1）n(2n-1)n(2n-1)所以，当x?1即x?1时，原级数绝对收敛；

当x?1，即x?1时，原级数通项不趋于0，级数发散，

n-1??(-1）所以，收敛半径R?1. 在x??1处un?，级数?un绝对收敛，故收敛域为[?1,1].

n(2n-1)n?122求和函数，应在收敛区间内进行，即x?[?1,1]，

n-1x2n?(-1）n-12?1?(nn2?(-）1xn）-1x-1?x?由 ? 令f(x)??

n(2n-1)n(2n-1)nn(2-1)n?1n?1n?1n-1x2nn-1x2nn-1x2n?1?(-1）?(-1）?2(-1）有 f?(x)?(?n(2n-1))???(n(2n-1))??? 2n-1n?1n?1n?1n-1x2n?1n-1x2n?1?2(-1）?2(-1）?n-1x2n?2f??(x)?(?)???()??2?(-1）

2n-12n-1n?1n?1n?1??n2nn?2?2?(-1）x?2?(?x2）.

1?x2n?0n?0

12

xx再倒回去，有 f?(x)?f?(0)??0f??(t)dt?0??021?t2dt?2arctanx

xf?(t)dt?0?2xarctanxdtf(x)?f(0)??0 ?0xx22?2[arctant|??0dt]?2xarctant?ln(1?x).

01?t2n?1x2n?1?(?1）?2x2arctant?xln(1?x2),?1?x?1. 于是 ?n(2n-1)n?1又因在x??1处级数收敛，右边和函数的表达式在x??1处连续，因此，在x??1处上式

仍成立，即有

???1?n?1x2n?122s(x)???2xarctanx?xln(1?x),?1?x?1

n?2n?1?n?1

(20)【详解】

方法1：记A?[?1,?2,?3,?4]，则

1?a1|A|?1110?a10?a?10?a10?a22?a2222?a223434把所有列都加到第一列

3?a434?a3????434把第一列公因式(10?a)提到行列式前面

3?a434?a341340?(10?a)3?a4034?a02a0030a040?(a?10)a3 0a?(10?a)1212?a1212线性相关的定义：存在一组不等于零的数k1,k2,k3,k4,使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0成立，则?1,?2,?3,?4线性相关.

于是当A?0时方程组k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0有非零解，此时满足线性相关的定

3义. 即：(a?10)a?0，解得当a?0或a??10时，?1,?2,?3,?4线性相关.

当a?0时，?1为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?2?2?1,?3?3?1,?4?4?1.

13

当a??10时, 对A作初等行变换.

??923?1?83A???12?7??123?1???4??4?0?1???3??3?1???2??2?14?4??4??6??2???1????1???9?3???1????1??4???1????1??10?234???1000???100?100???1000?10???2??110??9?3??110?4??110?1???1??1234??100?? 0?10??00?1?000???100??[?1,?2,?3,?4] ???10?10???100?1??可以看出由于?2,?3,?4为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?1???2??3??4， 故?2,?3,?4为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?1???2??3??4. 方法2：记A?[?1,?2,?3,?4]，对A施以初等行变换，有

?1?a?1A???1??122?a22200034??2???1????1??1?a?3???1????1??34??4???1????1???a????a3?a4???34?a???a30002a0030a04?0???B 0??a??1?0当a?0时，B???0??04?0??，得r?A??r?B??1，因而?1,?2,?3,?4线性相关,0??0?此时?1为?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且?2?2?1,?3?3?1,?4?4?1.

a?0时，再对B施以初等行变换，有

?2??a1?a?3??a?4??a?1B??1?1210030104?1???4??4a?10000?1???3??30?1???2??21?100??C?[?1,?2,?3,?4]. 010?101100?1如果a??10，C的秩为4，故?1,?2,?3,?4线性无关；如果a??10时，C的秩为3，故

?1,?2,?3,?4线性相关. 由于?2,?3,?4是?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，且

?1???2??3??4，于是?2,?3,?4是?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组，

?1???2??3??4.

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(21)【详解】(I) 由题设条件A?1?0?0?1，A?2?0?0?2，故?1,?2是A的对应于??0的特征向量，又因为?1,?2线性无关，故??0至少是A的二重特征值. 又因为A的每行元

T素之和为3，所以有A(1,1,1)?(3,3,T3)?T，由特征值、特征向量的定义，3(1,1,1?0?(1,1,1)T是A的特征向量, 特征值为?3?3，?3只能是单根，k3?0,k3?0是全体特征

向量，从而知??0是二重特征值.

于是A的特征值为3,0,0；属于3的特征向量: k3?3,k3?0；属于0的特征向量:

k1?1?k2?2，k1,k2不都为0.

(Ⅱ) 为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化 . 先将?0单位化, 得?0?(333T, , ). 333对?1,?2作施密特正交化, 得?1?(0, ?666T22T,?, ). , ),??2?(?36622?3 0 0???T-1作Q?(?1,?2,?3), 则Q是正交矩阵,并且QAQ?QAQ??0 0 0?

?0 0 0???(III)由QAQ??，其中Q?Q

TT?1??1??6?2A?Q?QT???6??1?6???1??6?2?????????????????????6??1?6??12012?120121?21???1??6?3?063????1??1????100????23?2????3???11?1??1?333?3????

1????3??000??111???1???000?111????3????1?111?11???1???33??3??3? 15

3333(A?E)6?(Q?QT?E)6?(Q(??E)QT)6?Q(??E)6QT2222????0??????????????????Q??0????????3??????????????????()6QEQT2

2(22)【详解】fY(y)?FY?(y), 由于fX(x)是分段函数，所以在计算PX?y时，要相应

???3????2???3??Q?1?Q????2??3???????2???33?()6QQT?()6E22?3?2???????3??????6?32????QT. ?3???2?6??分段讨论. 求F(?111,4)?P(X??,Y?4)?P(X??,X2?4),只是与X有关，不必222先求出F(x,y)的函数.

2(I) 因为FY(y)?P?Y?y??PX?y，当y?0时，FY(y)?0;

??当0?y?1时，FY(y)?P(?y?X?当1?y?4时，FY(y)?P(?y?X?当y?4时，FY(y)?1; 综上所述，有

y113y)??dx??dx?y；

?y204401y111y)??dx??dx??y；

?12042400, y?0??3?y, 0?y?1? FY(y)?P?Y?y??P?X2?y???4?1?1y,1?y?4?24?1, 4?y?由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以，

?3?8y,??1fY(y)?FY?(y)??,?8y?0,??0?y?11?y?4 其他这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，属于基本题型.

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(Ⅱ) 由协方差的计算公式cov(X,Y)?cov(X,X2)?E(X3)?E(X)?E(X2) 需要计算E(X），E(X2)，E(X3).

E（X）??2????xfX(x)dx??22xx1dx??dx?； -120440E（X）??E（X）??3??-?22xx25xfX(x)dx??dx??dx?；

-12046032xx37xfX(x)dx??dx??dx?.

-1204830??-??故cov(X,Y)?cov(X,X)?E(X）?E(X）(X）2327152???. 8463(III) 根据二维随机变量的定义F(a,b)?P?X?a,Y?b?，有

1111????F(?,4)?P(X??,Y?4)?P?X??,X2?4??P??2?X???

2222????由一维概率计算公式P?a?X?b??

?3N(23)【答案】?的矩估计???X；?的最大似然估计??.

n2?ba1?111fX(x)dx有，F(?,4)??2dx?.

?1224?【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只

需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于找出总体的矩E(X).

最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数. 样本值中xi小于1的概率是?，xi大于1的概率是?1???. 因此，似然函数应为：

L(?)??f?xi;????N(1??)n?N.

i?1n(I) 由数学期望的定义：

E(X)??????12133xf(x;?)dx???xdx??(1-?)xdx???(1??)???

012221n样本均值 X??Xi

ni?1用样本均值估计期望有 EX?X 即

33???X，解得???X. 22 17

31n所以参数?的矩估计为???X. 其中X??Xi.

2ni?1?(Ⅱ) 对样本x1,x2,?xn按照?1或者?1进行分类，不妨设：xp1,xp2,?xpN?1，

xpN?1,xpN?2,?xpn?1. 似然函数

??N(1??)n?N，xp1,xp2,?xpN?1,xpN?1,xpN?2,?xpn?1L(?)??，

其他?0,在xp1,xp2,?xpN?1，xpN?1,xpN?2,?xpn?1时，等式两边同取自然对数得

lnL(?)?Nln??(n?N)ln(1??)，

由于lnL(?)和L(?)在?的同一点取得最大值，所以令

dlnL(?)Nn?N???0，

d??1???NN解得??，所以?的最大似然估计值为??.

nn

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