专题10 椭圆及其性质-2019年高考理数母题题源系列（全国专版）（解析版）

专题10 椭圆及其性质

【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|?2|F2B|，|AB|?|BF1|，则C的方程为

x2?y2?1 A．2

x2y2??1 B．32x2y2??1 D．54x2y2??1 C．43【答案】B

【解析】法一：如图，由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n， 由椭圆的定义有2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．

4n2?9n2?9n21在△AF1B中，由余弦定理的推论得cos?F1AB??．

2?2n?3n3在△AF1F2中，由余弦定理得4n?4n?2?2n?2n?2213?4，解得n?． 32x2y2?2a?4n?23,?a?3,?b?a?c?3?1?2,?所求椭圆方程为??1，故选B．

32222

法二：由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n，

1

由椭圆的定义有2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．

?4n2?4?2?2n?2?cos?AF2F1?4n2在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得?2， 2?n?4?2?n?2?cos?BF2F1?9n又?AF2F1,?BF2F1互补，?cos?AF2F1?cos?BF2F1?0， 两式消去cos?AF2F1,cos?BF2F1，得3n2?6?11n2，解得n?3． 2?2a?4n?23,?a?3,?b2?a2?c2?3?1?2,

x2y2∴所求椭圆方程为??1.

32故选B．

【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．

【命题意图】

通过考查椭圆的标准方程和简单几何性质，考查数形结合思想的运用和运算求解能力. 【命题规律】

一般以选择题或填空题的形式考查，题目有一定的难度，主要考查椭圆的标准方程和离心率，注意椭圆的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系进行求解. 【答题模板】

待定系数法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：

第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.

x2y2y2x2第二步，设方程.根据上述判断设方程为2?2?1(a?b?0)或2?2?1(a?b?0).

abab第三步，找关系.根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系c2?a2－b2）. 第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

2

【方法总结】

1.求椭圆的方程有两种方法：

22

（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a,b的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

（2）待定系数法确定参数的值，从而得到椭圆的方程.

【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或

1(m?0，n?0且m?n). 把椭圆的方程设为mx?ny＝2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法： （1）求出a,c，代入公式e?22c求解. a（2）只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2?a2－c2转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a转化为关于e或e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

2

2

221．【山东省聊城市2019届高三三模】若方程4x?ky?4k表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范

围为 A．k?4 C．k?4 【答案】D

B．k?4 D．0?k?4

x2y2【解析】由题得??1，

k4因为方程4x?ky?4k表示焦点在y轴上的椭圆，

22所以0?k?4. 故选D.

【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

x2y22．【安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学】已知椭圆C：2??1(a?0)，F1，F2a4

3

FF? 分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上任一点，若PF1?PF2?42，则12A．4 C．2 【答案】A

【解析】根据题意，得a?22，b2?4， 所以有c?a2?4?2，所以F1F2?4. 故选A．

【名师点睛】本题主要考查椭圆的方程及定义，明确方程中a,b,c的关系是求解的关键.

B．23 D．3 x2y23．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）】已知椭圆C：2??1?a?2?，直

a4线l:y?x?2过C的一个焦点，则C的离心率为 A．

1 22 2 B．

1 322 3C． D．

【答案】C

x2y2【解析】椭圆C：2??1?a?2?，直线l:y?x?2过椭圆C的一个焦点，可得c?2，

a4则a?b2?c2?22，所以椭圆的离心率为：e?故选C．

【名师点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．

c22． ??a222x2y24．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学】已知椭圆2?2?ab1(a?b?0)的离心率为5，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，则椭圆的短轴长为

3A．8 C．5

B．6 D．4

4

【答案】A

x2y2c5【解析】椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率：e??，

aba3椭圆上一点P到两焦点的距离之和为12，即：2a?12， 可得：a?6，c?25，

?b?a2?c2?36?20?4，

则椭圆的短轴长为2b?8. 故选A.

【名师点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题．

x2y25．【河南名校联盟2019届高三下学期2月联考】椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，

ab上顶点为A，若△AF1F2的面积为3，且?F1AF2?4?AF1F2，则椭圆的方程为

x2?y2?1 A．3x2?y2?1 C．4【答案】C

x2y2??1 B．32x2y2??1 D．43【解析】在△AF1F2中，AF1?AF2,?F1AF2?4?AF1F2，则?AF1F2?30?，所以b?c3，

3又△AF1F2的面积为3，即S?bc?3， 解得b?1,c?223，

则a?b?c?2，

x2?y2?1. 所以椭圆的方程为4故选C.

【名师点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求解，其中解答中熟记椭圆的标准方程及其简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

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6．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】在平面直角坐标系xOy中，已知点A, Fx2y2分别为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P,Q两点，

ab线段AP的中点为M，若Q,F,M三点共线，则椭圆C的离心率为 A．13 B．23 C．

833

D．

2或83 【答案】A 【解析】如图，

设P?x0,y0?,Q??x0,?y0?， 又A(a,0),F(c,0)，?M??x0?a?2,y0?2??， Q,F,M三点共线，∴kMF?kQF，

y0?0?y0c?x?2， 0x0?a2?c即y0yc?x?0， 0x0?a?2c?c?x0?x0?a?2c，

?a?3c，

则椭圆C的离心率为e?ca?13. 故选A．

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【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单性质以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下两种情况：①直接求出a,c，从而求出e；②构造a,c的齐次式，求出e．

x2y27．【山西省2019届高三考前适应性训练二（二模）】椭圆C：2?2?1?a?b?0?的右焦点为F，过F

ab作x轴的垂线交椭圆C于A，B两点，若△OAB是直角三角形(O为坐标原点)，则C的离心率为 A．5?2

B．3?1

C．

5?1 2 D．

3?1 2【答案】C

?b2??b2?【解析】过F?c,0?作x轴的垂线交椭圆C于A,B两点，故A?c,?,B?c,??，

a??a??由于三角形OAB是直角三角形，故OA?OB，即OAO?B化简得c4?3a2c2?a4?0，即e4?3e2?1?0， 解得e2?故选C．

【名师点睛】本题主要考查直线与椭圆的交点，考查椭圆离心率的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于常考题.

?b2??b2?2b4也即?c,???c,???c?2?0，?0，

a?a?a??3?55?1. ,e?22x2y28．【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学】已知F是椭圆C：??1的右焦点，P为椭圆C上

32一点，A(1,22)，则PA?PF的最大值为 A．4?2 C．4?3 【答案】D

【解析】设椭圆的左焦点为F′，则|PF|+|PF′|＝23，

B．42 D．43

7

2又F′（﹣1，0），|AF′|?(?1?1)2?（22）?23，

∴|PA|+|PF|＝23+|PA|﹣|PF′|， 易知||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，

∴当P在线段AF′的延长线上时，|PA|﹣|PF′|最大，为|AF′|?23， ∴|PA|+|PF|的最大值为23?23?43. 故选D．

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的定义的应用，涉及三角形两边之差小于第三边的几何知识，考查了数形结合思想，属于中档题．

9．【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（二）】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 交椭圆于 , 两点，若 的最大值为5，则 的值为 A．1 C． 【答案】C

【解析】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∴a=2，

∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8， ∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．

当AB垂直x轴时|AB|最小，则|BF2|+|AF2|的值最大， 此时|AB|＝b，∴5＝8﹣b， 解得 ． 故选C.

【名师点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，解答此题的关键是明确过椭圆焦点的弦中通径长最短，是中档题．

2

2

B． D．

x2y210．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模）数学】若椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点

ab分别为F1，F2，离心率为轴长为__________.

1，过F2的直线交椭圆于A，B两点，△ABF1的周长为8，则该椭圆的短2

8

【答案】23 【解析】因为△ABF1的周长为8，

所以|F1A|?|F1B|?|F2A|?|F2B|?4a?8,a?2， 因为离心率为

1c11，所以?,c?a?1， 2a223，

由a2?b2?c2，解得b?则该椭圆的短轴长为23. 故答案为23. 【名师点睛】本题主要考查椭圆的定义以及椭圆的离心率，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于基础题.

11．【安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学】已知椭圆 ：

的左、右焦点分别为 、

，以 为圆心作半径为1的圆 ， 为椭圆 上一点， 为圆 上一点，则 的取值范围为______. 【答案】

【解析】由椭圆方程可知： ，

由椭圆定义得： ， ，

又 且 ， ， 故答案为 .

【名师点睛】本题考查利用椭圆定义求解最值问题，关键在于能够通过定义将问题转化为三角形的三边关系，确定当 三点共线的时候取得最值.

12．【江西省九江市2019届第一次高考模拟统一考试数学】如图，中心在坐标原点，焦点分别在 轴和 轴

上的椭圆 都过点 ，且椭圆 的离心率相等，以椭圆 的四个焦点为顶点的四边形的面积为 ，则椭圆 的标准方程为__________．

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x2y2??1 【答案】42x2y2【解析】由题意可设椭圆C1：2??1，

a2y2x2?2?1（a＞2，0＜b＜2）C2：， 2ba2?22?b2?由，得ab＝2， 2a2由2 ? 2 ，

22

可得（a﹣2）（2﹣b）＝2，

解得a＝2，b＝1，

x2y2??1． 故椭圆C1：42x2y2??1． 故答案为42【名师点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了离心率公式，考查运算求解能力，注意运用方程的思想解题．

x2y213．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学】已知椭圆2?2?1?a?b?0?的左、

ab右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，且PF2垂直于x轴，若直线PF1的斜率为率为__________． 【答案】3，则该椭圆的离心33 3

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x2y2【解析】根据题意，如图，椭圆2?2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1,F2，则F 直，1F2?2cab线PF3PF21的斜率为3，则tan?PF1F2?FF?3，

123则有PF233c， 则PF1?PF222?2|?F1F2|?433c， 故2a?PF1?PF2?23c，

从而椭圆的离心率e?ca?33， 故答案为33．

【名师点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是作出图形，结合直线的斜率分析PF2的值．

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