最新-江苏省白蒲中学2018高一数学 平面向量教案05 精品

江苏省白蒲中学2018高一数学 平面向量教案18 苏教版

教材：实数与向量的积

目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。

二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a+a+a和(?a)+(?a)+(?a)

????????a ??a O N ?a ??aA M

?a ??aB Q ?a ??aC P ????OC=OA?AB?BC=a+a+a=3a

????PN=PQ?QM?MN=(?a)+(?a)+(?a)=?3a

???? 讨论：1?3a与a方向相同且|3a|=3|a|

???? 2??3a与a方向相反且|?3a|=3|a|

2．从而提出课题：实数与向量的积 实数λ与向量a的积，记作：λa

定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa 1?|λa|=|λ||a|

2?λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0 3．运算定律：结合律：λ(μa)=(λμ)a ①

第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa ②

????????????????????第二分配律：λ(a+b)=λa+λb ③

结合律证明：

如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立

如果λ?0，μ?0，a?0有：|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|

|(λμ)a|=|λμ|| a|=|λ||μ||a|

∴|λ(μa)|=|(λμ)a|

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。 从而λ(μa)=(λμ)a

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立

???????????????如果λ?0，μ?0，a?0

当λ、μ同号时，则λa和μa同向， ∴|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|

|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向 即：|(λ+μ)a|=|λa+μa|

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa同向

还可证：|(λ+μ)a|=|λa+μa| ∴②式成立 第二分配律证明：

????????????????????????如果a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 ??当a?0，b?0且λ?0，λ?1时

1?当λ>0且λ?1时在平面内任取一点O，

B ????作OA?a AB?b OA1?λa A1B1?λb

B1

????则OB?a+b OB1?λa+λb

O A

A1

由作法知：AB∥A1B1有?OAB=?OA1B1 |AB|=λ|A1B1| ∴|OA1||OA|∴?|A1B1||AB|?λ ∴△OAB∽△OA1B1

|OB1||OB|?λ ?AOB=? A1OB1

因此，O，B，B1在同一直线上，|OB1|=|λOB| OB1与λOB方向也相同

????λ(a+b)=λa+λb

????当λ<0时 可类似证明：λ(a+b)=λa+λb

∴ ③式成立

4．例一 （见P118）略

三、向量共线的充要条件（向量共线定理）

B1

A1 O B A ???????1． 若有向量a(a?0)、b，实数λ，使b=λa 则由实数与向量积的定义知：a与b为共线向量

?????????若a与b共线(a?0)且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b=μa

?? 当a与b反

??向时b=?μa

??从而得：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ 使b?=λa?

2．例二（P118-118 略）三、小结：

四、作业： 课本 P118 练习

习题5.3 1精品推荐 强力推荐 值得拥有 、2

P118-118

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