2018北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题文科

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试（文史类） 2018．3

（考试时间120分钟 满分150分）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

21.已知全集为实数集R，集合A?xx?3x?0，B?xlog2x?0，则eRA??????B?

A．???，0?，??? D．? ?1,??? B．?01? C．?3，i所对应的点位于 1+i2.在复平面内，复数z?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.已知平面向量a?(x,1)，b?(2,x?1)，且a//b，则实数x的值是

A．?1 B．1 C．2 D．?1或2 4.已知直线m?平面?，则“直线n?m”是“n//?”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

25.已知F为抛物线C：y=4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A,B两点，若

AB=8，则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为

A．2 B. 4 C．8 D．16 6.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于 A．

12 B． 3313 D． 241

1 正视图

1 1 侧视图

C．

俯视图 πxsin17.函数f(x)?22?的零点个数为 x?12xA．0 B．1 C．2 D．4

1

8.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加 “智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：

小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”；

小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”．

若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.执行如图所示的程序框图．若输入m?5，则输出k的值为________． 开始

输入m

k=0

m=2m?1

k=k+1 m>50

是

输出k

结束 否 x2?y2?1的焦距为__________；渐近线方程为_________． 10.双曲线422 11.已知圆C:x?y?2x?4y?1?0内有一点P(2,1)，经过点P的直线l与圆C交于A，

B两点，当弦AB恰被点P平分时，直线l的方程为 ．

?x?y?1?0，?12.已知实数x,y满足?x?y?1?0，若z?mx?y(m?0)取得最小值的最优解有无数多

?y?1，?个，则m的值为_________．

2

13.函数f(x)?Asin(?x??)（A?0,??0,??则?= ；

?? ．

?）的部分图象如图所示， 2第13题图 14.许多建筑物的地板是用正多边形的砖板铺成的（可以是多种正多边形）.如果要求用这些正多边形的砖板铺满地面，在地面某一点（不在边界上）有k块砖板拼在一起，则k的所有可能取值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题满分13分）

已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?1(n?N?)． （Ⅰ）求a1，a2，a3的值；

（Ⅱ）已知数列?bn?满足b1?2，bn?1?an?bn ，求数列?bn?的通项公式．

16.（本小题满分13分）

在?ABC中，已知sinA?5，b?2acosA． 5（Ⅰ）若ac?5，求?ABC的面积； （Ⅱ）若B为锐角，求sinC的值．

17.（本小题满分13分）

某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出了三个科目作为选考科目．若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考

3

方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．

某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

性别 选考方案确定情况 选考方案确定的有6人 物理 化学 生物 历史 地理 政治 6 5 8 5 6 4 9 4 3 0 6 0 1 1 3 0 2 2 3 1 0 1 1 1 男生 选考方案待确定的有8人 选考方案确定的有10人 女生 选考方案待确定的有6人 （Ⅰ）试估计该学校高一年级确定选考生物的学生有多少人？

（Ⅱ）写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数．（直接写出结果） （Ⅲ）从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率．

18.（本小题满分14分）

如图1，在梯形ABCD中，BC//AD，BC?1，AD?3，BE?AD于E，

BE?AE?1．将?ABE沿BE折起至?A?BE，使得平面A?BE?平面BCDE（如图2），M为线段A?D上一点．

（Ⅰ）求证：A?E?CD；

（Ⅱ）若M为线段A?D中点，求多面体A?BCME与多面体MCDE的体积之比； （Ⅲ）是否存在一点M，使得A?B??平面MCE？若存在，求A?M的长．若不存在，请说

A'

明理由．

4

A

E

D

E M D

C 图2

B

图1

C B

19.（本小题满分14分）

22x2y2)． 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点(1,22ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆C左焦点的直线l1与椭圆C交于A,B两点，直线l2过坐标原点且直线l1与l2的

斜率互为相反数，直线l2与椭圆交于E,F两点且均不与点A,B重合，设直线AE的斜率为k1，直线BF的斜率为k2.证明：k1?k2为定值．

20.（本小题满分13分）

已知函数f(x)?lnx?1?ax(a?R). x（Ⅰ）若a?0，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若a??1，求函数

f(x)的单调区间； f(x)??1.

（Ⅲ）若1?a?2，求证：

5

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（文史类） 2018．3

一、选择题（本题满分40分） 1 2 题号 答案 C A 二、填空题（本题满分30分） 9 题号 答案 题号 答案 3 D 4 B 5 B 6 A 7 C 8 D 10 11 4 12 25 13 1y??x 24 3x?y?1?0 14 3，4，5，6 1 ?? 6 三、解答题（本题满分80分） 15. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）a1?1，a2?2，a3?4. ……………… 4分 （Ⅱ）因为Sn?2an?1(n?N)，

所以，当n?2时，有Sn?1?2an?1?1，

则an?2an?2an?1(n?2)，即an?2an?1(n?2). 所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列.所以an?2n?1因为bn?1?an?bn ，所以bn?1?bn?2.

n?1?.

则b2?b1?2，

0b3?b2?21，

bn?bn?1?2n?2，

1?(1?2n?1)以上n?1个式子相加得：bn?b1?，

1?2又因为b1?2，所以bn?2

6

n?1?1(n?N?). ……………… 13分

16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由b?2acosA，得cosA?0，

因为sinA?255，所以cosA?.

555254??． 555因为b?2acosA，所以sinB?2sinAcosA?2?故?ABC的面积S?（Ⅱ）因为sinA?1acsinB?2． ……………… 7分 2435，sinB?，因为B为锐角，所以cosB?.

555所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?17. （本小题满分13分）

115．……………13分 25解：（Ⅰ）由数据可知，男生确定选考生物的学生有3人，女生确定选考生物的学生有6人，

该学校高一年级有

9?420=126人． ……………… 3分 30（Ⅱ）选考方案确定的男生中，选择“物理、化学和地理”的人数是2人． ………… 6分 （Ⅲ）由数据可知，已确定选考科目的男生共6人.其中有3人选择“物理、化学和生物”，

记为a1，a2，a3；有1人选择“物理、化学和历史”，记为b；有2人选择“物理、化学和地理”，记为c1，c2．

从已确定选考科目的男生中任选2人，有a1a2，a1a3，a1b，a1c1，a1c2，a2a3，

a2b，a2c1，a2c2，a3b，a3c1，a3c2，bc1，bc2，c1c2，共15种选法．两位学

生选考科目完全相同的选法种数有a1a2，a1a3，a2a3，c1c2，共4种选法． 设事件A：从已确定选考科目的男生中任选出2人，这两位学生选考科目完全相同． 则P(A)?4． ………………13分 1518. （本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）如图1，在梯形ABCD中，

因为BE?AD，所以BE?A?E（如图2）． 因为平面A?BE?平面BCDE，且平面A?BE所以A?E?平面BCDE．

又因为CD?平面BCDE，所以A?E?CD． ……………… 4分

7

平面BCDE?BE，

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知A?E?平面BCDE，

所以A?E?BE，A?E?DE．

过点M作MH?DE于H，则MH//A?E， 所以MH?平面BCDE．

因为M为A?D中点，A?E?1，所以MH?设四棱锥A??BCDE的体积为V1，则 V1?A′

M 1． 2B

E C H

D

111??S?AE??(四边形BCDE332B?C1D)?E?B?E?AE(?161?2)?1?1．

2设三棱锥M?CDE的体积为V2，则

111111?S?CDE?MH??DE?BE?MH??2?1??． 332626111所以V多面体A?BCME?V1?V2???

26311所以V多面体A?BCME:V多面体MCDE?:?2:1． ……………… 9分

36（Ⅲ）解：存在一点M，使得A?B//平面MCE．理由如下：

V2?连结BD交CE于N，连结MN，则 平面A?BD平面MCE?MN．

E B

N C D

A′

M

由A?B//平面MCE，得A?B//MN． 所以A?M:MD?BN:ND． 在梯形BCDE中，

因为BC//DE，所以?BNC∽?DNE．

又因为BC?1，DE?2，所以BN:ND?BC:DE?1:2． 于是

A?M1A?M1?，所以?． MD2AD3又因为A?E?1，DE?2，所以A?D?5．故A?M的长为19. （本小题满分14分）

?c2,??a2??解：（Ⅰ）由题意得?a2?b2?c2,解得a?2，b?1，c?1．

?11?2?2?1.2b??a

8

5． …………14分 3x2 故椭圆C的方程为?y2?1． ……………… 5分

2（Ⅱ）证明：由题意可设直线l1的方程为y?k(x?1)，直线l2的方程为y??kx，

设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，E(x3,y3)，F(?x3,?y3)， 则k1?k2?y1?y3y2?y3? x1?x3x2?x32k(x1?1)?kx3k(x2?1)?kx32x1x2?(x1?x2)?2x3?? ?k[]．

x1?x3x2?x3(x1?x3)(x2?x3)?y?k(x?1),?由?x2 得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0， 2??y?1,?2?4k22k2?2所以x1?x2?，x1x2?． 221?2k1?2k?y??kx,2?222由?x2得，所以． (1?2k)x?2x?3221?2k?y?1,??24k2?4?4k24所以2x1x2?(x1?x2)?2x????0． 2221?2k1?2k1?2k2322x1x2?(x1?x2)?2x3]?0． 所以k1?k2?k[(x1?x3)(x2?x3)故k1?k2为定值，定值为0. ………………14分

20. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）若a?0，则f(1)??1，f?(x)?所以

2?lnx，f?(1)?2， 2xf(x)在点?1，?1?处的切线方程为2x?y?3?0． ……………… 3分

2?ax2?lnx（Ⅱ）x?(0,??)，f?(x)?.

x2?2ax2?1令g(x)?2?ax?lnx，则g?(x)?．

x2令g?(x)?0，得x???11?0） ．（依题意?2a2a 9

由g?(x)?0，得x??11；由g?(x)?0，得0?x??． 2a2a11)上单调递减，在区间(?,??)上单调递增

2a2a所以，g(x)在区间(0,?所以，g(x)min?g(?151． )??ln?2a22a111?，ln??0． 2a22a因为a??1，所以0??所以g(x)?0，即f?(x)?0． 所以函数

f(x)的单调递增区间为(0,??)． ……………… 8分

lnx?1?ax??1，等价于ax2?x?1?lnx?0. x（Ⅲ）由x?0，f(x)??1，等价于

设h(x)?ax2?x?1?lnx，只须证h(x)?0成立.

12ax2?x?1 因为h?(x)?2ax?1??，1?a?2，

xx 由h?(x)?0，得2ax2?x?1?0有异号两根. 令其正根为x0，则2ax02?x0?1?0. 在(0,x0)上h?(x)?0，在(x0,??)上h?(x)?0.

2?x0?1?lnx0 则h(x)的最小值为h(x0)?ax01?x0?x0?1?lnx0 2

3?x0??lnx0.

2 1a3 又h?(1)?2a?2?0，h?()?2(?)?a?3?0，

2221 所以?x0?1.

23?x0 则?0,?lnx0?0.

23?x0因此?lnx0?0，即h(x0)?0.所以h(x)?0

2所以f(x)??1. ……………13分

?

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