【精选3份合集】黑龙江省牡丹江市2019-2020学年高考数学达标检测试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||

FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72

D ．3 2．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ）

A ．12e -

B ．14e -

C ．1e -

D ．2e

- 3．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）

A

．B ．8 C

．D ．4

4．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）

A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

5．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A ．96

B ．84

C ．120

D ．360

6．已知集合A {}0,1,2=，B={}

(2)0x x x -<,则A∩B=

A ．{}1

B ．{}0,1

C ．{}1,2

D ．{}0,1,2 7．已知复数1cos23sin 23z i =+和复数2cos37sin37z i =+，则12z z ?为

A

．122- B

．122i + C

．122i + D

．122

i - 8．如图，抛物线M ：28y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ，B 两点，若直线l 与以F 为圆心，线段OF （O 为坐标原点）长为半径的圆交于C ，D 两点，则关于AC BD ?值的说法正确的是（ ）

A ．等于4

B ．大于4

C ．小于4

D ．不确定

9．已知集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则()A B C ?

＝（ ） A ．{2，3，4，5}

B ．{2，3，4，5，6}

C ．{1，2，3，4，5，6}

D ．{1，3，4，5，6，7} 10．若62a x x ??+ ??

?的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20 B ．15 C ．10 D ．25

11．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721 B ．1928 C ．79 D ．2328

12．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ）

A ．c a c b -<-

B ．22ac bc >

C ．11a b <

D ．1b a

< 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知x ，y ＞0，且2811x y

+=，则x+y 的最小值为_____． 14．数列{}n a 的前n 项和为1121,2,1,log 2n n n n n n S a S a b a +?

?==-= ??? ，则数列11n n b b +??????

的前n 项和n T =_____．

15．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22

214

x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______． 16．数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数

1,()0,x D x x ??=???

为有理数为无理数，称为狄里克雷函数.则关于()D x 有以下结论:

①()D x 的值域为[]01，;

②()(),x R D x D x ?∈-=;

③()(),T R D x T D x ?∈+=;

④(1)(2020)45;D D D D ++++=

其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x y θθ

=??=?（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=.

（1）求直线l 的直角坐标方程；

（2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值和最大值.

18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n S n n =-（*n ∈N ）.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设()()22,(21)2,(2)11n a n n n n k b n k a a +?=-?=?=?--?

（*k ∈N ），数列{}n b 的前n 项和n T .若211422

n

n T a b n ??=-+ ?+??对*n ∈N 恒成立，求实数a ，b 的值. 19．（6分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为B ，圆22:4C x y '+=与

y 轴的正半轴交于点A ，与C 有且仅有两个交点且都在C 轴上，

||||2

OB OA =（O 为坐标原点）. （1）求椭圆C 的方程； （2）已知点31,2D ??- ???，不过D 点且斜率为12

-

的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线DM 与直线DN 的斜率互为相反数. 20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ??=+??=?

（

?为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ?

?+

= ???（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）若射线02πθαα?

?=<< ???与曲线C 交于点A （不同于极点O ），与直线l 交于点B ，求||||

OA OB 的最大

值.

21．（6分）已知抛物线C:x2=4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G.记四边形AEBG 的面积为S.

（1）求点G的轨迹方程；

（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.

22．（8分）已知函数()1

f x x

=-.

（1）解不等式()()48

f x f x

++≥；

（2）若1

a<，1

b<，0

a≠，求证：()

b

f ab a f

a

??

> ?

??

.

23．（8分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cos m

ρθ=，曲线

2

C的极坐标方程为2

2

12

3sin

ρ

θ

=

+

．

（1）求曲线1

C的直角坐标方程和曲线

2

C的参数方程；

（2）设曲线1

C与曲线

2

C在第二象限的交点为A，曲线

1

C与x轴的交点为H，点(1,0)

M，求AMH的周长l的最大值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B

【解析】 【分析】 过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与

y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p +=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【详解】

过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，

由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-. 2FA AS =，13SA SF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.

由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p

+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p

∴==. 故选：B .

【点睛】

本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式. 2．A 【解析】

【分析】

求导得到'()x f x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2

ln g x x x =，求导得到函数在120,e -?? ???上单调递减，在12e ,-??+∞ ???上单调递增，故()12min g x g e -??= ???

，计算得到答案.

【详解】

()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.

故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.

设()2

ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得1

2x e -=. 故函数在120,e -?? ???上单调递减，在12e ,-??+∞ ???上单调递增，故()12min 12g x g e e -??==- ???. 故选：A .

【点睛】

本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3．C

【解析】

【分析】

将直线方程1y x =-代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出FA FB -的值．

【详解】

F （1，0），故直线AB 的方程为y ＝x ﹣1，联立方程组241

y x y x ?=?=-?，可得x 2﹣6x+1＝0，

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系可知x 1+x 2＝6，x 1x 2＝1．

由抛物线的定义可知：|FA|＝x 1+1，|FB|＝x 2+1，

∴||FA|﹣|FB||＝|x 1﹣x 2|

== 故选C ．

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

4．A

【解析】依题意，基本事件的总数有339?=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 5．B

【解析】

【分析】

【详解】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共4

44A 96=个，其中含有2个10的排列数

共2

4A 12=个，所以产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选B ．

6．A

【解析】

【分析】

先解A 、B 集合，再取交集。

【详解】

()2002x x x -

【点睛】

一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

7．C

【解析】

【分析】

利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．

【详解】

z 1z 2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°

＝

122

i +． 故答案为C ．

【点睛】

熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

8．A

【解析】

【分析】 利用F 的坐标为()2,0，设直线l 的方程为20x my --=，然后联立方程得282y x my x ?=?=-?

，最后利用韦达定理求解即可

【详解】

据题意，得点F 的坐标为()2,0.设直线l 的方程为20x my --=，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，

()22,x y .讨论：当0m =时，122x x ==；当0m ≠时，据282

y x my x ?=?=-?，得()228440x m x -++=，所以124x x =，所以()()

22AC BD AF BF ?=-?-()()121222224x x x x =+-?+-==.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的相交问题，解题核心在于联立直线与抛物线的方程，属于基础题

9．C

【解析】

【分析】

根据集合的并集、补集的概念，可得结果.

【详解】

集合A ＝{x ∈N|x 2＜8x}＝{x ∈N|0＜x ＜8}，

所以集合A ＝{1，2，3，4，5，6，7}

B ＝{2，3，6}，

C ＝{2，3，7}，

故A C ＝{1，4，5，6}，

所以()A B C ?

＝{1，2，3，4，5，6}.

故选：C.

【点睛】 本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.

10．C

【解析】

【分析】

通过二项式展开式的通项分析得到22666150C a x x =，即得解.

【详解】

由已知得()62123166()r

r r r r r r a T C x C a x x --+??== ???， 故当2r 时，1236r -=，

于是有226663150T C a x x ==，

则210a =.

故选：C

【点睛】

本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．B

【解析】

【分析】

首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”， 记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，利用对立事件的概率公式计算可得；

【详解】

解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3984C =（个），

则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”

记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，则339319()128

P E C =-=. 故选：B

【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．

12．A

【解析】

A 项，由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-，故A 项正确；

B 项，当0c 时，该不等式不成立，故B 项错误；

C 项，当1a =，2b =-时，112>-，即不等式11a b

<不成立，故C 项错误； D 项，当1a =-，2b =-时，21b a =>，即不等式1b a

<不成立，故D 项错误． 综上所述，故选A ．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1

【解析】

【分析】

处理变形x+y ＝x （

281x y +）+y 8x y x y =++结合均值不等式求解最值. 【详解】

x ，y ＞0，且2811x y

+=， 则x+y ＝x （281x y +）

+y 8x y x y

=++≥=1， 当且仅当8x y x y

==时取等号，此时x ＝4，y ＝2，取得最小值1． 故答案为：1

【点睛】

此题考查利用均值不等式求解最值，关键在于熟练掌握均值不等式的适用条件，注意考虑等号成立的条件. 14．1

n n +

【解析】

【分析】 解：111111,21,22n n n n n n S a n S a +--????=-≥=- ? ?????

时， 两式作差，得()12,2n n a n a +=≥ ，经过检验得出数列{}n a 的通项公式，进而求得,n n b c 的通项公式， 裂项相消求和即可．

【详解】 解：111111,21,22n n n n n n S a n S a +--????=-≥=- ? ?????

时， 两式作差，得()111111,222n n n n n a a a n +-?

???=---≥ ? ?????

化简得()12,2n n

a n a +=≥ ， 检验：当n=1时，211221

12,4,22a S a a a a ==?=== ，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列；2n n a = ，22log log 2n n n b a n ===， 令()11111,11

n n n c b b n n n n +===-++ 1111111111.22334111

n n T n n n n =-+-+-+?+-=-=+++ 故填：1

n n + ． 【点睛】

本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n 项和，解题过程中需要注意n 的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．

15．3

【解析】

【分析】

双曲线的焦点在x 轴上，渐近线为2y x a =±，结合渐近线方程为23

y x =可求a . 【详解】 因为双曲线22

214

x y a -=(a ＞0)的渐近线为2y x a =±，且一条渐近线方程为23y x =， 所以3a =.

故答案为：3.

【点睛】

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