竞赛综合检测题(2015-03-04)

竞赛综合检测题（2015-03-04）

1.设a,b,c为实数，且满足a?b?c?15，a?b?c?100，则a的最大值和最小值的积为__________．

2.已知正四面体S?ABC的棱长为a，其内部有四个半径相同的小球两两相切，且每个小球都与四面体相邻的三个面也相切，则小球的半径为____________．

10042223.设集合S?{yy??xk?12k?12kx}，其中xi?{2?1,2?1}，i?1,2,,2008．问S中不同的整数共有多少个？

4.已知集合A?{(x,y)ax?y?1 }，B?{(x,y)x?ay?1}，C?{(x,y)x2?y2?1}．（1）当实数a为何值时，(A（2）当实数a为何值时，(AB)C是一个2元集？ B)C是一个3元集？

lg(x?a)?lg(a?y)，求代数式5.已知实数a,x,y满足xa(x?a)?ya(y?a)?3x2?xy?y2的值．

x2?xy?y26.函数f(x)的定义域为(0,1)，对应法则为

?x,x?CRQ? f(x)??p?1p*,x?,p,q?N,(p,q)?1,p?q?qq?求f(x)在区间(,)上的最大值．

7.证明：任意正的真分数

7889m都可以表示成不同的正整数的倒数之和． n2228.实数x,y,z满足：x?y?z，x?y?z?1，x?y?z?3．求x的取值范围．

9.已知a?0，b?0，a?b?1，求y?(a?211)(b?)的最小值． 2014a2014b10.设a,b为实数，而方程x?ax?b?0有两个实根．证明：存在整数n，使得

112n2?an?b?max{,a?4b}．

4211.实数x1,x2,?x12?x22??x62?6，求x1x2x6满足条件??x1?x2??x6?0x6的最大可能值．

12.设数列{xn}是各项都不为零的等差数列．证明：

11??x1x2x2x3?1xn?1xn?n?1(n?2)． x1xn，

13.给定正整数n和正数M．对于满足条件a12?an?12?M的所有等差数列a1,a2,试求S?an?1?an?2??a2n?1的最大值．

an2bn214.已知数列{an}与{bn}满足an?1?，bn?1?，a1?3，b1?1，求数列

an?bnan?bn{an}与{bn}的通项公式．

15.证明：数列an?整除的项．

123[(2?3)n?(2?3)n]的每一项都是整数，并指出所有能被3

a4b4c4???a2?b2?c2． 16.证明对于任意正实数a,b,c,均有

bccaab17.设a,b,c?R?，且a2?b2?c?1，求证：ab?2ac?3． 31a2b2c2d2abcd?????118.a,b,c,d是正实数，满足，求证：．

91?a21?b21?c21?d219.证明：对任意正实数a,b,c，均有(a?2)(b?2)(c?2)?3(a?b?c)．

226620.求最大的常数c，使得对满足x?0，y?0，x?y?1的x，y恒有x?y?cxy．

222221.求最小的实数m，使得对于满足a?b?c?1的任意正实数a,b,c，都有

m(a3?b3?c3)?6(a2?b2?c2)?1．

22.已知正数m取不同的数值时，方程x?y?(4m?2)x?2my?4m?4m?1?0表示不同的圆，求这些圆的公切线的方程．

23.已知通过定点M(x1,y1)的两个圆与两坐标轴相切，它们的半径分别为r1和r2．求证：

22rr12?x1?y1．

22224.过圆中弦AB的中点M，任意引两条弦CD和EF，设CFAB?Q，

EDAB?P．求证：PM?MQ．

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