高数(上)第六章习题册答案

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第五章 向量代数与空间解析几何

作业7 向量代数

1．填空题

（1）已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2)，则向量M1M2的模是 2 ,方向余弦是?12,?2?3??21,,。 ,，方向角是34322（2）一向量的终点在(2,?1,7)，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4,-4和7,则这个向量的起点坐标为??2,3,0?。

???（3）向量a与向量{2,?1,2}平行，a?2，则a=??????23{2,?1,2}。

?????（4）设a?{?1,2,2},b?{2,?1,2},则(a?b)?(a?b)?0，(a?b)?(a?b)?

{12,12,?6}。

????（5）设一质点在力F??2i?3j?4k的作用下沿直线运动,从点M1(1,2,?3)运动到点M2(3,1,4),此力所做的功是 21 。

2．设AB?{1,?2,0},BC?{0,3,1},CD?{5,6,?8},四边形ABCD对角线AC的中点为M,BD的中点为N,求向量MN。 解：MN?=

1212CA?AB?12BD

12(BC?CD)

(CB?BA)?AB? ={3,2,。 -4?????????3．设向量a,b,c两两垂直,且a?1,b?2,c?3,计算a?b?c。

2???解：a?b?c=(a?b?c)?(a?b?c)=14

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《高等数学》作业册

a?b?c=14。

??????4．已知a?2,b?1,(a,b)???????π3????,问系数?为何值时,向量?a?b与?a?3b垂直？

解：(?a?b)?(?a?3b)=???2?0，??2。

???????????5．设a?3i?j?2k,b?i?2j?k,求:(1) Prjab; (2) cos(a,b)。 解：Prjab?a?baa?bab?314，

??? cosa(,b)??3221。

6．已知三点M(1,2,?1),A(2,3,?1)和B(1,3,0),计算:(1)以MA,MB为邻边的平行四

?边形的面积；(2)求同时垂直于MA,MB的单位向量n0。

?解：S?MA?MB?{1,?1,1}?3，n0??33{1,?1,1}。

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作业8 平 面

1． 填空:

（1）过点A(2,9,?6)且与向径OA垂直的平面方程是2x?9y?6z?121?0。 （2）过点(1,1,?1),(?2,?2,2)和(1,?1,2)的平面方程是x?3y?2z?0。 （3）过点(?3,1,?2)和z轴的平面方程是x?3y?0。

（4）过点(4,0,?2),(5,1,7)且平行于x轴的平面方程是9y?z?2?0。 （5）过点(3,2,?7)且与xOz面平行的平面方程是y?2。 2．设点P(3,?6,2)是从原点到平面的垂足,求该平面方程。 解：法向量n?{3,?6,2}，平面方程为3x?6y?2z?49?0。

3．设平面通过点(?5,4,3)，且在x,y,z三轴上截距相等，求此平面方程。 解：设平面方程为x?y?z?a，解得a?2，即x?y?z?2。 4．求平面2x?2y?z?5?0 与各坐标面的夹角的余弦。 解：法向量n?{2,?2,1}，单位化n0? 故cos??23,cos???2313{2,?2,1}， 13,cos??π3。

5．平面通过x轴且与平面y?x成的角, 求此平面方程。

解：设平面方程为By?Cz?0，又cos?3?2BB?C22?12,

即B??C，故平面方程为y?z?0。

6．在平面2x?3y?z?6?0和平面2x?3y?z?2?0间求一平面，使之将这两

平面间的距离分成1:3。

解：设平面方程为2x?3y?z?D?0，?6?D??2且36?D?2?D， 故2x?3y?z?8?0（舍去），2x?3y?z?5?0。

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作业9 直 线

1． 填空

（1）过点(4,?1,3)且平行于直线

x?42y?11z?35x?32?y1?z?15的直线方程是

??。

（2）过点(0,2,4)且同时平行于平面x?2z?1和y?3z?2的直线方程是

x?2y?23z?41??。

（3）过点(2,?3,1)且垂直于平面2x?3y?z?1?0的直线方程是

x?22y?33z?11??。

ππ2π,,的直线方程是343（4）过点(3,4,?4)且方向向量的方向角为x?31y?42z?4?1?y?1??。

z?52２．求直线

x?12?与平面x?y?4z?3?0的交点及夹角。

解：将x?1?2t,y??t,z?5?2t代入x?y?4z?3?0得t??2。 故交点是(?3,2,1)，??３． 求过点(0,1,2)且与直线解：过点(0,1,2)且与直线 直线

x?11?x3y?1?1???4x?11?。

?y?1?1??z2z2垂直相交的直线方程。

x?11zy?1?1垂直的平面方程为x?y?2z?3?0，

3122,1)，

2与平面x?y?2z?3?0交点是(,?z?2?2 直线方程是４． 求

通

y?1?1。 交

直

线

L1:x?22?y?11?z?3?1过两条相及

L2:x?2?t,y??1?t,z?3?2t的平面方程。

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ij1?1k?1?{1,?5,?3}， 2解：平面的法向量是n?21 故平面方程是x?5y?3z?2?0

?x?y?z?1?0５． 求点(3,?1,2)到直线L:?的距离。

2x?y?z?4?0?ijk?1?{0,?3,?3}，即{0,1,1}

解：直线L的方向向量为s?112?11直线L上的一点为M0(1,?2,0)，

MM?s?距离d?032。

s?2x?2y?2z?3?0６． 求直线L:?在平面x?y?z?1?0上的投影直线方程。

x?y?z?5?0?解：过直线L的平面束方程为(2??)x?(2??)y?(?2??)z?3?5??0，

由此求得过直线L与平面x?y?z?1?0垂直的平面方程为

?4y?4z?7?0。 4y?4z?7?0，故投影直线方程为?x?y?z?1?0?

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