激光原理及应用第二版(陈家璧)课后思考练习题答案(全)

思考练习题1

1． 试计算连续功率均为1W的两光源，分别发射 ＝0.5000 m， =3000MHz的光，每秒

从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？

q 答：粒子数分别为：n1 h

16.63 10 34

0.5 10 618

2.5138 10 c6.63 10 34 3 108

n2

q123

5.0277 10 349h 6.63 10 3 10

2．热平衡时，原子能级E2的数密度为n2，下能级E1的数密度为n1，设g1 g2，求：(1)当原子跃迁时相应频率为 ＝3000MHz，T＝300K时n2/n1为若干。(2)若原子跃迁时发光波长 ＝1 ，n2/n1＝0.1时，则温度T为多高？

(E E）

mnn2nm/gm6.63 10 34 3 109kTkT

答：（1）则有： e e exp[ ] 1 23

nn/gnn11.38 10 300

h

348 n26.63 10 3 103

（2） ekT exp[ ] 0.1 T 6.26 10K 23 6

n11.38 10 1 10 T

h

－

3．已知氢原子第一激发态(E2)与基态(E1)之间能量差为1.64×l018J，设火焰(T＝2700K)中含有1020个氢原子。设原子按玻尔兹曼分布，且4g1＝g2。求：(1)能级E2上的原子数n2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08 n2，求光的功率为多少瓦？

n2 g1n21.64 10 18 19kT

答：（1） e 4 exp[ ] 3.11 10 23

n1 g2n11.38 10 2700

h

且n1 n2 10 可求出n2 31

（2）功率＝10 31 1.64 10

4．(1)普通光源发射 ＝0.6000 m波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比

8

18

20

5.084 10 9W

q激1

，求此时单色能量密度 为若干？(2)在He—Ne激光器中若=

q自2000

5.0 10 4J s/m3， 为0.6328 m，设 ＝1，求

答：（1）

q激

为若干？ q自

q激

c3 31(0.6 10 6)3 173

＝ 3.857 10J s/m q自8 h 38 h20008 6.63 10 34

q激

c3 3(0.6328 10 6)3 （2）＝ 5 10 4 7.6 109 3 34

q自8 h 8 h8 6.63 10

＋

5．在红宝石Q调制激光器中，有可能将全部Cr3(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。

－

设红宝石直径0.8cm，长8cm，铬离子浓度为2×1018cm3，巨脉冲宽度为10ns。求：(1)

－

输出0.6943 m激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命 ＝102s，问自发辐射功率为多少瓦？ 答：（1）最大能量

W N h r2 d h

c

3 10

2.3J 6

0.6943 10

8

0.0042 0.08 2 1018 106 6.63 10 34 W2.3 10 68

2.30 10瓦 脉冲平均功率＝ 9t10 10

1

N自 n20e A21tdt n20 1

e

（2）

1

P Nh 2.3 瓦 1 145自自

e

6．试证单色能量密度公式，用波长 来表示应为 证明：

8 hc1e

hc kT

5

1

dwdwcc8 h1c8 hc1

2 2 3 h kT 2 5 h

dVd dVd e 1 e 1

7. 试证明，黑体辐射能量密度 ( )为极大值的频率 m由关系 mT 1 2.82kh 1给出，并求出辐射能量密度为极大值的波长 m与 m的关系。

8 h 3

答：（1）由

c3

1e

hvkT

可得：

h

1

8 h3 2h

3(h 3 h ekT ) 0 kTc2kTkT(e 1)e 1

h xx

令x ，则上式可简化为：3(e 1) xe

kT

解上面的方程可得：x 2.82 即：

h m

2.82 mT 1 2.82kh 1 kT

（2）辐射能量密度为极大值的波长 m与 m的关系仍为

m

8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数A 证明： fN( )

m

1

A

，由归一化条件且 0是极大的正数可得： 222

4 ( 0) (1/2 )

AA

1 2 1 222222 04 ( 0) (1/2 )4 ( 0) (1/2 )

A2 2A2 2

1

d 1 22

(4 )

1

4 arctg[4 '] 0 1 A

9．试证明：自发辐射的平均寿命

1

，A21为自发辐射系数。 A21

证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：

n2(t)＝n20e A21t

自发辐射的平均寿命可定义为

1

n20

n2 t dt

式中n2 t dt为t时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt产生的总时间，因此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出

e A21tdt

1 A21

10．光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为

c，证明接收器接收到的频率

0，在一级近似下为： 0(1 )

c1

1 c 2 2 1 2

0 (1 )(1 2) 0 (1 )(1 2) 0 (1 ) 0 证明：

1 ccc2ccc

即证

11．静止氖原子的3S2 2P4谱线的中心波长为0.6328 m，设氖原子分别以 0.1c, 0.5c的

速度向着接收器运动，问接收到的频率各为多少？ 答： 0.1c 0

c

1 c1.1c

0.9

1.13 108

5.241 1014Hz 60.90.6328 10

同理可求： 0.1c 4.288 1014Hz；

0.5c 8.211 1014Hz； 0.5c 2.737 1014Hz

12．设氖原子静止时发出0.6328 m红光的中心频率为4.74×1014Hz，室温下氖原子的平均速率设为560m/s。求此时接收器接收频率与中心频率相差若干？

答：

560 6

0(1 ) 0(1 ) (1 1.8667 10) 0 8

c3 10

1.8667 10 6 4.74 1014 8.848 108Hz

13．(1) 一质地均匀的材料对光的吸收为0.01mm-1、光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几? (2) —光束通过长度为1m的均匀激活的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。 答；（1）I(z) I(0)e

Az

I(z)1

e 0.01 100 0.368 I(0)e

（2）I(z) I(0)e

Gz

I(z)

eG 1 2 G ln2 0.693m 1

I(0)

思考练习题2

1. 利用下列数据，估算红宝石的光增益系数n2－n1＝5 1018cm3，1/f( )＝2×1011 s1，t自发

--

1＝A21 3 103s，λ＝0.6943 m， ＝l.5，g1＝g2。

-

答：

G( ) nB21

h f( ) cc3 2

h f( ) n A21 f( ) G( ) n A21332

A218 3h 3c8 h 8

B21c3

18

1(0.6943 10 4)21 1

G( ) 5 10 0.71cm 3211

3 108 1.52 10

2. He-Ne激光器中，Ne原子数密度n0＝n1+n2＝l012 cm3，1/f( )＝15×109 s1，λ＝0.6328 m，

--

1

t自发＝A21 10-17s，g3＝3，g2＝5， 1 1,又知E2、E1能级数密度之比为4，求此介质

的增益系数G值。

11

g214 n1 2 1011

n n n 10答： 2111

g3E2和E1能级数密度之比为4比1 n 8 101 2

n0 n1 n2 1012cm 3

A218 3h 38 h 3A21c3

B21 333

B21cc8 h

A21 2141017 (0.6328 10 6)2111 1G( ) nB21h f( ) nf( ) 10 0.72cm

c8 38 1.5 109

3. (a)要制作一个腔长L＝60cm的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值范围如何？(b)稳定

腔的一块反射镜的曲率半径R1＝4L，求另一面镜的曲率半径取值范围。 答：（a）R1 R2 R；0 (1 （b）0 (1

LL

)(1 ) 1 R 30cm RR

LL3L

)(1 ) 1 0 (1 ) 1 R2 L或R2 3L R1R24R2

4. 稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为R1＝40cm，R2＝100cm，求腔长L的取值

范围。 答：

0 (1

LLLL)(1 ) 1 0 (1 )(1 ) 1 0 L 40cm或100 L 140cmR1R240100

5. 试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。

0GD( ) n0B21

证明：fD( 0)

2 D

(

c

ln2

h fD( ) GD( 0) n0B21

)2

h 0 fD( 0) c

GD( 0) n0B21

2 ln2

h 0 ()2

c D

即证。

6. 推导均匀增宽型介质，在光强I，频率为 的光波作用下，增益系数的表达式(2-19)。

20

)]G( )

G( ) 证明：G( ) If()I 1 ( 0)2 (1 )()2

Isf( 0)Is2

[( 0)2 (

而：

h 0 f( )

1c

2 ( 0)2 ( 2)20 f( )0 000

G( 0) nB21h 0 f( 0) G( ) G( 0) G( 0)

cf ( )0

2

f( 0) G0( ) n0B21

20

)G( 0)依据上面两式可得：G( ) ；即证。

I ( 0)2 (1 )()2

Is2

(

7. 设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为 ，求证，I＝IS时的稳定工作时讯号增

，并说明其物理意义。 证明：（1）

20 20

)]G( )()G( 0)

G0( ) G( ) If()I 2I 2221 ( 0) (1 )()( 0) (1 )()

Isf( 0)Is2Is2

[( 0)2 (

G0( 0)

当IIs 1时，增益系数的最大值为：G( 0) ；

2

当增益系数的最大值为增益系数的最大值的一半时，即

20

)G( 0)0

G( 0)G0( ) G( ) 时，对应有两个频率为：

f() 41 ( 0)2 2 ()2

f( 0)2

(

1 0 2(

)以及 2 02()22

＝ 1－ 22

（2）物理意义：当光强I Is时，介质只在2 范围内对光波有增益作用，在此范围外增益可忽略不计，而光波也只在这个线宽范围内对介质有增益饱和作用。

8. 研究激光介质增益时，常用到“受激发射截面”它与增益系数G( )(cm e( )(cm2)概念，

－1

)的关系是 e( )

G( )

， n为反转粒子数密度，试证明：具有上能级寿命为 ，线 n

c2f( ）

型函数为f( )的介质的受激发射截面为 e( ) 。 22

8 h f( ) c

A218 3h 3

3B21c 证明：

G( )

e( )

n

c3 1c2c2f( )

e( ) A21 h f( ) f( )

8 2 28 3h 3c8 2 2

G( ) nB21

9. 饱和光强Is( )是激光介质的一个重要参数。证明均匀增宽介质在中心频率 0处的饱和光强Is( 0)

h 0

，并计算均匀增宽介质染料若丹明6G在 0＝0.5950 m处的饱和光

e( 0)

—

强。(已知 ＝5.5×l 09s， ＝4.66×1013Hz， ＝1.36)

h f( )0 c c0

h 0 Is( 0)

2 ( )答：(1) e( ) I( ) e0s0

n ( ) e0 2

f( 0)

G( ) nB21h f( )

c

Is( 0)

c 2 B21 G( )

2

cf( 0)

(2) e( 0) 22

8 0 h 04 2hc 2 52

Is( 0) 3.213 10W/cm

e( 0) 3

Is( 0)

10. 实验测得He-Ne激光器以波长 ＝0.6328 工作时的小讯号增益系数为G0＝3 10-14

/d(cm)，d为腔内毛细管内径(cm)。以非均匀增宽计算腔内光强I＝50W／cm2的增益系数G(设饱和光强Is＝30W／cm2时，d＝1mm)，并问这时为保持振荡稳定，两反射镜

－

h 0 e( 0)

的反射率(设r1＝r2，腔长0.1m)最小为多少(除透射损耗外，腔内其它损耗的损耗率a内＝9 104cm)?又设光斑面积A＝0.11mm2，透射系数 ＝0.008，镜面一端输出，求这时输出功率为多少毫瓦。

－

-1

0DD( )3 10 4 1

答：（1）GD( ) 1.837 10 3cm 1

I50(1 )2(1 )2

Is30

（2）K r1r2exp(G a内)2L 1 r2exp(1.837 10 3 9 10 4) 20 1 r 0.99 （3）P0 A I 0.008 0.11 10 2 50 103 0.44mW

11. 求He-Ne激光的阈值反转粒子数密度。已知 ＝6328Å，1/f( ) ＝109Hz， ＝1，

设总损耗率为a总，相当于每一反射镜的等效反射率R＝l－La总＝98.33％， ＝107s，

—

腔长L＝0.1m。

答： n阈＝

8 a总

cf( )

2

22

8 2

0.01671 R

8 10 7

109 1.048 1015/m3

2f( )(0.6328 10 6)2

＋-3

12. 红宝石激光器是一个三能级系统，设Cr3的n0＝1019／cm3， 21=3 10s，今以波长λ＝

0.5100 m的光泵激励。试估算单位体积的阈值抽运功率。

h n0Vhcn06.63 10 34 3 1010 10193

答：P 650W/cm阈3＝ 4 3

2 212 212 0.51 10 3 10

13. YAG激光器为四能级系统。已知 n阈＝1.8×1016cm3， 32＝2.3 10s。如以波长0.75 m

－

-4

的光泵激励。求单位体积的阈值功率并与上题比较红宝石的阈值功率是它的几倍。

答：(1)P阈4＝ n阈h 14V/ 32 (2)倍数＝65/2.1=31

n阈hc

32

1.8 1016 3 1010 6.63 10 343

21W/cm 4 4

0.75 10 2.3 10

思考练习题3

1．腔长为0.5m的氩离子激光器，发射中心频率 0＝5.85 l014Hz，荧光线宽 ＝6 l08 Hz，问它可能存在几个纵模?相应的q值为多少？ (设 =1)

3 108答： q 3 108Hz，

2 L2 1 0.5

c

6 108

n 2，则可能存在的纵模数有三个，它们对应的q值分别为： 8

q3 10qc2 L5.85 10146

，q＋1=1950001，q－1＝1949999 q 1.95 108

2 Lc3 10

2．He—Ne激光器的中心频率 0＝4.74×1014Hz，荧光线宽 ＝1.5 l09Hz。今腔长L＝lm，问可能输出的纵模数为若干？为获得单纵模输出，腔长最长为多少？

3 108 1.5 1098

答： q 1.5 10Hz，n 10

2 L2 1 1 q1.5 108

c

即可能输出的纵模数为n 1 11个，要想获得单纵模输出，则：

c

2 q

L

c3 108

L 0.2m 9

1.5 10

故腔长最长不得大于0.2m。

3．（1）试求出方形镜对称共焦腔镜面上TEM30模的节线位置的表达式(腔长L、光波波长 、方形镜边长a)（2）这些节线是否等间距？

F（3X）＝H3(X)e

3

X

X2

2

0

d3 X2

答：（1）H3(X) ( 1)ee

dX3

2X x

L

3 L

8X3 12X x1 0,x2 4

（2）这些节距是等间距的

4．连续工作的CO2激光器输出功率为50W，聚焦后的基模有效截面直径2w＝50 m，计算(1)每平方厘米平均功率(50W为有效截面内的功率) (2)试与氩弧焊设备(104W／cm2)及氧乙炔焰(103W／cm2)比较，分别为它们的多少倍？ 答：（1）每平方厘米的平均功率为：

50W

2

50

2.546 106W/cm2 42

(25 10)

2.546 106

254.6；是氩弧焊的254.6倍。 （2）4

10

2.546 1063

2.546 10；是氧乙炔焰的2546倍。 8

10

5．(a)计算腔长为1m的共焦腔基横模的远场发散角，设λ＝6328Å，10km处的光斑面积多大。(b)有一普通探照灯，设发散角为2 ，则1km远处的光斑面积多大？

2 2 6328 10 10

答：（1）基横模的远场发散角2 2 2 1.269 10 3rad

L

（2）10km处的光斑尺寸 z 10

L2z26328 10 10

[1 ()] [1 4 108] 6.347m

2 L2

2

2

2

m 10km处的光斑面积S 6.347 126.5572

（3）1km处的光斑尺寸r 1000 tg1o 17.455m

m 1km处的光斑面积S r 17.455 957.1711

6．激光的远场发散角 (半角)还受到衍射效应的限制。它不能小于激光通过输出孔时的衍射极限角 衍(半角)＝1.22λ/d。在实际应用中远场发散角常用爱里斑衍射极限角来近似。 试计算腔长为30cm的氦氖激光器，所发波长λ＝6328Å的远场发散角和以放电管直径d＝2mm为输出孔的衍射极限角。

222

22 6328 10 10 3

答：（1）远场发散角 1.1588 10rad 2

L 30 10

1.22 1.22 6328 10 10 4

3.86 10rad （2）衍射极限角 3

d2 10

7．一共焦腔(对称)L＝0.40m，λ＝0.6328 m，束腰半径w0 0.2mm，求离腰56cm处的光束有效截面半径。 答： z 0.56 0

z26328 10 10 0.562 3

(2) 0.2 10 () 0.6mm 42

0 (2 10)

8．试讨论非共焦腔谐振频率的简并性、纵模间隔及横模间隔，并与共焦腔进行比较。 答：非共焦腔的谐振频率表达式为： mnq

c 1 1

q m n 1cosgg 12 2 L

！）简并性：对于纵模来说非共焦腔的谐振频率一般不具有简并性，除非

cos 1g1g2

k

(k为整数)时才出现纵模的简并；如果纵模序数一定，不同的横模可以

存在一定的简并，只要m＋n不变，谐振频率就相同。 2）纵模间隔： 纵＝

c2 L

，与共焦腔是一致的；

3）横模间隔： 横＝

c cos－1g1g2

2 L

，不仅与腔长有关还与介质的折射率、镜面的曲率

半径有关，这与共焦腔是不同的。

9．考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔，波长λ＝0.5145 m，腔长L＝1m，腔镜曲率半径R1=1.5m，R2=4m。试计算光腰尺寸和位置，两镜面上的光斑尺寸，并画出等效共焦腔的位置。 答：（1）束腰半径

11

2L(R1 L)(R2 L)(R1 R2 L)40.5145 10 621.5 4.54

0 [()] [()] 0.348666mm22

(R1 R2 2L)3.5

（2）束腰位置z1

L(R2 L)6136

m；z2 L z1 1 m

77(R1 R2 2L)3.57

1

1

（3）两镜面上的光斑尺寸分别为：

6

R12(R2 L)L0.5145 102.25 34

s1 []4 [] 0.532596mm

L(R1 L)(R1 R2 L) 0.5 4.5

112 6

R2(R1 L) L0.5145 1016 0.5

[]4 []4 0.355064mm

L(R2 L)(R1 R2 L) 3 4.5

s2

（4）f

L(R1 L)(R2 L)(R1 R2 L)

R1 R2 2L

0.5 3 4.52.65.2

m

3.53.57

10．欲设计一对称光学谐振腔，波长λ＝10.6 m，两反射镜间距L＝2m，如选择凹面镜曲率半径R=L，试求镜面上光斑尺寸。若保持L不变，选择R L，并使镜面上的光斑尺寸

ws＝0.3cm，问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？

答：（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）：

L.6 10 6 2 s1 s2 2.5977mm

（2）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是R1 R2 R L，根

据（3-50）式可得镜面光斑尺寸为（舍去一个与L近似相等的解）：

s

L R R L

LR L(2R L)

2

1

4

14

14

LR2R2 [] 2.5977 [] 3 R 5.91m

L(2R L)2 (2R 2)

2L R1 L R2 L R1 R2 L 2L 2R L w0 2

4R1 R2 2L （3）

1

10.6 10 622 (2 5.911 2)4 [()] 2.734mm

4

11．试从（3－81）式出发，证明非均匀增宽激光器最佳输出功率若用最佳透射率表示有：

2tm

。 Pm AIs

(a tm)

1414

2LG0( ) 2 1D

证明：由（3-82）有：P( ) At1Is 1

2a t 11

P12LG212LG2LG

AIs[() 1] AtIs[2 [ ]] 0 t2a t2a t(a t)2

(a t)3整理上式可得：4LG(a t) (a t) (2LG) ，式中t即为最佳透射率tm

a t

2

2

3

2

则最佳输出功率

(a tm)3(a tm)12LG21

Pm AtmIs[() 1] AtmIs[ 1]2

2a tm2(a tm) AIs

ta tm

2m

12．考虑如图（3－18）所示的He-Ne激光器，设谐振腔的腔镜为圆形镜。试求TEM00

和TEM10模之间的频率差。假定TEM00q模的单程衍射损耗δ器振荡的最小增益系数为多大？

00<0.1%，试问：维持该激光

激活长度

激活长度

图（3－18） 习题三 第12题

答：1）因为(1

LL0.750.75

)(1 ) (1 )(1 ) 0.75 1，因此此谐振腔为稳定腔； R1R23

圆形镜一般稳定球面腔的谐振频率为： mnq所以TEM00与TEM10之间的频率差为：

c 1 1

q m n 1cosgg12 2 L

c

2 L

1

cos

1

3 1081

g1g2 cos 10.75 4.6 107

2 0.75

1

ln r1r2 2L

2）考虑激光器的内部损耗完全由单程衍射损耗造成，由（2-36）式有：

G a内

2 LG La内 ln r1r2

即：

G

2La内 ln r1r2

2L

2 0.001 ln0.95

0.0533m 1

2 0.5

思考练习题4

1．腔长30 cm的氦氖激光器荧光线宽为1500MHz，可能出现三个纵横。用三反射镜法选取单纵横，问短耦合腔腔长(L2 L3)应为若干。

1.5 1093 108

答： 短＝； 2 L L2 L3 0.2m

短2 (L2 L3)2 L

c

2．He-Ne激光器辐射6328Å光波，其方形镜对称共焦腔，腔长L＝0.2m。腔内同时存在

TEM00，TEM11，TEM22横模。若在腔内接近镜面处加小孔光阑选取横模，试问：

(1)如只使TEM00模振荡，光阑孔径应多大？

(2)如同时使TEM00，TEM11模振荡而抑制TEM22振荡，光阑孔径应多大？

L0.6328 10 6 0.2

答：(1)TEM00模在镜面处的光斑半径为 s 0.20mm

所以光阑孔径应该为0.2mm

(2)TEM11模在镜面处的光斑半径为 s

所以光阑孔径为0.35mm

2m 1s 0.2 0.35mm

3．一高斯光束束腰半径w0＝0.2mm， ＝0.6328 ，今用一焦距f为3cm的短焦距透镜聚焦，已知腰粗w0离透镜的距离为60cm，在几何光学近似下求聚焦后光束腰粗。

答： 0

f3

0 0.2 0.01mm s60

4．已知波长 ＝0.6328 的两高斯光束的束腰半径w10，w20分别为0.2mm，50 ，试问此二光束的远场发散角分别为多少？后者是前者的几倍？ 答：2 1＝

2

0

2

＝

2 0.6328

2.0 10 3rad 3

0.2 10

2 2＝

0

＝

2 112 0.6328

8.0 10 3rad；

502 24

5．用如图（4－33）所示的倒置望远镜系统改善由对称共焦腔输出的光束方向性。已知二透镜的焦距分别为f1＝2.5cm，f2＝20cm，w0＝0.28mm，l1

f1 (Ll紧靠腔的输出镜面)，

求该望远镜系统光束发散角的压缩比。

图（4-33） 第5题

答：M

f2 20

2 11.31 f1 02.5

7．设一声光偏转器，声光材料为碘酸铅晶体，声频可调制度为 ＝300MHz。声波在介质中的速度 s＝3×103m/s，而入射光束直径D＝1mm，求可分辨光斑数。 答：当声频改变 时，衍射光偏转的角度为：

； s

而高斯光束的远场发散角为：

； 0

300 106 0.5 10 3 157

3 103

可分辨光斑数为：n

0

s

8．有一多纵模激光器纵模数是1000个，腔长为1.5m，输出的平均功率为1W，认为各纵模振幅相等。

（1）试求在锁模情况下，光脉冲的周期、宽度和峰值功率各是多少？

（2）采用声光损耗调制元件锁模时，调制器上加电压u V0cos2 ft。试问电压的频

8率f为多大？

2L2 1.5T10 8 8 12

10s 5.0 10s 答：（1）周期T ；宽度8c3 102N 12 1000 1

峰值功率I (2N 1)I0 2001 1 4.0 10w

2

2

6

c3 108 108Hz （2）频率f

2L2 1.5

9．钕玻璃激光器的荧光线宽 F＝7.5×1012Hz，折射率为1.52，棒长l＝20cm，腔长L＝30cm，如果处于荧光线宽内的纵模都能振荡，试求锁模后激光脉冲功率是自由振荡时功率的多少倍。

F3 108

2.0 104 答： 3.7 108Hz；N 2 L2(1.52 0.2 0.1)

c

倍数＝N＝20000倍

思考练习题6

1．图6-2a所示的角锥棱镜反射器中，O为三面直角的顶点，OA=OB=OC。（1）试证明当三直角均没有误差时，由斜面ABC上入射的光线的出射光线与原入射光线反向平行；（2）若一个

直角误差为δα试计算出射光线与原入射光线的夹角。

答：1）在棱镜内部入射的光r1经过三次反射后由r4射出 （也是在棱镜内部），只要能证明r1和r4平行，则它们在棱

面的法线方向分别为：

n1 ay；n2 ax；n3 az；r1 r1xax r1yay r1zaz

经过第一次反射：r2 2( r1 ay)ay r1

y

r2 (r1xax r1yay r1zaz) 2( r1y)ay

所以

r1xax r1yay r1zaz

经过第二次反射后：

r3 r2 2( r2 ax)ax (r1xax r1yay r1zaz) 2r1xax r1xax r1yay r1zaz

经过第三次反射：

r4 r3 2( r3 az)az ( r1xax r1yay r1zaz) 2( r1z)az r1xax r1yay r1zaz

因此经过三次反射后矢量r1和矢量r4是反向平行的，说明角锥棱镜的入射和出射光肯定是反向平行的。

2）假设y轴和z轴的直角有一点偏差 ，则第三个反射面的法线就变成：

n3 sin( )ay cos( )az sin ay az

则经过第三次反射后：

r4 r3 2( r3 n3)n3 ( r1xax r1yay r1zaz) 2(r1xax r1yay r1zaz) [sin( )ay az]n3

r1xax r1yay r1zaz 2(r1ysin( ) r1z))(sin( )ay az)

r1xax ( r1y 2r1ysin2( ) 2r1zsin( ))ay (r1z 2r1ysin( ) 2r1z)az

r1xax ( r1y 2r1y 2 2r1z )ay ( r1z 2r1y )az

则入射光束r1与出射光束r4的夹角θ应满足：

22

r1 r4 r1x r1yr1y 2r1y 2r1z r1z r1z 2r1y cos 22r1r4(r12x r1y r1z)

2222

(r12x r1y r1z) 2r1y

(r r r)

r1y

(r r r)

2

1x

21y

21z

21x21y21z

1 2

2

r12y

(r r r)

21x21y21z

2

3．在图6-8 双频激光干涉仪测量空气折射率装置中，真空室长度为L，激光在真空中的波长为 0，记录下来的累计条纹数N，试证明被测气体折射率可以用（6-8）式表示。 证明：图6-8 双频激光干涉仪可测量出真空室内外气体折射率不同造成的光程差，若被测气体折射率为nm，真空折射率为1，长为L的真空室造成的光程差为 2L n 1 根据（6-6）式有：L nm 1

0

2

N；

故被测气体折射率为：nm

0

2L

N 1

4．分离间隙法的测量原理如图6-13所示，试证明狭缝宽度b和间隔z、级次k1、k2、暗条纹的位置xk1、xk2，以及工作距离之间的关系为（6-19）式。

证明：对于产生k1暗条纹的P1点来讲，在平行光照明下，下边沿与上边沿衍射时对应的光程差为由虚拟的对称下边沿衍射边出发通过实际的下边沿再衍射到P1点的光程和直接由上边沿衍射到P1点的光程之差：

xk1xk12 1 A1P A1 AP bsin z zcos bsin 2zsin b 2z 111112

2L4L

同理，对于产生k2暗条纹的P2点来讲，在平行光照明下，有

2

xx

A1P2 AP2 bsin 2 2zsin 2 bk2 2zk22 A1

L4L 2

2

2

上两式对应的光程差分别等于k1 ，k2 ，因而在分离间隙时狭缝宽度可以用（6-19）式表示。

5．在一拉制单模光纤生产线上测量光纤直径，若光纤外径为125微米，外径允差为±1微米，不考虑光纤芯的折射率变化的影响，用图（6-10）右半部所示的检测系统，若接收屏处放置的2048元线阵CCD象素间距为14微米，为保证测量系统的分辨率为允差的五分之一，所用的透镜焦距至少为多大？

答：设光纤的外径为b，第k个暗条纹的位置为xk，透镜焦距为f，光波波长为 ，则有：

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