2012年高考数学精英备考专题讲座：第一讲函数理科

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2023年高考数学备考推荐度：
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第一讲函数

第一节初等函数

函数是高中知识的主干知识，是高中知识的一条主线，它涉及了函数的概念和性质，基本初等函数，数列，不等式，方程，导数，解析几何和立体几何等，是历年高考的重点、热点和必考点.初等函数（由基本初等函数经过运算或复合组成的）是基础. 一般地, 在高考试题中，考察函数知识都是以初等函数为载体.单独以定义域、值域、奇偶性等命题大多是选择题或填空题，综合题中涉及函数性质的往往只是试题的一部分. 难度值一般控制在0.5～0.8之间. 考试要求： ①了解映射概念,理解函数的概念,会选择适当方法表示函数;②会求一些简单函数的定义域和值域；③了解函数的奇偶性,能判断简单函数的奇偶性；④了解反函数的概念及指数函数x a y =与对数函数x a y log =互为反函数；⑤理解有理指数幂的含义,掌握幂的运算(性质),掌握指数函数、对数函数的概念,对数的运算性质. 题型一判定初等函数的性质例1 求函数1sin sin 2

sin 3223--+=

x x x y 的值域. 点拔函数是三次函数与三角函数复合函数而成的，令sin ,[1,1]t x t =∈-得

3221

132

y t t t =+--，本题

就转化为求32

21132

y t t t =+--，[1,1]t ∈-的值域. 三次函数求值域常用导数的方法.

解 sin ,[1,1]t x t =∈-令,则3221

()132

y f t t t t ==+--,∴

221(21)(1)y t t t t '=+-=-+,

由0y '>,得1

t >或1t <-；由0y '<,，得11t -<<

，列表：

1,2

t ∴=函数有极小值12111131

23824224()1f =?+?--=-

又2

(1)11,f -=-++-=-,2

(1)11f =+--=-,∴311

[,]y ∈-

易错点 ①令sin ,[1,1]t x t =∈-，忽略了[1,1]t ∈-；②错误地认为最值一定在端点处取得.

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-的值域为_____________ 题型二抽象函数的性质

例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且当x >0时， f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.

点拔此题()f x 是抽象函数，但是初等函数中，可以找到一个具体函数满足条件，如x x f 2)(=，由此

猜想抽象函数()f x 在[]2,1-是递增函数，再用定义证明递增.：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，再利用0,()0x f x >>判断1()f x 与2()f x 的大小关系.下面只要求出(2),(1)f f -的值就行.

解设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0 ∴->f x x ()210又)()()()[()(11121122x f x f x x f x x x f x f >+-=+-=

∴f x ()为增函数，令0x y ==得(0)0f =，再令用1,1x y ==-得出2)1()1(=-=∴f f ,

令1x y ==- 得f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为]24[，

- 易错点利用性质“当x >0时，()0f x >”证明单调性，易出错.

变式与引申2：设函数y=)(x f 是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件： ①对任意正数y x ,有)()()(y f x f xy f +=；②当1>x 时，0)(

(1)求)9

()1(f f 、的值; （2）证明()()f x +∞在0，上是减函数. 题型三函数奇偶性的判断

例3 判断函数2()(0,)a

x f x x x a R =+≠∈的奇偶性. 点拔利用定义判断函数的奇偶性：第一步：看定义域是否关于原点对称:若定义域不关于原点对称，则

为非奇偶非函数；若定义域关于原点对称，则进行第二步：验证()f x -与()f x 的关系，若

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f x f x f x f x --==-）则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=- （或()()()0,1()

f x f x f x f x +-==--）则()f x 为奇函数.当难于得出()()f x f x -≠和 ()()f x f x -≠-的时候，可以考虑验证特殊值.

解当0a =时，2()f x x =为偶函数；当0a ≠时，(1)1,(1)1f a f a =+-=-,

∵0a ≠,∴11,()()a a f x f x -≠+-≠；∵0a ≠,(1)1a a --≠+，()()f x f x --≠,∴()f x 既不是奇函数也不是偶函数.

易错点 ①用定义判断奇偶性时，容易漏掉0a =的情况.

②0a ≠的情况难于得出()f x -与()f x 的关系，易出错.

变式与引申3：设a 为实数，函数2()||1()f x x x a x R =+-+∈．讨论()f x 的奇偶性. 题型四函数思想的应用

例4 关于 x 的方程2||10x x a -+-=有四个不同的解，求a 的取值范围.

点拔此题有多种思考方法：法1：原方程看作含绝对值的方程，则采用去绝对值的方法，分段讨论解一

元二次方程：210(0)x x a x -+-=>和210(0)x x a x -+-=<.原方程有四个不同的解，等价于210(0)x x a x -+-=>有2个不等的正解，且210(0)x x a x -+-=<有2个不同的负数解.问题就转化为两个一元二次方程根的分布问题.

法2：把原方程看作是关于x 的一元二次方程，则令,0t x t =>，则原问题等价于210t t a -+-=有2个不等的正数解.

法3：采用函数思想来观察方程，则可以把原方程变为：2||1x x a -+=-，问题等价于函数2||y x x a =-+和1y =-的图像有四个不同的交点.事实上，我们还有下面各种变形：22||1,||1.x x a x x a --=--=-

解法1 2||10x x a -+-=有四个不同的解等价于2

10(0)x x a x -+-=>有2个不等的正解，

且210(0)x x a x -+-=<有2个不同的负数解.

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210(0)x x a x -+-=>有2个不等的正解1212

014(1)0

501410

0a x x a R

a a x x ?>-->????

∴+>?∈?<>?? 210(0)

x x a x -+-=<有2个不同的负数解

1212

014(1)0

501410

0a x x a R a a x x ?>-->????

∴+>??

综上所述：514

a <<

. 法2 令,0t x t =>则原问题等价于2

10t t a -+-=有2个不等的正数解.

1212

014(1)0

501410

0a t t a R a a t t ?>-->????

∴+>??.

法3 在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2||y x x

=-+a 的取值必须满足4141

a a ->???

易错点 ①作为二次方程分类，运算量大，易出错;

②,t x =易忽略0t >;

③同学们很难将四个不同解等价转化其它问题. 变式与引申4：

（2011年北京卷。理）已知函数32

2()(1),2x f x x x x ?≥?=??-

若关于x 的方程f (x )=k 有两个不同

的实根，则数k 的取值范围是_______

本节主要考查 ①初等函数的基本性质（定义域，值域，奇偶性等）,理解函数的基本问题是初等函数问题；②通过变量代换将一般函数问题转化为初等函数问题解题；③熟练作出初等函数的图像利用数形结合；④函数思想.

点评（1）基本方法：①熟练掌握基本初等函数的性质和图像；②初等函数利用变量代换转化为基本初

等函数； ③求出中间变量的范围. （2）求定义域的常用方法:

根据函数解析式求函数的定义域，利用函数式有意义，列出不等式组，再解出.函数式有意义的依据是：

111--

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④终边在y 轴上的角的正切没有意义；⑤00没有意义；⑥复合函数()f g x ????的定义域，要保证内函数()g x 的值域是外函数()f x 的定义域.

（3）求值域的常用方法:①观察法；②配方法；③导数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形结合法；

（4

习题1—1

1. 函数41

2()x x f x +=的图象( ).

A ．关于原点对称

B ．关于直线y ＝x 对称

C ．关于x 轴对称

D ．关于y 轴对称

2. 已知函数1

()f x 的值域是[0,)+∞,则实数m 的取值范围是________________．

3. 已知定义域为R 的函数122()x x b

a f x +-++=是奇函数，求,a

b 的值.

4. 定义在R 上的函数()y f x =,(0)0f ≠,当0x >时,()1f x >,且对任意的a 、b R ∈,有()()()f a b f a f b +=.

（1）求证：f (0)=1；（2）求证：对任意的x R ∈,恒有()0f x >；

5. 设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+.试讨论关于x 的方程:2()f x x x a =++在区间[0,2]上的根的个数.

第二节导数与积分

导数是高考命题的热点,也是难点.纵观近几年的各省高考试题,导数的考题分两个层

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（1）知识性试题以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向（其中多项式函数一般不超过三次，以e 为底的对数函数较多）.

（2）综合性试题导数与不等式、导数与数列常是高考压轴题，同时考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，尤其是分类讨论思想，是近三年来高考命题的热点.难度值一般控制在0.5~0.7之间.

考试要求 ⑴了解导数概念的实际背景；⑵理解导数的几何意义；⑶能求简单的复合函数的导数；⑷能用导数研究单调性,会求函数的单调区间；⑸了解函数在某点取得极值的充分条件和必要条件,会求极大值、极小值及闭区间上的最值；⑹会利用导数解决某些实际问题；（7）了解定积分的实际思想、基本思想及概念，了解微积分基本定理.

题型一导数的几何意义、极值理论及单调性质等

例题1 给定两个函数32111(),().323

m f x x x g x mx +=-=-解决下列问题：（I ）若()f x 在1x =处取得极小值，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若()f x 在区间(2,)+∞为增函数，求m 的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若关于x 的方程()()0f x g x -=有三个不同的根，求m 的取值范围.

点拔:第（I ）小题()f x 在1x =处取得极小值，即知(1)0f '=，能解决函数()f x 所含参数m ，进而求()f x 单调区间.第（Ⅱ）小题是运用导数研究函数单调性求参数的逆向问题,即求导函数的函数值在区间(2,)+∞上恒大于0,进而转化为不等式的恒成立求函数最值.第（Ⅲ）小题可将问题转化为函数()()()h x f x g x =-的图象与x 轴有三个不同的交点,通过导数讨论函数的单调性与极值,利用数形结合求解.

解:（I ）因为()f x 在1x =处取得极小值,所以(1)0f m '==.故3211()32

f x x x =

-.所以2()f x x x '=-.易知函数()f x 单调增区间是(,0)(1,)-∞+∞和;单调递减区间是(0,1).

（Ⅱ）由题意可知2()(1)f x x m x '=-+,因为()f x 在区间（2，+∞）为增函数,所以2(1)0x m x -+≥在区间(2,)+∞上恒成立,即1m x +≤恒成立.由于2x >,所以12m +≤,故1m ≤. （Ⅲ）设32111()()(),323

m h x f x g x x x mx +=-=-+-故 2()(1)()(1)h x x m x m x m x '=-++=--.令()()(1)0h x x m x '=--=，得1x m x ==或

，由（Ⅱ）知1m ≤.

①当1m =时，2()(1)0h x x '=-≥，()h x 在R 上是单调递增，显然不合题意.

②当1m <时,(),()h x h x '随x 的变化情况如下表：

欲使方程()()0f x g x -=有三个不同的根，即函数()()()h x f x g x =-与x 轴有三个不同的

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m m m ?-+->???-?

，解得1m <综上，m

的取值范围是1m <易错点:①本题中在不同区间单调时用“和”,而不能用“?”连接.②恒成立问题分离变量m 易错求是1m <.③通过导数讨论函数的单调性与极值,并利用数形结合求解,学生难以掌握.

变式与延申1：函数32()(32)f x ax bx c a b x d =++--+的图象如图所示.

⑴若函数()f x 在2x =处的切线方程为3110,x y +-=求函数()f x 的解析式；

⑵在（1）条件下，是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与1()53

y f x x m '=++ 的图象有且只有在三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；

若不存在，请说明理由.

题型二导数与不等式

例题2 设函数2()1x f x e x ax =---.

(1)若0,a =求()f x 的单调区间; (2)若0x ≥时()0f x ≥,求a 的取值范围.

点拔:本题主要考查导数与不等式的相关知识,主要涉及利用导数判断函数的单调性,由(1)可得出的不等式1x

e x ≥+(此不等式较隐蔽,有时甚至需要构造函数以便产生这样的不等式),是本小题的突破口,然后讨论参数a 的取值对导函数值符号的影响.分类讨论思想在此应用甚为关键.

解:(1) 0a =时, ()1,() 1.x x f x e x f x e '=--=-当(,0),()0;x f x '∈-∞<当(0,),()0.x f x '∈+∞> 故()f x 在(,0)-∞单调减少,在(0,)+∞单调增加.

(2) ()12x f x e ax '=--.由(1)知1,x e x ≥+当且仅当0x =时等号成立.故

()2(12)f x x ax a x '≥-=-,从而当120,a -≥即12

a ≤时, ()0f x '≥(0)x ≥,而(0)0f =,于是当0x ≥时, ()0f x ≥.又由1(0x e x x ≥+≠可得1(0x e x x -≥-≠,从而当12

a >时,()12(1)x x f x e a e -'<-+- (1)(2),x x x e e e a --=--故当(0,l n 2x a ∈时

, ()0f x '<,而(0)0f =,于是当(0,l n 2x a ∈,()0f x <,综合得a 的取值范围为1(,]2

-∞. 易错点: ①第(2)小题利用导数求()f x 的最小值,但方程()120x f x e ax '=--=难以求解;②对(1)式提供的不等式1x e x ≥+使用意识较低;③需强化分类讨论思想方法在解决含参不等式中的应用.

变式与延申2：已知函数级()(0)b f x ax c a x

=++>的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.

(1)用a 表示出,b c ;

(2)若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立,求a 的取值范围

;

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(3)111n

1ln n n 232n n +++???+>≥证明：

（+1）+（1）（+1）

题型三导数与数列

例题3 数列{}()n a n N *∈中，11,n a a a +=是函数322211

()(3)332

n n n f x x a n x n a x =-++的极值点.

（1）当0a =时，求通项n a ；

（2）是否存在a ，使数列{}n a 是等比数列？若存在a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 点拔:本题导数的使用有如用药的“药引”，由极值的讨论唤出了的数列系列问题.由题明确求数列通项的本质是找递推式,而题中的递推式变化较大，应细致讨论.第(2)问中构造函数,利用导数将不等式的恒成立转化为求函数最值.

解:易知'2222()(3)3(3)()n n n n f x x a n x n a x a x n =-++=--,令'2()0, 3n n f x x a x n =得＝，＝ ①23,n a n <若

'3()0()n n n x a f x f x <>当时，，单调递增；

2'3,()0()n n n a x n f x f x <<<当时，单调递减； 2',()0()n n x n f x f x <>当时，单调递增；

故()n f x 在2,x n ＝时取得极小值.

②23,1()3n n n a n f x x a >=若仿（

）可得，在取得极小值. ③2'3,()0()n n n a n f x f x ≥若＝，无极值.

(1)当0a =时,10a =,则2131a <.由①知, 2211a ==.

因22332a =<,则由①知,2324a ==.因为2

33123

,a =>则由②知, 43334a a ==?,又因为2

43364,a =>则由②知, 254334a a ==?.由此猜想:当3n ≥时,343n n a -=?.

下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,23n a n >

事实上,当3n =时,由前面的讨论知结论成立.

假设当(3)n k k =≥时, 23k a k >成立,则由②知,213k k a a k +=>,从而

22213(1)3(1)2(2)210k a k k k k k k +-+>-+=-++>,所以2

13(1)k a k +>+

.所以当3

n ≥时,23n a n >成立.

于是由②知,当3n ≥,13n n a a +=,而34,a =因此3

43(3)n n a n -=?≥

(2)存在a ，使数列{}n a 是等比数列.事实上,由②知,若对任意的n ,都有23n a n >,则

13n n a a +=,即数列

{}n a 是首项为a ,公比为3的等比数列,且13n n a a -=?.而要使23n

n >,即

a n ?>对一切n N *

∈都成立,只需23

n n a >对一切n N *

∈都成立.记23n n n b =，则

123141

,,,393

b b b ===???

. 令222

11,(2ln 3)(2)333x x x x y x x x x '=-<-则y =,因此,当2x ≥时,0y '<,从而函数

x x y =在[2,)+∞上单调递减,故当2n ≥,数列{}n b 单调递减,即数列{}n b 中最大项为2b ,

于是当49a >时,必有23n n a >,这说明,当4,9a ??

∈+∞ ???

时, 数列{}n a 是等比数列.

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时,可得212244,.34293

a a a ====而,由③知,2()f x 无极值,不合题意. 当1439

a <<,可得1234,3,4,12,,a a a a a a ====???数列{}n a 不是等比数列. 当13

a =时, 2311,a ==由③知,1()f x 无极值,不合题意. 当1,3

a <可得1234,1,4,12,,a a a a a ====???数列{}n a 不是等比数列. 综上,存在a ，使数列{}n a 是等比数列,且4,9a ??∈+∞ ??? 易错点:①多情况的分类讨论;②知识和方法较为综合.

变式与延申3：当正整数8n >时,

比较

.（本题可将8n >去掉,供思考）

题型四导数与积分

例题4 （Ⅰ）已知函数3()f x x x =-，其图象记为曲线C.

（i ）求函数()f x 的单调区间；

（ii ）证明：若对于任意非零实数1x ，曲线C 与其在点111(,())P x f x 处的切线交于另一点222(,())P x f x ，曲线C 与其在点222(,())P x f x 处的切线交于另一点333(,())P x f x ，线段

1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为12,S S ，则12

S S 为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数32()(0),g x ax bx cx d a =+++≠请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明.

点拔:需把握好两点：一是定积分上下限的确定；二是降维思想的应用，寻求上下限变量之间的关系，其他变量全用变量1x 表示.另外本题对运算能力要求，计算时需谨慎，力求每步精确.

解法一（Ⅰ）（i ）由3()f x x x =-得2()31f x x '=-

=3(x x +，

当(,x ∈-∞

和)+∞时，()0f x '>；

当(x ∈时，()0f x '<，因此，(x)f

的单调递增区间为(,-∞

和)+∞

，单调递减区间为(. （ii ）曲线C 与其在点1P 处的切线方程为231111(31)()y x x x x x =--+-，即2311(31)2y x x x =--，由23113(31)2y x x x y x x

?=--??=-??，得32311(31)2,x x x x x -=--即211()(2)0x x x x -+=，解得1x x =或12x x =-，故212x x =-，进而有

1123234111127(32)4

x x S x x x x dx x -=-+=?，用2x 替代1x ，重复上述计算过程，可得322x x =-

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，又2120x x =-≠，所以4212704S x =≠，因此12116

S S =. （II ）记函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等于3b a

-的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C '与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P

x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C '所围成封闭图形的面积分别记为12,S S ，则12S S 为定值；证明：

因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线()y g x =的对称中心(,())33b b g a a

--平移至坐标原点，因而不妨设3(),0g x ax hx x =+≠且，类似（Ⅰ）（ii ）计算可得441121272716,044S ax S ax ?==≠，因此12116

S S = 解法二(Ⅰ)同解法一

（II ）记函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的图象为曲线C '，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对任意不等于3b a

的实数1x ，曲线C '与其在点111(,())P x g x 处的切线交于另一点222(,())P x g x ，曲线C '与其在点222(,())P x g x 处的切线交于另一点333(,())P

x g x ，线段1223,PP P P 与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为12,S S ，则12S S 为定值；证明：由32(0)y ax bx cx d a =+++≠得c bx ax y ++=23'2，所以曲线C '在点

111(,()

)P x g x 处的切线方程方程为2321111(32)2y ax bx c x ax bx d =++--+，由232111132(32)2y ax bx c x ax bx d y ax bx cx d

?=++--+??=+++??，得()3222311113220ax bx ax bx x bx ax +-+++=，化简：得到0)2()(121=++-ax b ax x x ，112b x x x x a ∴==-

-或，即212b x x a

=--，故 123223211111[(32)2]x x S ax bx ax bx x ax bx dx =+-+++?=413

(3)12ax b a +，用2x 代替1x ，重复上述过程，可得322b x x a =--和444

2112333(3)(62)16(3)0121212ax b ax b ax b S a a a +--+===≠ 所以12116

S S = 易错点:①本题思维量较小，但由积分公式计算面积，字母计算的整体代换等运算求解能力要求较高，不容易正确；②对曲线()y g x =的对称中心(,())33b b g a a -

-会有理解障碍，影响化归与转化思想应用.

变式与延申4：已知3y ax bx =+通过点(1,2)，与22y x x =-+有一个交点1x ，且

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（1）求3y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S.

（2）a ,b 为何值时，S 取得最小值.

本节主要考查：（1）求切线方程，讨论单调性，求极值和最值，导数与不等式问题，利用积分计算图形面积.（2）构造函数，证明不等式. 函数含参时，不等式有解或恒成立转化为求函数最值或对参数进行分类讨论. 讨论极值点位置时用到根的分布知识.（3）考查函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想，尤其是分类讨论思想，是近年来高考命题的热点.

点评: 导数的思想方法和基本理论能在的许多问题上起到居高临下和化繁为简的作用.备考应注意以下几个方面:

(1)导数的意义:变化率和切线的斜率,能够设切点坐标求切线方程.函数的单调区间和函数在某区间单调的区别；

(2)导数作为工具使用:如利用单调性求最值、证明不等式、解决数列、解决不等式恒立或方程解等问题；(3)注意各小题之间的承接与提示作用，以及以e 为底的指对数与一次多项式之间的不等关系(如例2中1x e x ≥+)；

(4) 积分是大学内容的下放,要求能对公式进行应用,求面积方面问题较多.

(5) 注重导数与其他知识的交汇,重点知识重点抓,使常见数学思想方法融会贯通.

习题1-2

1．已知2()3(2),(2)f x x xf f ''=+则则()'0f = .

2．已知函数2()ln(1)(0)2

k f x x x x k =+-+

≥ (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，(1)f )处的切线方程；

(Ⅱ)求f (x )的单调区间.

3. 设()y f x =为三次函数,且图像关于原点对称,当12x =时,()f x 的极小值为1-. (1)求函数()f x 的解析式及单调递增区间;

(2)记()()(31)6,g x f x m x '=+-+若()g x 在[0,1]上至少有一个0x ,使得0()0g x =,求实

数m 的取值范围.

4．已知二次函数2()f x ax bx c =++，直线1:2l x =，直线22:8l y t t =-+

（其中02t ≤≤，t 为常数）；.若直线l 1、l 2与函数()f x 的图象以及

2l 、y 轴与函数()f x 的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.

（Ⅰ）求a 、b 、c 的值；

（Ⅱ）求阴影面积S 关于t 的函数()S t 的解析式.

5．设()()()ln 10x f x x x

+=> （I ）判断函数()f x 的单调性；

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+<，n N *∈（其中e 为自然对数的底数）.

第三节函数的单调性、最值和极值

函数的单调性、最（极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最（极）值的要求提高了，可能更会成为高考的热点、难点. 在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体出现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，处理方法除了定义法之外，一般采用导数法.难度值控制在0.3～0.6之间.

考试要求：①理解函数单调性的概念；②能判断简单函数的单调性；③能求函数的最大（小）值；④掌握基本初等函数的单调性和最值；⑤数形结合思想；⑥函数思想. 题型一：已知函数的单调性、最（极）值，求参变量的值.

例1 设函数ax x a x x f 2)2(36)(23+++=.

（1）若)(x f 的两个极值点为21,x x 且121=x x ，求实数a 的值；

（2）是否存在实数a ，使得)(x f 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.

点拔：因为是三次函数，所以只要①利用“极值点0)(='?x f 的根”，转化为一元二次方程根的问题；②利用)(x f 在(,)-∞+∞上单调)(x f '?＞0（＜0），转化为判断一元二次函数图像能否在x 轴上方的问题.

解：2()186(2)2f x x a x a '=+++

（1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122181a

x x ==,所以9a =；

（2）由2236(2)418236(4)0a a a ?=+-??=+>，得()0f x '=总有两个不等的实根，

()f x 不恒为菲负值，所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数.

易错点：①三次函数的极值点21,x x 与原函数)(x f 的导数关系不清；

②含参变量a 的问题是逆向思维，学生易出现错误；

③学生不会将)(x f 在(,)-∞+∞上是单调函数的问题转化为()0(0)f x '><恒成立问题. 变式与引申1：(2011年高考江西卷理) 设()f x x x ax 3211=-++232

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（2）当a 0<<2时，()f x 在[,]14上的最小值为16-3

，求()f x 在该区间上的最大值．

题型二：已知最（极）值或其所在区域，通过单调性分析参变量的范围.

例2已知函数32()(1) (2)()f x x a x a a x b a b =+--++∈R ，．

（1）若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a ，b 的值；

（2）若函数()f x 在区间（-1，1）上至少有一个极值点．．．．．．．．

，求a 的取值范围．点拔：第（1）问利用已知条件可得()00,(0)=0f f '=，求出a ，b 的值.第（2）问利用“极值点()0f x '?=”的根转化为一元二次方程根的分布问题.

解析：（1）由函数()f x 的图像过原点，得0b =，

又2()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+，()f x 在原点处的切线斜率是3-，

则(2)3a a -+=-，所以3a =-，或1a =．

（2）法一：由()0f x '=，得1223

a x a x +==-，．又()f x 在(1,1)-上至少有一个极值点，即1123a a a -<

，．解得1112a a -<

?- ? ?????，，．法二：2()32(1)(2)f x x a x a a '=+--+,由题意

①'()0f x =必有一根在(-1,1)上,

故''(-1)(1)0f f ?<,即22(54)(1)0a a a ---<,解得51a -<<-；

或'(-1)=0f ，则1a =±，当1,(1)0a f ==（舍去），当1a =-时，经检验符合题意；同理'(1)=0f ，则15a =或，经检验，均不符合题意，舍去.

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故''(-1)0(1)00f f ?>?>???>?解得：111122a a -<<--<<或所以，a 的取值范围115122?

???--?- ? ?????

，，. 易错点：①解不等式()0f x '>出错；②第（2）问的解法一，不易分析.；③第（2）问的解法二，分类讨论，不易讨论完整.

变式与引申2：将（2）中改为“()f x 在区间（-1，1）上有两个极值点”，或改为“()f x 存在极值点，但在区间（-1，1）上没有极值点”，如何求a 的取值范围？

题型三：函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题

例3 设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．

（1）求a 和b 的值；

（2）讨论()f x 的单调性；

（3）设322

3()g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．点拔：此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数，分析第（1）问先由极值点转化为方程的根，再用待定系数法；第（3）问中比较两个函数()f x 与()g x 的大小，可构造新函数()()()F x f x g x =-，再通过分析函数()F x 的单调性来讨论()F x 与0的大小关系. 解：（1）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，

因此6203320a b a b -+=??++=?，，解方程组得13a =-，1b =-．（2）因为1

3a =-，1b =-，所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-，

令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =．

因为当(2)x ∈-∞-，

(01)?，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-?+∞，，时，()0f x '>．

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（3）由（1）可知21321()e 3

x f x x x x -=--，故21321()()()e (e )x x F x f x g x x x x x --=-=-=-，

令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-．令()0h x '=，得1x =，

因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减．

故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥；

因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增．

故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥．

所以对任意()x ∈-∞+∞，

，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()()0F x f x g x =-≥，

故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥．易错点：①求导数时，21()x x e -'易出错；②比较两个函数的大小属于不等式问题，学生容易只从不等式的简单知识出发，而无法从构造的新函数的单调性来分析.

变式与引申3：将第（3）问改为：设322()3

g x x x =-，试证()f x ≥()g x 恒成立．题型四：函数的单调性、最（极）值问题的综合应用

例4 已知函数2()()()f x x a x b =--(,,)a b R a b ∈<.

（1）当1,2a b ==时，求曲线()y f x =在点（2，()f x ）处的切线方程；

（2）设12,x x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，32x x ≠，求证：存在实数4x ，使得1234,,,x x x x 按某种顺序排列后成等差数列，并求4x .

点拔：本题为函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识的综合运用；分析第（2）时应从先31x x ≠，32x x ≠来确定3x ，再用等差中项的性质求出确定4x ，同时确定1234,,,x x x x 的顺序.

解：（1）当1,2a b ==时，因为)(x f '=（x －1）（3x －5），故1)2(='f ，0)2(=f ，所以()f x 在点（2,0）处的切线方程为2-=x y .

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23a b +），由于b a <，故23a b a +<. 所以f （x ）的两个极值点为x ＝a ，x ＝23

a b +.[ 不妨设x 1＝a ，x 2＝23

a b +，因为31x x ≠，32x x ≠，且x 3是f （x ）的零点，故x 3＝b . 又因为23a b +－a ＝2（b －23a b +），x 4＝12（a ＋23

a b +）＝23a b +，所以a ，23a b +，23a b +，b 依次成等差数列.所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝23

a b +. 易错点：学生遇到综合类问题容易出现知识上的漏洞.

变式与引申4：已知a 是给定的实常数，设函数

22()()()f x x a x b e =-+，b R ∈，x a =是()f x 的一个极大值点．

(Ⅰ)求b 的取值范围；

(Ⅱ)设123,,x x x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x R ∈，使得1234,,,x x x x 的某种排列1234,,,i i i i x x x x (其中{}1234,,,i i i i ={}1,2,3,4)依次成等差数列?若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．

本节主要考查：

（1）函数单调性；

（2）单调性、极值点与导数的关系；

（3）函数思想；

（4）数形结合思想.

点评：（1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；

（2）求函数单调区间的常用方法：定义法、图像法、复合函数法、导数法等；

（3）利用求导的方法研究函数的单调性、最（极）值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题，从而转化为不等式问题，再而研究函数的最（极）值.需灵活应运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等.

习题1—3

1. 已知：函数???>+-≤<=)9(11)

90(log )(3x x x x x f ，若a ，b ，c 均不相等，

且)()()(c f b f a f ==，则c b a ??的取值范围是（）

.A )9,0( .B )9,2( .C )11,9( .D )11,2(

2.已知函数)()(x g x f 与的定义域均为非负实数集，对任意的0≥x ，规定)()(x g x f *

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3.已知函数32()33 1.f x x ax x =-++

（1）设2a =，求()f x 的单调区间；

（2）设()f x 在区间(2,3)上不单调，求a 的取值范围.

已知函数()f x =()ln ,g x a x a R =∈.

（I ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；

（II ）设函数()()()h x f x g x =-，当()h x )存在最小值时，求其最小值()a ?的解析式；（III ）对（2）中的()a ?，证明：当(0,)a ∈+∞时，()a ?≤1.

5.设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数．

（1）当2

1>b 时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（2）0b ≤时，求()f x 的极值点；

（3）求证对任意不小于3的正整数n ，不等式21ln )1ln(n

n n >

-+都成立．第四节函数的综合应用(1)

函数内容是每年高考都要考查的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．函数和其它内容如导数、不等式、数列等内容的结合是近几年的考查热点，题目由易到难几乎都有，与导数的结合更是经常作为压轴题出现.

考试要求（1）了解映射概念，理解函数的概念；（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法；（3）掌握指、对数函数的概念、图象和性质.

（4）根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法.

题型一函数解析式问题

例1 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．

时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为

A y ＝[10x ]

B y ＝[310x +]

C y ＝[410x +]

D y ＝[510x +] 点拨：用具体数据代入选项，确定哪个函数比较符合；

解：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C 、D ，若x=57，y=6，排除A ，所以选B

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法二：设)90(10≤≤+=ααm x ，，时??

????==??????++=??????+≤≤10103103,60x m m x αα 1101103103,96+??

????=+=??????++=??????+≤

(),()()(),(),()()f x f x f x g x f x f x f x ≥?=?

若方程g(x)=a 有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是___________________. 点拨：在同一坐标系中画出1()f x 和2()f x 的图象，再根据题意画出()g x ，根据图象得出a 的取值范围.

解：在坐标系中作出1()f x 和2()f x 的图象，可知()g x 图象如图所示，

故a 的取值范围是34a <<.

易错点：⑴对抽象函数理解不强，缺少处理方法容易造成错误；

⑵正确理解解析式()g x 所表示的意义是解题的关键，如果讨论1()f x 和

2()f x 的大小再得出()g x 的解析式，然后画图，一是计算量比较多，再是

容易出错.

变式与引申1：设函数{

2,0,()2,0.x bx c x f x x ++≤=>若(4)(0),(2)2f f f -=-=-,则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（）

A 1

B 2

C 3

D 4

变式与引申2：设函数)(x f y =由方程1||||=+y y x x 确定，下列结论正确的是________.（请将你认为正确的序号都填上）

（１）)(x f 是R 上的单调递减函数；[来源:3bf95ee94afe04a1b071debe]

（２）对于任意R x ∈，0)(>+x x f 恒成立；

（３）对于任意R a ∈，关于x 的方程a x f =)(都有解；

题型二函数的性质与图象

例3已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234

_________.x x x x +++= 点拨：由(4)()f x f x -=-求出)(x f 的周期，又根据函数是奇函数且在区间[0,2]上是增函数，得出)(x f 在一个周期[-2,2]中的单调

性，再根据对称性求值.

解：因为定义在R 上的奇函数，满足

(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，

所以函数图象关于直线2x =对称且

(0)0f =，由(4)f x f x

-=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的

周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函

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21世纪教育网 www 3bf95ee94afe04a1b071debe 精品资料·第 19 页（共 30 页）版权所有@21世纪教育网数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<,由对称性知1212x x +=-,344x x +=.所以12341248x x x x +++=-+=-.

易错点：对函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性等其中的一个知识点掌握不好，都容易出错；不能得出)(x f 是周期函数，或不能得出对称轴及单调区间等.

变式与引申3：函数x

x y 24cos =的图像大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

变式与引申4：设函数的集合211()log ()|,0,,1;1,0,122P f x x a b a b ??==++=-=-????

，平面上点的集合

11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ??==-=-????

，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图象恰好．．

经过Q 中两个点的函数的个数是 ( )

A 4

B 6

C 8

D 10

题型三函数零点与二分法思想

例4 设函数()|1|,()ln .f x x x m g x x =-+=

（1）当1m >时，求函数()y f x =在[0,]m 上的最大值；

（2）记函数()()()p x f x g x =-，若函数()p x 有零点，求m 的取值范围.

点拨：（1）这是一道含绝对值的函数题，对x 与1的大小进行讨论，去掉绝对值后求值；（2）函数()p x 有零点转化为方程ln |1|m x x x =--有解，用导数求出该函数的值域得出m 的取值范围.

解：（1）当[0,1]x ∈时，()(1)f x x x m =-+＝2211()24x x m x m -++=--++

∴当12x =时，max 1()4

f x m =+ 当(1,]x m ∈时，()(1)f x x x m =-+＝221

1()24

x x m x m -+=-+-

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>m ?≥

∴当12m ≥时，2max ()f x m =

，当112

m +<

()|1|l n f x g x x x x m -=--+=有解，得l n |1

m x x x =--. 令()ln |1|h x x x x =--，

当(0,1]x ∈

时，2'1()ln ,()2110h x x x x h x x x

=-+=+-≥> ，所以函数()h x 在(0,1]x ∈上是增函数，()(1)0h x h ∴≤=；

当(1,)x ∈+∞时，

22'

121(1)(21)()ln ,()210x x x x h x x x x h x x x x x

-++-+=-++=-++==-< ，所以函数()h x 在(1,)x ∈+∞上是减函数，()(1)0h x h ∴<=. 所以方程ln |1|m x x x =--有解时0m ≤，即函数()p x 有零点时m 的取值范围(,0]-∞. 易错点：（1）去绝对值和对求值大小进行讨论时考虑不周造成的错误；（2）零点问题不能转化成方程有解问题，从而不能使问题得到有效的解决.

变式与引申5：函数()2()ln 1f x x x

=+-的零点所在的大致区间是( ) A.（0，1） B. (1,2) C. (2,3) D. ()3,4

变式与引申6：已知函数x x x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(--=x x x h 的零点分别为,,21x x 3x ，则321,,x x x 的大小关系是( )][来源:学.科.网Z.X.X.K]

A ．123x x x <<

B ．213x x x <<

C ．132x x x <<

D ．321x x x << 题型四函数与导数问题

例5 已知函数3()3()f x x ax x R =-∈．

(1) 若直线x+y+m=0对任意的m ∈R 都不是曲线y=f(x)的切线，求a 的取值

范围；

(2)设g(x)=|f(x)|，x ∈[－l ，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．

点拨：(1) 求曲线y=f(x)的切线的斜率就是对()f x 的求导，其导数值不能取到已知直线的斜率-1；(2) g(x)是偶函数，只须求g(x)在[0,1]上最大值.