江西省南昌一中、南昌十中2013届高三第四次联考数学（文）试题

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2012年南昌一中、南昌十中第四次联考

数学试卷（文）

命题人：吴建民 审题人: 梁伟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上 1．设集合P?{x|x?x?2?0},Q?{y|y? A．{x|?1?x?2} B．{x|x?2}

212x?1,x?P},则P?Q?( ) 2C. {y|?1?y?2}

D．{?1}

2．已知命题p:“?x??0,1?,a?ex”，命题q: “?x?R,x2?4x?a?0”，若命题p,q均是真命题，则实数a的取值范围是 （ ）

A．[4,??) B．[1,4] C．[e,4] D．(??,1] 3．要得到函数y?sinx的图象，只需将函数y?cos?x??????的图象（ ） ???个单位 ??C．向左平移个单位

?A．向右平移

?个单位 ??D．向左平移个单位

?B．向右平移

4. 设数列?an?是等差数列，且a2?a3?a4?15，则这个数列的前5项和S5=（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

5．设l，则下列命题正确的是（ ） ?是一个平面，m是两条不同的直线，A．若l?m，m??，则l?? B．若l??，l//m，则m?? C．若l//?，m??，则l//m D．若l//?，m//?，则l//m

6．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印 的 点落在坐标轴上的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3

??7．与向量a=（3，1），b=（1，?（ ） A．(3）的夹角相等且模为2的向量为

1?31?3,) 22

B。(1?31?3,) 221?31?31?31?3,),(?,?) 2222C．(1?31?31?31?3,),(?,?) 2222D。(www.doc88.com/hanqi2844

?1,(x?M)（其中M是实数集R的非空真子

0,(x?M)?fA?B(x)?1集），在实数集R上有两个非空真子集A、B满足A?B??，则函数F(x)?的值

fA(x)?fB(x)?18．函数fM(x)的定义域为R，且定义如下：fM(x)??域为 （ ） B．1? 9．函数y?ln|A

．

?0?

?C．?0,1 D．?

?1|与y???x2?1在同一平面直角坐标系内的大致图象为 （ ） x

10．定义在（—?，0）?（0，+?）上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)）仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在（—?，0）?（0，+?）上的如下函

x数：①f(x)=x2：②f(x)?2；③；④f(x)?ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序

号为（ ） A．①② B．③④ C．①③ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.某个几何体的三视图如下,单位:cm则此几何体的体积为____.

4D．②④

22正视图4侧视图2俯视图

x?1??3e,x?312. 已知f(x)??则f(f(3))的值为 . 2?log(x?6),x?3,?3????????13.在△ABC中，已知A?60,AB?AC?1,则△ABC的面积为 。

??x?y?10?14. 已知x和y是实数，且满足约束条件?x?y?2,则z?2x?3y的最小值是 .

?2x?7?www.doc88.com/hanqi2844

(x?1)2?sinx15．已知函数f(x)?，其导函数记为f'(x)，则 2x?1 f(2012)?f'(2012)?f(?2012)?f'(?2012)? .

三、解答题：共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?sinxcosx?3cos2x. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[?

17. （本小题满分12分） 已知?ABC的角A、B、C所对的边分别是a,b,c，

??,]上的最大值和最小值． 62?????设向量m?(a,b), n?(sinB,sinA), p?(b?2,a?2) ???（Ⅰ）若m∥n，求证：?ABC为等腰三角形；

?????（Ⅱ）若m⊥p，边长c?2，C?，求?ABC的面积.

3

18. （本小题满分12分）

已知 p:f(x)?1?x,且|f(a)|?2； 3

q：集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R}，且A??．

若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.

19. （本小题满分12分）

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如图：在三棱锥D-ABC中，已知?BCD是正三角形，AB?平面BCD，AB?BC?a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF?3FC （1）求三棱锥D－ABC的表面积； （2）求证AC⊥平面DEF；

（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由． D

M

B A E N

F

C

20. （本小题满分13分） 在数列?an?中，已知a1?1an?11,?,bn?2?3log1an(n?N*). 4an44（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求证：数列?bn?是等差数列；

（Ⅲ)设数列?cn?满足cn?an?bn，求?cn?的前n项和Sn.

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21. （本小题满分14分）

已知函数f(x)?(ax?x)e，其中ｅ是自然数的底数，a?R． （1）当a?0时，解不等式f(x)?0；

（2）当a?0时，求正整数ｋ的值，使方程f(x)?x?2在［ｋ，ｋ＋１］上有解； （3）若f(x)在［－１，１］上是单调增函数，求a的取值范围．

2x

2012年南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷（文）

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上

1 B 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B 9 C 10 C 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.----------------40/3---------------------- ; 12.---------------------3-------------------------;

13.----------------3 ---------------------; 14.----------------- --23/2------------------------; 2

15.--------2-- -------------------。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）

16. （本小题满分12分）

已知函数f(x)?sinxcosx?3cos2x. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值． 62

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解：（Ⅰ）?f(x)?sinxcosx?3cos2x ?13?2sinxcosx?(co2sx?1) 22?133 sin2x?cos2x?222?sin(2x??3)?3 22???． ???????6分 2???4?（Ⅱ）∵??x?，0?2x??，

6233∴函数f(x)的最小正周期T?∴?3??sin(2x?)?1, ???????9分 23∴0?sin(2x??3)?332?3?1??, 2222?3，最小值为0． ?????12分 2∴ f(x)在区间[???,]上的最大值为6217. （本小题满分12分）

???已知?ABC的角A、B、C所对的边分别是a,b,c，设向量m?(a,b), n?(sinB,sinA), ??p?(b?2,a?2)

???（Ⅰ）若m∥n，求证：?ABC为等腰三角形；

?????（Ⅱ）若m⊥p，边长c?2，C?，求?ABC的面积.

3???证明：(Ⅰ) ∵m∥n， ∴asinA?bsinB，由正弦定理可知，

ab?b?，其中R是?ABC外接圆的半径， 2R2R∴a?b.

因此，?ABC为等腰三角形. ???????6分 a?

????（Ⅱ）由题意可知，m?p?0，即a(b?2)?b(a?2)?0,?a?b?ab.

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由余弦定理可知，4?a2?b2?ab?(a?b)2?3ab,即(ab)2?3ab?4?0

?ab?4，(ab?1舍去)

11?∴S?absinC??4?sin?3. ???????12分

22318．（本小题满分12分）已知 p:f(x)?1?x,且|f(a)|?2； 3

q：集合A?{x|x2?(a?2)x?1?0,x?R}，且A??．

若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围. 解答：若|f(a)|?|1?a|?2成立，则?6?1?a?6， 3即当?5?a?7时p是真命题； ????????4分 若A??，则方程x2?(a?2)x?1?0有实数根， 由??(a?2)2?4?0，解得a??4，或a?0，

即当a??4，或a?0时q是真命题； ????????8分 由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p与q一真一假，

故知所求a的取值范围是(??,?5]?(?4,0)?[7,??)． ????????12分

D

19. （本小题满分12分）

如图：在三棱锥D-ABC中，已知?BCD是正三角形，AB?平面BCD，AB?BC?a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF?3FC M （1）求三棱锥D－ABC的表面积； （2）求证AC⊥平面DEF；

B （3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说

E 明理由．

F 解：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD． C ∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝2a． 71设G为CD的中点，则CG＝a，AG＝a．

22A

N

∴S?ABC?S?ABD?327212a，S?ACD?a． a，S?BCD?4424?3?72a．……………..4分 4三棱锥D－ABC的表面积为S?ACD?www.doc88.com/hanqi2844

（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC． ∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC． ∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC． ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC． ∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF． …..8分

3（3）存在这样的点N，当CN＝CA时，MN∥平面DEF．

8D

M

G O E C F

H

B N

A

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝∴当CF＝

2CM． 32313CN时，MN∥OF．∴CN＝?CA?CA 3248……….12分

20. （本小题满分13分）在数列?an?中，已知a1?（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）求证：数列?bn?是等差数列；

1an?11,?,bn?2?3log1an(n?N*). 4an44（Ⅲ)设数列?cn?满足cn?an?bn，求?cn?的前n项和Sn. 解：（Ⅰ）∵

an?11? an411，公比为的等比数列， 44∴数列｛an｝是首项为

1∴an?()n(n?N*).????????????????????????????3分

4（Ⅱ）∵bn?3log1an?2?????????????????????????? 4分

4∴bn?3log1()n?2?3n?2.??????????????????????? 5分

214∴b1?1，公差d=3

∴数列{bn}是首项b1?1，公差d?3的等差数列.????????????????7分 1（Ⅲ）由（Ⅰ）知，an?()n，bn?3n?2（n?N*）

41∴cn?(3n?2)?()n,(n?N*).????????????????????????8分

411111∴Sn?1??4?()2?7?()3???(3n?5)?()n?1?(3n?2)?()n， ①

44444www.doc88.com/hanqi2844

111111于是Sn?1?()2?4?()3?7?()4???(3n?5)?()n?(3n?2)?()n?1 ②

444444??????????????????????????????????? 9分 311111两式①-②相减得Sn??3[()2?()3???()n]?(3n?2)?()n?1

44444411=?(3n?2)?()n?1.???????????????????????????11分 24∴ Sn?212n?81n?1??()(n?N*).?????????????????????13分. 3342x21. （本小题满分14分）已知函数f(x)?(ax?x)e，其中ｅ是自然数的底数，a?R． （1）当a?0时，解不等式f(x)?0；

（2）当a?0时，求正整数ｋ的值，使方程f(x)?x?2在［ｋ，ｋ＋１］上有解； （3）若f(x)在［－１，１］上是单调增函数，求a的取值范围． 解 ⑴因为ex?0，所以不等式f(x)?0即为ax2?x?0， 1又因为a?0，所以不等式可化为x(x?)?0，

a1所以不等式f(x)?0的解集为(0,?)．??????????4分

a⑵当a?0时, 方程即为xex?x?2，由于ex?0，所以x?0不是方程的解，

22所以原方程等价于ex??1?0，令h(x)?ex??1，

xx因为h?(x)?ex?2?0对于x??0,???恒成立， x2所以h(x)在?0,???内是单调增函数，???????????6分又h(1)?e?3?0，

h(2)?e2?2?0， ，

2? ， 所以方程f(x)?x?2有且只有1个实数根， 在区间?1，所以整数k的值为 1．?????????????????9分 ⑶f?(x)?(2ax?1)ex?(ax2?x)ex?[ax2?(2a?1)x?1]ex，

1]上恒成立，当且仅当x??1时 ① 当a?0时，f?(x)?(x?1)ex，f?(x)≥0在[?1，取等号，故a?0符合要求；?????????????????????11分 ②当a?0时，令g(x)?ax2?(2a?1)x?1，因为??(2a?1)2?4a?4a2?1?0，

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所以g(x)?0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1?x2， 因此f(x)有极大值又有极小值．

若a?0，因为g(?1)?g(0)??a?0，所以f(x)在(?1，1)内有极值点，

1?上不单调．?????????????????????12分 故f(x)在??1，若a?0，可知x1?0?x2，

因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[?1，1]上单调，因为g(0)?1?0，

?g(1)≥0,?3a?2≥0,2必须满足?即?所以?≤a?0.--------------------------13分

3?g(?1)≥0.??a≥0.2综上可知，a的取值范围是[?,0]．???????????????14分

3

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