湖北省宜昌市一中2013届高三考前模拟卷 数学理

试卷类

型：A

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（模拟）

数 学（理工类）

本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分，考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再炫图其他答案标号。打在试题卷、草稿纸上无效。

3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上制定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑。考生应根据自己选作的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，打在试题卷、草稿纸上无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 ，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.设集合M?{?1,0,1}，N?{a,a}，若M?N?N,则a的值是 （ ） A．1 B．0 C．－1 D．1或－1 2.复数

i201322i?1（i为虚数单位）的虚部是（ ）

B．

2A．i

5115

2 C． ?i

51 D．?

513．“??????,???2?”是“方程x?ycos??1表示焦点在x轴上的双曲线”的（ ） B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3 A．充分而不必要条件 C．充要条件

12???????????4.设非零向量a、b、c，满足|a|?|b|?|c|，|a?b|?|c|，则sin?a,b?= ( )

1212A． ? B．

12 C．?32 D．32

正视图 5.已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，

则其侧视图的面积为（ ） ．．．A．

32 B．

338 C．

34 D．

32俯视图

第5题图 6．如下图，是把二进制数1111(2)化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填入的条件是（ ）

A．i?3 B．i?3 C．i?4 D．i?4

i=i+1 开始 S=1 i=1 S=1+2S ? 否 是 输出S 结束 7.已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,??2013?2)的部分图像如图，

则?f(n?1n?6)?（ ）

12 A．?1 B． C．1 D．0

8. 一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，则该棱柱体积的．．．最大值为（ ） A．

233 B．33 C．

332 D．63

9.宜昌市科协将12个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每个学校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为（ ） A．36 B．42 C．48 D．54

10.定义域是一切实数的函数y?f(x)，其图象是连续不断的,且存在常数?(??R)使得

f(x??)??f(x)?0对任意实数x都成立,则称f(x)是一个“?的相关函数”.有下列关

于“?的相关函数”的结论:①f(x)?0是常数函数中唯一一个“?的相关函数”；②

f(x)?x是一个“?的相关函数”；③ “

212的相关函数”至少有一个零点.

其中正确结论的个数是（ ） ．．

A．1 B．2 C．3 D．0

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 ．．．．．．．（一）必考题

11. (x2?)6的展开式中的常数项为______.

x1频率0.50 组距0.44 0.30 0.16 0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 用水量(吨)

第13题图

12.在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25

cm与49 cm之间的概率为 ．

22

13．对某小区100户居民的月均用水量进行统计，得到样本的频率分布直方图，则估计此样本的众数是 ______；中位数是 ______.

14. 某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为 120°；二级分形图是在一级分形图的每 一条线段末端出发再生成 两条长度均为原

来

13的线段；且这两条线段与原线段两两夹角为 120°；?；依次规律得到n级分形图.

则（1）n级分形图中共有 条线段.

（2）n级分形图中所有线段长度之和为 .

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不

过圆心O，已知?BPA?30，PA?23，PC?1，则圆O的半径等于 . 16．（选修4—4：坐标系与参数方程）设A、B分别为直线

??x??10?3tl:?(t为参数）和曲线C：??4cos?上的点， ??y?3t0则AB的最小值为 ．

三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(本小题满分12分）

????已知函数f(x)?2?sin(2x?)?2sin2x,x??0,?6?2?

（1）求函数f(x)的值域；

B?ABCA、B、C的对边分别为a、b、c，若f()?1,b?1,c?3求a的值．（2）记的内角

2

18.（本小题满分12分）

已知公差不为0的等差数列{an}的前3 项和S3＝9，且a1、a2、a5成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式和前n 项和Sn.（2）设Tn为数列{?的最小值.

1anan?1

?}的前n项和，若Tn??an?1对一切n?N恒成立，求实数

19．（本小题满分12分）

如图，在底面是正方形的四棱锥P?ABCD中，PA?面ABCD，BD 交AC于点E，F 是PC中点，G为AC上一点．

（1）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由． （2）当二面角B?PC?D的大小为

2π3时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

P

FAD

20．（本小题满分12分）

在我校第十六届科艺读书节活动中，某班50名学生参加智力答题活动，每人回答3个问题，答对题目个数及对应人数统计结果见下表： 答对题目个数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15 根据上表信息解答以下问题： （1）从50名学生中任选两人，求两人答对题目个数之和为4或5的概率；

（2）从50名学生中任选两人，用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值，求随机

变量X的分布列及数学期望E(X).

21．（本小题满分13分）

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”． 如图，“盾圆C”是由椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)与抛物线y?4x中两段曲线弧合成，

2F1、F2为椭圆的左、右焦点，F2(1,0)．A为椭圆与抛物线的一个公共点，AF2?52．

（1）求椭圆的方程；

（2）求定积分时，可以使用下面的换元法公式：函数y?f(x)中，令x??(t)， 则?f(x)dx??abt2t1f??(t)?d?(t)??2t2t1b??(t2)）f??(t)???(t)dt（其中a??(t1)、．

???如?10?1?xdx?2?201?sintd(sint)??20cost(sint)?dt??20costdt?2?201?cos2t2dt．

阅读上述文字，求“盾圆C”的面积．

N、G、H四点，P和P? （3）过F2作一条与x轴不垂直的直线，与“盾圆C”依次交于M、分别为NG、MH的中点，问说明理由．

22. （本小题满分14分）

MHNG?PF2P?F2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，

y M NA F1 O F2 GH第21题图

x

已知函数f(x)?|x?a|?lnx(x?0),h(x)?ax?1(a?R).

（1）若a?1，求f(x)的单调区间及f(x)的最小值； （2）若a?0，求f(x)的单调区间； （3）若

ln2222?ln3322???lnnn22?h(n)(2n?1)2(n?1)，求a的最小正整数值.

1. [答案]C 2.[答案]D 3.[答案]A（教材选修2-1 P页第4题改编） 80???2????????4.【答案】D.法一:【解析】∵|a?b|?|c|∴|a?b|?|c|?|a|，∴解得：2a?b??b??|b|2

????????3a?ba?b1∴cos?a,b??????2??∴sin?a,b??法二:利用向量几何意义画图求解.

22|a||b||b|5.【答案】C 6.[答案]A（教材必修3，P41页例4改编） 7.【答案】C【解析】根据图像

1?sin(2?142?2???5?12??6，解得??2，把点(?6)，

?6,1)的坐标代入，得

?6??)，结合???得??12?62函数的最小正周期是?，在一个周期内的各个函数值之和为0，2013?6?335?3，

2013f(?6)?1,f(2?6)?12,f(3?6)??,f(64?，故f(x)?sin(2x?)??1,f(5?6)??126,f(6?)?1，

?i?1f(n?6)?f(2011)?f(2012)?f(2013)?f(1)?f(2)?f(3)?1。

8【答案】 B(教材选修4-5P页第14题改编）【解析】设该三棱柱的底面边长为a，高为h，10则底面正三角形的外接圆半径是

a2a2sin60a2??a?a??h??，依题意有?????3?2??3?22??32，即

9?h212?1，1?a218?a218?h212?3318?a218?h212，当且仅当

342a218?h212，即a?346，h?2时

取等号，此时a2h取得最大值，因此该棱柱的体积9

ah的最大值是?6?2?33. 10.【答案】A ①设f(x)?c是一个“?的相关函数”，则?1???c?0，当???1时，c可以取遍实数集，因此f(x)?0不是常数函数中唯一一个“?的相关函数”故①不正确.

2②假设f(x)?x是一个“?的相关函数”,则?1???x?2?x???0对任意x都成立,

22所以??1?2????0,而此式无解,所以f(x)?x不是一个“?的相关函数”, 故②不正确; ③令x=0,得f()?21111f(0)?0,所以f()??f(0),显然f(x)?0有实数根;若2222212f(0)?0,f().f(0)??f(0)?0.又因为y?f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在

211?1?0,上必有实数根.因此“的相关函数”必有根,即“的相关函数”至少有一个零点.??22?2?

故③正确.

二填空题 11. 15 12【解析】∵以线段AC为边的正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间∴线段AC的长介于5 cm与7 cm之间满足条件的C点对应的线段长2cm而线段AB总长为10 cm 故正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率P=

=

13. [答案]C（教材必修3， P72页例题改编）解析：样本的众数为最高矩形底边中点对应的横坐标，为

2?2.52?2.25中位数是频率为0.5时，对应的样本数据，由于

(0.08?0.16?0.30?0.44)?0.5?0.49，故中位数为2?n0.010.25?0.5?2.02

??2??14.[答案]（创新题）（1）3?2?1?；（2）9?1????，依题意，（1）记n级分形图中共

3??????n有an条线段，则有a1?3，?，an?an?1?3?2n?1，由累加法得

n?1an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)?3(1?2???2)?3?1?2n1?2?3(2?1)

n（2）n级分形图中所有线段的长度和等于

?1?n?13?1?3?2????3?2???3?3?1n?1?2?3?1????3n??23??????9?1????

2?3?????1?32n15. 7; 16: 4

17.解：（1）f(x)?2?sin(2x??1?cos2x?(?x?[0,?6)?2sinx?2?(sin2xcox?6?cos2xsin?6)?(1?cos2x)

32sin2x?123cos2x)?,12cos2x?32sin2x?1?cos(2x??3)?1?4分

?233所以函数f(x)的值域是[0,]；???????????? ????6分

2]，?2x??3?[?4?]，?cos(2x??1)?[?1,]， 32

故a的值为1或2. ???????????????? ??????12分

18.

?4n?1n+?? 单调递增,?? 在?1，?34AC?19，则?的最小值为19???12分

（1）当G为EC中点，即AG时，FG∥平面PBD，理由如下：连结PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE，而FG?平面PBD，PB?平面PBD，故FG∥平面PBD．

（2）作BH?PC于H，连结DH，∵PA?面ABCD，四边形ABCD是正方形， ∴PB?PD，又∵BC?DC，PC?PC，∴△PCB≌△PCD， ∴DH∵

PA?PC，且DHABCD?BH，∴?BHD是二面角BPC?PC?D的平面角， 即?BHDEH?2π3，

⊥面

π3，∴?PCA就是

，∴

与底面

ABCDBEEH?所成的角连结

3，则∴

EH?BD，?3?BHE?，

?EHECEH?PCtan?BHE?，

BE?ECECEH，

∴sin?PCA?33，∴tan?PCA?22∴PC与底面ABCD所成角的正切值是

22．另解：

用向量法请参照给分.

20．解（1）记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A，则 P(A)?C20?C10C15?C20C15C50221111?190?150?30025?49?128245 （5分）

即两人答对题目个数之和为4或5的概率为（2）依题意可知X的可能取值分别为0，1，2，3. 则P(X?0)?1128245 ????????（6分）

C5?C10?C20?C15C5011111222222?350122555012251049?27,?????????（7分）

P(X?1)? P(X?2)? P(X?3)?C5C10?C10C20?C20C15C50C5C20?C10C15C50C5C15C5021121111??2249,????????（8分）

?25012253?,????????????（9分）

?751225?49.????????????????（10分）

从而X的分布列为： X 0 1 2 3 ????（11分）

P X的数学期望EX?0?22727 22492249?2? ?3?1049349 ?5149522349 ?1?1049.?????（12分）

21解答：（Ⅰ）由y?4x的准线为x??1，?AF2?xA?1?又F1(?1,0)，所以2a?AF1?AF2?（Ⅱ）由

3，故记A(,6)

2372?252?6，故椭圆为

x9?y28?1． 5分 )

?x29?y282?1知，y??8??289x，令x?3sint(???2?t?2?6S1??2?38?1289xdx???6??28?8sintd(3sint)?636432?6??2costdt?32?6??2(1?cos2t)dt

?32(x?sin2x)|6??2?22??；S2?62?204xdx?(43332x2)|0?6根据对称性， “盾

圆C”的面积为2(S1?S2)?42??．8分（Ⅲ）设过F2的直线为x?my?1(m?0)，

M(xM,yM)、N(xN,yN)、G(xG,yG)、H(xH,yH)

?16m??x?my?1yM?yH?2??2?8m?9222联立?x，得(8m?9)y?16my?64?0，则? y??1??yy??648?9MH2?8m?9??x?my?1?yN?yG?4m2联立?2，得y?4my?4?0，则?

yy??4y?4x?NG?yN?yGN、G、H、P、P?共线，所以由M、MHNG?PF2P?F2?yM?yHyN?yG?2yM?yH22

(16m)?4?64(8m?9)2代入韦达定理整理得，

MHNG?PF2P?F2?8m?916m?1622?4m16m8m?92?3

故

MHNG?PF2P?F2为定值3． 13分

x?1x解：（1）当x?1时，f(x)?x?1?lnx，f'(x)?1,???上递增， ?0，f(x)在?1x?0，f(x)在?0,1?上递减，

当0?x?1时，f(x)?1?x?lnx，f'(x)??1?f(x)min?f(1)?0 （4f(x)?x?a?lnx,f(x)?'分）（2 ） ①若a?1，当x?a时，

x?0，则f(x)在区间, ?a,???上递增，当0?x?ax?1

时，f(x)?a?x?lnx，f'(x)??1?1x?0，则f(x)在区间?0,a?上递减 （6分）

'② 若0?a?1，当x?a时，f(x)?x?a?lnx,f(x)?''x?1x则：x?1时，

f(x)?0，a?x?1时，f(x)?0，所以f(x)在?1,???上递增，在?a,1?上递减;

当0?x?a时f(x)?a?x?lnx,f'(x)??1?1x?0则f(x)在?0,a?上递减，而

f(x)在x?a处连续，所以f(x)在?1,???上递增，在?0,1?上递减 （8分）

综上：当a?1时，增区间?a,???，减区间?0,a?．当0?a?1时，增区间?1,???，减区间?0,1? （12分）（3）由（1）可知，当a?1,x?1时，有x?1?lnx?0，即所以

ln2222lnxx?1?1x

?122ln33?32?...??...?lnnn122?1?122?1?132?...?1?1n2

?n?1?(132?1?11?n?1???...?) ?? 22?33?4n(n?1)n??11??1111?n?1??????...???2334nn?1??1??n?1??2n?1??1?n?1?????2n?12?n?1???(an?1)(2n?1)2(n?1)

（13分）要使

ln2222?ln3322?????lnnn22? ，?a?N?,n?2

只需a?1，所以a的最小正整数值为1 （14分）

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