2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练等差数列的运算和性质

考点18 等差数列的运算和性质

【考点分类】

热点一 等差数列基本量的计算

S8 4a3,a7 2，1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设Sn为等差数列 an 的前n项和，

则a9=（ ）

（A） 6 （B） 4 （C） 2 （D）

2

2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 在等差数列 an 中,已知a3 a8 10,则

3a5 a7

_____.

3．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（ ） A．12

B．16

C．20

D．

24

4．（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1

1

,S2 a3,则 2

a2 ________;S

n=________.

5.（2012年高考重庆理）在等差数列{an}中,a2 1,a4 5,则{an}的前5项和S5=（ ）

A．7 B．15 C．20 D．25

6． （2012年高考福建理）等差数列 an 中,a1 a5 10,a4 7,则数列 an 的公差为 （ ） A．1

B．2

C．3

D．

4

2

7．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列 an 满足a1 1,a3 a2 4,则an

______________.

8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】

2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3 a2，且S1,S2,S4成等比数列，求{an}的通项公式

.

9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】

已知等差数列an 的公差d=1，前n项和为Sn.(I)若1,a1,a3成等比数列，求a1；(II)若S5 a1a9，求a1的取值范围。

10．（2012年高考（山东文））已知等差数列{an}的前5项和为105,且a20 2a5. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意m N*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm. 5a 10d 105,解:(I)由已知得: 1 解得a1 7,d 7,

a 9d 2(a 4d), 11

所以通项公式为an 7 (n 1) 7 7n. (II)由an 7n 72m,得n 72m 1,即bm 72m 1. bk 172m 1

2m 1 49,∴{bm}是公比为49的等比数列, ∵bk7

7(1 49m)7∴Sm (49m 1).

1 4948

【方法总结】

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

热点二 等差数列性质的综合应用

11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】在等差数列 an 中，若a1 a2 a3 a4 30，则

a2 a3

12．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（ ）

A．58

B．88

C．143

D．

176

13．（2012年高考江西理）设数列 an , bn 都是等差数列,若a1 b1 7,a3 b3 21,则a5 b5 __________。

14．（2012年高考四川文）设函数f(x) (x 3) x 1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1) f(a2) f(a7) 14,则a1 a2 a7 （ ） A．0

B．7

C．14

D．

21

3

15.（2012年高考大纲理）已知等差数列 an 的前n项和为Sn,a5 5,S5 15,则数列 （ ） A．

1

的前100项和为

anan 1

100

101

B．

99 101

C．

99 100

D．

101

100

16．（2012年高考山东理）在等差数列 an 中,a3 a4 a5 84,a9 73. (Ⅰ)求数列 an 的通项公式;

(Ⅱ)对任意m N*,将数列 an 中落入区间(9,9

m

2m

)内的项的个数记为bm,求数列 bm 的前m项和S

m.

17.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.

（Ⅰ）求 an 的通项公式； （Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.

【方法总结】

1.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立． 2.将性质m n p q am an ap aq与前n项和公式Sn 题过程．

3. 等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an.

(6)若n为偶数，则S偶－S奇nd

n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 2

n(a1 an)

结合在一起，采用整体思想，简化解2

热点三 等差数列的定义与应用

18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差d 0的等差数列 an 的四个命题：

p1:数列 an 是递增数列； p2:数列 nan 是递增数列；

a

p4:数列 an 3nd 是递增数列； p3:数列 n 是递增数列；

n

其中的真命题为（ ）

（A）p1,p2 （B）p3,p4 （C）p2,p3 （D）p1,p4

19．（2012年高考四川理）设函数f(x) 2x cosx,{an}是公差为

2

f(a1) f(a2) f(a5) 5 ,则[f(a3)] a1a3 （ ）

的等差数列, 8

A．0

B．

12

16

C． 2

18

D．

132

16

20．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是（ ） ．．A．若d<0,则数列{S n}有最大项 B．若数列{S n}有最大项,则d<0

C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的n N*,均有S n>0 D．若对任意的n N*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列

21.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷】等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为

________.

【方法总结】

1.公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．求等差数列前n项和的最值， 2.常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．

【考点剖析】

一．明确要求

1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用． 3．考查等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．.

二．命题方向

1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点．

2.归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、运用函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点． 3.题型以选择题、填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.

三．规律总结 一个推导

利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①

Sn＝an＋an－1＋…＋a1，② ①＋②得：Sn

n(a1 an)

. 2

两个技巧

已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法

等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立； (3)通项公式法：验证an＝pn＋q； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.

注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

【考点模拟】

一．扎实基础

2a4+a7=3， 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】在等差数列{an}中，则数列{an}的前9项和等于（ ）1. （A）9 （C）3

（B）6 （D）

12

2. 【安徽省江淮名校2013届高考最后一卷理科数学】设等差数列{an}前n项和为Sn，若a2,a6为x2 x 2 0的

两根，则S7的值是（ ） A．

77

B．7 C． D．

-7 22

3. 【内蒙古赤峰市2013届高三最后一次仿真统考】已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3 6，S3 12，

则S12等于（ ）

A．288 B．90 C． 156 D．

126

4. 【吉林省实验中学2013年高三年级下学期第二次模拟考试题】

在等差数列 an 中，2(a1 a3 a5) 3(a7 a9) 48，则此数列的前10项的和S10＝（ ） （A）10 （B）20 （C）40 （D）

80

5. 【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】已知数列{an}是等差数列，且a1 a4 a7 2 ，则

tan(a3 a5)的值为（ ）

A

B

．

C

．

3

D

．

3

S5 3(a2 a8)，6. 【天津市新华中学2013届高三上学期第三次月考数学试卷】设Sn是等差数列{an}的前n项和，

则

a5

的值为( ) a3

A.

1135 B. C. D. 635 6

7. 【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】已知数列{an}，那么“an 1 an 2(n N*)”是“数列{an}为

等差数列”的

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

Sn为其前n项和，，8. 【山东省威海市2013届高三上学期期末考试】 {an}为等差数列，已知a7 5，S7 21则S10

（A）40 （B）35 （C）30 （D）28 【答案】

A

9.

【安徽省皖南八校2013届高三第二次联考】已知各

项均为正数的等差数列{an}中，a2 a12 49，则a7的最小值为（ ） A.7 B. 8 C. 9

D. 10

10. 【广州市2013届高三年级1月调研测试】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，

若a3 a4 a5 12，则S7的值为

.

二．能力拔高

11. 【2013年“江南十校”高三学生第二次联考（二模）测试】已知等差数列{an}，公差为d，前n项和为Tn，

T8 T9 T7，则下列结论中不正确的是（ ）

A．T15 0 B．T16 0 C．T17 0 D．d<0

【答案】B

12. 【2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷】等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4 + a25

=5,则一定有（ ） A.

a6是常数

B.S7是常数

C.a13是常数

D.S13是常数

13. 【2013安徽省省级示范性高中名校高三联考】已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S5 10，S10 S15 40，

则S9=（ ）

A．-36 B．0 C．36 D．

72

14. 【江西省宜春市2013届高三四月模拟考试】在等差数列{an}中，a1 2013，其前n项和为Sn，若

S2014S2012

2，则S2013的值等于（ ） 20142012

A． 2013 B． 2012 C．2012 D．2013

因

S2014S2012

2，故2d 2, d 1. 20142012

15. 【湖南师大附中2013届高三第六次月考】设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S15 0,S16 0,则

SS1S2S3

,,, ,n中最大的项为 （ ） a1a2a3an

A.

SS6SS

B.7 C. 8 D.9

a8a6a7a9

16. 【广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟】已知等差数列{an}满足，a1 0,5a8 8a13，则前n项和Sn

取最大值时，n的值为

A.20 B.21 C.22

D.23

17. 【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】若{an}是等差数列，首项公差d 0，a1 0，且

a2013(a2012 a2013) 0,则使数列{an}的前n项和Sn 0成立的最大自然数n是

A．4027

B．4026

C．4025

D．

4024

（ ）

18. 【上海市2013届高考闵行二模卷】公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1=1，an=73，，则n+d

的最小值等于 .

19. 【北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）】

在数列{an}中，若对任意的n N*，都有

an 2an 1

，则称数列{an} 为比等 t（t为常数）

an 1an

差数列，t称为比公差．现给出以下命题：

①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；

2n 11

②若数列{an}满足an 2，则数列{an}是比等差数列，且比公差t ；

n2

③若数列{cn}满足c1 1，c2 1，cn cn 1 cn 2（n 3），则该数列不是比等差数列； ④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 .

20. 【湖北省黄冈市2013届高三3月份质量检测】 （本小题满分12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，

且满足a3a6 55,a2 a7 16. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn

4

2

an 1 1

(n N*)，记数列{bn}的前n项和为Tn，对于任意的n N*，不等式Tn

m

恒成立，100

求实数m的最小值.

三．提升自我

21. 【浙江省宁波市2013年高考模拟押题试卷】已知数列{an}是1为首项、2为公差的等差数列，{bn}是1为首

项、2为公比的等比数列．设cn abn，Tn c1 c2 cn(n N*) ，则当Tn>2013时，n的最小值是（ ） （A）7

（B）9

（C）10

（D）

11

22. 【2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测】已知等差数列{an}的通项公式为an

An |an an 1 an 12|(n N ),则当An取最小值时，n的取值为（ ）

A.16 B.14 C.12

D.10

64 4n

,设5

23. 【2013年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】在数列 an 中，a1 1，a2 2，若an 2 2an 1 an 2，

则an等于（ ）

（A）

1326n n 555

2

（B）n3 5n2 9n 4 （D）2n

5n 4

2

（C）n 2n 2

24. 【2013年安徽省马鞍山市高中毕业班第一次教学质量检测】

已知数列{an}满足a1 1,an 1

2n 1an

(n N*). an 2n

2n

（Ⅰ）证明数列 是等差数列；

an

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）设bn n(n 1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.

25. 【2013年石家庄市高中毕业班教学质量检测（一）】（本小题满分10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，

且a3 2a7，S4 17

（1）求数列{an}的通项公式。

（2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值。

【考点预测】

1.已知数列{an}满足a1

0，an 1 an 1，则a13 （ ） A. 143

B. 156

C. 168

D. 195

2. 设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{Sn}都是等差数列，且公差相等(都为d)，则a1+d

.

3. 等差数列 an 的前n项和为Sn，公差为d，已知 a8 1 2013(a8 1) 1，

3

a2006 1 3 2013 a2006 1 1，则下列结论正确的是（ ）

A.d 0,S2013 2013 B.d 0,S2013 2013 C.d 0,S2013 2013 D.d

0,S2013 2013

4. 某小朋友按如右图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，...，一直数到2013时，对应的指头是 (填指头的名称)．

【答案】小指

【解析】∵小指对的数是5+8n，又∵2013=251×8+5，∴数到2013时对应的指头是小指． 5.已知Sn是等差数列{an}(n N*)的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题，假命题的是( ) ．．．(A)公差d<0

(B)在所有Sn<0中，S13最大

(D)a6>a7

(C)满足Sn>0的n的个数有11个

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