2018北师大版高中数学必修四学案：第三章 2.2 两角和与差的正弦、余弦函数

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2.2 两角和与差的正弦、余弦函数

学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的过程.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法．

知识点一 两角和的余弦

思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？

梳理 两角和的余弦公式

公式 简记符号 使用条件

记忆口决：“余余正正，符号相反” 知识点二 两角和与差的正弦

思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？

思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？

梳理 两角和与差的正弦公式

内容 简记符号 两角和的正弦 S(α＋β) 两角差的正弦 S(α－β) cos(α＋β)＝________________ α，β都是________ 精品小初高学习文件

精品小初高学习文件 公式形式 记忆口诀：“正余余正，符号相同”．

sin(α＋β)＝___________________ sin (α－β)＝__________________

类型一 给角求值

sin 50°－sin 20°cos 30°

例1 (1)＝________.

cos 20°

(2)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．

反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．

(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．

跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．

类型二 给值求值

3π?5π3π3π

＋α＝，cos?－β?＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值． 例2 已知sin??4?13?4?544

反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略

①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏精品小初高学习文件

精品小初高学习文件 解．

π3π12

跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，

24133

sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值．

5类型三 可化为两角和与差的正弦形式 例3 将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式： (1)3sin x－cos x； (2)

反思与感悟 一般地对于asin α＋bcos α形式的代数式，可以提取的形式，公式asin α＋bcos α＝

a2＋b2，化为Asin(ωx＋φ)

a2＋b2cos(α－φ))称为

2π6π

sin(－x)＋cos(－x)． 4444

a2＋b2sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值． 跟踪训练3 sin

ππ

－3cos ＝________. 1212

1．计算2cos

ππ

＋6sin 的值是( ) 1212

2

2

A.2 B．2 C．22 D.2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A．－

3311

B. C．－ D. 2222

2510

3．已知锐角α、β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________.

510π3π

4．设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(α－)＝________.

6512πππ

－3x?cos?－3x?－cos?＋3x?·5．化简：sin??4??3??6? π?sin??4＋3x?.

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1．公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系

以－β代换β诱导公式以－β代换β

C(α－β)―――――――→C(α＋β)―――――――→S(α＋β) ―――――――→S(α－β)． (2)注意公式的结构特征和符号规律

对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．

(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(α－β)，C(α＋β)，S(α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意． 2．应用公式需注意的三点

(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．

(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．

(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别13要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cos2α，1＝sin 90°，＝cos 60°，＝sin 60°等，再如：

22123

0，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数． 222

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答案精析

问题导学 知识点一

思考 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β便可得到． 梳理 cos αcos β－sin αsin β C(α＋β) 任意角 知识点二

ππππ

－?α＋β??＝cos ??－α?－β?＝cos ?－α?cos β＋sin ?－α?sin β＝思考1 sin(α＋β)＝cos ??2???2???2??2?sin αcos β＋cos αsin β.

思考2 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 梳理 sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 题型探究 12

例1 (1) (2)

22

跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° 1

＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝. 2(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)] ＝sin 90°＝1.

π3π例2 解 ∵0<α<<β<，

443π3πππ

∴<＋α<π，－<－β<0. 44243π?5又∵sin??4＋α?＝13， π?3cos??4－β?＝5， 3π?12

＋α＝－， ∴cos??4?13π?4－β＝－. sin??4?5精品小初高学习文件

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