2015届高考数学一轮复习课时作业：27 等比数列及其前n项和

课时提升作业(二十七)等比数列及其前n项和

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.(2014·金华模拟)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a4a10=16,则a6=( ) A.1

B.2

C.4

D.8

【解析】选B.由题意可得又数列的各项都是正数, 故a7=4,故a6=

==2.

=a4a10=16,

2.(2014·广州模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S2=2,则S4=( ) A.2

B.6

C.16

D.20

【解析】选D.根据题意,由于等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S2=q=3,

=2?1+q=4?

S4==·(1+q)=2×10=20.

=( )

2

【加固训练】设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则A.2

B.4 =

·

C.

=

=D..

n

【解析】选C.

3.(2014·嘉兴模拟)在等比数列{an}中,有an+1a2n=3,则a1a2?a6=( ) A.±(C.±3

5

)

11

B.(

) D.3

6

13

【思路点拨】由已知递推公式,令n=2可求a3·a4,然后结合等比数列的性质可得a1a2?a6=(a3·a4),即可求解. 【解析】选D.因为an+1a2n=3,

所以a3·a4=3,则由等比数列的性质可得a1a2?a6=(a3·a4)=3. 【加固训练】在等比数列{an}中,a1+a2=1,a3+a4=2,则a5+a6+a7+a8=( ) A.10

2

3

6

n

3

B.11 C.12 D.14

- 1 -

【解析】选C.由题意知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,所以a5+a6=2×2=4,a7+a8=4×2=8. 所以a5+a6+a7+a8=4+8=12.

4.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则( ) A.Sn=2an-1 C.Sn=4-3an

B.Sn=3an-2 D.Sn=3-2an

或Sn=

求解.

【思路点拨】利用等比数列的通项公式以及前n项和公式Sn=【解析】选D.

方法一:因为等比数列的首项为1,公比为,Sn=

=

,所以Sn=3-2an.

方法二:Sn==3-3×

=3-2,an=,观察四个选项可知选D.

3

5.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,且S3,S9,S6成等差数列,则q等于

( )

A.-1或 C.1

B.1或- D.-

【解析】选D.当q=1时,易验证知不符合S3,S9,S6成等差数列, 当q≠1时,由2S9=S3+S6,得2·化简整理得:2q-q-q=0, 即(q-1)(2q+1)=0?q=-.

【误区警示】等比数列求和公式分两种情况q=1和q≠1,解题时应注意条件是否暗示了q的范围,如果没有暗示,应该讨论,而不能直接用公式Sn=

.

3

3

3

9

6

3

=+.

6.设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1

B.必要而不充分条件

- 2 -

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.若已知a11,又a1>0,所以数列{an}是递增数列;反之,若数列{an}是递增数列且a1>0,则公比q>1,所以a1

7.已知等比数列{an}中的各项都是正数,且5a1,a3,4a2成等差数列,则A.-1

B.1

C.5

2n

=( )

D.5

2n-1

【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q(q>0),则依题意有a3=5a1+4a2,即a1q=5a1+4a1q,q-4q-5=0,解得

=

2n

2

2

q=-1

2n

或q=5.又q>0,因此q=5,所以

=q=5,选C.

【方法技巧】等差数列与等比数列的联系与区别 等差数列 (1)强调每一项与前一项的差 (2)a1和d可以为0 不同点 (3)任意两实数的等差中项唯一 (4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N)时am+an=ap+aq (1)都强调每一项与其前一项的关系 相同点 (2)结果都必须是常数 (3)数列都可以由a1,d或a1,q确定 联系 (1)若{an}为正项等比数列,则{logman}为等差数列,其中m>0,且m≠1 (2){an}为等差数列,则{}为等比数列 *等比数列 (1)强调每一项与前一项的比 (2)a1与q均不为0 (3)两同号实数(不为0)的等比中项有两个值 (4)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N)时aman=apaq *(3)非零常数列既是等差数列又是等比数列 8.已知f(x)=bx+1是关于x的一次函数,b为不等于1的常数,且

*

g(n)=A.等差数列 C.递增数列

设an=g(n)-g(n-1)(n∈N),则数列{an}为( )

B.等比数列 D.递减数列

- 3 -

【解析】选B.a1=g(1)-g(0)=f(g(0))-g(0)=b+1-1=b,当n≥2时,an=g(n)-g(n-1)= f(g(n-1))-f(g(n-2))=b[g(n-1)-g(n-2)]=ban-1,所以{an}是等比数列. 二、填空题(每小题5分,共20分)

9.(2013·广东高考)设数列{an}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= .

【解析】由题意知a1=1,q=-2,得an=a1·q=1·(-2)=(-2), a1+|a2|+a3+|a4|=1+|-2|+(-2)+|(-2)|=15. 答案:15

10.(2013·辽宁高考)已知等比数列{an}是递增数列,Sn是{an}的前n项和.若a1,a3是方程x-5x+4=0的两个根,则S6= .

【思路点拨】利用方程求得a1,a3的值,结合等比数列,求出基本量(首项和公比),进而解决求和问题.

【解析】因为方程x-5x+4=0的根为1,4,而等比数列{an}是递增数列,所以a1=1,a3=4.由等比数列的通项公式得,

a3=a1q=q=4?q=±2.又因为等比数列{an}是递增数列,故S6=答案:63

11.等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若

=

,则公比q= .

=

=63.

2

2

2

2

2

3

n-1

n-1

n-1

q=2.从而

【思路点拨】利用等比数列的前n项和的性质求解. 【解析】由

=-=.

,a1=-1知公比q≠1,

由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列, 且公比为q,故q=-答案:-

【加固训练】设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,?),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则6q= .

【解析】由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,说明{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于{an}中连续四项至少有一项为负,所以q<0,

- 4 -

5

5

,解得q=-.

又因为|q|>1,所以{an}的连续四项为-24,36,-54,81,所以q=答案:-9

=-,所以6q=-9.

12.(能力挑战题)在等比数列{an}中,an>0,若a1·a2·?·a7·a8=16,则a4+a5的最小值为 .

【解析】由已知a1a2·?·a7a8=(a4a5)=16,所以a4a5=2,又a4+a5≥2a4=a5=答案:2

时取等号).所以a4+a5的最小值为2

.

4

=2(当且仅当

三、解答题(13题12分,14～15题各14分)

13.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是常数,n=1,2,3,?),且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列. (1)求c的值. (2)求{an}的通项公式.

【解析】(1)a1=2,a2=2+c,a3=a2+2c=2+3c, 因为a1,a2,a3成等比数列,所以(2+c)=2(2+3c), 解得c=0或c=2.

当c=0时,a1=a2=a3,不符合题意舍去,故c=2. (2)由(1)知an+1-an=2n(n=1,2,3,?) a2-a1=2, a3-a2=4, ?

当n≥2时,an-an-1=2(n-1),

以上各式累加得an-a1=2[1+2+?+(n-1)]=2×又a1=2,

故an=2+n(n-1)=n-n+2(n=2,3,?). 当n=1时,上式也成立, 所以an=n-n+2(n=1,2,?).

14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-3(n∈N). (1)证明:数列{an}是等比数列.

(2)若数列{bn}满足bn+1=an+bn(n∈N),且b1=2,求数列{bn}的通项公式.

*

*

2

2

2

=n(n-1).

- 5 -

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