新人教版八年级下册数学 勾股定理教案

新人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理教案

勾股定理（一）

一、教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、教学重点、难点

1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

完成23页的探究，补充下表，你能发现正方形A、B、C的关系吗？ A的面积（单位面B的面积（单位面C的面积（单位面积） 积） 积） 图1 图2 由此我们可以得出什么结论？可猜想： 命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c， 那么 。 四、合作探究：

方法1：已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、DC∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正 abAcB 1

122

4×ab＋（b－a）=c，化简可证。

2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

方法2:已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

1baba左边S=4×ab＋c2 2caaa右边S=（a+b）2 cbc左边和右边面积相等，即

1cc4×ab＋c2=（a+b）2 bbbca2化简可证。

abab五、课堂小结

六、作业 P28页习题第1题

七、教学反思

勾股定理（二）

一、教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。

四、合作探究

问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？

（2）一个门框的尺寸如图1所示．

①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？

③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？

C

2

2m

A

1m

B

例：如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．

①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.

算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．

五、课堂小结

六、作业 P28页习题第2、5题

七、教学反思

O B D A CO C O

B A D 勾股定理（三）

一、教学目标

1．会用勾股定理解决较综合的问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的综合应用。 2．难点：勾股定理的综合应用。 三、课堂引入

复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 四、合作探究： 分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。如图，已知OA=OB， (1)说出数轴上点A所表示的数。

3

（2）在数轴上作出8对应的点？

B1-2-1-4-3AO0123

变式训练：在数轴上画出表示3?1,2?2的点。 五、课堂小结

六、作业 P28页习题第6题

七、教学反思

勾股定理的逆定理（一）

一、教学目标

1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 二、重点、难点

1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2．难点：勾股定理的逆定理的证明。 三、课堂引入

创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。

四、合作交流：

1、如图17.2-2，若△ABC的三边长a、b、c满足a2?b2?c2，试证明△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．

图17.2-2

分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。

4

⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。 证明略。

2、.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？ （1）什么叫互为逆命题

。 （2）什么叫互为逆定理

。 （3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __ 3.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？ （1） 两直线平行，内错角相等；

（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3） 全等三角形的对应角相等；

（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。 解略。

例1：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a?15,b?8,c?17； （2）a?13,b?14,c?15． （3）a?7,b?24,c?25； （4）a?1.5,b?2,c?2.5；

五、课堂小结

六、作业 P34页习题第1题

七、教学反思

5

勾股定理的逆定理（二）

一、教学目标

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点

1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、课堂引入

创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。 四、自学展示:

D已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 A求：四边形ABCD的面积。

归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形

分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDBBCE（ASA）；

⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5

勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。

五、合作探究

例2 “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿N一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”RS号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30

Q海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ EP分析：⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 六、课堂小结

让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

七、作业 P34页习题第3题

八、教学反思

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勾股定理复习（一）

教学目标

1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用.

3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理.

难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 一、复习回顾

在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：

1.勾股定理：

(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有： 这就是勾股定理．

(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．

a2?c2?b2,b2?c2?a2,c?a2?b2,a?c2?b2,b?c2?a2．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.勾股定理逆定理

“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立. 3.勾股定理的作用：

(1）已知直角三角形的两边，求第三边；

(2）在数轴上作出表示n（n为正整数）的点．

勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角

7

形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．

222(3)三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若a?b?c，则三角形

是直角三角形；若a?b?c，则三角形是锐角三角形；若a?b?c，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边． 二、合作交流：

例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

例2：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

22222?

例3：.如图?ABC中，?C?90?，?1??2，CD?1.5，BD?2.5，求AC的长

CD12EAB例4：.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

AEBDC

四、学习检测：

8

1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )

A．7，24，25 B．3

11111，4，5 C．3，4，5 D．4，7，8 222222.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 3.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）

6030A．6cm B．8．5cm C．cm D．cm

13134.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角

5．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）

A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm

6．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为 ． 7．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 ．

8．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是 。

勾股定理复习(课时二)

教学目标

1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．

2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理． 重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用． 难点：应用勾股定理以及逆定理． 考点一、已知两边求第三边

1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为______． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在数轴上作出表示10的点．

4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高． 求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

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考点二、利用列方程求线段的长

1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ D C

A B E

2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17

（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有

2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是 .

3.如图1，在△ABC中，AD是高，且AD?BD?CD，求证：△ABC为直角三角形。

考点四、灵活变通

1.在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=

2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________cm2．

3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm 4.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （?取3） B

2A 6 10 8

5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱 的A点沿纸箱爬到 B点，那么它所爬行的最短路线 的长是 。

6.若一个三角形的周长123cm,一边长为33cm,其他 两边之差为3cm,则这个三角形是

_____________________．

7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯， 则该地毯的长度至少是 米。

考点五、能力提升

1.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，

1且CE?BC．你能说明∠AFE是直角吗？

4

2.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ C

D

AB E 11

5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱 的A点沿纸箱爬到 B点，那么它所爬行的最短路线 的长是 。

6.若一个三角形的周长123cm,一边长为33cm,其他 两边之差为3cm,则这个三角形是

_____________________．

7.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯， 则该地毯的长度至少是 米。

考点五、能力提升

1.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，

1且CE?BC．你能说明∠AFE是直角吗？

4

2.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ C

D

AB E 11

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