5.1.1相交线对顶角与邻补角

北京立交桥

我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线. 本章要研究相交线所成的角和它的特征,相交线的一 种特殊形式即垂直,垂线的性质, 研究平行线的性质 和平行的判定以及图形的平移问题.

我们日常生活中有哪些直线 相交的实际例子？

观察思考观察剪刀剪东西时的过程中有关角 的变化，再结合前面的实例，你有 什么感想？A 2

23

D 3

14

1C

O4

B

观察：1、两条直线相交组成几个角？ 2、 将这些角两两相配能得到几对角？ 讨论：1、每对角中两个角的位置有怎样的关系？ 2、试根据它们的位置关系将这几对角进行分类

5.1.1相交线

1

4

3 2

3 4 4

相邻

互补

相对

相等

1.邻补角有一条公共边另一边 互为反向延长线，具 有这样关系的两个角 互为邻补角.A

2 1C

D

3 4 OB

试一试：下列各图中∠1、∠2是邻补 角吗？为什么？ 2 ( 1( 1 ( 2 1(

2

∠1、∠2还是邻补角吗？

1是

2

1

2

邻补角是有特殊 ∠1、∠2的和是多少度？180º 位置关系的两个 ∠1和∠2还是补角吗？ 是 互补的角。 ∠1和∠2还是邻补角吗？不是

练习1 3 2

2、如图所示∠1=∠2,则∠2与∠3的 关系是 互为邻补角 ，∠1与∠3的 关系是 互为补角 。

2.对顶角A 有公共的顶点，角的两 2 边互为反向延长线，具 1 3 有这种位置关系的两个 O4 角互为对顶角.对顶角 C 是成对出现的 下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？ D

B

1(

1()

1()2

)2

2

练习：下列图中，∠1与∠2是对顶角吗？为什么？1 2

1 2

1 2

1

2

(1)

(2)

(3)

(4)

否

是

否

否

练习：C

A

F D

OB

E

如图所示，三条直线AB、CD、EF相交于 一点O,∠AOC的对顶角是 ∠BOD , ∠COF的对顶角是 ∠DOE , ∠COB的邻补角是 ∠AOC和∠BOD 。

问题4:互为邻补角的两个角度数有什么关系？互为对 顶角的两个角呢？当相交角度变化时，这个关系还保 B C 持吗？ 21 o 4 3 D

A

邻补角性质: 邻补角互补对顶角性质：对顶角相等

3、对顶角的性质AD C

对顶角相等。理由：

2 1O 4

3

B

1 2 180 (补角的定义)

2 3 180

(补角的定义)

1 3

(同角的补角相等)

讨论

任意画两条相交的直线，可形成几个角？两 两相配共能组成几对角？有怎样的位置关系？两直线相交所形成的角

分类

大小关系

位置关系 有一条公共 边，另一边 互为反向延 长线。 有一个公共顶 点，没有公共 边，两边互为 反向延长线。

C 2 1 O 4 A

B 3

D

∠1 ∠2 ∠3 ∠4

∠1与∠2 ∠2与∠3 ∠3与∠4 ∠4与∠1∠1与∠3 ∠2与∠4

互补

相等

如图,直线a、b相交，∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠4的度数. b 2 解：由邻补角的定义可知 1

( ( ) ) a ∠2=180°-∠1 3 4=180°-40°=140°. 由对顶角相等可得 ∠3=∠1=40°,∠4=∠2=140°.

例1

变式1:若∠1= 32°20′,求∠2、∠3、∠4的 度数.

变式2:若∠1+∠3 = 50°,则∠3= 25° , b ∠2= 155° .

a解:设∠1=x°,则∠2=3x°.

1(

2 ( ) 4

) 3

变式3:若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数.

根据邻补角的定义,得 x+3x=180°. 所以 x=45°, 则∠1=45°. 根据对顶角相等,可得 ∠3=∠1=45°.

思考如图：直线a 与b 相交，∠2是∠1的3倍，求 ∠3的度数？解：∵∠2是∠1的3倍 ∴ ∠2=3 ∠1 ∵∠1与∠2是邻补角 ∴∠1=180°- ∠2 ∠1 = 180°- 3∠1 4∠1= 180° ∠1=45 °

b ( 1 a

2 ( ) ) 3 4

变式：若∠2-∠1=400, 求∠4的度数？

例2:如图，已知直线AD与BE相交于点O, ∠DOE与∠COE互余，∠COE=62° 求∠AOB的度数.C E A BO

D

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