人教版数学九年级下《第27章相似》复习学案（含答案）

27复习学案

【学习目标】

1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．

2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律. 【重点难点】

重点：利用相似三角形的知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．

难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型. 【知识回顾】

1、相似三角形定义：_________________________． 2、判定方法：__________________________ 3、相似三角形性质：

（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于 ；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于 ；（4）面积之比等于 ． 4、相似三角形中的基本图形．

（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型； （3）旋转型；（4）母子三角形.

5、位似形的性质： .

6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】

1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1) 求证：△ADF∽△DEC

(2) 若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.

2 如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，

S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E. （1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？ （2）求正方形PQRS的边长.

【矫正补偿】

如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD． （1）判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．

【完善整合】

1.通过本节课的学习你有那些收获? 2.你还有哪些疑惑？

27复习学案答案

综合运用：

1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，即得∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，再由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，问题得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，CD=AB=4，再根据勾股定理可求得DE的长，再由△ADF∽△DEC根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB∥CD ∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180° ∵∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C ∴△ADF∽△DEC；

解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，CD=AB=4 又∵AE⊥BC ∴AE⊥AD

在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC

∴

∴，解得AF=.

2.解：（1）∵四边形PQRS是正方形 ∴SR∥PQ

∴∠ASR=∠ABC，∠ARS=∠ACB ∴△ASR∽△ABC；

（2）设正方形的边长为xcm，则SR=xcm，SR=DE=xcm，AE=40-xcm ∵△ASR∽△ABC ∴AE：AD=SR：BC ∵BC=60cm，AD=40cm ∴（40-x）：40=x：60 ∴x=24cm；

即正方形的边长为24cm． 矫正补偿：

分析：（1）根据矩形的性质及勾股定理，即可判断△ABC的形状；

（2）通过证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE长度之间的关系． 解：

（1）△ABC是等腰直角三角形．理由如下：

在△ADC与△BEC中，AD=BE，∠D=∠E=90°，DC=EC， ∴△ADC≌△BEC（SAS）， ∴AC=BC，∠DCA=∠ECB． ∵AB=2AD=DE，DC=CE， ∴AD=DC，

∴∠DCA=45°， ∴∠ECB=45°，

∴∠ACB=180°-∠DCA-∠ECB=90°． ∴△ABC是等腰直角三角形． （2）DE=AD+BE．理由如下：

在△ACD与△CBE中，∠ACD=∠CBE=90°-∠BCE，∠ADC=∠BEC=90°，AC=BC， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，DC=EB． ∴DC+CE=BE+AD， 即DE=AD+BE．

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