《新编基础物理学》第九章真空中电场习题解答和分析

第九章习题解答

9-1 两个小球都带正电，总共带有电荷5.0?10C,如果当两小球相距2.0m时，任一球受另一球的斥力为1.0N.试求总电荷在两球上是如何分配的？ 分析：运用库仑定律求解。

解：如图所示，设两小球分别带电q1，q2则有

q1+q2=5.0310-5C ① 由题意，由库仑定律得：

?5

题9-1解图

q1q29?109?q1?q2F???1 ② 24π?0r4?5??q1?1.2?10C由①②联立得：? ?5??q2?3.8?10C 9-2 两根6.0310-2m长的丝线由一点挂下，每根丝线的下端都系着一个质量为0.5310-3kg

的小球.当这两个小球都带有等量的正电荷时，每根丝线都平衡在与沿垂线成60°角的位置上。求每一个小球的电量。

分析：对小球进行受力分析，运用库仑定律及小球平衡时所受力的相互关系求解。 解：设两小球带电q1=q2=q，小球受力如图所示

q2F??Tcos30? ①

4π?0R2mg?Tsin30? ②

联立①②得：

mg4??0R2?tan30o ③ 2q

其中r?lsin60??3?6?10?2?33?10?2(m) 2题9-2解图

R?2r

代入③式，即： q=1.01310-7C

??F9-3 电场中某一点的场强定义为E?，若该点没有试验电荷，那么该点是否存在场强？

q0为什么？

答：若该点没有试验电荷，该点的场强不变.因为场强是描述电场性质的物理量，仅与场源

?电荷的分布及空间位置有关，与试验电荷无关，从库仑定律知道，试验电荷q0所受力F与

??Fq0成正比，故E?是与q0无关的。

q09-4 直角三角形ABC如题图9-4所示，AB为斜边，A点上有一点荷q1?1.8?10C，B

1

?9点上有一点电荷q2??4.8?10?9C，已知BC=0.04m，AC=0.03m，求C点电场强度E的大小和方向(cos37°≈0.8, sin37°≈0.6).

分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。

????解：如题图9-4所示C点的电场强度为E?E1?E2 q11.8?10?9?9?1094E1???1.8?10(N/C) 224π?0(AC)(0.03)q24.8?10?9?9?109E2???2.7?104(N/C) 224π?0(BC)(0.04)2E?E12?E2?1.82?2.72?104?3.24?104(N/C)或(V/m)方向为：??arctan

4C

题9-4解图

E11.8?10?arctan?33.7o 4E22.7?10即方向与BC边成33.7°。

9-5 两个点电荷q1?4?10?6C,q2?8?10?6C的间距为0.1m，求距离它们都是0.1m处的

?电场强度E。

分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。

q19?109?4?10?66解：如图所示：E1???3.6?10(N/C) 2?24π?0r110q29?109?8?10?6E2???7.2?106(N/C) 2?24π?0r210??E1，E2沿x、y轴分解：

Ex?E1x?E2x?E1cos60??E2cos120???1.8?106(N/C)

题9-5解图

Ey?E1y?E2y?E1sin60??E2sin120??9.36?10(N/C)

∴E?22Ex?Ey?9.52?106(N/C)

6Ey9.36?106o ??arctan?arctan?1016Ex?1.8?109-6有一边长为a的如题图9-6所示的正六角形，四个顶点都放有电荷q，两个顶点放有电

荷－q。试计算图中在六角形中心O点处的场强。 分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。

解：如图所示.设q1=q2=…=q6=q，各点电荷q在O点产生的

2

电场强度大小均为：

E?E1?E2?E3???E6?q4π?0a2

??各电场方向如图所示，由图可知E3与E6抵消. ?????E0?E2?E5?E1?E4

据矢量合成，按余弦定理有：

E0?(2E)2?(2E)2?2(2E)(2E)cos(180o?60o) E0?2E3?2q4??0a23?3q方向垂直向下. 22??0a2 q q

q q O. -q -q 题图9-6

题9-6解图

9-7 电荷以线密度λ均匀地分布在长为l的直线上，求带电直线的中垂线上与带电直线相距为R的点的场强。

分析：将带电直线无穷分割，取电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元的场强，再积分求解。注意：先电荷元的场强矢量分解后积分，并利用场强对称性。 解：如图建立坐标，带电线上任一电荷元在P点产生的场强为：

?dE??dx4??0(R2?x2)?r0

根据坐标对称性分析，E的方向是y轴的方向

题9-7解图

题9-8解图

3

E??L2L?2?dx4??0(R2?x2)sin???L2L?2?R4??0(R2?x2)3/2dx??ll21/224??0R(R?)4

9-8 两个点电荷q1和q2相距为l，若（1）两电荷同号；（2）两电荷异号，求电荷连线上电场强度为零的点的位置.

分析：运用点电荷场强公式及场强叠加原理求解。

解：如图所示建立坐标系，取q1为坐标原点，指向q2的方向为x轴正方向.

(1) 两电荷同号.场强为零的点只可能在q1、q2之间，设距q1为x的A点. 据题意：E1=E2即：

|q1||q2| ?4π?0x24π?0(l?x)2∴x?|q1|l|q1|?|q2|

(2) 两电荷异号.场强为零的点在q1q2连线的延长线或反向延长线上，即E1=E2

|q1||q2| ?224π?0x4π?0(l?x)解之得：x?|q1|l|q1|?|q2| 9-9 如题图9-9所示，长l=0.15m的细直棒AB上，均匀地分布着线密度??5.00?10C?m?9?1的正电荷，试求：（1）在细棒的延长线上，距棒近端d1=0.05m处P点的场强；（2）在细线

的垂直平分线上与细棒相距d2=0.05m的Q点处的场强；(3) 在细棒的一侧，与棒垂直距离为d2=0.05m，垂足距棒一端为d3=0.10m的S点处的场强. 分析：将均匀带电细棒分割成无数个电荷元，每个电荷元在考察点产生的场强可用点电荷场强公式表示，然后利用场强叠加原理积分求解，便可求出带电细棒在考察点产生的总场强。注意：先电荷元的场强矢量分解后积分，并利用场强对称性。 dy

题图9-9 题9-9解图(1)

4

解：(1) 以P点为坐标原点，建立如图（1）所示坐标系，将细棒分成许多线元dy.其所带电

?量为dq??dy，其在P点的场强为dE，则

dE?dq?dy ?4π?0y24π?0y2∴E??d1?ld1?dy??11?2?????6.75?10(N/C)或(V/m) 24π?0y4π?0?d1d1?l?方向沿Y轴负方向

(2) 建立如图所示的坐标系，将细棒分成许多线元dy.其所带电量为dq??dy。它在Q?点的场强dE的大小为：

dE?1?dy ?4π?0r2dE在x、y轴的投影为：dEx?dEcos?????π??sin??dEsin??dy ?2?4π?0r2π??cos??dEy?dEsin??????dEcos???dy 22?4π?0r?由图可见： y?d2ctg?，r?d2csc?

dy?d2csc2?d?

∴ dEx??sin?d?

4π?0d2?cos?d?

4π?0d2dEy?由于对称性，dEy分量可抵消，则

E??dEx???1?2?2?1??sin?d??(cos?1?cos?2)

4π?0d24π?0d2又∵θ1=π-θ2

?cos?12?5?10?9?9?1093?∴E??1.5?103(N/C) 2cos?1??4??0d22??0d20.0513方向沿X轴正方向

5

题9-9解图(2)

题9-9解图(3)

(3) 在细棒一侧的S点处的场强。建立如图（3）所示的坐标系，分析如（2）则：

Ex??dEx??1?2?(cos?1?cos?2)

4π?0d2Ey??dEy??1?2?(sin?2?sin?1)

4π?0d20.10.12?0.052?12；sin?1?

55其中：cos?1?d32d32?d2?cos?2?cos(π??)??cos???1 2l?d32(l?d3)2?d2??0.050.052?0.052??1 2sin?2?22?E?Ex?Ey?1.46?103(N/C)。

方向：与x轴的夹角：arctgEyEx?54.2?

9-10无限长均匀带电直线，电荷线密度为λ,被折成直角的两部分.试求如题图9-10所示的P点和P′点的电场强度.

分析：运用均匀带电细棒附近的场强公式及场强叠加原理求解。 解：以P点为坐标原点，建立如题9-10解图(1) 所示坐标系

均匀带电细棒的场强：

?E?????(cos?1?cos?2)i?(sin?2?sin?1)j?

?4π?0a?π，?2?π 4题图9-10

在P点：?1?∴竖直棒在P点的场强为：

6

?E1????2??2???1i?j? ?????4π?0a?2????2????2??2?????2?1??j?2i? 4π?0a??????????i?j?

?4π?0a?水平棒在P点的场强为：

?E2?x

∴在P点的合场强：

???E?E1?E2?

题9-10解图(1)

即E?2?：方向与x轴正方向成45°.

4π?0a????(cos?1?cos?2)i?(sin?2?sin?1)j?

?4π?0a?3π，?2?π 4同理以P′点为坐标原点，建立如图题9-10解图(2)坐标：

?E?在P′点：?1?∴竖直棒在P′点的场强为：

?E1????2??2????1?i?j? ?????4π?0a?2????2????2??2???????2?1??j?2i? 4π?0a??????水平棒在P′点的场强为：

?E2?x

题9-10解图(2)

???????∴在P′点的合场强为：E?E1?E2?[i?j]

4π?0a即：E?2?，方向与x轴成-135°.

4π?0a9-11 无限长均匀带电棒l1上的线电荷密度为?1,l2上的线电荷密度为??2，l1与l2平行,在与l1，l2垂直的平面上有一点P,它们之间的距离如题图9-11所示,求P点的电场强度。 分析：运用无限长均匀带电细棒的场强公式及场强叠加原理求解。 解：l1在P点产生的场强为：

?E1??1??1?i?i

2π?0a10.8π?07

l2在P点产生的场强大小为：

E2???2

2π?0a2方向如题9-11解图所示。

?把E2写成分量形式为：

题图9-11

???2?2?3?2?4?2?3?2?E2?E2cos?i?E2sin?j??i+j??i?j

5π?0a210π?0a25π?05π?0∴在P点产生的合场强为：

?????14?2??3?2?E?E1?E2???j ?i?5π?0?0.8π?05π?0?

题9-11解图

9-12 一细棒被弯成半径为R的半圆形,其上部均匀分布有电荷+Q,下部均匀分布电荷-Q.如题图9-12所示,求圆心O点处的电场强度。 题图9-12 题9-12解图

8

分析：微分取电荷元，运用点电荷场强公式及场强叠加原理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元，运用点电荷场强公式表示电荷元场强。将电荷元电场进行矢量分解，再进行对称性分析，然后积分求解。

?2Qdl，产生的场强为dE。 解：把圆环分成无限多线元dl，dl所带电量为dq?πR?则dE的大小为： dE??把dE分解成dEx和dEy，则：

QdlQd? ?23222π?0R2π?0RdEx?sin?dE

dEy?cos?dE

由于+Q、-Q带电量的对称性，x轴上的分量相互抵消，则：Ex?0

Ey?2?dEy?2?cos?dE???∴圆环在O点产生的场强为： E??Qπ40Qcos?d?Q ?2222π?0Rπ?0R?2?0R2?j

9-13 两平行无限大均匀带电平面上的面电荷密度分别为+б和-2б,如题图9-13所示,求: (1)

?????-6-2

图中三个区域的场强E1，E2，E3的表达式；（2）若б=4.43310C2m，那么，E1，E2，?E3各多大？

题图9-13

分析：首先确定场强正方向，然后利用无限大均匀带电平板场强及场强叠加原理求解。 解：（1）无限大均匀带电平板周围一点的场强大小为：

E?????2????i?i?i ∴在Ⅰ区域：E1?2?02?02?0???2??3??i?i?i Ⅱ区域：E2?2?02?02?0? 2?0 9

???2????Ⅲ区域：E3?i?i??i

2?02?02?0（2）若σ=4.43310-6C2m-2则

????E1?i?2.50?105i(V?m?1)

2?0??3??5E2?i?7.50?10i(V?m?1)

2?0????5E3??i??2.50?10i(V?m?1)

2?09-14 边长为a的立方盒子的六个面分别平行于xOy，yOz和xOz平面，盒子的一角在坐标

???原点处，在此区域有匀强电场，场强E?200i?300jV?m-1,求通过各面的电通量。

分析：运用电通量定义求解，注意对于闭合曲面，外法线方向为正。

s1s1s1?????22?1解： ?s1??E?dS1??(200i?300j)?idS1??200dS1?200a(N?m?C)

??????s2??E?dS2??(200i?300j)?(?i)dS2???200dS2??200a2(N?m2?C?1) ??????s3??E?dS3??(200i?300j)?(?j)dS3??300a2(N?m2?C?1) ??????s4??E?dS4??(200i?300j)?(j)dS4?300a2(N?m2?C?1) ??????s5??E?dS5??(200i?300j)?(?k)dS5?0 ??????s6??E?dS6??(200i?300j)?(k)dS6?0

s6s6s5s5s2s2s2s3s3s4s4即平行于xOy平面的两平面的电通量为0；

平行于yOz平面的两平面的电通量为±200a2N2m22C-1； 平行于xOz平面的两平面的电通量为±300a2N2m22C-1。

题9-15解图 题9-16解图

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9-15 一均匀带电半圆环，半径为R，电量为+Q，求环心处的电势。

分析：微分取电荷元，运用点电荷电势公式及电势叠加原理积分求解。将带电半圆环分割成无数个电荷元，根据点电荷电势公式表示电荷元的电势，再利用电势叠加原理求解。 解：把半圆环无穷分割，取线元dl，其带电量为dq?Qdl，则其在圆心O的电势为： πRdu?dqQdl ?4π?0R4π?0R?πR∴整个半圆环在环心O点处的电势为：

u??πR0QdlQ ?4π?0R?πR4π?0R

9-16 一面电荷密度为б的无限大均匀带电平面，若以该平面处为电势零点，求带电平面周围的电势分布。

分析：利用无限大均匀带电平面的场强公式及电势与电场强度的积分关系求解。 解：无限大平面周围的场强分布为：

???E??i

2?0取该平面电势为零，则周围任一点P的电势为：

UP???x0???x dx??(?x)??2?02?02?09-17 如题图9-17所示，已知a=8310-2m，b=6310-2m, q1=3310-8C, q2=－3310-8C，D为

q1,q2连线中点，求：（1）D点和B点的场强和电势; (2) A点和C点的电势；（3）将电量为2310-9C的点电荷q0由A点移到C点，电场力所作的功；（4）将q0由B点移到D点，电场力所作的功。

题图9-17

题9-17解图

分析：由点电荷的场强、电势的公式及叠加原理求场强和电势。静电力是保守力，保守力做功等于从初位置到末位置势能增量的负值。 解：（1）建立如图题9-17解图所示坐标系：

?E1D?

?9?109?3?10?8?27?5i?i??10i(V/m) 2?224??0r(4?10)16q111

?E2D??9?109?3?10?8?27?5i?i??10i(V/m) 2?224??0r(4?10)16q2????5?E?E1D?E2D?3.38?10i(V/m)

9?109?3?10?8275E1B????10(V/m)，方向如图示。 ?22?22252??a??(4?10)?(6?10)24π?0????b?????2??q1E2B9?109?3?10?8275????10(V/m)，方向如图示。 ?22?22(4?10)?(6?10)52??a?2?4π?0????b2?????2??q2∴EB?41327??105?5.76?104(V/m)；方向平行于x轴. 1352q1q23?10?8?9?1093?10?8?9?109UD?????0 ?2?2aa4?104?10????4π?0??4π?0???2??2?同理，UB=0. （2）UA?q1q2 ?224π?0b4π?0b?a9?109?3?10?89?109?3?10?83???1.8?10(V)?2?22?226?10(6?10)?(8?10)UC?q14π?0q29?109?3?10?89?109?3?10?8?????1.8?103(V)?26?10b2?a24π?0b(6?10?2)2?(8?10?2)2（3）UAC?UA?UC?1.8?103?1.8?103(V)?3.6?103(V)

WAC?q0UAC?2?10?9?3.6?103?7.2?10?6(J)

（4）UBD?UB?UD?0

∴WBD?0

?9-18 设在均匀电场中，场强E与半径为R的半球面的轴相平行，试计算通过此半球面的

电场强度通量？

分析：如图所示，由高斯定理可知，穿过圆平面S1的电力线必通过半球面。

??2解：在圆平面S1上：???E?dS?－E?dS1?－E??R

s1 12

所以通过此半球面的电通量为：

?e?EπR2

题9-19解图 题9-18解图

9-19 两个带有等量异号电荷的无限大同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R2>R1）.单位长度上的电量为λ,求离轴线为r处的电场强度：(1) r?R1；(2) R1?r?R2；(3) r?R2 分析：由于场为柱对称的，做同轴圆柱面，运用高斯定理求解。

解：（1）在r?R1时，作如图所示同轴圆柱面为高斯面.由于场为柱对称的，所以通过侧面的电通量为2πrlE，通过上下底面的电通量为零.据高斯定理，因为此高斯面没有包围电荷，所以有：2πrlE?0,即E?0

（2）对R1?r?R2，类似（1）作高斯面，有：

2πrlE?l??0

故得：E?1?

2π?0r（3）对r?R2，作类似高斯面，有：

2πrlE?1?0(l??l?)?0

题9-20解图

故得：E=0。

9-20 静电场中a点的电势为300V，b点电势为-10V.如把5310-8C的电荷从b点移到a点,试求电场力作的功？

分析：电场力作功等于电势能增量的负值。 解：依题意可以有如图的示意图： 把正电荷由a点移到b点时电场力作功

Wab?qUab?q(Ua?Ub)?5?10??300－（－10）55?10(J)??1.?8?5

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反之，当正电荷从b点移到a点时，电场力作功：

Wba??Wab??1.55?10?5(J)

负功表示当正电荷向低电势向高电势移动时，它要克服电场力作功，从而增加了它的电势能。 9-21 在半径为R1和R2的两个同心球面上分别均匀带电q1和q2,求在0?r?R1,

R1?r?R2,r?R2三个区域内的电势分布。

分析：由于场为球对称的，做同心球面，利用高斯定理求出场强。再利用电势与场强的积分关系U????r??E?dr求电势。注意：积分路径上的场强是分段函数。

解：利用高斯定理求出：

EI?0(r?R1)

?EII?q14??0r2?r0(R1?r?R2)

题9-21解图

?q?q?EIII?12r(r?R2) 204??0r电势的分布：

UIII????r???q?qq1?q2?12EIII?dr??dr?(r?R2)

r4??0r24??0rR2??????UII??EII?dr??EIII?drrR2??R2q14??0r2R1rdr?q1?q21?q2q1?????(R2?r?R2)4??0R24??0?R2r?UI??r??R2?????EI?dr??EII?dr??EIII?drR1R21?q2q1?????(r?R1)4??0?R2R1?

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