高考数学知识考点精析(25)随机就是及其分布

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第二十五讲随机就是及其分布

1、如果随机变量可能取的值是可数的，或者说可以按一定次序一一列出的，那么，这样的随机变量叫做离散型随机变量。如果随机变量可以取某一区间内的一切值，那么这样的随机就是叫做连续型随机变量。

如果离散型随机变量?可能取的值为x1,x2,x3…xn,…,而?取每一个值xi (i=1,2,3,…)的概率P（?＝xi）=pi,那么如下表所示 ? x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xn pn ? ? p 就称为随机变量?的分布列。具有下列性质：（1）0≤pi≤1，(i=1,2,3,…)，（2）p1＋p2＋ p3＋?pn＋?＝1（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

2、如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复的试验中这个事件发生k次的概率是：P???k??Cnpkkn?kn?1?p?，k=0,1,2,…n.这时因为P???k?是?p?q?展

kkn?k开式中的第k+1项，称?服从二项分布，记作??B?n,p?，并记Cnpqn＝1时，称为贝努利分布。

?b?k,n,p?

3、在独立重复的试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数?也是一个取值为正整数的离散型随机变量，“?＝k”表示在第k次独立重复的试验时事件第一次发生。如果把第k次试验时事件A发生记为Ak,事件A不发生记为Ak，P?Ak??p,PAk?q，那么?服从几何分布。

记g?k,p??P???k??PA1A2?Ak?1Ak?PA1PA2?PAk?1P?Ak??q其中q=1-p,k=1,2,3,?

4、称E??x1p1?x2p2???xnpn??为?的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反映了随机变量取值的平均水平。

称D???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E????为?的均方差，简称为方差，

D?叫做随机变量?的标准差，记作：??。

222222??????????k?1p

易证：（1）D??E???E??，E??E???E??。

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（2）若

??a??b,?P???axi?b??P???xi?,i?1,2,3,??E?a??b??aE??b,D?a??b??aD?,2

（3）若??B?n,p?,那么E??np,D??npq,?q?1?p? （4）若?服从几何分布，则E??1pqp2,D??

如(1)有一组数据：x1,x2,?,xn(x1≤x2≤?≤xn)，它们的算术平均值为20，若去掉其中的xn，余下数据的算术平均值为18，则xn关于n的表达式为 。

xn?20n?18?n?1??2n?18

(2)已知数据x1,x2,?,xn的平均数x?5，方差S2?4，则数据

3x1?7,3x2?7,?,3xn?7的平均数和标准差分别为

（ D ） A．15，36 B．22，6 C．15，6 D．22，36

5、条件概率定义 ：设A和B为两个事件，P(A)>0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率P(B|A)读作A 发生的条件下 B 发生的概率．

P(AB)P(A)P(B|A)?.

?0由这个定义可知，对任意两个事件A、B，若P(B)P(AB)?P(B|A)?P(A).

，则有

如果B，C是两个互斥事件,则P(B?C|A)?P(B|A)?P(C|A).

练习：一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P（AB），P（A︱B）。P?AB?＝，P?AB?＝。

94116、正态分布：(1)定义：如果随机变量?的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：

12????x???2?22f?x??e，x∈R,则称?服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中?2表示总体平均数，?叫标准差，正态分布常用N??,??来表示，当?＝0，?12??e?x2＝1时，称?服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。f?x??曲线。

2x?R叫标准正态

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(2)、正态曲线f?x??12????x???2?22e，x∈R的有关性质：1）曲线在x轴上方，与x轴永

不相交，曲线与x轴之间的部分的面积为1，2）曲线关于直线x＝?对称，且在x＝?两旁延伸时无限接近x轴，3）曲线在x＝?处达到最高点，峰值为1?2?，（4）当?一定时，

曲线形状由?的大小来决定，?越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，?越小，

曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。 (3)、在标准正态总体N（0，1）中：（1）??x0??p?x?x0?,?2???x0??1????x0?（因为曲线关于y轴对称） （4）、

?x???F?x?????,p?a?x?b??F?b??F?a?,??N??,????2?????????N?0,1?

（5）、 ??N?u,?2??p?u?3????u?3????u?3??u,??x?dx?0.997,???u??u?3?p?u?2????u?2???0.9544,p?u????0.6826,

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