空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用：求角和距离

1．空间中的角：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是(0,]。求两条异面直线所成的角的大小一般

2

?方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是[0,]。

2A C B D ?? 求直线和平面所成的角具体步骤如下： ①作过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有

???；

（3）二面角的范围:(0,?].。作二面角的平面角常有三种方法

1

2．空间的距离

（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，

(2)点到平面的距离：点Ｐ到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．

（3）异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长． （4）直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。

（5）平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的

空间向量的应用

（1）用法向量求异面直线间的距离 如右图所示，a、b是两异面直线，n是法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与距离是d?EF?nnE

a a和b 的b之间的

F ；

b

（2）用法向量求点到平面的距离 如右图所示，已知AB是平面α的 一条为平面α的法向量，则 A到平面α的距离

d?AB?nnα A n C B 斜线，n为

；

（3）用法向量求直线到平面间的距离：首先必须确定直线与平面平行，

2

然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。 （4）用法向量求两平行平面间的距离：首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。

（5）用法向量求二面角

如图，有两个平面α与β，分别作这两法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判是锐角还是钝角。

（6）法向量求直线与平面所成的角

要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的夹角的余弦cosn,a，易知θ=n,a或者?n,a。

2α 个平面的

n2 β n1 法向量n1断二面角

?

题型1：直线与平面所成的角

例1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点。

求：D1E与平面BC1D所成角的大小弦值表示）。

A

3

z D1 A1 C1 （用余

B1 D y C E B x

练习: 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90?，侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用余弦值表示）；

4

题型2：二面角

例题（08年高考）在四棱锥

P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB

＝a，E为BC中点。

（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小（用正切值表示）； （2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

巩固训练

1、（2007年，北京卷高考题）如图6，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为3，侧棱

AA1?332，D是CB延长线上一点，且BD?BC。求二面角B1?AD?B的大

小。

2、（06四川卷）已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两

??点和A、C两点的球面距离都是4，B、C两点的球面距离是3，则二面角

B?OA?C的大小是（ ）

???2?（A）4 （B）3 （C）2 （D）3

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题型3：点面距离

例2、如图，已知ＡＢＣＤ为边长是４的正方形，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在的平面，且ＧＣ＝２，求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离。

Ａ

Ｄ ＦＨ Ｇ

O?Ｏ Ｅ

Ｂ

Ｃ

6

题型4：线面距离 例

3、已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为

8，

D B

A1B1C1对角线B1C?10，D是AC的中点。（1）求点B1到 直线AC

巩固训练

的距离。（2）求直线AB1到平面C1BD的距离。

A

C 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1?4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离； （3）M到平面AB1P的距离。

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