中国科学院半导体物理考研复习总结..docx

第一章晶体结构晶格

§1晶格相关的基本概念

1. 晶体：原子周期排列，有周期性的物质。

2. 晶体结构:原子排列的具体形式。

3. 晶格：典型单元重复^列构成晶格。

4. 晶胞：重复性的周期单元。

5. 晶体学晶胞：反映晶格对称性质的最小单元。

6. 晶格常数:晶体学晶胞各个边的实际长度。

7. 简单晶格&复式晶格:原胞中包含一个原子的为简单晶格，两个或者两个以上的称为复式晶格。

8. 布拉伐格子:体现晶体周期性的格子称为布拉伐格子。（布拉伐格子的每个格点对应一个原胞,简单晶格的晶格本身和布拉

伐格子完全相同；复式晶格每种等价原子都构成^布拉伐格子相同的格子。）

9. 基失：以原胞共顶点三个边做成三个矢虽，（XI ,?2 并以其中一个格点为原点，则布拉伐格子的格点可以表示为

aL=Liai +I_2＜X2 +L3CX3。把ai , ＜12 , ＜X3 称为基矢。

10. 平移歸性:整个晶体按9中定义的矢量at平移，晶格与自身重合，这种特性称为平移对称性。（在晶体中，一般的物理量

者頃有平移对称性）

11. 晶向&晶向扌讖：参考教材。（要理解）

12. 晶面&晶面扌談:参考教林（要理解）

立方晶系中,若晶向扌讖和晶面扌讖相同则互相垂直。

§2金刚石结构,类金刚石结构（闪锌矿结构）

金刚石结构：金刚石结构是一种由相同原子构成的复式晶格,它是由两个面心立方晶格沿立方对称晶胞的体对角线错开1/4长

度套构而成。常见的半导体中Ge , Si , a-Sn （灰锡）者B属于这种晶格。

金刚石结构的特点:每个原子都有四个最邻近原子,它们总是处在i正四面体的顶点上。（每个原子所具有的最邻近原子的数目称为配位数）

每两个邻近原子都沿一个＜U1＞方向,

处于四面体顶点的两个原子连线沿一个＜1丄0＞方向，

四面体不共顶点两个棱中点连线沿f 00＞方向。

四血体结构示总图

金刚石结构的密排面：｛1,1,1｝晶面的原子都按六方形的方式排列。每两层｛1 , 1 , 1｝原子层完全相同,ABCABC …… 在这种结构中,关于任I 晒个相邻原子连线中点具有反演对称性。

类金刚石结构:GaAs JnSb , GaP 等化合物晶体的晶格是由两种不同原子组成的面心立方晶格套构而成的,称为类金刚石结构 或闪锌矿结构，显然闪锌矿不再具有反演中心。

§3共价结合

§3.1晶体结合的四种基本方式

1.

离子结合：原子间対奂电子，形成正负离子，之间相互库仑作用结合成固体。 2.

共价1吉合：相邻原子共用电子对形成共价键。（半导体中晶体普遍是共价结合,因此本节重点是共价结合。） 3.

金属结合：价电子共有化形成负电子云,正离子浸泡在电子云中。 4. 范德瓦尔结合：发生在饱和电子结构中.相互作用語艮弱的瞬时偶极矩。

§3.2成键态与反键态（以缶为例）

A ,

B 两原子相互靠近形成分子，两个价电子为A, B 共有。

成键态：屮二C （屮A+屮B ）

反键态：屮=

反键态使能量升高J ■成键态能量下降边且有4 > 4 ■只有未成对电子才能形成共价键。

反键态

成键态

§3.3 SP3杂化(以Si为例)

Si 的原子组态为：(1S)2 (2S)2 (2P)6 (3S)2 (3P)2

稳定电子价电子

由Si原子组态可知，若不改组的话只能形成2个共价键，但实际上有4个共价键，成四面体，这是因为发生了SP3杂化的缘故。

即价电子的组态发生了如下改组:(3SF (3PF - (3Si) (3Px) (3Py) (3Pz)

组成了新的4个轨道态，实际上四个共价键是以S态和P态波函数线形组合为基础的，这样使得系统能呈最低。

杂化的好处：①成镯增多，四个杂化态上全部是未成对电子。

②成￥建能力增强,电子云集中在四面体方向,电子垂叠大,使能量下降更多,抵消杂化的能星,使总能量减小。§4晶格缺陷

晶格缺陷分3类：

?点缺陷:间隙原子和空位。

?go :位错。

?面缺陷:层错。

点缺陷的类型:

?弗兰克尔缺陷:原子热运动，少呈原子离开格点位置进入间隙形成空位间隙原子对。

?肖特基缺陷:单一空位的缺陷。

? 反肖特基缺陷：单一缺陷原子的缺陷。

第二章 半导体中的电子状态

§1半导体基本能带

§1.1布洛赫波

在晶体的周期场中，电子波函数的形式为屮k(r)=ei 叩Q ,其中Mk(r)=賦卄如其中k 称为简约波束,有波束的量纲，但 要在一简约范围内取值。h k 与动量类似，在跃迁过程中守衡，且有坠=片卜,故称为准动星。

dt

在晶体中k 取值在F 范围内，这范围称为简约布里渊区,下面以一维为例加以证明。

设晶格周期为a

?屮 k(x) = |Jk(x + na)

???屮 k(x +a) = e ika -e ikx -pk(x + na)

=e ika [e'kx -pk(x)]

=e ,ka ipk(x)

其中3嚥示相邻原胞之间波函数位相差，因此-Tl

定义矢量bi f b 2 r b 3分别等于

则有a? =2TT ? ( 6y 函数表示，当冃时为1,不等为0 )

故称bi, b2, b3为倒矢量，以bi, b 2, b3为基矢组成晶格,称为倒格子。这样定义下有倒格子原胞的体积于原晶格原胞 的体积相乘之积为常数(2TT )3用Kn=nibi+n2b 2+n 3b3表示倒格矢，则k 和k+Kn 表示相同状态。因此简约布里渊区也称作不相 差任何倒矢量,位啟化单值完备的区域。

对于金刚石结构的面心立方晶格,倒格子为体心立方，通常取倒格子中k=0原点做次近邻，近邻中垂面围成的区域，它称为继 格纳一塞兹原胞。

§1.2周期性边界条件

由于实际晶体包含的原子是有限的，故每个能带所包含的状态数是有限的,又由于边界条件的差异对大块晶体性质并无本质影 响,故引入周期性边界条件来计算k 空间的取值密度。

? 一维:

设一维晶格总长度L=Na (N 为包含原胞总数

)

周期性边界条件为：业(0)=屮K(L)二屮k(Na)

ipk(0) = Mk(O) 屮k(Na) = e,kNa pk(Na) = e ikNa pk(0)

所以得到0kNa = 1 故有kNa =2nir (n为谿)

因此k的可取值为k= ( 2nn )/Na ,取值密度g k = Na/2n =L/2n

对一维，简约布里渊区长度为2n/a ,因此布里渊区内包含的状态数为(2n/a )( L/2n ) = L/a = N正好等于原胞数N

所以k空间的取值密度也可以用原胞总数除以布里渊区长度来计算(对于二维则除以布里渊区面积，三维除以布里渊区

? 爭：

对于三维可以类似t也求得k空间的状态密度

gk=(NiarN2a2 N3a3)/(2n)3 ( Ni, N2, N3表示三个维度上的原胞数)

显然,用倒格子原胞的体积(2TT)3/Q乘以k空间的密度gk得到k空间的状态数为N L N2N3 ,仍等于晶体所包含的原胞总数。

*注：上面公式中Q表示实际晶体原胞体积,有Q=ai a2-a3

§2电子准经典运动

§2.1电子准经典运动的两个基本公式

② v丄心)

h

§2.2加速度和有效质量

爭：J=^(l vk￡(k))= l2(F.vk)v k￡(k)

i/m可对角化，因此可以写成F& = 如幺? m a I %丿

写成张量形式：—=(―)F，其屮—= a, m m

d2E

d2E

d2E

称为有效质呈张屋

m — my , rrv 均为正值，在满足上面抛物线性关系的能星范围内，有效质量各个分量可以看

作常数，对立方对称性晶体m x = m y = m z = m r 可以写成：￡? (k )二E (k (l ) + 同理对

于能带顶有：E(k) = E(k (1) +沪* '，此时m 为负值。

2 m 带底的m 为正值，故开口向上 带顶的m 为负值，故开口向下 |m|大小决定曲

线的弯曲程度, 以左图为例可知，上面的曲线 开口较小故|m|相

应较小，而下 面曲线的|m|较大

E-k 曲线

§3导带的电子和空穴

§3.1基本原理

1.

满带中电子不导电,未填满能带在有外加场时产生电流。 2. 绝缘体^半导体只有一系列满带和一系列空带，不存在半满带，最上面的满带叫价带，最下面的空带叫导带。导带底与价 带顶之间的能星间隙称为禁带他叫能隙)，禁 带宽度用Eg 表示。

可以用两条线代表导带底,利介带顶；能量值分别用 Ec 和Ev

表示。

3. 绝缘体，半导体和金属:Eg 在lev 附近的称

为半导体，热激发时满带不满，空带不空，有一定的导电性；Eg 大于10ev 的称为绝缘体，电子很少激发，因而几乎不

对于能带底(Eic 最小处) f BE ]

=0设ko = O 在k = 0处泰勒展开有: 5丿_ ■

E （k ）=E （k°）+# 謬k =E （k°） + % k 2 k; k 2 T + r + V ） m v m v m.

fi 2k 2 2 m

导带底Ec ________________ 价带顶E v

导电,而金属中则存在半满带,因此具有良好的导电性能。

4. 近荷带的斬：假想的粒子,等价于2N-1个电子的总体运动。

设空穴处有电子的时候，因为满带电流为0 ,有

J(k) + (-e)V(k) = 0

其中J(k)表示2N-1个电子的总电流

推出2N-1个电子的总电流J(k) = e V(k)

说明2N-1个电子的总电流等效于錘电,速度为V(k)的粒子

而由于空穴出现在价带顶，m*＜0,故引入空穴有效质量m h* =|m*|为正，综上，把空穴等价成?正电荷.正有效腿的粒子. §3.2常见半导体的能带结构,直接禁带与间接禁带半导体

1. 对于半导体材料来说,E(k)函数的不同决走了其许多重要物理性质的不同,E(k)函数一般有两种表示法:

?E?k图：由于是四维图像，无法直接画出，故选等价对称方向，做出E- k曲线。

?等能面:E K=常数，1＜空间的曲面。

2. 嶷禁带￥#林间接禁带半导体：

对于半导体来说，我们最关心的是导带底和价带顶的性质，光照激发价带电子到导带形成电子空穴对，所吸收光子的

力〃

要大于Eg ,这被称作光吸收。有两种情况…

?价带顶和导带底有相同的k ,(如图甲)此时可以吸收光子跃迁，电子能量差等于光子等屋，忽略光子的动量，近似有跃迁前后的k相同，近似为竖直跃迁。这类半导体称为直接禁带半导体，常见的半导体中InSb , GaAs , InP 等都属

于直接禁带半导体。常用来做^学器件。

?价带顶和导带底不在相同的k ,(如图乙)此时电子吸收光子跃迁要伴随着吸收一个声子，由光子提供能量变化，声子提供准动量变化，电子能星差二光子能量土声子能量，忽略声子能量近似有电子能量变化等于光子能量。而忽

略光子动量，则有准动量变化等于声子准动虽。此时跃迁不再是竖直跃迁。这类半导体称为间接禁带半导体，常见

半导体中Ge , Si等都属于间接禁带半导体。由于跃迁需要光子，声子二维作用，所以跃迁几率大大减小，复合几率

小,因此常用来做电子器件。

3. 轻畫空穴带：Ge , Si中的价带结构比较复杂，由四个带组成，价带顶附近有三个带，两个最高的带在k=0处简并，分别

对应重空穴带和轻空穴带。(曲率大者为轻空穴带)

4. 导带底附近的等能面：

?Si中导带底附近的等能面:导带底＜1,0,0＞方向，位于(kxo, 0,0 )点，等能面是旋转椭球，共有6个等能面。

?Ge中导带附近等能面＜1,1,1 ＞的端点，旋转師球，共有4个旋转橢球(8个半球1

?价带的有效质量各向异性，等能面不是椭球。

又因为务命故十(- eE)_ e2E

tn * m *

杂质能级 施主：能向晶体提供电子，同时自身成为带正电的离子的杂质称为施主杂质。

浅能级施主杂质：一般是V 族元素,比Si 多一个价电子,原子实多一个正电荷,当电子束缚于施主中心时,其能量低于 导带底能量，能级在禁带之中，与导带之差（称为电离能）EG （l/100）ev （在Si 中）。杂质能级很接近导带底,称为浅能级 杂质。

:占有电子时为中性■不占有电子时带正电。一般用E A 表示。

n 型半导体：主要依靠电子导电。

受主:能接受电子■并使自身带负电的杂质。

浅能级受主杂质：III 族元素.少一^电子,原子实多一个负电荷?形成束缚杂质能级■在禁带中释放一个空穴需要一定 的能量，约为（1/100 ） ev ,称为浅受主能级。

:不占有电子时（即束缚空穴时）电中性,占据电子时带负电。

P 型半导体:主要依靠空穴导电。

深能缺质:杂质能级｛矚导带底^价带顶都彳甌.主要起复合中作用。

:如Si 中的Se 和Te ,代替Si 多出两个电子，第二个电子的电离能更大。

两性杂质：既可以起施主作用,又可以起受主作用，如Si 中的金Au 在n 型半导体中起受主作用，在p 型半导

体中起施 主作用。

葩杂:浅能级杂质掺韶艮高。

类氢模型:当V 族原子（或III 族原子）代替Si 时,类似于氢原子,只需要作代换?用有效质量m 代替电子质量mo ■用

式为务=上匚 =136（^0和勺-=0.534）

8^/2

血叫 类氢杂质：通第把能用类氢模型描述的杂质称为类氢杂质，它们是一些离导带很近的施主和离价带很近的受主杂质,称为

浅能瞬质。 施主卿 ............................ Ec

E D .............................. ______________ E v

施主能级

______________ Ec

E A

Ev 受主能级

e 讥代替R ,我们就可以得到杂质的电离能为：吕=

■

4 me Se 2￡2h 2 0 杂质的等歿皮尔半径为:a=^-^（簸网公 耐m

第三章 电子和空穴的平衡统计分布

§1费米分布函数及其性质

我们认为半导体中的电子为全同粒子,且遵守泡利不相容原理,其分布为费米分布 能级位置

f(E) =— 其中件：费米能级

1+￡~旷 k ：玻尔兹曼常数 =1.38x10必〃 K

f(E )是能量为E 的电子能级被辭的几率，工f(Ei) = N (屯子总数)。

能级 1- f(E)是不被占据的几率，也可以看成是被空穴占据的几率，用fp(E)表示r 有f P (E)= 1- f(E)o

? 费米分布函数的性质:

? 在 E F 处有 f(EF )=0.5

?当 E - E r ? kT 时，冇 f(E) -

t 0。

亠 ?当 E v - E ? kT 时，有

kT Tl 。 ?

当T=0K 时，对于EE F 有f(E)=0。T H O 时f(E)在E F 附近kT 范围内变化，反映了电 子的热

激发。 §2利用费米函数求载流子浓度

半导体中载流子包括导带中的电子(浓度用n 表示)和价带中的空穴(浓度用p 表示L 有：

§2.1态密度g(E)

为了描述能带电子状态的分布，引入态密度g(E)表示单位能量间隔内的状态数，则E 到E+dE 内的状态数dN=g(E)d E 。

则电子浓度dn=f(E)g(E)dE,因此有兀=卩(￡)巩￡)心，故只要求得g(E)即可求岀载流子浓度。下面我们给岀利用 导带 g(E)=(W dE 来求g(E)的一般步骤，并举例说明。

a)

求k 空间的体积(用k 表示)进而利用g(k)求得N-k 关系。 b)

利用E-k 关系，导岀k=f(E),代入N-k 表达式进而得到N-E 关系。 c) 对N-E 表达式求导，得到d N / ck ,即g(E)。

a):由第二的讨论可知，单位体积晶体(即V")计入自旋、反自旋两个状态，在k 空间的态密度为g(k)=2/(2n)3。 由于｛E ｝各向同性,k 空间等能面是球形,体积是(4/3川心，乘以k 空间态密度g(k)得到:N 二(4/3)磁如2/(2呻

j (导带中的电子能级)

p=

工侶) i (价带电子能级〉

例1 :简单能带模型，E (k )二

,｛mJ 各向同性。

N 土吋亠#

3 (材 (2龙)' b):由E(k)=匚+也_得到：

2 m J?m ￡ （其中w =E-Ec ）代入 N h 0对上面N 的表达式求导得到:=气必? 即g

(E)=翌窖 d l ： hr

lr h 3 1 ￡2 (其中

h = 2 加)

例2 :对于有效质量并非各向同性的情况,计算g(E)° 对于有效质呈各向异性的情况k 空间的等能面是椭球,体积是(4/3)Tikxkykz 而由E-k 关系可以得到k 二 (其中i 分别取x r y r z; E =E-Ec),因此把例1结果中的(2m)3/2换成(8mxmymz)“即可。 再推广至有S 个等价能谷的情况，此时体积为(4/3)TTkxk y kzS ,只需把例1结果中的(2mW 换成S(8gEmzM 也可引

4/r(2〃i )% 丄

入定义态密度有效质呈md 二⑸mxm y m z )i/3则对于三维情况都有g(E) = —— --------------- ￡「特别的对Si 来说， /?' 有6个能谷,等能面是旋转撕球,有m d = (62 m L m r 2)i/3，对Ge , S=4 r m d =件 皿吠)“。 例3 :若在某半导体中形成二维电子气,且m 各向同性，求g(E)

对于二维情况，g(k)= 2/(2TT )2 ,若m 各向同性，则等能线是圆，面积是2nk2因此N=2Til<2x2/(2Tt)2代入 丘—- A7 4兀

⑵n)

，厂、4龙(2加)

k 二75 ￡得到N 二 一 ￡，因此有g(E)二 一—是与E 无关的常数。 h h h

§2.2载流子浓度

? 导带电子浓度:n=J^g(E)f(E)d E

两个近似：

① 玻尔兹曼统计近似：室温下kT=0.026ev Ec-Ev> >kT 在此条件下有肛)丸吐。曲。 ②为了计算方便,把积分上限延拓到8。(因为随著E 的增大，f(E)指数减小,E 趋近于8时f(E)很小，可以忽略) 由

上面两个近似，得到:

n= r 訂％ 皿必.(E — E Q /E 把常数提岀积分式外得到

Ed*

灯=N? ? ￡ kT

Ecf 其中Nc=2?d 勿挈)1称为有效导带密度，或导带获态密度。上面的推导中用到了 h ? 同理可以由p 打价带g/E)[l-f(E)]dE (其中l ?f(E)=e (E ?Ej/i

求彳昌p=Nv 弋)/u

E 「E

F h 3

h 3

则上式/舵⑷) 3 4龙(2加)

（2mnkT）2

其中N v= 2--——* --------- 称为价带获态密度。

?从上面的推导结论可以看出，半导体中的载流子浓度n和p都是E F的函数，二者的乘积rrp却与E F无关,对任一镰的半导体,醴定的腿下,电子空穴浓度的乘积总是衡定的。

有n p二NcNveWMT

§3本征载流子浓度

本征韩体:纯;争的半导体中费米能级位詈和载流子浓度只是由材料本身的本征性质决定的,这种半导体称为本征半导体。

本彳:本征半导体中载流子只能通过把价带电子激发到导带产生，这种激发过程称为本征激发。

?本征时由电中性条件得到n=p ,设此时的费米能级用Ei表示，则

Nc e-（E「Ei）/kT= Nv e-（Ei-E V）AT

解此方程得到:Ei = % +耳.g H

2 2 N c

E r + E v 3kT i tn p

代入Nc、Nv的表达式得到Ei =」 -------- - +------- In—

2 4 叫

由于空穴的有效质量要mp大于电子的有效质量m ,故Ei位于禁带中央偏向导带，但由于一月犒况下第一项比第二项大得多,只有在温度较高的时候才考虑第二项的影响,所以一^情况下可以认为本征情况下费米能级位于禁带中央。

利用Ei的表达式即可求出本征载流子浓度m的表达式如下：（解的时候可以利用n二p把n、p的表达式相乘消去Ei ,再开方即可得到ni）

1 Ec-Ey 1 6

n.=n = p = （N C N V）2e 2kT = （N c N v）2e 2kT

对于给定半导体,室温下n堤常数，室温下Si的n.=1.5xl0w C m-3 , Ge的n.=2.5xlO13C m-3

实际的半导体中总含有少量的杂质，在较低温度下杂质提供的载流子往往超过本征激发，但较高温度下，本征激发将占优势，把本征激发占优势的区域称为亦理。

对任何非简并（简并的定义参考本章最后一节）的半导体，无论E F的位置如彳可，者隋n p等于常数。因此有:n p = 故可以利用m来表示载流子浓度n和p。表达式如下：

n = Nc e（E「E）AT = Nc e*（Ee-Ei）AT.e-（EI-E.）AT= ni.e-（Ei-E.ykT = ni.e（E,-Ei）AT

同理可以得到:p = ni-e（Ei-E）/kT

由上面可以的两个公式可以看出，若E F在Ei上，则n>p半导体是n型；反之E F在Ei下，则半导体是p型。

§4非本征载流子浓度

在介绍非本征载流子浓度之前,先介绍杂质能级的占有；1滓,由于杂质上的电子状态并非互相独立,电子占据施主能级的

￡ 1

几率与费米分布函数略有不同。为f D = ------------- 兀〒■其中qD称为施主基态简并度，对于类氢施主有go=2

1 +丄￡

&D

类似地，对于受主，若以“A表示空穴占据受主态的几率，有

=>.A = 同样称qA 为受主基态简并度,对于类氢受主有g A =2。

§4.1单一杂质能级情形

以施主杂质为例：它的中性条件不再是2 p 而是 n=p+ND-no （N D 是施主杂质浓度，no 是施主杂质上电子浓度） 吕可以这样理解并记忆（推荐使用第二种方法）：

①价带向导带提供电子数为p 杂质能级向导带提供电子数为N DFD ,故总电子数n=p +（ND-n D ） o ②导带有浓度为n 的电子，带浓度为n 的负电荷，价带有浓度为p 的空穴,带浓度为p 的负电荷，杂质能级为施主能 级，带有浓度为N D W D 的正电荷，由于半导体整体不带电，所以正负电荷电量相等，也可得到ZP +N D W D o 下面针对不同条件进行化简并计算： 一、弱电离情形： 弱电离情形相应于低温情形，在低温条件下杂质大部分没有电离N D -DDV N D 此时施主能级基本被电子占据，费米能级必 在E D 之上，空穴浓度必定远远小于电子浓度，电中性条件中可以略去p 代入n 和N D "D 的表达式：

,变成 n 二 No-nD 。 E C -E F N c ■ e kl 一

N D E F _ E 1 + g^r-

〔（上式最后一步中由于 / 一巧 ,v n N c ?

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