免费的南大历年《量子力学》的真题

南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学

???(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 V?x???0?V?0x?00?x?a x?a在E?V0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？

（二）20分 一个取向用角坐标?和?确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：

?2是角动量平方算符，??AL?2?B?2cos?2??，式中A和B均为常数，且A??B，LH试用一级微扰论计算系统的p能级（l?1）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 （三）20分求在一维无限深势阱中，处于?n?x?态时的粒子的动量分布几率?n?p? 。 （四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）e???i?p????i??x???pj?1i?22?e????xj?e ？式中i?和?j分别是x和y方向的单位矢量。

?x,p?xf?x??p?x??（2）?p?i?x??xf(x) ？式中pp'??i?x ，

??（3）系统的哈密顿算符为H??2p2?12???2p2????V?r? ，设?n?r?是归一化的束缚态波函数，则有：

?n?n??nr??V?r??n ？

??H??H? ，其中（五）20分碱金属原子处在z方向的外磁场B中，微扰哈密顿为H1lsB??Hls??eB??1dV???LZ?2SZ ， ??L?S ，HB?222?c?rdr?2?c1??当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： Ylm??2l?1??l?4?m?!?l?1im???cos?e Plm?!1/2mP1?x??x；P1?x??

01?1?x?21/22；P2?x??3?1?x?x

P2?x??3?1?x2?

2南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学

专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理

2 (20分) 一、 t＝0时，粒子的状态为?(x)?A[sinkx]，求此时动量的可能测值和相应的几

率，并计算动量的平均值。

二、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动

(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在0????0的一段圆弧上运动：

?0V(?)????(0????0)(?0???2?)

求解粒子的能量本征值和本征函数。

(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最

低能量态的几率是多少?

(20分) 三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量

试求对能量的一级修正(式中b为常数)。

(15分) 四、 对自旋为1／2的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求ASy+BSz的本征函数和本

征值(A和B是实常数)。

(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是

3??ma222 ，如微扰哈密顿H1?bxy，

?(x)?Nxexp(??x)exp(ip0x/h)； ?(p)?c(p?p0)exp[?b(p?p0)2]

式中N、?、c、b和p0都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均值,?2x?t?0???p?t?0??，（????表示力学量算符A?A的平均值）。

* ?0

xe2?ax2dx?14a?a

南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学

专业:理论物理,凝聚态物理,光学等

一. 一维谐振子处在?(x)???1/2e122??x2状态, ??m??, 求:

(1) 势能的平均值 (7分) (2) 动能的几率分布函数 (7分) (3) 动能的平均值 (7分) 提示:?????e?(x?i?)2dx??

x?0???二. 质量为m的粒子在一维势场V(x)??0 0?x?a中运动,求,

?Vx?a?0(1) 决定束缚态能级的方程式 (15分)

(2) 至少存在一个束缚态的条件 (5分)

??x?0,x?a三. 质量为m的粒子在一维势场V(x)?? 中运动,其中c是小的实常

cx0?x?a?数，试用微扰论求准到c一次方的基态能量. (20分)

四. 两个自旋

12的非全同粒子系的哈密顿量

???????J[S(1)?SH(2)] Js?0

?的能量本征值和相应的简并度. (20分) 求Hs

?五．(1) 设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级

的分裂情况. (10分)

(2) 如果沿z方向不仅有均匀静磁场B,还有均匀静电场E, 再用微扰论求n=2能级的分

裂情况. (9分)

提示: 200z210

????3a

南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学

专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等

一、有一质量为?的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中V?x???刻，粒子的状态由波函数??x???1.

2. 3. 4.

?0,x?0;x?a?Ax(a?x),0?x?a??,x?0;x?a?0,0?x?a，在t=0时

描述。求： （20分）

归一化常数A;

粒子能量的平均值；

t=0时刻，粒子能量的几率分布；

人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。

提示：

?n?1,3,5???1n4??496

二、考虑势能为V?x????V0,x?0?0,x?0的一维系统，其中V0为正常数。若一能量为E的粒子从x???处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E的所有可能值。（20分） 三、有一质量为?的粒子，在一维谐振子势场V?x??1212??x中运动。在动能T?22p22?的非相对

1论极限下，基态能E0???，基态波函数为?0?x???1c2????4???2?x?。考虑T与p?exp???????2??的关系的相对论修正，计算基态能级的移动?E至阶。（c为光速）（20分）

四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺

度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）

提示：电子质量mc1220?0.511MeV,?c?197MeV?fm，晶格常数a?1A

五、考虑自旋S??的系统，

??BS?的本征值和归一化本征波函数；??AS1．求算符T（A、B为实常数） yz?结果为???的某一个本征态上，求此时测量S2．若此时系统正处在Ty????（20?的几率。

2?分）

南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学

一、 一维自由粒子的状态由波函数??x??sin能平均值。（20分） 二、 粒子被约束在半径为r的圆周上运动

?0,0????01）设立“路障”进一步限制粒子在0????0的一段圆弧上运动，即V?????，

?,????2?0?2kx?12coskx描述。求粒子的动量平均值和动

求解粒子的能量本征值和本征函数；

2）设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在

最低能量态的几率是多少？ （20分）

1???u?1?u?u?????提示：在柱坐标系下?u??222?????z???????222

???a?,a????1，证明：如果?是N??a?且?a三、 设算符N的本征函数，对应的本征值为?，????的本征函数，对应的本征值为??1，而波函数??a???也是N那么，波函数?1?a?也2?的本征函数，对应的本征值为??1。是N（20分）

?0,0?x,y?a四、 一个粒子在二维无限深势阱V?x???中运动，设加上微扰H1??xy

?,elsewhere??0?x,y?a?，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）

??1??五、 若电子处于Sz的本征态，试证在此态中，Sy取值为?或的几率各为。（20分）

222

南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学

专 业: 理论物理,凝聚态物理

一、一个质量为?的粒子处于一维谐振子势V?x??11222??x中运动，?为谐振子的本征振动频率。如果

t?0时，该粒子处于态??x,0??3?0?x??c?2?x?，其中?0?x?和?2?x?分别为一维谐振子的基

态和第二激发态的能量本征波函数，c为待定常数且c?0。 1） 根据归一化条件，求待定常数c；（5分） 2） 求t时刻粒子所处的状态??x,t?；（5分）

3） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率； 4） 求粒子能量的平均值；

（5分）

'（10分）

5） 若在t??时刻，粒子所处的势场突然变为VV'?x????2x2，求粒子在?时刻处于新的势场

31?x?的第一激发态的几率。

（5分）

二、一根长为l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动， 1） 写出质点运动的哈密顿量； （10分）

2） 在小角近似下求系统的能级； （10分）

3） 求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。 （10分） 提示：质量为m，本征频率为?的一维谐振子的基态波函数为?0?x??Cexp????1222?x?，其中C是

??归一化常数，??m??；?????exp??x?dx?2?。

三、质量为?的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为a，高度为V0的一维势垒

|a|?0 x ?V?x????V0 x|?|a/2。设粒子的能量E?V0。试求发生共振透射（即透射系数为1）的条件。（30/2????S2z??BS1?S2描述，其中S1和分别是两个

分）

四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量H?A?S1z粒子的自旋，而S1z和S2z则分别是这两个粒子自旋的z分量，A和B是实常数。求该哈密顿量的所有能级。

（30分）

?0 |x|?a/2Vx?a五、一个质量为?，带电荷为q的粒子，束缚在宽度为的一维无限深势阱???中运

? |x|?a/2?动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。

（30分）

六、两个粒子被束缚在一个边长为a?b?c的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为

??????V?x1,x2??A??x1?x2?可以作为微扰，其中x1和x2分别为两个粒子的坐标，A为实常数。分别就以

下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A的一次方。

1） 两个粒子为自旋为零的全同玻色子； （15分）

2） 两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。（15分）

南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——量子力学

一、已知电子质量为?，电子电量为(-e)，回答以下问题：

1) 一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分）

2) 五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相互作用，请

写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。（10分） 3) 一个电子处于一维谐振子势场

12??x中运动，其中?是谐振子的本征园频率，x是电子的坐标，

22请写出该体系的能级公式。（5分）

4) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，求电子的

坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）

5) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分） 6) 假定氢原子处于基态，求电子势能?e2r的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10分）

二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：?(r,?,?)?(ei?sin??cos?)g(r)，其中g(r)仅是径向坐

?的可?2的可能测量值和相应的几率；标r的函数。1）求角动量平方L（10分）2）求角动量的z分量Lz能测量值和平均值。（10分）

三、S代表电子的自旋算符，n?(sin?cos?,sin?sin?,cos?)为从原点指向单位球面上(?,?)方向上的

单位向量，其中?是纬度，?是经度。

1) 在(S2,Sz)表象下求自旋S在n方向上的投影Sn?n?S的本征值和相应的本征波函数。（10分） 2) 假定电子处于Sn的某个本征态，那么测量Sz会得到哪些数值，相应的几率是多少，测量Sz的平

均值又是多少？（10分）

四、一个质量为m，无电荷但自旋为1/2，磁矩为???2?0?s的粒子在一维无限深势阱

??0; x?LV(x)??中运动，其中?0和L是正常数，x是粒子的坐标，s是粒子的自旋算符。现在考

????; x?L虑在x?0的半空间中有一沿z方向的均匀磁场，其大小为B，而在x?0的半空间有一同样大小但沿x方

向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在Pauli表象下写出。）（30分）

五、一个质量为m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势V(r)??C?(r?a)作用，其中C，a为正常数，r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问C的值最小可以取多少？ （30分） 六、一个质量为m的无自旋的粒子受到中心势V(r)???221cosh(r/a)2ma的散射，其中a是常数。已知方

程

dydx22?ky?22cosh2xy?0有解y?e?ikx(tanhx?ik)，在低能极限下，求粒子能量为E时，s分波的散

射截面及其角分布。（30分）

南京大学2005年硕士研究生入学考试试题——量子力学

专 业: 理论物理,凝聚态物理

一、问答题

1、试述量子态的叠加原理。（5分）

讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？（5分） 2、为什么波函数?(x,t)必定是复数？（5分）

一维定态薛定谔方程的解?(x)是否也必定是复数？（5分） 3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么： （1）、?(x,t)和ei??(x,t)，其中?是实常数；（5分） （2）、?(x,t)和ei?(z)?(x,t)，其中?(x)是实函数。（5分）

?应是线性厄米算符？（10分） 4、为什么力学量算符A 5、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？（10分）

??0; x?aV(x)?二、质量为?的粒子在一维无穷深势阱中运动， ?1; x?a??其中a是正实数，求解定态薛定谔方程。（20分）

?122???x; x?0三、质量为?的粒子在一维势场中运动，势能为：V(x)??2 ，

?? ; x?0?其中x>0区V(x)为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。（20分）

四、设质子是半径为R的薄球壳，其电荷e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受势能偏离质

子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正E2（积分公式列出后不必计算）。（20分）

e???S，其中g=1.9，M为中子质量。当自旋在z方向向上极化的中子束，五、中子有内禀磁矩：M??gMc(1)沿x轴作一维运动时，在x<0区没有磁场而在x>0区域存在恒定磁场B，其方向沿z方向。若能量

E?ge?B2Mc，求解中子的一维散射运动。（20分）

?0; 0?x?a??; x?0, x?a六、求两个关在一维无穷深势阱V(x)??（a为正常数）

中，并以接触势U(x1,x2)?d?(x1?x2) (d??1)相互作用的全同中子系统的零级近似归一化波函数（考虑自旋态），并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。（20分）

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