16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

目录

1.均匀分布 (1)

2.正态分布（高斯分布） (2)

3.指数分布 (2)

4.Beta分布（β分布） (2)

5.Gamma分布 (3)

6.倒Gamma分布 (4)

7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5)

8.Pareto分布 (6)

9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)

χ分布（卡方分布） (7)

10.2

11.t分布 (8)

12.F分布 (9)

13.二项分布 (10)

14.泊松分布（Poisson分布） (10)

15.对数正态分布 (11)

1.均匀分布

均匀分布~(,)

X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。

1()f x b a

=- ()2a b E X += 2

()()12

b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布）

当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。

2

2()2()x f x μσ--=

()E X μ=

2()Var X σ=

3. 指数分布

指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。

(),0x f x e x λλ-=>

1

()E X λ=

21

()Var X λ=

4. Beta 分布（β分布）

Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。

10

()x t x t e dt ∞

--Γ=? 11()()(1)()()

a b a b f x x x a b --Γ+=-ΓΓ ()a E X a b

=+ 2()()(1)

ab Var X a b a b =+++ 5. Gamma 分布

Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的

问题是“要等到n 个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为~(,)X Ga a b 。其中0a >为形状参数，0b >为尺度参数。Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数λ、Poisson 分布()P λ的参数λ的共轭先验分布。

1(),0()a a bx b f x x e x a --=>Γ

()a E X b

= 2()a Var X b =

6. 倒Gamma 分布

倒Gamma 分布记为~(,)X IGa a b 。若随机变量~(,)X Ga a b ，则1~(,)IGa a b X

。其中0a >为形状参数，0b >为尺度参数。倒Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数1

λ、均值已知的正态分布2(,)N μσ的参数2σ的共轭先验分

布。

(1)(),0

()a a bx b f x x

e x a ---=>Γ ()1

b E X a =- 2

2(),2(1)(2)

b Var X a a a =>--

7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布)

威布尔分布记为~(,)X W m η。其中0m >为形状参数，0η>为尺度参数。当1m =，它是指数分布；2m =时，是Rayleigh distribution （瑞利分布）。常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。

1(),0m m x m x f x e x ηηη-??- ?????=> ???

1()1E X m η??=Γ+ ???

2221()11Var X m m η??????????=Γ+-Γ+?? ? ????????????

?

8. Pareto 分布

Pareto 分布记为~(,)X Pa a b 。其中0b >为门限参数，0a >为尺度参数。Pareto 分布是一种厚尾分布。Pareto 分布为均匀分布(0,)U θ的参数θ的共轭先验分布。

1(),a a b f x x b b x +??=≥ ??? (),11ab E X a a =>-

22

(),2(1)(2)

ab Var X a a a =>-- 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）

Cauchy 分布记为~(,)X Ca a b 。其中a 为位置参数，0b >为尺度参数。中位数()Mode X a =，期望、方差都不存在。如果12,,,n X X X K 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数()12,,,/n X X X n K 服从同样的柯西分布。标准柯西分布(0,1)Ca 是t 分布的一个自由度。这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。

221()()b

f x b x a π=+-

10. 2χ分布（卡方分布）

设12,,,n X X X K 是来自(0,1)N 的样本，则称统计量221n

i i X χ==∑服从自由度为

n 的2χ分布，记为22~()n χχ。

12221

(),022n x n f x x e x n --=>??Γ ???

()E X n =

()2Var X n =

11. t 分布

设~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X ，Y 相互独立，则称随机变量t Y

n

=服从自由度为n 的t 分布。记为~()t t n 。当自由度n →∞时，t 分布将趋于(0,1)N 。有时样本量很小，不知道总体的标准偏差，则可以依赖 t 统计量（也称为 t 分数）的分布，其值由下式给出：~(1)X t n s

n

μ--，其中X 是样本均值，μ是总体均值，s 是样本的标准偏差，n 是样本大小。

12212()12n n x f x n n n π+-+??Γ ?????=+ ????

?Γ ???

()0E X =

(),22n Var X n n =>-

12. F 分布

设21~()U n χ，22~()V n χ，且U ，V 相互独立，则称随机变量12

U n

F V n =服从

自由度为12(,)n n 的F 分布，记为12~(,)F F n n 。设112,,,n X X X K 与212,,,n Y Y Y K 分

别是来自正态总体211(,)N μσ和2

22(,)N μσ的样本，且这两个样本相互独立。设X ，Y 分别是这两个样本的样本均值；21s ，2

2

s 分别是这两个样本的样本方差，则有2

122

122122

~(1,1)s s F n n σσ--；当22

212

σσσ==时，121212

~(2)11w X Y t n n s n n +-+

，其中

22

21122

12(1)(1)2

w

n s n s s n n -+-=

+-。 11122

1121222

1212

2(),0

122n n

n n n n n x n f x x n n n x n -+??+??Γ ? ?????

=

>??????ΓΓ+ ? ? ???????

1

11(),22

n E X n n =

>-

2

1

12122112(2)(),4(2)(4)

n n n Var X n n n n +-=>--

13. 二项分布

二项分布十分好理解，给你n 次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为p ，问在这n 次机会中有k 次（k ≤n ）硬币朝上的概率为多少。记为~(,)X B n p 。当n 足够大，且p 不接近于0也不接近于1时，二项分布(,)B n p 可用正态分布(,(1))N np np p -来近似。

!()(1),[0,1]()!!

k n k n P X k p p p n k k -==-∈- ()E X np =

()(1)Var X np p =-

14. 泊松分布（Poisson 分布）

泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n 个事件的概率”，记为

~()X P λ。当二项分布满足np n λ=??→∞

?时，二项分布近似为泊松分布。泊松分布()P λ当λ足够大时，变成正态分布(,)N λλ。

(),

0!k e P X k k λ

λλ-==>

()E X λ=

()Var X λ=

15. 对数正态分布 对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y 是正态分布的随机变量，则exp(Y)是对数正态分布；同样，如果X 是对数正态分布，则ln(X)为正态分布，如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布，如拟合风速分布模型，记为2~(,)X LN μσ。

22(ln )2(),0

2x f x x μσπσ--=> 22()E X e σμ+=

222()(1)Var X e e σμσ+=-

16. 瑞利分布

当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。

2222(),0x x

f x e x σσ-=> ()2E X π

σ= 24()2

Var X πσ-=

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