2015年高三数学名校试题分类汇编(1月 第一期)E单元 不等式(含解

E单元 不等式

目录

E单元 不等式 1

E1 不等式的概念与性质 1 E2 绝对值不等式的解法 3 E3 一元二次不等式的解法 7 E4 简单的一元高次不等式的解法 8 E5 简单的线性规划问题 8

ab?E6 基本不等式a?b2 16

E7 不等式的证明方法 19 E8 不等式的综合应用 22 E9 单元综合 23

E1 不等式的概念与性质

【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412）】20.（本小题满分12分）

2*an???a?Sa?2Sn?an，设数列的各项都是正数，且对任意n?N，都有n其中n为数列n的

前n项和. （I）求数列（II）设

?an?的通项公式；

n?1bn?3n???1?.??2an（?为非零整数，n?N），试确定?的值，使得对任意

*n?N*；都有bn?1?bn成立.

【知识点】数列的通项公式 不等式D1 E1

*a?n(n?N)；n【答案】【解析】（I）（II）－1

2*a?2Sn?an，……………① nn?N 解析：（Ⅰ）∵时，

a?2Sn?1?an?1当n?2时，n?1，………………②

由①－②得，即

22an?an?1?(2Sn?an)?(2Sn?1?an?1)2

，

22an?an?1?an?an?1，∵

an?an?1?0 ∴

an?an?1?1(n?2)a12?2S1?a1n?1由已知得，当时，，∴a1?1.

*a?n(n?N). {a}nn故数列是首项为1，公差为1的等差数列.∴

1

*nn?1na?n(n?N)b?3?(?1)??2nn（Ⅱ）∵，∴,

n?1nnn?1n?1nnn?1nb?b?3?3?(?1)??2?(?1)??2?2?3?3??(?1)?2n?1n∴.

3n?1n?1(?1)???()b?bn恒成立,只须2. 要使得n?1(1)当n为奇数时,即

??()n?132323()n?1恒成立.又2的最小值为1,∴??1. 333????()n?1?2 恒成立.又2的最大值为2,∴

(2)当n为偶数时,即

???()n?13???1∴由(1),(2)得2,又??0且?为整数,

?*b?bn成立. ∴???1对所有的n?N,都有n?1【思路点拨】遇到由数列的前n项和与通项的递推关系，通常先转化为通项之间的递推关系再进行解答，对于不等式恒成立问题通常转化为求最值问题进行解答.

【数学文卷·2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412） (1)】20.（本小题满分12分）

2*an???a?Sa?2Sn?an，n?Nn设数列的各项都是正数，且对任意，都有其中n为数列n的

前n项和. （I）求数列（II）设

?an?的通项公式；

n?1bn?3n???1?.??2an*?n?N（为非零整数，），试确定?的值，使得对任意

n?N*；都有bn?1?bn成立.

【知识点】数列的通项公式 不等式D1 E1

*a?n(n?N)；n【答案】【解析】（I）（II）－1

2*an?2Sn?ann?N 解析：（Ⅰ）∵时，，……………①

当n?2时，

2an?1?2Sn?1?an?1，………………②

，

由①－②得，即

22an?an?1?(2Sn?an)?(2Sn?1?an?1)22an?an?1?an?an?1，∵

an?an?1?0 ∴

an?an?1?1(n?2) 2

2a?2S1?a1，∴a1?1. n?11由已知得，当时，

*a?n(n?N). {a}nn故数列是首项为1，公差为1的等差数列.∴*nn?1na?n(n?N)b?3?(?1)??2nn（Ⅱ）∵，∴,

n?1nnn?1n?1nnn?1nb?b?3?3?(?1)??2?(?1)??2?2?3?3??(?1)?2n?1n∴.

3n?1n?1(?1)???()b?bn?1n2要使得恒成立,只须.

(1)当n为奇数时,即

??()n?132323()n?1恒成立.又2的最小值为1,∴??1. 333????()n?1?2 恒成立.又2的最大值为2,∴

(2)当n为偶数时,即

???()n?13???1∴由(1),(2)得2,又??0且?为整数,

?*b?bn成立. ∴???1对所有的n?N,都有n?1【思路点拨】遇到由数列的前n项和与通项的递推关系，通常先转化为通项之间的递推关系再进行解答，对于不等式恒成立问题通常转化为求最值问题进行解答.

E2 绝对值不等式的解法

【数学理卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】22、已知函数

f(x)?x2?1,g(x)?a|x?1|．

（Ⅰ）若当x?R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数h(x)?|f(x)|?g(x)在区间[?2,2]上的最大值． 【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2

?3a?3?a?0??h?x???a?3??3?a?0???0?a??3?【答案】（Ⅰ）a≤?2；（Ⅱ）.

2(x?1)≥a|x?1|（*）对x?Rf(x)≥g(x)x?R【解析】解析：（1）不等式对恒成立，即

恒成立，

3

①当x?1时，（*）显然成立，此时a?R；

a?x2?1?(xx2?1?x?1,(x?1),②当x?1时，（*）可变形为|x?1|)?，令

|x?1|????(x?1),(x?1). 因为当x?1时，?(x)?2，当x?1时，?(x)??2，所以?(x)??2，故此时a≤?2. 综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤?2.

??x2?ax?a?1,(x≥1),??x2?ax?a?1,(?1≤x?1),（2）因为h(x)?|f(x)|?g(x)?|x2?1|?a|x?1|?=?x2?ax?a?1,(x??1).…10分a①当2?1,即a?2时，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递减，在[1,2]上递增，

且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3，经比较，此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.

②当0≤a2≤1,即0≤a≤2时，结合图形可知h(x)在[?2,?1]，[?a2,1]上递减， 在[?1,?a2]，[1,2]上递增，且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3h(?a)?a2?a?1，24，

经比较，知此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.

a③当?1≤2?0,即-2≤a?0时，结合图形可知h(x)在[?2,?1]，[?a2,1]上递减， 在[?1,?a2]a，[1,2]上递增，且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3h(?，2)?a24?a?1，

经比较，知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3.

3a④当?2≤2??1,即-3≤a??2时，结合图形可知h(x)在[?2,a2]，[1,?a2]上递减， 在[a2,1]，[?a2,2]上递增，且h(?2)?3a?3?0, h(2)?a?3≥0，

经比较，知此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为a?3.

a当2??32,即a??3时，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递减，在[1,2]上递增，

4

故此时h(x) 在[?2,2]上的最大值为h(1)?0.

?3a?3?a?0??h?x???a?3??3?a?0???0?a??3?综上所述， .

2(x?1)≥a|x?1|（*）对x?R恒成立，讨论当x?1时，【思路点拨】根据题意可得（*）

x2?1a?|x?1|，令显然成立，此时a?R，当x?1时，（*）可变形为?1),x2?1?x?1,x(?(x)???|x?1|??(x?1),(x?1).只

需求其最小值即可；

?x2?ax?a?1,(x≥1),?h?x????x2?ax?a?1,(?1≤x?1),a?x2?ax?a?1,(x??1).?1即,a?2?，讨论对称轴①当2时，②当

a0≤≤1即,0≤a≤22时，③当

?1≤a2?即0-2,≤a?时

0，④当

3a?≤??1即,-3≤a??222时，四种情况，分别求得最大值.

【数学文卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】（22）（本小题满分14分）

2f(x)?x?1,g(x)?a|x?1|． 已知函数

（Ⅰ）若当x?R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求函数h(x)?|f(x)|?g(x)在区间[0,2]上的最大值． 【知识点】含绝对值不等式 二次函数求最值 E2

?3?a,a??3h(x)max???0,a??3【答案】（Ⅰ）a≤?2；（Ⅱ）.

2(x?1)≥a|x?1|（*）对x?R恒成f(x)≥g(x)x?R【解析】（Ⅰ）不等式对恒成立，即

立，

①当x?1时，（*）显然成立，此时a?R；

5

x2a??1?(x)?x2?1?x?1,(x?1),②当x?1时，（*）可变形为|x?1|，令

|x?1|????(x?1),(x?1). 因为当x?1时，?(x)?2，当x?1时，?(x)??2， 所以?(x)??2，故此时a≤?2.

综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤?2.

h(x)?????x2?ax?a?1,0?x?1（Ⅱ）

??x2?ax?a?1,1?x?2 ?a?0当2时，即a?0，(?x2?ax?a?1)max?h(0)?a?1 (?x2?ax?a?1)max?h(2)?a?3

此时，

h(x)max?a?3

0??a(?x?ax?a?1)aa2?12当2时，即?2?a?0，max?h(?2)?4?a?1(?x2?ax?a?1)max?h(2)?a?3

此时

h(x)max?a?3

1??a?2当

2时，即?4?a??2，

(?x2?ax?a?1)max?h(1)?0 (?x2?ax?a?1)2)}?max{0,3?a}???0,?4?a??3max?max{h(1),h(?3?a,?3?a??2 h(x)?0,?4?a??3max??此时

?3?a,?3?a??2 ?a?2当2时，即a??4，(?x2?ax?a?1)max?h(1)?0 (?x2?ax?a?1)max?h(1)?0

此时

h(x)max?0

6

?3?a,a??3h(x)max???0,a??3综上：.

2(x?1)≥a|x?1|（*）对x?R恒成立，讨论当x?1时，【思路点拨】根据题意可得（*）

x2?1a?|x?1|，令显然成立，此时a?R，当x?1时，（*）可变形为?1),x2?1?x?1,x(?(x)???|x?1|??(x?1),(x?1).只

需求其最小值即可；

2???x?ax?a?1,0?x?1aaah(x)??2??00???11???2??x?ax?a?1,1?x?2，讨论对称轴222，，的三

种情况，分别求得最大值.

E3 一元二次不等式的解法

【数学文卷·2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412） (1)】9．若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解,则a的取值为( )

?1?51?5?1?51?52 B．2 C.2 D． 2 A．【知识点】一元二次不等式与二次函数的关系E3

【答案】【解析】D

解析：若不等式－2≤x2－2ax＋a≤－1有唯一解，则x2－2ax＋a=－1有相等实根，所以

1?54a?4?a?1??0，解得a=2,所以选D.

2【思路点拨】遇到一元二次不等式的解集问题，可结合其对应的二次函数的图象进行解答.

【数学文卷·2015届广东省中山一中等七校高三第二次联考（201412）】8．函数

?3x?4(x?2)?f(x)??2(x?2)??x?1，则f(x)?1的自变量x的取值范围为（ ）

5555[1,][,3](??,1)[,??)(??,1)[,3]33 A．3 B．3 C． D．

【知识点】分式，绝对值不等式的解法E3 E2

【答案】【解析】D解析：

7

?x?2??x?2?255??1?x?2?x?3?3x?4?1?2?x?3??x?1x?1x?133?或 或或或故选D．

【思路点拨】对于分段函数，分清楚每个条件对应下的解析式，再按条件求解即可.

【数学文卷·2015届山东省日照市日照一中高三12月校际联合检测（201412）】8.在R上定义运算：

x?y?x?1?y?.若关于x的不等式

x??x?a??0的解集是集合

?x?1?x?1?的子集，则实数a的取值范围是 A.C.

?0,2?

B.D.

??2,?1????1,0? ??2,0?

?0,1???1,2?

【知识点】一元二次不等式的应用．E3

【答案】【解析】D 解析：由题意得，x?(x?a)?x?[1?(x?a)]?x[(a?1)?x]， 所以x?(x?a)?0，即x[x?(a?1)]?0. 当a??1时，不等式的解集为空集，符合题意； 当a??1时，不等式的集解为(0,a?1)，又解集为[?1,1]的子集，所以a?1?1，得

?1?a?0；

当a??1时，不等式的集解为(a?1,0)，又解集为[?1,1]的子集，所以a?1??1， 得?2?a??1.综上所述，a的取值范围是[?2,0]..故选D.

【思路点拨】首先理解*运算的定义，得到不等式的具体形式，然后解不等式．不等式中有参数a，需要对参数的取值进行讨论，得到不等式的解集，然后再根据子集关系，确定出a的范围．

E4 简单的一元高次不等式的解法

E5 简单的线性规划问题

【数学理卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】5、已知x、y满足

?y?x??x?y?2?x?a?，且z?2x?y的最大值是最小值的4倍，则a的值是

312 A．4 B．4 C．11 D．4

8

【知识点】线性规划E5

【答案】【解析】B解析：画出x，y满足

?y?x??x?y?2?x?a?的可行域如下图：

?y＝x?x?a??A?1,1?x?y＝2y?x，得B?a,a?， ?由 ，得，由?当直线z?2x?y过点当直线z?2x?y过点

A?1,1?时，目标函数z?2x?y取得最大值，最大值为3； 时，目标函数z?2x?y取得最小值，最小值为3a；

B?a,a?a?由条件得3?4?3a，所以

14，故选择B.

【思路点拨】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域，由z?2x?y可得y??2x?z，则z表示直线y??2x?z在y轴上的截距，截距越大，z越大，可求z的最大值与最小值，即可求解a.

【数学理卷·2015届河南省洛阳市高三第一次统一考试（201412）】11．若直线

(3??1)x?(1??)y?6?6??0 与不等式组

点，则实数?的取值范围是

?x?y?7?0,??x?3y?1?0,?3x?y?5?0.?，表示的平 面区域有公共

(??,? A．

13)7(9,??) B．

(?13,1)7(9,??) C．(1，9) D．

(??,?13)7

【知识点】简单的线性规划. E5 【答案】【解析】A 解析：画出可行域，求得可行域的三个顶点A(2,1)，B(5,2)，C(3,4)

3??1而直线(3??1)x?(1??)y?6?6??0恒过定点P(0,-6),且斜率为??1，因为

9

kPA?13781083??17,kPB?,kPC???(??,?)253,所以由5??12得??7(9,??)，故选A.

【思路点拨】：画出可行域，求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6)，求得直线PA、

8783??17????12得?的取值范围. PB、PC的斜率，其中最小值5，最大值2，则由5

【数学理卷·2015届广东省中山一中等七校高三第二次联考（201412）】13.已知?为xOy平

面内的一个区域.p:点

??x?y?2?0????x?0?a,b????x,y?????3x?y?6?0????；q:点

?a,b???.如果p是q的充

分条件,那么区域?的面积的最小值是_________．

【知识点】充分不必要条件 线性规划 A2 E5

【答案】【解析】2解析：命题P对应的平面区域为B阴影部分：如图

?x?y?2＝0?3x?y?6＝0（0，2），（B0，6）则由题意可知C．由?

?x?1???y?3

1??6?2??1?2D（1，3）BCD2，即，所以三角形的面积为，p是q的充分条件,那么区域?

的面积的最小值是2，故选择2.

【思路点拨】先利用线性规划作出不等式组对应的平面区域B，然后利用p是q的充分条件，确定平面区域A与B之间的面积关系．

【数学理卷·2015届山东省日照市日照一中高三12月校际联合检测（201412）】10.已知实

10

由z=2x+y，得y=-2x+z，

平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时， 直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大，

?x?2y?1?0?x?3??x?y?1?0y?2， ?由，解得?即C（3，2），此时z=2×3+2=8，

【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．

ab?E6 基本不等式

a?b2

【数学理卷·2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412）】6.点上移动，则2?4的最小值是 （ ） A.8 B. 6 C.42 D.32 【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】C 解析：因为2?4?2?2aba2b?a,b?在直线x?2y?3ab?22a?2b?223?42，当且仅当a=2b时等号成立，所

以选C .

【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最值即可.

【数学理卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】7、若正数a，b满足

1119??1?ab，则a?1b?1的最小值

A．1 B．6 C．9 D．16 【知识点】基本不等式E6

11a??1?b＝＞01,同理b＞1，a，baba?1【答案】【解析】B解析：∵正数，满足，，解得a＞

191911?????9?a?1??2.91?6?a??a?1b?1a?1a?1a?1a?1a?1所以，当且仅当14?9?a?1?a?3等号成立，所以最小值为6．故选择B. a?1，即

16

b＝【思路点拨】根据已知可得

a19＞0?a?1，代入a?1b?1，整理可得

11?9?a?1??2.9?a?1??6a?1a?1，可得结果.

y?【数学理卷·2015届河南省洛阳市高三第一次统一考试（201412）】10.曲线 在点

1(x?0)xP(x0,y0)处的切线为 l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB的 周长

的最小值为

A. 4?22 B. 22 C.2 D. 5?27 【知识点】导数的几何意义；基本不等式求最值. B11 E6

11l:y?y??(x?x0)y???2022x?xxx0y?2x0?0，0【答案】【解析】A 解析：∵，∴即

2422l?2x0??4x0?2?4?22x0x02xx可得A(0,0)，B(0, 0)，∴△OAB的周长，当且仅

当

x0?1时等号成立.故选 A.

x0表示

【思路点拨】由导数的几何意义得直线l的方程，从而求得A 、B的坐标，进而用△OAB的周长，再用基本不等式求得周长的最小值.

【数学文卷·2015届辽宁省沈阳二中高三12月月考（201412） (1)】6.点

?a,b?在直线

x?2y?3上移动，则2a?4b的最小值是（ ）

A.8 B. 6 C.42 D.32 【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】C 解析：因为2?4?2?2aba2b?22a?2b?223?42，当且仅当a=2b时等号成立，所

以选C .

【思路点拨】利用指数的运算发现所求式子两个加项之积为定值，直接利用基本不等式求最值即可.

17

【数学文卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】7、若正数a，b满足

1119??1?ab，则a?1b?1的最小值

A．1 B．6 C．9 D．16 【知识点】基本不等式E6

11a??1?b＝＞01,同理b＞1，aba?1【答案】【解析】B解析：∵正数a，b满足，，解得a＞

191911?????9?a?1??2.91?6?a??aa?1b?1a?1a?1?1a?1a?1所以，当且仅当14?9?a?1?a?3等号成立，所以最小值为6．故选择B. a?1，即

b＝【思路点拨】根据已知可得

a19＞0?a?1，代入a?1b?1，整理可得

11?9?a?1??2.9?a?1??6a?1a?1，可得结果.

【数学文卷·2015届山东省日照市日照一中高三12月校际联合检测（201412）】20.（本小题满分13分）

某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：

?132x?80x?5040x,x??120,144???3y???1x2?200x?80000,x??144,500???2，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物

柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴. （I）当

x??200,300?时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，

则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？

（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．B10 E6 【答案】【解析】（Ⅰ）5000元；（Ⅱ）400吨

,300?时，设该项目获利为S，则 解析：（Ⅰ）当x??200

18

11S?200x?(x2?200x?80000)??x2?400x?8000022

1??(x?400)22 . …………………………4分

,300?时，S?0.因此，该项目不会获利. 所以当x??200当x?300时，S取得最大值?5000，

所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损. ………6分 （Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：

?12x?80x?5040,x??120,144?y??3??80000x?1x??200,x??144,500??x?2 . ………………8分 y121?x?80x?5040?(x?120)2?240.3 当x??120,144?时，x3 y 所以当x?120时，x取得最小值240; ……………………10分

80000180000y1?x??200?2x??200?200??x?144,5002x2x. 当时，xy180000x?x，即x?400时，x取得最小值200. 当且仅当2因为200?240，所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. ……13分

【思路点拨】（Ⅰ）先确定该项目获利的函数，再利用配方法确定不会获利，从而可求政府每月至少需要补贴的费用；（Ⅱ）确定食品残渣的每吨的平均处理成本函数，分别求出分段函数的最小值，即可求得结论．

E7 不等式的证明方法

【数学理卷·2015届河南省洛阳市高三第一次统一考试（201412）】22.（本小题满分12分）

mf(x)?ln(1?x)?x 已知函数

(1)若函数 f(x)为 (0,??)上的单调函数，求实数m的取值范围；

19

111(1?sin1)(1?sin22)(1?sin32)???(1?sinn2)?e2(2)求证：

．

【知识点】导数的应用；放缩法证明不等式. B12 E7

【答案】【解析】(1) m≤1；(2)证明：见解析.

f(x)?mln(1?x)?x,?f?(x)?m 解析：1?x?1（1）

,

∵f(x)在

?0,???上为单调函数， ∴f?(x)?0恒成立，或f?(x)?0恒成立.---2分m1?x?1m?1即恒成立，或1?x恒成立.

∵

x??0,???,?m?1?x不能恒成立.

而1+x>1, ∴m≤1时f(x)为单调递减函数. 综上，m≤1.-------4分 （2）由（1）知，m=1时f(x)在?0,???上为减函数，

∴f(x)

x??0,???-------6分

sin1,sin1∵

22,sin1n2?0，

∴ln(1?sin1)?sin1，

ln(1?sin1122)?sin22

ln(1?sin11n2)?sinn2--------8分

g(x)?sinx?x,x?(0,?令

2)，则g?(x)?cosx?1?0， ?∴g(x)(0,在2)为减函数， (0,?∴g(x)

22?122,,sinn2?n2.-------10分

20

ln(1?sin1)?ln(1?sin∴

1)?22?ln(1?sin1)n2

?sin1?sin1?22?sin11?1??222n?(?1?1?1?1?1?22?3n2?1(n?1)n

111?1?(1?)?(?)?223111?)2??2n?1n=n

?1??ln??1?sin1??1?sin2?2??即?1???1?sin?2?2??n???.

∴

?1?sin1???1?sin?1??22?1?2?1?sin?e?2?n??.--------12分

??【思路点拨】(1)由f(x)为 (0,??)上的单调函数得，f(x)?0恒成立，或f(x)?0恒成

立. 然后采用分离常数法求得实数m的取值范围；（2）由（1）知，m=1时f(x)在

?0,???上

为减函数，∴f(x)

x??0,???sin1,sin∵

1,22sin1?02n，

∴ln(1?sin1)?sin1，

ln(1?sin11)?sin2222，

,sinln(1?sin，

11)?sinn2n2.

?11(0,)sin1?1,sin2?2,2，∴22∴sinx

ln(1?sin1)?ln(1?sin∴

11?n2n2.

1)?22?ln(1?sin1)n2

?sin1?sin1?22?sin11?1??222n?(?1?1?1?1?1?22?3n2?1(n?1)n

111?1?(1?)?(?)?223111?)2??2n?1n=n

?1??ln??1?sin1??1?sin2?2??即?1???1?sin?2?2??n???.

∴

?1?sin1???1?sin?1??22?1?2?1?sin?e?2?n??

【典例剖析】一般情况下，一个大题的几个小问题是相互关联的，本题第二问的证明，如何

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(0,)2，是本题的关键. 利用第一问的结论，及不等式sinx

E8 不等式的综合应用

?f(x)?【数学理卷·2015届浙江省杭州二中高三第二次月考（201412）】17、已知函数对?x?(0,1)，有f(x)?f(1?x)?1恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【知识点】不等式恒成立问题 E8

a?xx，

1a??或a?14【答案】【解析】解析：因为?x?(0,1)，有f(x)?f(1?x)?1恒成立，，即

?a??a?2?x?1?x????1?x?2?x2??x2?1?x?2?x?1?x??????1a?a???x??1?x?，整理可得，令122x?1?x??t?(0,]a?a1?2t?t?t?0??a?t??a?t?1??0??4，上式为，所以111t?(0,]a??或a?1a??或a?1a??t或a?1?因为t4，所以44，故答案为

?a??a??x??1?x???1???f?1?x?f?x??1??1?x?【思路点拨】根据题意可得，即?x，令122x?1?x??t?(0,]4，整理可得a?a?1?2t??t?t?0??a?t??a?t?1??0，11t?(0,]a??或a?1a??t或a?1?t因为4，所以4.

【数学理卷·2015届河北省衡水中学高三上学期四调考试（201412）word版】24．（本小题满分10分） 设函数

（1）当a=4时，求不等式，（2）若

的解集： 的取值范围，

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【知识点】不等式选讲；不等式恒成立问题. N4 E8 【答案】【解析】(1)

?x|x?0或x?5?；(2) a??3或a?5.

x?1?x?4?5解析：（1）当a=4时，不等式f(x)?5为， ?x?1?1?x?4?x?4????2x?5?52x?5?5，解得x?0或x?5 3?5所以?或?或?x|x?0或x?5故不等式f(x)?5的解集为.------5分

（2）因为所以

??f(x)?x?1?x?a??x?1???x?a??a?1，由题意得

(当x=1时等号成立)---8分

f(x)min?a?1a?1?4，解得a??3或a?5.----10分

【思路点拨】（1）分段讨论解绝对值不等式；（2）利用绝对值不等式的性质：得

a?b?a?bf(x)min?a?1，由题意得

a?1?4，解得a??3或a?5.

,b?0.【数学文卷·2015届广东省中山一中等七校高三第二次联考（201412）】13．设a?011?ab2ab的最小值为 ． 22若是 与的等比中项，则

【知识点】均值不等式E8

2ab【答案】【解析】4 解析：由题意知(2)?2?2?a?b?1，又a?0,b?0，所以

ba111111ba??1?2??4???(?)(a?b)?1?abab的最小值为4. ababab，所以

1111??(?)(a?b)ab【思路点拨】由题意得(2)?2?2?a?b?1，又ab，即可利用

2ab均值不等式求解.

【选做题】从14、15题中选做1题，多做只计14题得分！！

E9 单元综合

【数学理卷·2015届安徽省屯溪一中高三第四次月考（201412）】20．（本小题满分13分） 现有六名篮球运动员进行传球训练，由甲开始传球（第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位），若第n次传球后，球传回到甲的不同传球方式的种数记为

an.

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(1) 求出a1、a2的值，并写出an与an?1(n≥2)的关系式；

?an1??n??6?是等比数列，并求出数列?an?的通项公式；

(2) 证明数列?51113?????aa3an10.

(3) 当n≥2时，证明：2【知识点】数列与不等式的综合．D5 E9

5n?5(?1)nan?n?1a?5?aa?0a?56n?1 ;(2) 【答案】【解析】(1) 1,2，n (3) 见解析.

解析：（1）a1?0,a2?5，

n?15第n?1次传球后，不同传球方式种数为5，不在甲手中的种数为

n?1?an?1，

n?1a?5?an?1 ……5分 nn2∴当≥时，

an11an?11???(n?1?)n?1naa6556， （2）由n=－n?1＋5得，5?an1?a11111?n???????6?是以6为首项，5为公比的等比数列. 6，则数列?5又56an111n?15n?5(?1)n????(?)an?n66565从而，故. …………9分

（3）.当n(n≥3)为奇数时, 则n?1为偶数

n?1n11665?5????6?n?1nan?1an5n?1?55n?55?5?5?5n?5?5n?1?25

5n?1?5n5n?1?5n11?6(?)?6?n?1nn?1nn?1nn?6?55 5?55?5?4?5?251111111????(?)???(?)a2a3ana2a3an?1an

11[1?()n?1]5?625111111?6[(2?3)???(n?1?n)]55555＜

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?3?1n?1?31?()???10?5?10

当n(n≥2)为偶数时, 则n?1为奇数,从而

1111111????(?)??(?)?3a2a3ana2a3anan?110

1113????aa3an10. …………13分

综上，当n≥2时,2【思路点拨】（1）第n?1次传球后，不同传球方式种数为5n?1，不在甲手中的种数为

5n?1?an?1，由此能求出a1?0,a2?5，即可写出an与an?1(n≥2)的关系式．

?an1?an11an?111??????(?)?nn?1aa6?是以655n?16，5n6（2）由n=－n?1＋5得，由此能证明数列?55n?5(?1)n1?an?56为首项，为公比的等比数列.，从而能求出．

113轾1n-13+=犏1-()

此能证明当n≥2时,2

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