概率统计模拟试题1-4解答

模拟试题（一）参考答案

一.单项选择题（每小题2分,共16分）

1.设A, B为两个随机事件,若P(AB)?0,则下列命题中正确的是（ ） (A) A与B互不相容 (C) P(A)?0或P(B)?0

(B) A与B独立

(D) AB未必是不可能事件

解 若AB为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.

2.设每次试验失败的概率为p,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）

1233(A) 3(1?p) (B) (1?p) (C) 1?p (D) C3(1?p)p

解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为p,故所求概率为1?p.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.

3.若函数y?f(x)是一随机变量?的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ） (A) f(x)非负 (B) f(x)的值域为[0,1] (C) f(x)单调非降 (D) f(x)在(??,??)内连续

解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,f(x)是定义在(??,??)上的非负函数,且满足

????33?11f(x)dx?1,所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从[,]上的均匀分布的随机变量的

3211??6,?x?,f(x)??32

?其他?0,概率密度

在x?11与x?处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 324.若随机变量X的概率密度为f(x)?(A)

1X?32

(B)

X?322?X?3 (C)

2

e?(x?3)24 (???x???),则Y?（ ）~N(0,1)

(D)

X?3 22,则其服从标准正态分布.故本题应选

解 X的数学期望EX??3,方差DX?A.

2,令Y?X?35.若随机变量X, Y不相关,则下列等式中不成立的是（ ） (A) cov(X,Y)?0 (C) DXY?DX?DY 解 因为??0,故

(B) D(X?Y)?DX?DY(D) EXY?EX?EY

cov(X,Y)??DX?DY?0,

D(X?Y)?DX?DY?2cov(X,Y)?DX?DY, 但无论如何,都不成立DXY?DX?DY.故本题应选C.

6.设样本X1,X2,???,Xn取自标准正态分布总体X,又X, S分别为样本均值及样本标准差,则（ ） (A) X~N(0,1) (C)

(B) nX~N(0,1)(D)

?Xi?1n2i~?2(n)

X~t(n?1) S1

n?X1~t(n?1),只有C选项成立.本题应选C. Sn7.样本X1,X2,?,Xn (n?3)取自总体X,则下列估计量中,（ ）不是总体期望?的无偏估计量

解 X~N(0,),nX~N(0,n),(A)

?Xi?1ni

(B) X

(D) X1?X2?X3

(C) 0.1(6X1?4Xn)

解 由无偏估计量的定义计算可知,

?Xi?1ni不是无偏估计量,本题应选A.

8.在假设检验中,记H0为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) H0成立,经检验接受H0 (C) H0不成立,经检验接受H0 二.填空题（每空2分,共14分）

1.同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解

(B) H0成立,经检验拒绝H0 (D) H0不成立,经检验拒绝H0

解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.

13;. 881,则X的概率密度为________. 32.设随机变量X服从一区间上的均匀分布,且EX?3, DX?a?b(b?a)21?3, DX??,解得a?2, b?4, 解 设X~[a,b],则EX?2123?1?,2?x?4,所以X的概率密度为f(x)??2

?其他.?03.设随机变量X服从参数为2的指数分布,Y服从参数为4的指数分布,则

E(2X2?3Y)?________.

解 E(2X?3Y)?2EX?3EY?2[DX?(EX)]?2EY?2227. 44.设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有P{|X?Y|?6}?________.

解 根据切比雪夫不等式,

D(X?Y)DX?DY?2Cov(X,Y)1??. 23612615.假设随机变量X服从分布t(n),则2服从分布________（并写出其参数）.

XP{|X?Y|?6}?ZY1~t(n),其中Y~N(0,1),Z~?2(n),且Y2~?2(1),从而2?n2~F(n,1). 解 设X?XYZn6.设X1,X2,?,Xn(n?1)为来自总体X的一个样本,对总体方差DX进行估计时,常用的无偏估计量是________.

2

n1(?Xi?X)2. 解 S?n?1i?12三.(本题６分)

设P(A)?0.1,P(B|A)?0.9,P(B|A)?0.2,求P(A|B). 解 由全概率公式可得

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.1?0.9?0.9?0.2?0.27.

P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)1??.

P(B)P(B)3四.(本题8分)

两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:

(1) 任取一个零件是合格品的概率,

(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.

解 设A1,A2分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得

21?0.97??0.98?0.973. 331?0.02P(A2B)P(A2)P(B|A2)??3?0.247. (2) P(A2|B)?1?0.973P(B)P(B)P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?五.(本题14分)

袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以X, Y记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:

(1) (X, Y)的联合分布； (3) X, Y是否独立；

(2) X, Y的边缘分布； (4) E(XY).

解 （1） Y

X 1 2 3 1 0

11 6121112

666113 0

126111（2）P(X?1)?,P(X?2)?,P(X?3)?.

424111P(Y?1)?,P(Y?2)?,P(Y?3)?.

4241?P(X?1)P(Y?1),故X, Y不独立. （3）因为P(X?1,Y?1)?0?16111111123?2?1??2?2??2?3??3?1??3?2??（4）E(XY)?1?2??1?3?.

61266612663

六.(本题12分)

设随机变量X的密度函数为

f(x)?Ax2e?|x| (???x???),

试求:

(1) A的值； (2) P(?1?X?2)； (3) Y?X2的密度函数. 解 (1) 因

??????0?f(x)dx?2A?x2e?xdx?4A?1,从而A?1; 4(2) P(?1?X?2)??2?1f(x)dx?102x122?xxedx?xedx ???1044

55?1?e?2?e?1;

24(3) 当y?0时,FY(y)?0;当y?0时,

FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y)

?FX(y)?FX(?y),

所以,两边关于y求导可得,

111fY(y)?y?e?y??y?e?42y4故Y的密度函数为

0,y?0,?? fY(y)??1?yy?e,y?0.??4七.(本题6分)

某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以99.7%的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.

y??12y?1y?e?y. 4,?0,第i人不购买该种商品(i?1,2,?,1000),X表示购买该种商品的人数,则

第i人购买该种商品?1,X~B(1000,0.6).又设商品预备n件该种商品,依题意,由中心极限定理可得

解 设Xi??P(X?n)?P(X?EXDXn?600240?n?EXDX)?P(X?600240?n?600240)

??(查正态分布表得

)?0.997.

n?600240?2.75,解得n?642.6?643件.

八.(本题10分)

一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R.

?1，黑球，(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X为总体,即X?? 求总体X的分布；

0，白球，?(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n的样本X1,X2,?,Xn,其中有m个白球,求比数R的最大似然估计值.

解

4

（1） X 1 0 P R1 1?R1?Rx?R?即P(X?x)???1?R??n?1???1?R??i1?x（2）L(R)?两边取对数,

?P(Xi?1?xi)?Rx (x?0,1); ?1?RxR?i(1?R)n,

lnL(R)?R?xi?nln(1?R),

两边再关于R求导,并令其为0,得

1?0, ?xi?n1?Rx???i,又由样本值知,x?n?m,故估计值为R??n?1. 从而R?imn??xi九.(本题14分)

对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:?）:

A批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；

B批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 已知元件电阻服从正态分布,设??0.05,问:

(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （t0.025(10)?2.2281,F0.025(5,5)?7.15）

222 H1：?12??2解 (1) H0：?1??2，.

检验统计量为

S12F?2~F(5, 5) （在H0成立时）,

S2由??0.05,查得临界值F?/2?F0.025(5, 5)?7.15,F1??/2?由样本值算得F?1. 7.150.0000075?0.962,由于F1??/2?F?F?/2,故不能拒绝H10,即认为两批电子

0.0000078元件的电阻的方差相等.

H1：?1??2. (2) H0：?1??2，统计量

查表得临界值t?/2S?S6?t0.025(10)?2.228.再由样本值算得

T?T?X?Y2122~t(10) （在H0成立时）,

0.1405?0.1390.0000075?0.000007865

?1.148,

因为|T|?t?/2,故接收H0.即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.

6

模拟试题（二）参考答案

一.单项选择题（每小题2分,共16分）

1.设A, B, C表示3个事件,则ABC表示（ ） (A) A, B, C中有一个发生

(B) A, B, C中不多于一个发生

(C) A, B, C都不发生 (D) A, B, C中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知P(A)?P(B)?11,P(A|B)?,则P(AB)=（ ）. 3671111(A) (B) (C) (D)

1818341解 P(AB)?P(A)P(B|A)?,

18P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?7. 18故本题应选A.

3.设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则（ ）

11 (B) P{X?Y?1}? 2211(C) P{X?Y?0}? (D) P{X?Y?1}?

22解 X?Y~N(1,2),X?Y~N(?1,2),故本题应选B.

(A) P{X?Y?0}?4.设X与Y为两随机变量,且DX?4,DY?1,?XY?0.6,则D(3X?2Y)?（ ） (A) 40 (B) 34 解 cov(X,Y)??XY故本题应选C.

5.若随机变量X服从参数为?的泊松分布,则X的数学期望是（ ）

2 (C) 25.6 (D) 17.6

DX?DY?1.2,

D(3X?2Y)?9DX?4DY?12cov(X,Y)?25.6.

122 (C) ? (D) ??? ?222解 EX?DX?(EX)????,本题应选D.

(A) ?

(B)

6.设X1,X2,?,Xn是来自于正态总体N(?,?)的简单随机样本,X为样本方差,记

2

1n1n22S1?(Xi?X) S2??(Xi?X)2 ?n?1i?1ni?121n1n22S?(Xi??) S4??(Xi??)2 ?n?1i?1ni?123则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是（ ）

(A) t?X??S1/n?1

(B) t?X??S2/n?17

(C) t?X??S3/n?1

(D) t?X??S4/n?1

解 X~N(?,?2n),

1?2?(Xi?1ni?X)2~t(n?1),再由t分布的定义知,本题应选B.

7.设总体X均值?与方差?都存在,且均为未知参数,而X1,X2,?, Xn是该总体的一个样本,X为样本方差,则总体方差?的矩估计量是（ ）

221n2(A) X (B) ?(Xi??)

ni?11n1n2(Xi?X) (D) ?(Xi?X)2 (C) ?ni?1n?1i?1解 本题应选D.

8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小

(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.

二.填空题（每空2分,共14分）

1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.

解 设A表示两件中有一件不合格品,B表示两件都是不合格品.则所求的极限为

P(B|A)?P(AB)P(B)1??

P(A)P(A)52.设随机变量X服从B(1, 0.8)分布,则X的分布函数为________.

x?0,?0,?解 X服从0-1分布,其分布函数为f(x)??0.2,0?x?1,

?1x?1.?3.若随机变量X服从均值为2,方差为?P{X?0}=________.

2的正态分布,且P{0?X?4}?0.6,则

解 ??2,即其密度函数关于x?2对称.由对称性知

P{X?0}?1?0.6?0.2. 24.设总体X服从参数为p的0－1分布,其中p(0?p?1)未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,则样本均值是________,样本方差是________.

解 由定义计算知X?5215;S?. 8565.设总体X服从参数为?的指数分布,现从X中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知

?xi?110i?27,那么?的矩估计值为________.

??解 ?

110?. 27X8

22???0时,采用的统计量是________. 6.设总体X~N(?, ?),且?未知,用样本检验假设H0：解 T?X??0Sn~t(n?1) (H0为真时).

三.（本题8分）

设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:

（1）取到的球是黑球的概率；

（2）若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.

解 设A1,A2,A3分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B表示取到黑球. (1) 由全概公式可得

3P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?i?11141518??????0.342; 320330350(2) 由贝叶斯公式得

P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)?0.682.

P(B)四.（本题6分）

设随机变量X的概率密度为

x?1?cos，0?x??，f(x)??2, 2?其他，?0，对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于

解 P(X??3)????3?2地次数,求Y的数学期望. 31x11cosdx?,Y~B(4, ),从而 2222EY2?DY?(EY)2?5.

五.（本题12分） 设(X,Y)的联合分布律为

Y X 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) X,Y是否独立；

(2) 计算P(X?Y)的值；

(3) 在Y?2的条件下X的条件分布律. 解 (1) 因为

P(X?1,Y?0)?0.1?0.2?0.5?0.4?P(X?1)P(Y?0), Y不独立; 所以X，(2) P(X?Y)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?2)?0.05?0.1?0.15;

9

(3) P(X?1|Y?2)?P(X?1,Y?2)0.357??,

P(Y?2)0.45972P(X?2|Y?2)?1??.

99六.（本题12分）

设二维随机变量(X, Y)的概率密度为

?12y2,0?y?x?1, f(x,y)??其他,?0,求:(1) X的边缘密度函数fX(x)；

(2) E(XY)； (3) P(X?Y?1). 解 (1)

x3???12y2dy,0?x?1,?4xfX(x)??f(x,y)dy??0?????0,其他?0,?1x13(2) E(XY)??dx?12xydy?;

0021x72(3) P(X?Y?1)??1dx?12ydy?.

1?x82??0?x?1,

其他.七.（本题6分）

一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为(20?0.1)mm时产品合格,试求产品合格的概率.

解 设Xi表示第i部分的长度,i?1,2,?,10,X表示部件的长度.由题意知

EXi?2,DXi?0.0025,且X??Xi,EX?20,DX?0.025.由独立同分布的中心极限定理知,产

i?110品为合格品的概率为

P(|X?20|?0.1)?P(|?2?(八.（本题7分）

X?200.025|?0.10.025)

0.1)?1?0.4714. 0.025设总体X具有概率密度为

??k?xk?1e??x,x?0, f(x)??(k?1)!?0,其他,?其中k为已知正整数,求?的极大似然估计.

解 设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本,当x1,x2,?,xn?0时,似然函数

nL(?)??f(xi)?i?1n?nkn[(k?1)!]?xi?1nk?1i??e?xii?1,

10

两边取对数,

lnL(?)?nkln??nln(k?1)!?ln?xii?1nk?1???xi,

i?1n关于?求导,并令其为0,得

lnL(?)?nk????xi?0,

i?1n从而解得?的极大似然估计为

???nki?1?Xink. X九.（本题14分）

从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:

2东支:x1?0.230,sn?0.1337, (n1?9) 12西支:x2?0.269,sn?0.1736, (n2?8) 2若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？

(??0.05)

( F0.025(8, 7)?4.53,F0.025(7, 8)?4.90,t0.0025(15)?2.1315 )

解 本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.

s12第一步假设?0:?=?,统计量F?2~F(n1?1,n2?1),

s222经检验,接受H0:?1=?2；

2122第二步假设?0:?1??2, 统计量T?X?Y(11(n?1)s?(n2?1)s?)1n1n2n1?n2?22122~t(n1?n2?2)

经检验,接受?0,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)

十.（本题5分） 设总体X的密度函数为

?32?x,0?x??,f(x)???3

?其它,?0,4其中?为未知参数,X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本,证明:X是?的无偏估计量.

34444?? 证明 E(X)?EX?EX??xf(x)dx

3333??4?3??3x3dx??, 30?

11

故

4X是?的无偏估计量. 3 12

模拟试题（三）参考答案

一.填空题（每小题2分,共14分）

1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为为 .

解 设A表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为

80,则该射手的命中率81P(A)4?1?8012,解得P(A)?,从而射手的命中率为P(A)?. 81332.若事件A,B独立,且P(A)?p,P(B)?q则P(A?B)? . 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?1?p?pq.

3.设离散型随机变量X服从参数为?（??0）的泊松分布,已知P(X?1)?P(X?2),则

?= .

解 P(X?1)??e????22e???P(X?2),从而解得??2.

4.设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为:

X 0 1

11?

22则随机变量Z?max{X,Y}的分布律为 . 解 Z的可能取值为0,1.

111P(Z?0)?P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0)???.

22413P(Z?1)?1??.

445.设随机变量X,Y的方差分别为DX?25,DY?36,相关系数?XY?0.4,则Cov(X,Y)= . 解 cov(X,Y)??XYDX?DY?12.

22kn26.设总体X的期望值?和方差?都存在,总体方差?的无偏估计量是?(Xi?X),则

ni?1k? . 解 k?n. n?1222??0,应选用的统计量是 . 7.设总体X~N(?,?),?未知,检验?0：??(X解

i?1ni?X)2~?2(n?1) (?0为真时)

2?0二 .单项选择题（每小题2分,共16分）

13

1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为（ ） (A)

4!6! 10! (B)

7 10 (C)

4!7! 10! (D)

4 10解 本题应选C.

2.若事件A,B相互独立,则下列正确的是（ ） (A) P(B|A)?P(A|B) (C) P(A|B)?P(B)

(B) P(B|A)?P(A) (D) P(A|B)?1?P(A)

解 由独立性的定义知,P(A|B)?P(A)?1?P(A),故本题应选D.

3.设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,且EX?1.6,DX?1.28,则n,p的值为（ ） (A) n=8,p=0.2 (C) n=5,p=0.32

(B) n=4,p=0.4 (D) n=6,p=0.3

解 由np?1.6,np(1?p)?1.28,解得n=8,p=0.2,本题应选A.

4.设随机变量X服从正态分布N(2,1),其概率密度函数为f(x),分布函数为F(x),则有（ ） (A) P(X?0)?P(X?0)?0.5 (B) P(X?2)?P(X?2)?0.5 (C) f(x)=f(?x),x?(??,??) (D) F(?x)?1?F(x), x?(??,??)

解 EX?2,故其密度函数关于x?2对称,故本题应选B.

5.如果随机变量X与Y满足:D(X?Y)?D(X?Y),则下列式子正确的是（ ） (A) X与Y相互独立 (C) DY?0

(B) X与Y不相关 (D) DX?DY?0

n解 由D(X?Y)?D(X?Y),可得cov(X,Y)?0,从而可知X与Y不相关,故本题应选B.

6.设X1,X2,?,Xn是来自总体X~N(?,?)的样本,X为样本均值,令Y?2?(Xi?1i?X)22?,则

Y~（ ）

(A) ?(n?1) (B) ?(n) 解 本题应选A.

27.设X1,X2,?,Xn是取自总体N(0,?)的样本,可以作为?的无偏估计量的统计量是（ ）

222(C) N(?,?) (D)N(?,2?2n)

1n21n21n1nXi (C) ?Xi (D)Xi (A) ?Xi (B) ??ni?1n?1i?1ni?1n?1i?1解 由无偏估计的定义及期望的性质知,

1n21nE(?Xi)??EXi2?EX2?DX?(EX)2?DX??2,故A选择正确,同理验算其他选ni?1ni?1项,B,C,D均不正确.故本题应选A.

8.样本X1,X2,?,Xn来自正态总体?(?,?),若进行假设检验,当（ ）时,一般采用统计量

2t?

X??0S/n

14

(A) ?未知,检验?=?0 (C) ?未知,检验 ?=?0 解 本题应选C. 三.（本题8分）

222

(B) ?已知,检验?=?0 (D) ?已知,检验?=?0

222有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的1.5倍,甲车床的废品率为2%,乙车床的废品率为1%,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？

解 设A1,A2分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得

P(A1|B)?P(A1)P(B|A1)

P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)3?0.025??0.75. 32?0.02??0.0155 四.（本题8分）

假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少？

解 设X表示一周中所获的利润,其分布律为:

X 0 5 10 P 1?5?0.2?0.84?0.85 5?0.2?0.84 0.85

从而由期望的定义计算可得EX?5.216.

五.（本题12分）

1.设随机向量X,Y的联合分布为:

X Y 1 2 3

111 0

6121112

666113 0

126(1) 求X,Y的边际分布；(2) 判断X,Y是否独立. 解 (1) X的边际分布为： Y的边际分布为：

X 1 2 3 Y 1 2 3

111111P P

424424(2) X与Y不相互独立.

2.设随机变量(X,Y)的联合密度函数为:

?e?y，f(x,y)=??0，求概率P(X?Y?1).

0?x?y，其他，

15

解 P(X?Y?1)?六.（本题8分）

?120dx?1?xxedy?1?e?2e?y?1?12.

设连续型随机变量X的分布函数为:

x???2F(x)??A?Be，??0，2x?0， x?0，求: (1) 系数A及B；

(2) 随机变量X的概率密度； (3) P(ln4?X?ln9).

x22解 (1) 由分布函数的性质知

F(??)?lim(A?Bex????)?A?1,

x22x?0?limF(x)?lim?(A?Bex?0?)?A?B?0?F(0),从而B??1;

(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即

??x?2f(x)=?xe，??0，

(3) P(ln4?X?七.（本题8分）

2x?0，

x?0ln9)?F(ln9)?F(ln4)?1. 6设X1,X2,?,Xn为总体X的一个样本,X的概率密度为:

???xf(x)=???0，

解 令EX???1，0?x?1，其他，

其中??0,求未知参数?的矩估计量与极大似然估计量.

?10?x?dx????1?X,从而解得?的矩估计量为

??(极大似然估计为:

?X2). 1?Xn???n??lnXii?1?lnXi?1n.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)

i八.（本题１０分）

设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著水平0.05下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分？

解 假设?0:??70,选取统计量

T?

X??s/n~t(n?1), (?0为真时)

16

在??0.05下,查t分布的双侧临界值表知t0.025?2.0301. 另一方面,计算统计量的值

|T|?66.5?7015/36?1.4?2.0301,

从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70分.

九.（本题１２分）

两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为

x=2600元和y=2700元,样本标准差相应地为S1?81元和S2?105元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（??0.10）

解 此题要求检验?1??2,由于t检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验?1与?2是否相等.

22s12第一步假设?0:?=?,统计量F?2~F(n1?1,n2?1),

s222经检验,接受H0:?1=?2；

2122第二步假设?0:?1??2, 统计量T?X?Y(11(n?1)s?(n2?1)s?)1n1n2n1?n2?22122~t(n1?n2?2)

经检验,拒绝?0,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)

十.（本题４分）

设总体X服从参数为?的泊松分布,?为未知参数,

??1，X为奇数，T(X)??

?1，X为偶数，证明:T(X)是e?2?的一个无偏估计量.

证明 E[T(X)]?T?T(x)P(X?x)

x?0????T(x)x?0?xx!e????(?1)n?0?n?nn!e???e?2?,

所以T(X)是e?2?的一个无偏估计量.

17

模拟试题（四）参考答案

一.填空题(每小题2分,共20分)

1.设P(A)=0.4,P(B)=0.5.若P(AB)?0.7,则P(A?B)? . 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(B)P(A|B)?0.55

2.若随机变量X服从二项分布,即X~B(5,0.1),则D(1?2X)? .

解 D(1?2X)?4DX?4?5?0.1?0.9?1.8. 3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为

37,则每次击中的概率为 . 64解

3. 4?3x2,0?x?1,4.设随机变量X的概率密度是:f(x)??且P(X?a)?0.784，则a? . 其他,?0,解 由P(X?a)?0.784知,0???1.故

从而??0.6. P(X?a)??3x2dx?1??3?0.784，?15.利用正态分布的结论,有:

???12?12???(x2?4x?4)et2e?t22?(x?2)22dx? .

解 令x?2?t,则原式??????dt?DX?(EX)2?1,这里X~N(0,1).

6.设总体X的密度函数为:

??x??1,0?x?1,f(x)??

0,其他,?(其中?为参数??0),x1,x2,?,xn是来自总体X的样本观测值,则样本的似然函数

L(x1,x2,?,xn;?)? .

解 ?n?x?ii?1n?1.

7.设X,Y是二维随机向量,DX,DY都不为零,若有常数a?0与b使P(Y??aX?b)?1,这时

X与Y是 关系.

解 完全相关.

228.若X~N(?,?),X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本,X,S分别为样本均值和方差,则

(X??)n服从 分布.

S解 t(n?1).

229.设X~N(?1,?1),Y~N(?2,?2),X与Y相互独立.从X,Y中分别抽取容量为n1,n2的样

本,样本均值分别为X,Y,则X?Y服从分布 .

18

解 N(?1??2,?12n1?2?2n2).

10.设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z?X?0.4,则Y与Z的相关系数为____________. 解 cov(Y,Z)?cov(Y,X?0.4)?cov(Y,X)?0.9. 二.单项选择题(每小题2分,共12分)

1. 设随机变量X的数学期望EX与DX??P{X?EX?4?}为( )

(A) ?2均存在,由切比雪夫不等式估计概率

1 16(B) ?1 16(C) ?15 16(D) ?15 16解 本题应选C.

2.A,B为随机随机事件,且B?A,则下列式子正确的是( ). (A) P(A?B)?P(A) 解 本题应选A.

3. 设随机变量X的密度函数为f(x)??(A) A?1,B??0.5

10

(B) P(B?A)?P(B)?P(A)

(C) P(AB)?P(A) (D) P(BA)?P(B)

，?Ax?B，0?x?17且EX?,则( ).

12其他，?0，

1

(B) A??0.5,B?1

(C) A?0.5,B?1 (D) A?1,B?0.5 解 令

?(Ax?B)dx?1,?(Ax?B)xdx?07,解得A?1,B?0.5,故本题应选D. 124.若随机变量X与Y不相关,则有( ). (A) D(X?3Y)?D(X)?9D(Y) (B) D(XY)?D(X)?D(Y) (C) E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}?0 (D) P(Y?aX?b)?1 解 本题应选C.

5.已知随机变量F~F(n1,n2),且P{F?F?(n1,n2)}??,则F1??(n1,n2)?( ).

1

F?(n1,n2)1(C)

F?(n2,n1)(A) 解

1

F1??(n2,n1)1(D)

F1??(n1,n2)(B)

6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:A1?{掷第一次出现正面},A2?{掷第二次出现正面},A3?{正、反面各出现一次},A4?{正面出现两次},则事件( ).

(A) A1,A2,A3相互独立 (C) A1,A2,A3两两独立 解 P(A1)?

(B) A2,A3,A4相互独立 (D) A2,A3,A4两两独立

1111,P(A2)?,P(A3)?,P(A4)?,再由事件独立的充分必要条件可知2224A1,A2,A3两两独立,本题应选C.

三.计算题(每小题８分,共48分)

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1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,

各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率.

解 (1) 运用全概率公式, 0.09;

(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)

2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i个零件是不合格品的概率为

pi?11?i(i?1,2,3),以X表示三个零件中合格品的个数,求:(1) X的概率分布； (2) X的方差

DX.

解 (1)

(2)

0 1 2 3

124 14 1124 14111123, EX??2??3??424412EX2?11117?4??9??,故DX?EX2?(EX)2?0.521. 42442223.设总体X~N(0,?2),?为未知参数,x1,x2,?,xn是来自总体X的一组样本值,求?的最大

似然估计.

解 似然函数L(?)?(两边取对数

212???)en?i?1nxi22?2?(12??)e2n2?xi2?i?1n2?2,

nnlnL(?2)??ln2??ln?2?i?12,

422?关于?求导,并令其为零,得

2?xin2n1?2?i?122?0, 2?2(?)1n22???xi. 从而解得极大似然估计量为?ni?1?4.二维随机变量(X,Y)的联合概率密度:

?xin2?2e?(x?2y)，x?0,y?0，f(x,y)??

其它，?0，求: (1) X与Y之间是否相互独立,判断X与Y是否线性相关；

(2) P(Y?X?1). 解 (1) fX(x)?

?????2e?(x?2y)dy,x?0, f(x,y)dy??0?0,x?0??????20

同理

?e?x,x?0, ???0,x?0.y?0, y?0.f(x,y)?fX(x)fY(y),

?e?2y,fY(y)???0,从而

故X与Y相互独立,因而X与Y一定不相关.

(2) P(Y?X?1)??10dx?1?x02e?(x?2y)dy?(1?e?1)2.

1的指数分布,如果等车时间超过510分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以Y表示他一周步行上班的次数.求Y的概率分布；并求他

5.某人乘车或步行上班,他等车的时间X(单位:分钟)服从参数为一周内至少有一次步行上班的概率.

解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为

P(X?10)??故Y~B(5,e).

?2??101?sedx?e?2. 5xP(Y?1)?1?(1?e?2)5.

6.设随机变量X的概率密度为

?1，x?[1,8]，? f(x)??3?3x2?其他，?0，F(x)是X的分布函数.求随机变量Y?F(X)的概率分布.

x?1,?0,1??3解 F(x)??x?1,1?x?8,

?1,x?8.??

(3) 当y?0时,FY(y)?P(Y?y)?0;

13当0?y?1时,

FY(y)?P(Y?y)?P(X?1?y)?P(X?(y?1)3)

?FX((y?1)3)?y;

当y?1时,FY(y)?P(Y?y)?1. 故对FY(y)求导可得Y的概率密度,

?1，0?y?1， fY(y)??0，其它，?1] 即Y~U[0，四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)

21

1.假设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.

解 设Xi??,?0,第i发炮弹没有命中 (i?1,2,?,400),则

第i发炮弹命中?1,X??Xi~B(400,0.2)

i?1400表示400发炮弹命中的发数,且EX?80,DX?64,故由中心极限定理知,

P(60?X?100)?P(|X?80|?20)?P(|X?8064|?2064)

?2?(n20)?1?0.9876. 82.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算:

x?287.5,?(xi?x)2?160.5.假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折

i?1断力方差为16?(??0.1)

解 H0：?采用统计量

2?16，H1：?2?16.

?2?由??0.1,查得临界值

n?1?2S2,在H0成立时,?2~?2(9).

22?12??/2??02.95(9)?3.325, ??/2??0.05(9)?16.919,

由样本值算得??力方差为16.

2160.52?10.03,由于?12??/2??2???/2,所以不拒绝H0,即该厂生产的铜丝的折断16五.证明题(5分)

若随机变量X的密度函数f(x),对任意的x?R,满足:f(x)?f(?x),F(x)是其分布函数.证明:对任意实数a,有

F(?a)?

证明 F(?a)?a1??f(x)dx. 20??a??f(x)dx??0??f(x)dx???a0f(x)dx

?a1??f(x)dx (令t??x) 20aaa111???f(?t)dt???f(t)dt???f(x)dx. 202020?

22

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