江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编 专题15 探索型问题

专题15：探索型问题

1. （2015年江苏泰州3分）如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交 AC 、AD 、AB 于点E 、O 、F ，则图中全等的三角形的对数是【 】

A. 1对

B. 2对

C. 3对

D. 4对

【答案】D.

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定.

【分析】∵AB =AC ，D 是BC 的中点，

∴根据等腰三角形三线合一的性质，易得,,ADB ADC ODB ODC AOB AOC ?????? ≌≌≌. ∵EF 是AC 的垂直平分线，

∴根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，易得AOE COE ??≌.

综上所述，图中全等的三角形的对数是4对.

故选D.

2. （2015年江苏扬州3分）如图，若锐角△ABC 内接于⊙O ，点D 在⊙O 外（与点C 在AB 同侧）， 则下列三个结论：①D C ∠>∠sin sin ；②D C ∠>∠cos cos ；③D C ∠>∠tan tan 中，正确的结论为【 】

A. ①②

B. ②③

C. ①②③

D. ①③

【答案】D.

【考点】圆周角定理；三角形外角性质；锐角三角函数的性质.

【分析】如答图，设AD 与⊙O 相交于点E ，连接BE .

∵,>C AEB AEB D ∠=∠∠∠ ，∴>C D ∠∠

.

∵正弦、正切函数值随锐角的增大而增大，余弦函数值随锐角的增大而减小，

∴sin sin C D ∠>∠， cos ∠.

∴正确的结论为①③.

故选D.

3. （2015年江苏常州2分）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是【 】

2 B.8 cm 2

2 D. 16cm 2 【答案】B ．

【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形的性质．.

【分析】如答图，当AC ⊥AB 时，三角形面积最小，

∵∠BA C=90°，∠ACB =45°，∴AB =AC =4cm.

∴S △ABC =12

×4×4=8cm 2． 故选B ．

4. （2015年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数2y x

=的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为【 】 A. 2个 B.

4个 C. 5个 D. 6个 【答案】D ．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；分类思想和数形结合思想的应用．

【分析】如答图，若△PAB 为直角三角形，分三种情况：

①当∠PAB =90°时，P 点的横坐标为﹣3，此时P 点有1个；

②当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个；

③当∠APB=90°，以点O为圆心AB长为直径的圆与

2

y

x

的图象交于4点，此时P点有4个．

综上所述，满足条件的P点有6个．

故选D．

1. （2015年江苏无锡2分）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款▲ 元．

【答案】838或910．

【考点】函数模型的选择与应用；函数思想和分类思想的应用．

【分析】由题意知：小红付款单独付款480元，实际标价为480或480×0.8=600元，小红母亲单独付款520元，实际标价为520×0.8=650元，

如果一次购买标价480+650=1130元的商品应付款800×0.8+（1130﹣800）×0.6=838元；

如果一次购买标价600+650=1250元的商品应付款800×0.8+（1250﹣800）×0.6=910元．

∴答案为：838或910．

2. （2015年江苏徐州3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为▲ ．

【答案】

1

n-

.

【考点】探索规律题（图形的变化类）；正方形的性质. 【分析】根据正方形的性质，知：

第一个正方形ABCD

的边长为

1=，

第二个正方形ACEF

第三个正方形AEGH

的边长为

2

2=，

第四个正方形的边长为

3 =，

……

∴第n

个正方形的边长为

1

n-

.

3. （2015年江苏盐城3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是▲ ．

【答案】3<<5

r.

【考点】矩形的性质；勾股定理；点与圆的位置关系；分类思想的应用.

【分析】如答图，连接BD，

∵AB=4，AD=3，∴根据勾股定理，得BD=5.

∵<<

AB AD BD，

∴当<

∴r 的取值范围是3<<5r

.

4. （2015年江苏盐城3分）设△ABC 的面积为1，如图①将边BC 、AC 分别2等份，1BE 、1AD 相交于点O ，△AOB 的面积记为1S ；如图②将边BC 、AC 分别3等份，1BE 、1AD 相交于点O ，△AOB 的面积记为2S ；……， 依此类推，则n S 可表示为 ▲ ．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数

)

【答案】121

n +. 【考点】探索规律题（图形的变化类）；平行的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等底或等高三角形面积的性质.

【分析】如答图，连接11D E ，可知11D E ∥BA .

在图①中，由题意，得11ABO OD E ??∽，且1112D E BA =，∴1111123

OE OB OE BE =?=. ∴1AE O ?和1BE A ?的1AE 边上高的比是13

.∴1111233AE O BE A ABO BE A S S S S ????=?=. 又∵112AE B ABC S S ??=，∴1211323

ABO ABC ABC S S S S ???==?=. 在图②中，由题意，得11ABO OD E ??∽，且1123D E BA =，∴1112235

OE OB OE BE =?=. ∴1AE O ?和1BE A ?的1AE 边上高的比是25.∴1112355AE O BE A ABO BE A S S S S ????=?=.

又∵113AE B ABC S S ??=，∴2311535

ABO ABC ABC S S S S ???==?=.

在图③中，由题意，得11ABO OD E ??∽，且1134D E BA =，∴11133

47

OE OB OE BE =?=. ∴1AE O ?和1BE A ?的1AE 边上高的比是37.∴11134

77

AE O BE A ABO BE A S S S S ????=?=.

又∵114AE B ABC S S ??=，∴3411

747

ABO ABC ABC S S S S ???==?=.

……

依此类推， n S 可表示为1

21n ABC S S n ?=+，

∵1ABC S ?=，∴1

21

n S n =

+

.

5. （2015年江苏常州2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2； 12=5+7； 6=3+3 14=3+11=7+7； 8=3+5； 16=3+13=5+11； 10=3+7=5+5 18=5+13=7+11； …

通过这组等式，你发现的规律是 ▲ （请用文字语言表达）． 【答案】所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和. 【考点】探索规律型题（数字的变化类）．.

【分析】根据以上等式得出规律，此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和. 6. （2015年江苏淮安3分）将连续正整数按如下规律排列：

若正整数565位于第a 行，第b 列，则b a +＝ ▲ ．

【答案】147.

【考点】探索规律题（数字的变化类——循环问题）.

【分析】分别根据行和列的循环规律求解：

∵行的排列规律是4个数一行，而565114144

=+，∴142a =. ∵列的排列规律是按照1—2—3—4—5—4—3—2列的顺序8个数一循环， 而

56557088=+， ∴5b =.

∴147a b +=.

7. （2015年江苏南通3分）关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ▲ ．

【答案】9<<24

a --.

【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结合思想的应用.

【分析】∵关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根， ∴(

)()2009>94>341>04a a a a a ≠?≠?????-??-?=--??-????

且0a ≠. 设231y ax x =--

∵实数根都在﹣1和0之间，

∴当a ＞0时，如答图1，

由图可知， 当0x =时，>0y ；但0011y =--=-，矛盾，

∴此种情况不存在.

当a ＜0时，如答图2，

由图可知， 当1x =-时，<0y ，即31<0<2a a +-?-.

综上所述，a 的取值范围是9<<24a --.

8. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（0，4），直线334

y x =

-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 长的最小值为 ▲ ．

【答案】285

. 【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质．

【分析】根据垂线段最短得出PM ⊥AB 时线段PM 最短，分别求出PB 、OB 、OA 、AB 的长度，利用△PBM ∽△ABO ，即可求出答案

如答图，过点P 作PM ⊥AB ，则：∠PMB =90°，

当PM ⊥AB 时，P M 最短， ∵直线334

y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， ∴点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，﹣3）.

在Rt △AOB 中，∵AO =4，BO =3，∴根据勾股定理，得AB =5.

∵∠BMP =∠AOB =90°，∠ABO =∠PBM ，

∴△PBM ∽△ABO . ∴PB PM AB AO

=，即：4354PM +=，解得285PM =

.

1. （2015年江苏连云港10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy

中，直线y -x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，P 是直线AB 上一动点，⊙P 的半径为1．

（1）判断原点O 与⊙P 的位置关系，并说明理由；

（2）当⊙P 过点B 时，求⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长；

（3）当⊙P 与x 轴相切时，求出切点的坐标．

【答案】解：（1）原点O 在⊙P 外．理由如下：

∵直线y -x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，

∴点(

)(200A B - ，，，. 在Rt △OAB

中，∵OA tan OBA OB ∠=

== ∴∠OBA =30°， 如答图1，过点O 作OH ⊥AB 于点H ，

在Rt △OBH

中，OH OB sin OBA =?∠=

1，∴原点O 在⊙P 外.

（2）如答图2，当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴右侧时，

∵PB =PC ，∴∠PCB =∠OBA =30°.

∴⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角为：180°﹣30°﹣

30°=120°. ∴弧长为：120121803

ππ??=. 同理：当⊙P 过点B 时，点P 在y 轴左侧时，弧长同样为：23π. ∴当⊙P 过点B 时，⊙P 被y 轴所截得的劣弧的长为：23

π.

（3）如答图3，当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴下方时，设切点为D ，

∵PD ⊥x 轴，∴PD ∥y 轴. ∴∠APD =∠ABO =30°

.

∴在Rt △DAP

中，130AD DP tan DPA tan =?∠=??=，

∴2OD OA AD =-=-

， ∴此时点D 的坐标为：

（2-0）. 当⊙P 与x 轴相切时，且位于x 轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：

（2+

，0）.

综上所述，当⊙P 与x 轴相切时，切点的坐标为：

（2-，0

）或（2+0）． 【考点】圆和一次函数的的综合题；单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；点与圆的位置关系的判定；扇形弧长的计算；直线与圆相切的性质；分类思想的应用．

【分析】（1）作辅助线“过点O 作OH ⊥AB 于点H ”

，由直线y =-x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，可求得点A 、B 的坐标，从而根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得∠OBA =30°，进而应用三角函数可求得OH 的长，继而根据点与圆的位置关系的判定求得结论.

（2）分点P 在y 轴右侧和点P 在y 轴左侧两种情况讨论：求得⊙P 被y 轴所截的劣弧所对的圆心角，则可求得弧长.

（3）分⊙P 位于x 轴下方和⊙P 位于x 轴上方两种情况讨论即可.

2. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD

与边长为AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与A G 在同一直线上．

（1）小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长．

（3）如图3，小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转，将线段DG 与线段BE 相交，交点为H ，写出△GHE 与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．

【答案】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都为正方形，∴AD =AB ，∠DAG =∠BAE =90°，AG =AE ，

∴△ADG ≌△ABE （SAS ）.∴∠AGD =∠AEB .

如答图1，延长EB 交DG 于点H ，

在△ADG 中，∵∠AGD +∠ADG =90°，

∴∠AEB +∠ADG =90°.

在△EDH 中，∵∠AEB +∠ADG +∠DHE =180°，

∴∠DH E=90°. ∴DG ⊥BE .

（2）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都为正方形，∴AD =AB ，∠DAB =∠GAE =90°，AG =AE ，

∴∠DAB +∠BAG =∠GAE +∠BAG ，即∠DAG =∠BAE ，

∴△ADG ≌△ABE （SAS ）.∴DG =BE .

如答图2，过点A 作AM ⊥DG 交DG 于点M ，则∠AMD =∠AMG =90°，

∵BD 为正方形AB CD 的对角线，∴∠MDA =45°.

在Rt △AMD 中，∵∠MDA =45°，AD =2，

∴DM AM =在Rt △AMG

中，根据勾股定理得：GM

∵DG DM GM =+=

BE DG ==

（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由如下：

∵对于△EGH ，点H 在以E G 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△EGH 的高最大；

∵对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△BDH 的高最大.

∴△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为2+4=6．

【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理；数形结合思想的应用．

【分析】（1）由四边形ABCD 与四边形AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS 得到△ADG ≌△ABE ，利用全等三角形对应角相等得∠AGD =∠AEB ，作辅助线“延长EB 交DG 于点H ”，利用等角的余角相等得到∠DHE =90°，从而利用垂直的定义即可得DG ⊥BE .

（2）由四边形ABCD 与四边形AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS 得到△ADG ≌△ABE ，利用全等三角形对应边相等得到DG =BE ，作辅助线“过点A 作AM ⊥DG 交DG 于点M ”，则∠AMD =∠AMG =90°，在Rt △AMD 中，根据等腰直角三角形的性质求出AM 的长，即为DM 的长，根据勾股定理求出GM 的长，进而确定出DG 的长，即为BE 的长

.

（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由为：对两个三角形，点H 分别在以EG 为直径的圆上和以BD 为直径的圆上，当点H 与点A 重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值．

3. （2015年江苏连云港14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线214

y x =

交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2．

（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．

（2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过线段AB 上一点P ，作P M ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？

【答案】解：（1）∵点A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2， ∴()21214

y =?-=.∴A 点的坐标为（2，﹣1）. 设直线AB 的函数关系式为y kx b =+，

将（0，4），（﹣2，1）代入得421b k b =??-+=?，解得324

k b ?=???=?. ∴直线AB 的函数关系式为342

y x =+. ∵直线与抛物线相交，∴联立，得2

34214y x y x ?=+????=??

，解得：21x y =-??=?或816x y =??=?. ∴点B 的坐标为（8，16）.

（2）如答图1，过点B 作BG ∥x 轴，过点A 作AG ∥y 轴，交点为G ，

∴222AG BG AB +=，

∵由A （﹣2，1），B （8，16）根据勾股定理，得AB 2=325．

设点C （c ，0），

根据勾股定理，得()2

2222145AC c c c =++=++， ()222281616320BC c c c =-+=-+，

①若∠BAC =90°，则222AB AC BC +=，

即223254516320c c c c +++=-+，解得：12c =-.

②若∠ACB =90°，则222AB AC BC =+，

即223254516320c c c c =+++-+，解得：c =0或c =6.

③若∠ABC =90°，则222AB BC AC +=，

即224516320325c c c c ++=-++，解得：c =32.

∴点C 的坐标为（1

2

-，0），（0，0），（6，0），（32，0）. （3）如答图2，设MP 与y 轴交于点Q ，设214M m m ?? ??

? ，， 在Rt △MQN

中，由勾股定理得，2114MN m ==+， 又∵点P 与点M 纵坐标相同， ∴231424

x m +=，∴2166m x -= ∴点P 的横坐标为2166

m -. ∴221661666

m m m PM m --++=-=. ∴()2222161611313396184644

m m MN PM m m m m -+++=++?=-++=--+. 又∵1<04

-，2≤6≤8， ∴当M 的横坐标为6时，3MN PM +的长度的最大值是18．

【考点】二次函数综合题；待定系数的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；直角三角形存在性问题；勾股定理；二次函数的最值；分类思想和方程思想的应用．

【分析】（1）首先求得点A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标.

（2）作辅助线“过点B 作BG ∥x 轴，过点A 作AG ∥y 轴，交点为G ”，分若∠BAC =90°，∠ACB =90°，∠ABC =90°三种情况根据勾股定理列方程确定点C 的坐标

.

（3）设MP 与y 轴交于点Q ，设214M m m ?? ??

? ，，，首先在R t △MQN 中，由勾股定理得2114MN m =+，然后根据点P 与点M 纵坐标相同得到点P 的横坐标2166m -，从而得到213394

MN PM m m +=-++，根据二次函数的最值原理求解即可．

4. （2015年江苏苏州10分）如图，已知二次函数()2

1y x m x m =+--（其中0＜m ＜1）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA =PC ．

（1）∠ABC 的度数为 ▲ °；

（2）求P 点坐标（用含m 的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在点Q （与原点O 不重合），使得以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，且线段PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）45.

（2）如答图1，过P 点作PD y ⊥轴于点D ，

设l 与x 轴交于点E ，

根据题意，得抛物线的对称轴为12

m x -=， 设点P 的坐标为1,2m n -?? ???

， ∵PA =PC ，∴22PA PC =.

∴

2222AE PE CD PD +=+，即

()222211122m m n m n --????-+=++ ? ?????

. 解得12m n -=

.

∴P 点坐标为11,2

2m m --?? ??? . （3）存在点Q 满足题意.

∵P 点坐标为11,22m m --?? ???

， ∴222222PA PC AE PE CD PD +=+++

222221*********m m m m m m ----????????=+++++=+ ? ? ? ?????????

. ∵221AC m =+，∴222PA PC AC +=.∴090APC ∠=. ∴PAC ?是等腰直角三角形.

∵以Q 、B 、C 为顶点的三角形与△PAC 相似，

∴QBC ?是等腰直角三角形.

∴由题意知，满足条件的点Q 的坐标为(),0m - 或()0,m . ①当点Q 的坐标为(),0m - 时，如答图2，

若PQ 与x 垂直，则12m m -=-，解得13m =，即13PQ =. 若PQ 与x 不垂直， 则222

22221151521222222510m m PQ PE EQ m m m m --??????=+=++=-+=-+ ? ? ???????有， ∵0＜m ＜1，∴当2

m =

时，2PQ 取得最小值110

，PQ

. 1<03=

1<3. ∴当25m =时，点Q 的坐标为2,05??- ???

，PQ . ②当点

Q

的坐标为()0,m 时，如答图3，

若PQ 与y 垂直，则12m m -=，解得13m =，即13PQ =. 若PQ 与y 不垂直，

则222

22221151521222222510m m PQ PD DQ m m m m --??????=+=+-=-+=-+ ? ? ???????有， ∵0＜m ＜1，∴当2

m =

时，2PQ 取得最小值110

，PQ

. 1<03=

1<3. ∴当25m =时，点Q 的坐标为20,5?? ???

，PQ . 综上所述，点Q 的坐标为2,05??- ??? 或20,5?? ???

时，PQ 的长度最小. 【考点】二次函数综合题；相似三角形的存在性问题；二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的性质；实数的大小比较；分类思想的应用.

【分析】（1）令0x =，则y m =-，点C 的坐标为()0,m - ，

令0y =，即()2

10x m x m +--=，解得121,x x m =-= ， ∵0＜m ＜1，点A 在点B 的左侧，∴点B 的坐标为(),0m .

∴OB OC m ==. ∵∠BOC =90°，∴BOC ?是等腰直角三角形.∴∠OBC =45°.

（2）过P 点作PD y ⊥轴于点D ，设l 与x 轴交于点E ，求出抛物线的对称轴为12

m x -=，则可设点P 的坐标为1,2m n -?? ???

，由PA =PC 即22PA PC =，根据勾股定理得到2222AE PE CD PD +=+，解出n 即可求解.

（3）根据相似和PAC ?是等腰直角三角形证明QBC ?是等腰直角三角形，由题意知，满足条件的点Q 的坐标为(),0m - 或()0,m ，从而分点Q 的坐标为(),0m - 或()0,m 两种情况讨论即可.

5. （2015年江苏泰州12分）如图，正方形ABCD 的边长为8cm ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE =BF =CG =DH .

（1）求证：四边形EFGH 是正方形；

（2）判断直线EG 是否经过一个定点，并说明理由；

（3）求四边形EFGH 面积的最小值.

【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90,A B C D AB BC CD DA ∠=∠=∠=∠=?=== .

∵AE BF CG DH ===，∴BE CF DG AH ===.

∴()AEH BFE CGF DHG SAS ????≌≌≌.∴,EH FE GF HG AHF BEF ===∠=∠ .

∴四边形EFGH 是菱形.

∵90AHF AEH ∠+∠=?，∴90BEF AEH ∠+∠=?.∴90HEF ∠=?.

∴四边形EFGH 是正方形.

（2）直线EG 经过定点-----正方形ABCD 的中心. 理由如下：

如答图，连接,,,DE BG BD EG ，BD 、EG 相交于点O ，

∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥DC .

∵BE DG =，∴四边形BGDE 是平行四边形.

∴BO DO =，即点O 是正方形ABCD 的中心.

∴直线EG 经过定点----正方形ABCD 的中心.

（3）设AE BF CG DH x ====，则8BE CF DG AH x ====-，

∵()()22222228216642432EFGH S EF BE BF x x x x x ==+=+-=-+=-+四边形，

∴当4x =时，四边形EFGH 面积的最小值为32.

【考点】单动点和定值问题；正方形的判定和性质；全等三角形的判定和性质；平行四边形的判定和性质；勾股定理；二次函数的应用（实际问题）.

【分析】（1）由SAS 证明AEH BFE CGF DHG ????≌≌≌，即可证明四边形EFGH 是一个角是直角的菱形----正方形.

（2）作辅助线“连接,,,DE BG BD EG ，BD 、EG 相交于点O ”构成平行四边形BGDE ，根据平行四边形对角线互分的性质即可证明直线EG 经过定点-----正方形ABCD 的中心.

（3）设AE BF CG DH x ====，根据正方形的性质和勾股定理得到EFGH S 四边形关于x

的二次函数，

应用二次函数最值原理求解即可.

6. （2015年江苏无锡8分）（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人．求第二次传球后球回到甲手里的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）

（2）如果甲跟另外n （n ≥2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是 ▲ （请直接写出结果）．

【答案】解：（1）画树状图如下：

∵共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，

∴P （第2次传球后球回到甲手里）=

3193=． （2）2

1n n - 【考点】列表法或树状图法；概率；探索规律题（数字的变化类）．.

【分析】（1）画树状图或列表，根据图表，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结果，可得答案.

（2）根据第一步传的总结果是n ，第二步传的总结果是2n ，第三步传的总结果是3n ，传给甲的结果是()1n n -，根据概率的意义，第三次传球后球回到甲手里的概率是()2211n n n n n

--=. 7. （2015年江苏无锡10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点分别为O (0，0)、A （5，0）、B (m ，2)、C (m －5，2)．

（1）问：是否存在这样的m ，使得在边BC 上总存在点P ，使∠OPA ＝90o？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由；

（2）当∠AOC 与∠OAB 的平分线的交点Q 在边BC 上时，求m 的值．

【答案】解：（1）存在．

∵()()()()0050252O A B m C m - ，、，、，、，，

∴OA =BC =5，BC ∥OA .

如答图1，以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交

于点E 、F ，则∠OEA =∠OFA =90°，

过点D 作DG ⊥EF 于G ，连接DE ，则DE =OD =2.5，

DG =2，EG =GF ，

∴ 1.5EG =.

∴E （1，2），F （4，2）.

由541

m m -≤??≥?解得，19m ≤≤，

∴当19m ≤≤时，边BC 上总存在这样的点P ，使∠OPA =90°.

（2）如答图2，

∵BC =OA =5，BC ∥OA ，

∴四边形OABC 是平行四边形. ∴OC ∥AB .

∴∠AOC +∠OAB =180°.

∵OQ 平分∠AOC ，AQ 平分∠OAB ，

∴∠AOQ =12∠AOC ，∠OAQ =12

∠OAB . ∴∠AOQ +∠OAQ =90°. ∴∠AQO =90°.

以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，则∠OEA =∠OFA =90°，

∴点Q 只能是点E 或点F .

当Q 在F 点时，

∵OF 、AF 分别是∠AOC 与∠OAB 的平分线，BC ∥OA ，

∴∠CFO =∠FOA =∠FOC ，∠BFA =∠FAO =∠FAB . ∴CF =OC ，BF =AB .

而OC =AB ，∴CF =BF ，即F 是BC 的中点．

而F 点为 （4，2），∴此时m 的值为6.5.

当Q 在E 点时，同理可求得此时m 的值为3.5.

综上所述，m 的值为3.5或6.5．

【考点】圆的综合题；垂径定理；圆周角定理；平行四边形的判定和性质；坐标与图形性质；勾股定理；分类思想的应用.

【分析】（1）由四边形四个点的坐标易得OA =BC =5，BC ∥OA ，以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，根据圆周角定理得∠OEA =∠OFA =90°，如图1，作DG ⊥EF 于G ，连DE ，则DE =OD =2.5，DG =2，根据垂径定理得EG =GF ，利用勾股定理可计算出EG =1.5，于是得到E （1，2），F （4，2），即点P 在E 点和F 点时，满足条件，此时541

m m -≤??≥?，即1≤m ≤9时，边BC 上总存在这样的点P ，使∠OPA =90°；

（2）如图2，先判断四边形OABC 是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到∠AQO =90°，以OA 为直径作⊙D ，与直线BC 分别交于点E 、F ，则∠OEA =∠OFA =90°，于是得到点Q 只能是点E 或点F ，当Q 在F 点时，证明F 是BC 的中点．而F 点为 （4，2），得到m 的值为6.5；当Q 在E 点时，同理可求得m 的值为3.5．

8. （2015年江苏无锡10分）如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，OC ＝6，N 为边OB 上异于点O 的一动点，P 是线段05上一点，过点P 分别作PQ ∥OA 交OB 于点Q ，PM ∥OB 交OA 于点M ．

（1）若∠AOB =60o，OM =4，OQ =1，求证：05⊥OB ；

（2）当点N 在边OB 上运动时，四边形OMPQ 始终保持为菱形； ①问：11OM ON

-的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由； ②设菱形OMPQ 的面积为S 1，△NOC 的面积为S 2，求12

S S 的取值范围．

【答案】解：（1）证明：如答图，过点P 作PE ⊥OA 于点E ，

∵PQ ∥OA ，PM ∥OB ，

∴四边形OMPQ 为平行四边形.

∵OQ =1，∠AOB =60°，

∴PM =OQ =1，∠PME =∠AOB =60°.

∴1602PE PM sin ME =??=

=

.

∴32

CE OC OM ME =--=.

∴PE tan PCE CE ∠==. ∴∠PCE =30°. ∴∠CPM =90°， 又∵PM ∥OB ，∴∠05O =∠CPM =90°，即05⊥OB .

（2）①11OM ON

-的值不发生变化，理由如下： 设OM x ON y ==，，

∵四边形OMPQ 为菱形，∴OQ QP OM x NQ y x ====-，.

∵PQ ∥OA ，∴∠NQP =∠O .

又∵∠QNP =∠ONC ，∴△NQP ∽△NOC . ∴QP NQ OC ON =，即6x y x y -=， 化简,得111166

y x xy x y -=?-=. ∴

1116OM ON -=不变化. ②如答图,过点P 作PE ⊥OA 于点E ，过点N 作NF ⊥OA 于点F ，设OM x =， 则1212S OM PE S OC NF =?=?，,∴123S xPE S NF

=． ∵PM ∥OB ，∴∠MCP =∠O .

又∵∠PCM =∠NCO ，∴△CPM ∽△05O. ∴66

PE CM x NF CO -==. ∴()()212611318182

x x S x S -==--+ ∵0＜x ＜6，∴根据二次函数的图象可知， 1210<

2S S ≤． 【考点】相似形综合题；单动点问题；定值问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；二次函数的性质；平行四边形的判定和性质；菱形的性质.

【分析】（1）作辅助性线，过点P 作PE ⊥OA 于E ，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到OMPQ 为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到PM =OQ =1，∠PME =∠AOB =60°，进而求出PE 与ME 的长，得到CE 的长，求出tan ∠PCE 的值，利用特殊角的三角函数值求出∠PCE 的度数，得到PM 于NC 垂直，而PM 与ON 平行，即可得到05与OB 垂直.

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