湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中2018届高三上学期第二

2017年下学期高三第2次月考试题

理科数学卷 命题： 审题：

考试范围：集合至平面向量线性运算占60%，其他占40%.满分150分 时量120分钟 一、选择题（本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求） 1. 已知集合A.

B.

C.

是整数集,则 D.

【答案】C 【解析】2. 若复数A. B. 【答案】A 【解析】设

3. 在

中,已知

则角为

其中

则

解得

所以

C.

为纯虚数,则 D.

的值为

，故选C.

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】因为

所以角为

，故选A.

4. 执行如图所示的程序框图,当输入的为6时,输出的的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当

，输出

5. 已知命题A. 假命题,B. 真命题,C. 假命题,D. 真命题,【答案】D 【解析】设

6. 函数

的图像与函数

则

在

上单调递增.所以对

不输出；当

，不输出；当

，故选D.

则有关命题的真假及

的论述正确的是

命题为真命题,故选

的图像的交点个数为

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由的抛物线.且

点，故选C................... 7. 函数

A. B. C. D. 【答案】B 【解析】通分可得

所以

的最小正周期

，故选B.

的最小正周期为

知,

的图像是顶点坐标为

与函数

开口向下

作图可知函数的图像有两个交

8. 已知命题

递增.给出下列命题：①其中真命题的个数为

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当在

时,

;②

;③

函数;④

在区间上单调

故命题为假命题.函数 在上单调递增,

上单调递减.故命题为假命题.从而④为真命题,故选A.

若直线过点

B. D.

,且与曲线

相切,则直线的方程为

9. 已知函数A. C. 【答案】C 【解析】

设切点为

，从而斜率

所以的方程为

即

则切线方程为

解得

故选C.

【点睛】

解本题的关键之处有： 利用函数与方程思想求得解方程

.

；

10. 已知实数满足条件,则的最小值为

A. B. C. D. 【答案】A

【解析】

由件做出知

；由 ；由；由约束条

的可行域如图所示，的值为可行域中的点与原点 的连线的斜率，观察图形可

.故选A.

的斜率最小，所以

【点睛】

在平面区域的相关问题中，若目标函数不是线性目标函数，可利用其几何意义进行求解，例如 的几何意义是点离等. 11. 用

表示

对称,则的值为

A.

B. C.

D.

两数中的较小值.若函数

的图像关于直线

与原点的连线的低利率；

几何意义 是点

与原点的距

【答案】B 【解析】当

时,函数

的图像关于直线满足

对称.所以

则不等式

解得

故选B. 的解集为

12. 若定义在上的函数A. C. 【答案】A 【解析】令成立,所以

B. D.

在上单调递增. 又

即

解得

由已知可得,所以不等式

故选

在上恒

【点睛】

解本题的关键之处有： 构造函数.

；

利用导数工具确定函数的单调性； 将不等式转化为

.

二、填空题：本小题共4个小题,每小题5分,满分20分. 13. 若函数

为奇函数,则实数的值为________.

【答案】【解析】易证

14. 设向量【答案】 【解析】因为15. 若【答案】【解析】16. 记抛物线一点恰好【答案】

为奇函数,又因为函数

为奇函数,所以

为偶函数,故

满足则

所以

则

__________.

.

与圆

所围成的封闭图形为区域

则从圆中随机选取

的概率为______________.

【解析】

；设

【点睛】

为事件A，则； 的面积为

.

面积比是求几何概型的一种重要类型，如果试验的结果所构成的区域可以用面积表示，则其概率的计算公式为

.

三、解答题:本大题满分70分.解答题应写出必要的步骤、演算过程等. 17. 在钝角三角形

（1）求角

中,内角

所对的边长为

已知角为最大内角,且

（2）若【答案】（1）

且的面积为 （2）

求的值.

，再为钝角推出

；（2）由三角形的面

【解析】试题分析：由正弦定理可得积公式得试题解析： （1）因为又因为因为（2）因为由余弦定理得

即

所以

是方程

所以

由正弦定理可得

，由余弦定理推出

，再利用韦达定理可解得

为钝角三角形,且角为最大内角,所以

的面积为

所以

故

所以

的两解,解得

18. 某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为（1）求的分布列和数学期望. （2）记“函数

【答案】（1）分布列见解析；

是偶函数”为事件,求发生的概率； （2）

且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为

【解析】试题分析：根据的可能取值分别求出对应的概率，即可得到的分布列 试题解析： （1）的可能取值为

的分布列为 1 2 3

（2）因为

是偶函数,所以

19. 如图,在四棱锥

中,平面

为

（1）证明:（2）求二面角

的余弦值.

平面的中点.

或

【答案】（1）证明见解析 （2）二面角【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形三线合一证得证得

，从而证得

平面

的法向量

的余弦值为

，再根据面面垂直性质定理

；（2）可以为原点建立空间直角坐标系，求得 和平面

.

的法向量

，从而求得

试题解析： （1）联结所以

平面所以

（2）取线段由（1）知, 空间直角坐标系于是

则

因为又平面所以

的中点

因为

所以分别为

的正半轴建立

为平面

又

的中点, 交线为

故可以为原点, 射线

设平面的一个法向量为

令

得由

得

由

得

易知二面角

得

设平面的法向量为

令

所以面角20. 已知椭圆

（1）求椭圆的方程；

的余弦值为

的平面角为锐角,所以二

的右焦点为左顶点为

（2）过点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于（不同于点的）与轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由. 【答案】（1）椭圆的方程为（2）直线

两点.试判断直线

与轴的交点是定点,坐标为

【解析】试题分析：（1）由已知得

（2）①当直线

与轴垂直时

的方程为直线

于轴时设直线

的方程为

椭圆的方程为

联立

与轴的交点为

②当直线

不垂直

联立

且

即或

直线试题解析： （1）由已知得

与轴的交点为

.

由题意知

所以椭圆的方程为（2）①当直线联立此时直线②当直线联立设且而即解得当

或时,满足故直线

【点睛】

本题的几个关键难点有：

的方程为

的方程为

解得

直线

与轴的交点为的方程为

即由题意知,

与轴垂直时,直线

得

不垂直于轴时,设直线

得则

直线的方程为

此时与轴的交点为

与轴的交点是定点,坐标为

利用分类讨论思想确立解题总体思路,即：①直线利用舍而不求法，结合韦达定理将问题转化为较为繁杂的计算量. 21. 已知函数（1）当（2）若【答案】（1）解：（1）当令

得

时,求

的单调区间； 求实数的取值范围.

的增区间为时,当

时,

减区间为

与轴垂直，②当直线不垂直于轴； ；

（2）

单调递减;

时,

所以（2）当当

.而当

时,对于

又因为

当所以又因为因为

时,时,时,存在的增区间为

单调递增. 减区间为

显然符合条件.

使得

不合题意.

,因为

所以当

所以所以所以

代入

；求得讨论时，

时，递减，

；综上的取值范围为

，令

求出零点即可求得其单符合条件；

时，存在

即

解得

设 时,

的两根为

综上所述,实数的取值范围为【解析】试题分析：（1）

调递增、单调递减区间；（2）求出使得

，不合题意；

试题解析： 解：（1）当令

得时,

所以

的增区间为

时,当

时,单调递增. 减区间为

单调递减;

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