02～06年全国初中数学联赛试题及答案

2002年全国初中数学联合竞赛试卷

（2002年4月21日8：30—10：30）

一、选择题（本题42分，每小题7分）

1、已知a=2-1，b=22-6，c=6-2，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）

(A) a2、若m 2=n+2，n 2=m+2(m ≠n)，则m 3-2mn+n 3的值为（ ）

(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2

3、已知二次函数的图象如图所示，并设M=|a+b+c|-|a -b+c|+|2a+b|-|2a -b|，则（ ）

(A)M>0 (B)M ＝0 (C)M <0 (D)不能确定M 为正、为负或为0

4、直角三角形ＡBC 的面积为120，且∠BAC=90o，AD 是斜边上的中线，过D 作DE ⊥AB 于E ，连CE 交AD 于F ，则△AFE 的面积为（ ）

(A)18 (B)20 (C)22 (D)24

5、圆O 1与O 2圆外切于点A ，两圆的一条外公切线与圆O 1相切于点B ，若AB 与两圆的另一条外公切线平行，则圆O 1与圆O 2的半径之比为（ ）

(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3

6、如果对于不小于8的自然数n ，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成个k 完全平方数的和，那么k 的最小值为（ ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、填空题（每小题7分，共28分）

1、已知a<0，ab<0，化简，=+----|3a b ||23b a |1

. 2、如图，7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r ，则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为

3、甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 件。

4、设N=23x+92y 为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正整数对（x ，y ）共有 对。

三、（本题满分70分）

1、（本题满分20分）

已知：a ，b ，c 三数满足方程组??

?=+-=+48c 38c ab 8b a 2，试求方程bx 2+cx -a=0的根。 2、（本题满分25分）

如图，等腰三角形ABC 中，P 为底边BC 上任意点，过P 作两腰的平行线分别与AB ，AC 相交于Q ，R 两点，又P`的对称点，证明：P'在△ABC 的外接圆上。

3、（本题满分25分）

试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程rx 2+(r+2)x+r -1=0有且只有整数根。

参考答案

一、BDCBCC

二、1、15323+

2、r )6(2+π

3、12

4、27

三、1、由方程组得：a 、b 是方程x 2-8x+c 2-28c+48=0的两根

△=-4(c -28)2≥0，c=42 a=b=4

所以原方程为 x 2+2x -1=0

x 1=262+

-，x 2=262-

-

2、连结BP'、P'R 、P'C 、P'P

（1）证四边形APPQ 为平行四边形

（2）证点A 、R 、Q 、P'共圆

（3）证△BP'Q 和△P'RC 为等腰三角形

（4）证∠P'BA=∠ACP'，原题得证

3、（1）若r=0，x=21

，原方程无整数根

（2）当r ≠0时，x 1+x 2=r 2

r +- x 1x 2=r 1

r -

消去r 得：4x 1x 2-2(x 1+x 2)+1=7 得(2x 1-1)(2x 2-1)=7

由x 1、x 2是整数得：r=31-

，r=1

P C

2003年“TRULY ○R

信利杯”全国初中数学竞赛试题及答案

（3）草稿纸不上交

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题

均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确 的，请将正确结论的代号填入题后的括号里，不填、多填或错 填得零分） 1、若4x ―3y ―6z=0，x ―2y ―7z=0，（xyz ≠0），则代数式

2

2

2

222103225z

y x z

y x ---+的值等于（ ） A

―2

1

B ―

2

19 C ―15 D ―13

2、在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.8元，超过

20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g 需增 加邮费0.80元（信的质量在100g 以内），如果某人所寄一封信的

质量为72.5g ，那么他应付邮费（ ） A 2.4元 B 2.8元 C 3元 D 3.2元 3、如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（ ） A 360° B 450° C 540° D 720° 4、四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们 拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如图），

则x 可取值的个数为（ ） A 2个 B

3个 C 4个 D 5个 5、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有（ ）

A 1种

B 2种

C 4种

D 0种

二、填空题（共5个小题，每小题6分，满分30分） 6、已知x=1―

3

，那么

2

14

12

12

--

-+

+x x x = 。

7、若实数x ，y ，z 满足x+

y

1=4，y+z

1

=1，z+

x

1=3

7

，则xyz 的值为 。

8、观察下列图形：

① ② ③ ④

根据图①、②、③的规律，图④中的三角形的个数为 。9、如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好

照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45°，

∠A=60°，CD=4m ，BC=(46―22)m ，则电线杆AB 的长为

m 。

得 分 评卷人

A

B

C D E

F

G A B

C D

O

10、已知二次函数y=ax 2+bx+c （其中a 是正整数）的图像经过点A(―1，4)与点B(2，1)，并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为 。

三、解答题（共4小题，每小题15分，满分60分） 11、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，

OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，

与DE 交于点P ，问EP 与PD 是否相等？证明你的结论。

12、某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时），若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元，试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

13、如图所示，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程x 2+2(k ―2)x+k=0(k 是整数的最大整数根)，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA ，PB ，PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA 2+PB 2+PC 2的值

得 分 评卷人 14 A C D E B H G F O 6 15 7 9 18 12 17 13 11

5 10 B

14、沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a 、b 、c 、d 满足不等式(a ―d)(b ―c)>0，那么就可以交换b 、c 的位置，这称为一次操作。

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有(a ―d)(b ―c)≤0？请说明理由。

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有(a ―d)(b ―c)≤0？请说明理由。

2003年“TRULY ?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，满分30分）

1．D

由???=-+=--,072,0634z y x z y x 解得?

??==.2,3z y z x 代入即得. 2．D

因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.

3．C

如图所示，∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°，∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°，

而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以

∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°.

4．D 显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x 。

（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ；

当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ；

当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x .

（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ； 1

2 3

4 5 6 N M A B

C

E F

G O C D

A

B

当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ；

当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x .

故x 可取值的个数为6个.

5．B

设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k +1，k +2，…，k +（n －1），由题意可知1002

)

1(=-+

n n kn ，即()[]200

12=-+n k n .

因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n <2k +（n －1），且n 与2k +（n －1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n =5或n =8. 当n =5时，k =18；当n =8时，k =9. 共有两种不同方案.

6．23-

.

4

34

14

42

14

12

12

2

2

2

--=

-+

--=

--

-+

+x x x x x x ＝

2

34

)31(32

-

=-+

-。

7．1.

因为3

4371

137137

1

11114--+

=---+

=-+=-

+=+

=x x x x x x z z x z

x y

x ，

所以 37)34()34(4-+-=-x x x x ， 解得 23=x .

从而 3

5323713

7=-=-=

x z ，5

25

3111=

-

=-

=z

y .

于是 1355223=??=

xyz .

8．161.

根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为 1+4+3×4+432?+433?=1+4+12+36+108=161（个）. 9．26.

如图，延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F .

因为∠DCF =45°，∠A =60°，CD =4m ，所以CF =DF =22m ， EF =DF tan60°=62（m ）. 因为

3

330

tan =

=

BE

AB ，所以2

63

3=?

=BE AB （m ）.

10.－4.

由于二次函数的图象过点A （－1，4），点B （2，1），所以??

?=++=+-,

124,4c b a c b a

解得 ??

?-=--=.

23,1a c a b

因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以042>-=?ac b ，

0)23(4)1(2

>----a a a ，即0)1)(19(>--a a ，由于

a 是正整数，故1>a ，

所以a ≥2. 又因为b +c =－3a +2≤－4，且当a =2，b =－3，c =－1时，满足 题意，故b +c 的最大值为－4.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分） 11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P . 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论.

解：DP =PE . 证明如下：

因为AB 是⊙O 的直径，BC 是切线， 所以AB ⊥BC .

由Rt △AEP ∽Rt △ABC ，得

AB

AE BC

EP = . ① ……（6分）

又AD ∥OC ，所以∠DAE=∠COB ，于是Rt △AED ∽Rt △OBC . 故

AB

AE AB

AE OB

AE BC

ED 221==

= ② ……（12分）

由①，②得 ED =2EP .

所以 DP =PE . ……（15分） 12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？

解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类：

（1）从A 城出发到达B 城，经过O 城. 因为从A 城到O 城所需最短时间为

26小时，从O 城到B 城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为26+22=48（小时）. ……（5分）

（2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城. 这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49小时. ……（10分）

综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为： A →F →O →E →B . ……（12分） 所需的费用最少为：

80×48×1.2=4608（元）…（14分）

答：此人从A 城到B 城最短路线是A →F →O →E →B ，所需的费用最少为4608元 ……（15分）

13B ．如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90°.

（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：

AB

BD AD BC

BD

CD

-=

-2

2

2

.

（2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. 解：（1）作DE ⊥BC ，垂足为E . 由勾股定理得

.

)()

()(2

2

2

2

22

2

2

BC BE CE BE

CE DE BE

DE CE

BD

CD

-=-=+-+=-

所以

BC

BE BC

CE BC

BE CE BC

BD

CD -

=

-=

-2

2

2

. 因为DE ∥AC ，所以 AB

BD BC

BE AB

AD BC

CE =

=

,

.

故

AB

BD AD AB

BD AB

AD BC

BD

CD

-=

-

=

-2

2

2

. ……（10分）

（2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。此时有

AD =0，CD =AC ，BD =AB .

所以

12

2

2

2

2

2

2

2

-=-=

-=

-BC

BC BC

AB

AC BC

BD

CD

，

1-=-=

-AB

AB AB

BD AD .

从而第（1）小题中的等式成立. ……（13分） （3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式不成立. 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点E ，则

C

A

B

D

E

,21222222BC CE BC

BE

CE BC BE CE BC

BD

CD --=+-=-=- 而1-=-=-AB

AB

AB BD AD , 所以 AB BD

AD BC BD

CD -≠-222. ……（15分）

〖说明〗第（3）小题只要回答等式不成立即可（不成立的理由表述不甚清

者不扣分）.

14B ．已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c =2，abc =4.

（1）求a ，b ，c 中的最大者的最小值；

（2）求c b a ++的最小值.

解：（1）不妨设a 是a ，b ，c 中的最大者，即a ≥b ，a ≥c ，由题设知a >0，

且b +c =2-a ，a bc 4

=.

于是b ，c 是一元二次方程0

4

)2(2=+--a x a x 的两实根， a a 4

4)2(2?--=?≥0，

164423-+-a a a ≥0，)4)(4(2-+a a ≥0. 所以a ≥4. ……（8分）

又当a =4，b =c =-1时，满足题意.

故a ，b ，c 中最大者的最小值为4. ……（10分）

（2）因为abc >0，所以a ，b ，c 为全大于0或一正二负.

1）若a ，b ，c 均大于0，则由（1）知，a ，b ，c 中的最大者不小于4，这与a +b +c =2

矛盾.

2）若a ，b ，c 为或一正二负，设a >0，b <0，c <0，则

22)2(-=--=--=++a a a c b a c b a ，

由（1）知a ≥4，故2a -2≥6，当a =4，b =c =-1时，满足题设条件且使得不等式等号成立。故c b a ++的最小值为6. ……（15分）

13A ．如图所示，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x （k 是整数）的最大整数根. P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B ，C 是直线PBC 与⊙O 的交点. 若PA ，PB ，PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求 222PC PB PA ++的值.

解：设方程0)2(22=+-+k x k x 的两个根 A B

C D E

为1x ，2x ，1x ≤2x .由根与系数的关系得

k x x 2421-=+， ①

k x x =21. ② 由题设及①知，1x ，2x 都是整数. 从①，②

消去k ，得 422121=++x x x x ，

9)12)(12(21=++x x .

由上式知，42≤x ，且当k =0时，42=x ，故最大的整数根为4.

于是⊙O 的直径为4，所以BC ≤4.

因为BC =PC －PB 为正整数，所以BC =1，2，3或4. ……（6分） 连结AB ，AC ，因为∠PAB=∠PCA ，所以PAB ∽△PCA ，

PA PC

PB PA

=。

故 )(2BC PB PB PA += ③ ……（10分）

（1）当BC =1时，由③得，PB PB PA +=22，于是

222)1(+<

（2）当BC =2时，由③得，PB PB PA 222+=，于是

222)1(+<

（3）当BC =3时，由③得，PB PB PA 322+=，于是

PB PB PA PB PA 3))((=+-，

由于PB 不是合数，结合PB PA PB PA +<-，故只可能

???=+=-,3,1PB PB PA PB PA ???=+=-,,3PB PB PA PB PA ?

??=+=-,3,PB PA PB PB PA 解得 ?

??==.1,2PB PA 此时 21222=++PC PB PA .

（4）当BC =4，由③得，PB PB PA 422+=，于是

P

2

2

2

2)

2(4)1(+<=+<+PB PA

PB PB

PB ，矛盾.

综上所述

212

2

2

=++PC

PB

PA . ……（15分）

14A ．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式

))((c b d a -->0，那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作.

（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有))((c b d a --≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有

))((c b d a --≤0？请说明理由.

解：（1）答案是肯定的. 具体操作如下：

……（5分）

（2）答案是肯定的. 考虑这2003个数的相邻两数乘积之和为P . ……（7分）

开始时，0P =1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，经过k （k ≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为k P ，此时若圆周上依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式))((c b d a -->0，即ab +cd >ac +bd ，交换b ，c 的位置后，这2003个数的相邻两数乘积之和为1+k P ，有

)()(1<--+=++-++=-+cd ab bd ac cd bc ab bd cb ac P P k k .

所以11-≤-+k k P P ，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，由于相邻两数

2

2

乘积总大于0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，一定有

))((c b d a --≤0.

……（15分）

2004年“TRULY ?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案和评分标准

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）

1. 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b .则b

a a

a b b

+的

值为（ ）.

（A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 答：选（B ）

∵ a 、b 是关于x 的方程

()03)1(312

=-+++x x

的两个根，整理此方程，得

0152

=++x x ，

∵ 0425>-=?， ∴ 5-=+b a ，1=ab . 故a 、b 均为负数. 因此

()23

22

2

2

-=-+-

=+-

=-

-

=+ab

ab

b a ab ab

b a ab b

a a

b a

b b a a

a b b

.

2. 若直角三角形的两条直角边长为a 、b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 （ ）.

（A ）2h ab = （B ）h

b a 111=+ （C ）

2

2

2

111h

b

a

=

+

（D ）2222h b a =+

答：选（C ）

∵ 0>>h a ，0>>h b ，

∴ 2h ab >，222222h h h b a =+>+； 因此，结论（A ）、（D ）显然不正确.

设斜边为c ，则有c b a >+，ab

ch h b a 2

121)(2

1=>

+，即有

h

b

a 111>+

，

因此，结论（B ）也不正确. 由

ab

h b a 2

12

12

2

=

+化简整理后，得

2

2

2

111h

b

a

=

+

，

因此结论（C ）是正确的.

3．一条抛物线c bx ax y ++=2的顶点为（4，11-），且与x 轴的两个交点的横坐标为一

正一负，则a 、b 、c 中为正数的（ ）. （A ）只有a （B ）只有b （C ）只有c （D ）只有a 和b 答：选（A ）

由顶点为（4，11-），抛物线交x 轴于两点，知a >0. 设抛物线与x 轴的两个交点的横坐标为1x ，2x ，即为方程

02

=++c bx ax

的两个根. 由题设021

0

c ，所以0

2>-a

b ，知b <0.

故知结论（A ）是正确的.

4．如图所示，在△ABC 中，DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB

的距离之比为1:2. 若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为

2，则△CFG

的面积

S

等于

（ ）.

（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 答：选（B ）

由DE ∥AB ∥FG 知，△CDE ∽△CAB ，△CDE ∽△4

132

2==

=

??CAB

CDE S S CA

CD ，

又由题设知

2

1=

FA

FD ，所以

3

1

=AD FD

，

AC

AC AD FD 4

1

433131=?==，

故DC FD =，于是

41212

=??? ??=??CFG CDE

S S ，8=?CFG S . 因此，结论（B ）是正确的.

5．如果x 和y 是非零实数，使得

3=+y x 和03

=+x y x ， 那么x +y 等于（ ）.

（A ）3 （B ）13 （C ）

2131- （D ）134- 答：选（D ） 将x y -=3代入03=+x y x ，得0323=+-x x x .

（1）当x >0时，0323=+-x x x ，方程032=+-x x 无实根；

（2）当x <0时，0323=--x x x ，得方程032=--x x 解得2131±

=x ，正根舍去，从而2131-=

x . 于是2137213133-=-

+

=-=x y . 故134-=+y x . 因此，结论（D ）是在正确的.

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6． 如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，AD =AE ，

?=∠60BAD ，则=∠EDC （度）.

答：30°

解：设α2=∠CAD ，由AB =AC 知

αα-?=-?-?=∠60)260180(21

B ，

α+?=?-∠-?=∠6060180B ADB ，

由AD =AE 知，α-?=∠90ADE ， 所以?=∠-∠-?=∠30180ADB ADE EDC .

7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T 与这两个城市的人口数m 、n （单位：万人）以及两城市间的距离d （单位：km ）有2d kmn

T =的关系(k 为常数) . 现

测得A 、B 、C 三个城市的人口及它们之间的距离如图所示，且已知A 、B 两个城市间每天的电话通话次数为t ，那么B 、C 两个城市间每天的电话通话次数为 次

（用t 表示）. 答：2t

解：据题意，有k t 21608050?=

， ∴t k 532

=.

因此，B 、C

264

5532320100802t

t k T BC =?=??=.

8．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则=+++)()(2222y x ab xy b a .

答：5-

解：由2=+=+y x b a ，得4))((=+++=++bx ay by ax y x b a ， ∵ 5=+by ax ，

∴ 1-=+bx ay .

因而，5))(()()(2222-=++=+++by ax bx ay y x ab xy b a .

9． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC (BC >AD )，?=∠90D ，BC =CD =12, ?=∠45ABE ，若AE =10，则CE 的长为 .

答：4或6

解：延长DA 至M ，使BM ⊥BE . 过B 作BG ⊥AM ，G 为垂足.易知四边形BCDG 为正方形， 所以BC =BG . 又GBM CBE ∠=∠，

∴ Rt △BEC ≌Rt △BMG . ∴ BM =BE ，?=∠=∠45ABM ABE ，

∴△ABE ≌△ABM ，AM =AE =10.

设CE =x ，则AG =x -10，AD =x x -=--2)10(12，DE =x -12. 在Rt △ADE 中，222DE AD AE +=，

∴ 22)12()2(100x x -++=，

即024102=+-x x ，

解之，得41=x ，62=x . 故CE 的长为4或6.

10．实数x 、y 、z 满足x+y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是 . 答：313

解：∵ z y x -=+5，35)5(3)(32+-=--=+-=z z z z y x z xy ，

∴ x 、y 是关于t 的一元二次方程

035)5(22=+-+--z z t z t

的两实根.

∵ 0)35(4)5(22≥+---=?z z z ，即

0131032

≤--z z ，0)1)(133(≤+-z z . ∴ 313

≤z ，当31=

=y x 时，313=z . 故z 的最大值为313

.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散. 学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示学生注意力越集中）. 当100≤≤x 时，图象是抛物线的一部分，当2010≤≤x 和4020≤≤x 时，图象是线段.

（1）当100≤≤x 时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；

（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟. 问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.

解：（1）当100≤≤x 时，设抛物线的函数关

系式为c bx ax y ++=2，由于它的图象经过点

（0，20），（5，39），（10，48），所以

??

???=++=++=.4810100,39525,

20c b a c b a c 解得，51-

=a ，524=b ，20=c . 所以 205

24

51

2++-=x x y ，100≤≤x . …………………（5分） （2）当4020≤≤x 时，7657

+-=x y .

所以，当100≤≤x 时，令y =36，得2052451362++-

=x x ， 解得x =4，20=x （舍去）；

当4020≤≤x 时，令 y =36，得765736+-

=x ，解得 74

287200

==x . ……………………（10分） 因为2474

24474

28>=-，所以，老师可以经过适当的安排，在学生注意力指标数不低

于36时，讲授完这道竞赛题. ……………………（15分）

12．已知a ，b 是实数，关于x ，y 的方程组

??

?+=--=b

ax y bx ax x y ,23 有整数解),(y x ，求a ，b 满足的关系式.

解：将b ax y +=代入bx ax x y --=23，消去a 、b ，得

xy x y -=3， ………………………（5分）

3)1(x y x =+.

若x +1=0，即1-=x ，则上式左边为0，右边为1-不可能. 所以x +1≠0，于是

11

1123

+-+-=+=x x x x x y .

因为x 、y 都是整数，所以11±=+x ，即2-=x 或=x 0，进而y =8或=y 0. 故

???=-=82y x 或 ???==00y x ………………………（10分） 当???=-=82

y x 时，代入b ax y +=得，082=+-b a ；

当???==00y x 时，代入b ax y +=得，0=b .

综上所述，a 、b 满足关系式是082=+-b a ，或者0=b ，a 是任意实数.

………………………（15分）

13．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB

的值.

解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，

所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分）

∴AD AP

AP AB

=，

所以223AD AD AB AP =?=， ∴AD AP 3=，

所以3==AD AP

PD PB

. 14．已知0c ，

且ac b ac b 242

-=-，求ac b 42-解：令c bx ax y ++=2，由0c ，

判别式042>-=?ac b ，所以这个二次函数的图象

是一条开口向下的抛物线，且与x 轴有两个不同的

交点)0,(1x A ，)0,(2x B ，因为021<=a c x x ，不妨设

21x x <，则210x x <<，对称轴02≤-

=a b

x ，于是 c a ac b b a ac

b b x =--=-+-=2424221， ………………（5分）

所以a ac

b a ac

b b

c a b

ac 242444222--≥--=≥-， …………………（10分）

故442≥-ac b ，

当1-=a ，b =0，c =1时，等号成立.

所以，ac b 42-的最小值为4. ………………………（15分）

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题A

参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填均得零分）

1.如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6. 将纸片折叠，使得AD

边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则）题）

△CEF 的面积为（ ）

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8

答：A 解：由折叠过程知，DE ＝AD ＝6， 45=∠=∠CEF DAE ，所以△CEF 是等腰直角三角形，且EC ＝8－6＝2，所以，2=?CEF S ．

故选A ．

2. 若136498322++-+-=y x y xy x M （x ，y 是实数），则M 的值一定是（ ）

（A ）正数 （B ）负数 （C ）零 （D ）整数 答：A

解：因为136498322++-+-=y x y xy x M ()0)3()2(22222≥++-+-=y x y x ， 且y x 2-，2-x ，3+y 这三个数不能同时为0，所以M > 0．

故选A ．

3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，1A ，1B ，1C 分别是点I 关于边BC ，CA ，

AB 的对称点．若点B 在△111A B C 的外接圆上，则ABC ∠等于（ ）

（A ）?30 （B ）?45 （C ）?60 （D ）?90 答：C

解：因为r IC IB IA 2111===（r 为△ABC 的内切圆半

径），所以点I 同时是△111A B C 的外接圆的圆心．设1I A 与

BC 的交点为D ，则 IB ＝1I A ＝2ID ，所以=∠IBD ?30．同

理，=∠IBA ?30．于是，=∠ABC ?60．

故选C ．

4．设A ＝)41001441431(

48222-++-+-? ，则与A 最接近的正整数是 （ ）

（A ）18 （B ）20 （C ）24 （D ）25

答：D

解：对于正整数3≥n ，有

??

? ??+--=-21214141

2n n n ， 所以 A ＝)41001

441431(

48222-++-+-? =????????? ??+++-??? ??+++?102161519812114148

＝??? ??----+++

?1021101110019914

1

31

21112 ＝25－???

??+++?10211011100199112． 因为 ???

??+++?102110111001991

12<99412?<21，所以，与A 最接近的正整数为25．

故选D ． 5．设a ，b 是正整数，且满足5956≤+≤b a ，0.90.91a

b <<，则22a b -等于（ ）

（A ）171 （B ）177 （C ）180 （D ）182

答：B

解：由题设得

599.0<+b b ， 5691.0>+b b ，

所以 3229<

因此b ＝30，31．

当b ＝30时，由b a b 91.09.0<<，得2827<

当b ＝31时，由b a b 91.09.0<<，得2927<

所以， 17722=-a b .

故选B ．

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6． 在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）.若现在时间恰好是12点整，则经过 秒钟后，△OAB 的面积第一次达到最大．

答：15

1559

解：设OA 边上的高为h ，则OB h ≤，所以

OB OA h OA S OAB ?≤?=?21

21，

当OB OA ⊥时，等号成立．此时△OAB 的面积最大．

设经过t 秒时，OA 与OB 第一次垂直．又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是

()901.06=-t ， 解得 59

1515

=t ．

7．在直角坐标系中，抛物线2

243m

mx x y -+=（0m >）与x 轴交于A ，B 两点，

若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足3

211=-OA

OB

，则m 的值等

于 .

答：2

解：设方程0

432

2=-

+m

mx x 的两根分别为1x ，2x ，且21x x <，则有

021<-=+m x x ，0

432

21<-

=m

x x ．

所以01x ，由

3

211=

-

OA

OB

，可知OB OA >，又0m >，所以，抛物线

的对称轴在y 轴的左侧，于是 11x x OA -==，2x OB =．所以

3

2111

2

=+x x ，

3

22

121=

+x x x x ， 故

3

2432

=

--m

m ．

解得 2=m ．

8．有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A ，2，3，…，J ，Q ，K 的顺序排列．某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是_ _．

答：第二副牌中的方块6

解：根据题意，如果扑克牌的张数为n 2,,2,2,232 ，那么依照上述操作方法，只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张．例如，手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64张牌．