解析几何中有关参数范围问题的求解策略 - 0

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解析几何中有关参数范围问题的求解策略

解析几何中有关参数范围问题的求解策略 曾庆宝 解析几何中的参数范围问题是平时考试和高考中的重要考查内容， 但这一类题综合性强、 变量多、 涉及知识面广， 是难点问题。

解答这类问题往往运用函数思想、 方程思想、 数形结合思想等， 将问题转化为求函数的值域划最值等来解决。

一. 运用数形结合探求参数范围 例 1. m 为何值时， 直线 yxm= +与半椭圆()()xyy22201911+=只有一个公共点？ 分析： 因为椭圆()()xyy22201911+=为半条曲线， 若利用方程观点研究这类问题，则需转化成根的分布问题， 较麻烦且易出错。 若用数形结合的思想来研究则直观易解。

如图，lll123、、是直线系 yxm= +中的三条直线， 这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的界线， 在l1与 l2之间的直线（含l1， 不含l2） 及l3都是与半椭圆只有一个公共点的直线， 而 m 是这些直线在 y 轴上的截距， 由此可求 m 的范围。 解：

l1过()2 51，， 则12 52 51=+= +mm， l2过()2 51，， 则12 52 51= +=+mm， 由的一元二次方程。

利用△＝0 得m = 6 综上所得， 12 512 5 +m或m = 6 二. 构建函数关系探求参数范围 例 2. P、 Q、 M、 N 四点都在椭圆

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得到关于 x

xy2221+=上， F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点。 已知 PF与 FQ共线， MF与 FN共线， 且 PFMF=0 。 求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值。 分析：

显然， 我们只要把面积表示为一个变量的函数， 然后求函数的最值即可。 解：

如图， 由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦， 相交于焦点 F（0， 1）， 且 PQMN，直线 PQ、 MN 中至少有一条存在斜率， 不妨设 PQ 的斜率为 k， 又 PQ 过点 F（0， 1）， 故PQ 方程为 ykx=+1 。 代入椭圆方程得()221022++ =kxkx 设 P、 Q 两点的坐标分别为()()xyxy1122，，，， 则 xkkkxkkk122222222222= ++= +++， 从而()()(2)()(+)PQxxyykkPQkk21221222222228 12 2 12=+=++=+， ①当 k 0时， MN 的斜率为 1k， 同上可推得 MNkk=+

故四边

形

面

积

++124 111224 215222222222 令(

ukk=+221， 得

因为 ukk=+2212 ， 此时

kuS= ==12169，，， 且 S 是以 u 为自变量的增函数， 所以1692S。 ②当 k = 0时， MN 为椭圆长轴，MNPQ==2 22， SPQMN==122 综合①②知， 四边形 PMQN 面积的最大值为 2， 最小值为169。

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三. 构造含参数不等式探求参数范围 例 3. 已知抛物线()ypx p220=， 过 M（a， 0） 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 A、 B，ABp 2。

（1） 求 a 的取值范围； （2） 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N， 求△NAB 面积的最大值。 分析：

这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题， 对于（1）， 可以设法得到关于 a 的不等式， 通过解不等式求出 a 的范围， 即求范围， 找不等式。

或者将 a 表示为另一个变量的函数， 利用求函数的值域求出 a 的范围。

对于（2） 首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数， 然后再求它的最大值。 解 ：

（1） 直线 l 的方程为：

yxa=， 将 yxa=代入抛物线方程 ypx22=， 设得()xap xa2220++= 设直线l 与抛物线两交点的坐标分别为 ()()A xyB xy1122，，，， 则

， 并且

yxayxa1122==， ()()()[]()ABxxyyxxx x1p pa=+=+=+12212212222482 又()02820+ABpp pa， 所以()0822+p pap 解得：

pap24 （2） 令 AB 中点为 Q， SABQNpABpppNAB?

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===122222222|| 即△NAB 的面积的最大值为22p 。

例 4. 已知梯形 ABCD 中，ABCD= 2， 点 E 满足 AEEC=， 双曲线过 C、 D、 E三点， 且以 A、 B 为焦点。 当2334时， 求双曲线离心率 e 的取值范围。 分析：

显然， 我们只要找到 e 与 的关系， 然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e 的范围。 解：

如图建立坐标系， CDy 轴， 因为双曲线经过点 C、 D， 且以 A、 B 为焦点， 由双曲线的对称性知 C、 D 关于 y 轴对称。 依题意， 记

中 cAB=12为双曲线的半焦距， h 是梯形的高。 由 AEEC=， 即

，， 解得： ，，，，，0200， 其

(2 1)()xcyh0021=+=+， 设双曲线的方程为xayb22221=， 则离心率eca= 由点 C、 E 在双曲线上， 将点 C、 E 的坐标和 eca=代入双曲线的方程得：

将1式代入2式， 整理得：

()e244412 = +故 = +1322e 依题设2334得： 23132342 +e 解得：

710e 所以双曲线的离心率的取值范围是 710e 四. 运用几何性质探求参数范围 例 5. 已知椭圆()xaybab222210+=， A、 B 是椭

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圆上的两点， 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点 ()P x00，。 证明：

aaabxab22022 分析：

欲证 x0满足关于参数 a、 b 的不等式， 须从题中找出不等关系， 由椭圆的性质可知， 椭圆上的点的坐标满足如下条件： axa ， 因此问题转化为寻求 x0与 x 的关系。 证明：

由题设可知， 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上， 所以 APBP= 若设 ()()A xyB xy1122，，，， 则有：

()()xxyxxy1021220222= 因为点 A、 B 在椭圆上， 所以 ybbaxybbax12222122222222==， 从而由 axaaxa12，可得， aaabxab22022 五. 构造方程运用判别式探求参数范围 例 6. 已知抛物线()ypx p220=上存在关于直线 xy+= 1 对称的相异两点， 求 p的取值范围。 分析：

解决本题的关键是建立方程， 运用判别式找到关于 p 的不等式。 解：

设抛物线上关于直线 xy+= 1 对称的两点是()()M xyN xy1122，，， 设直线 MN 的方程为 yxb=+， 代入抛物线方程， 得 ()xbp xb22220++= 则()xxpbyyxxbp1212122222+=+=++=， 则 MN 的

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中点 P 的坐标为()pbp ， 又因点 P 在直线 xy+= 1 上， 所以 21pb=， 即bp=21 又()? ==224480222bpbpbp 将bp=21 代入得： ()4821032022ppppp， 解得：

023p 【练习】 1. 设椭圆xmy2211++= 的两个焦点是()Fc10 ，与()F c20，， 且c 0， 椭圆上存在一点 P， 使得直线 PF1与 PF2垂直。

（1） 求实数 m 的取值范围； （2） 设l 是相应于焦点 F2的准线， 直线 PF2与 l 相交于点 Q 若QFPF2223=， 求直线 PF2的方程。

2. 在以 O 为原点的直角 坐标系中 ， 点 ()A 43，为△OAB 的直角 顶点。

已知ABOA= 2， 且点 B 的纵坐标大于零。

（1） 求向量 AB的坐标； （2） 求圆 xxyy22620++=的关于直线 OB 对称的圆的方程； （3） 是否存在实数 a， 使抛物线 yax=21 上总有关于直线 OB 对称的两个点？ 若不存在， 说明理由； 若存在， 求 a 的取值范围。

【答案】 1. （1） m 1 （2）()()yx= 322 2. （1）（6， 8） （2） ()()xy+=131022 （3） 存在 a 32 亲爱的各位老师， 您们好！ 我叫 xxx,我的毕业论文题目是《数字图书馆资源共享中云计算的现状、 颈瓶与对策研究》。

首先， 感谢我的论文指导老师龚蛟腾老师对我的悉心教诲和指导， 使我能够顺利完成我的毕业论文。

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其次， 我对这次答辩小组的全体老师表示深深的感谢， 感谢您们在百忙之中抽出时间对我的论文答辩表示关注， 最后， 我对我在大学四年所有的老师们表示感激，感激老师们的辛勤付出。 在此， 我诚心地希望我的老师们能够幸福安康！ 我的毕业论文选题开始是《云计算在数字图书馆中的应用研究》， 后来我的指导老师说我的选题范围太广， 应该抓住重点来写， 经过几番斟酌， 我最终选定了我的毕业论文题目《数字图书馆资源共享中云计算的现状、 颈瓶和对策研究》。 我的毕业论文是分：

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