2018年材料阅读题及答案

重庆中考材料阅读题分类讲练（含答案）

类型1 代数型新定义问题

例1【2017·重庆A】对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以，F(123)＝6.

(1)计算：F(243)，F(617)；

(2)若s，t都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，yF(s)

都是正整数)，规定：k＝.当F(s)＋F(t)＝18时，求k的最大值．

F(t)

针对训练

1．对于一个两位正整数xy(0≤y≤x≤9，且x、y为正整数)，我们把十位上的数与个位上的数的平方和叫做t的“平方和数”，把十位上的数与个位上的数的平方差叫做t的

2222

“平方差数”．例如：对数62来说，6＋2＝40，6－2＝32，所以40和32就分别是62的“平方和数”与“平方差数”．

(1)75的“平方和数”是________，5可以是________的“平方差数”；若一个数的“平方和数”为10，它的“平方差数”为8，则这个数是________．

(2)求证：当x≤9，y≤8时，t的2倍减去t的“平方差数”再减去99所得结果也是另一个数的“平方差数”．

(3)将数t的十位上的数与个位上的数交换得到数t′，若t与t的“平方和数”之和等于t′与t′的“平方差数”之和，求t.

2．将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列后(含n本身)．得到新三位数abc(a＜c)，在所有重新排列中，当|a＋c－2b|最小时，我们称abc是n的“调和优选数”，并

2

规定F(n)＝b－ac.例如215可以重新排列为125、152、215，因为|1＋5－2×2|＝2，|1＋2－2×5|＝7，|2＋5－2×1|＝5，且2＜5＜7，所以125是215的“调和优选数”，

2

F(215)＝2－1×5＝－1. (1)F(236)＝________；

(2)如果在正整数n三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：F(n)是一个完全平方数；

(3)设三位自然数t＝100x＋60＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数字与百位上的数字得到数t′.若t－t′＝693，那么我们称t为“和顺数”．求所有“和顺数”中F(t)的最大值．

3．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X进制就是逢X进一．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成(a)X.

0

类比于十进制，我们可以知道：X进制表示的数(1111)X中，右起第一位上的1表示1×X，

123

第二位上的1表示1×X，第三位上的1表示1×X，第四位上的1表示1×X.故(1111)X32103210

＝1×X＋1×X＋1×X＋1×X，即：(1111)X转化为十进制表示的数为X＋X＋X＋X.如：

32103210

(1111)2＝1×2＋1×2＋1×2＋1×2＝15，(1111)5＝1×5＋1×5＋1×5＋1×5＝156.根据材料，完成以下问题：

(1)把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：

(101011)2＝________；(302)4＝________；(257)7＝________

(2)若一个五进制三位数(a4b)5与八进制三位数(ba4)8之和能被13整除(1≤a≤5，1≤b≤5，且a、b均为整数)，求a的值；

(3)若一个六进制数与一个八进制数之和为666，则称这两个数互为“如意数”，试判断(mm1)6与(nn5)8是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由．

4.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最p

佳分解．并规定：F(n)＝.例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2

q3

＞4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝. 4

(1)如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数． 求证：对任意一个完全平方数m，总有F(m)＝1.

(2)如果一个两位正整数t，t＝10x＋y(1≤x≤y≤9，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；

(3)在(2)所得的“吉祥数”中，求F(t)的最大值．

类型2 函数型新定义问题

2

例2 已知一个大于1的正整数t可以分解成t＝ac＋b的形式(其中a≤c，a，b，c均为

2

正整数)，在t的所有表示结果中，当bc－ba取得最小值时，称“ac＋b”是t的“等比b＋c222

中项分解”，此时规定：P(t)＝，例如：7＝1×6＋1＝2×3＋1＝1×3＋2，1

2（a＋b）×6－1×1＞2×3－2×1＞1×3－1×2，所以2×3＋1是7的“等比中项分解”，P(7)2＝. 3

(1)若一个正整数q＝m＋n，其中m、n为正整数，则称q为“伪完全平方数”，证明：1

对任意一个“伪完全平方数”q都有Ρ(q)＝.

2

(2)若一个两位数s＝10x＋y(1≤y≤x≤5，且x，y均为自然数)，交换原数十位上的数字和个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的14倍，结果被8除余4，称这样的数s为“幸福数”，求所有“幸福数”的P(s)的最大值．

针对训练

2

1. 如果关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：

2

①方程x－x－2＝0是倍根方程；

22

②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程，则4m＋5mn＋n＝0；

22

③若点(p，q)在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px＋3x＋q＝0是倍根方程．

x其中正确的是________．(写出所有正确说法的序号)

2

2

2

2. 先阅读下列材料，再解答下列问题：

2

材料：因式分解：(x＋y)＋2(x＋y)＋1.

22

解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝A，则原式＝A＋2A＋1＝(A＋1).

2

再将“A”还原，得原式＝(x＋y＋1).

上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：

2

(1)因式分解：1＋2(x－y)＋(x－y)＝________； (2)因式分解：(a＋b)(a＋b－4)＋4＝________；

2

(3)证明：若n为正整数，则式子(n＋1)(n＋2)(n＋3n)＋1的值一定是某一个整数的平方．

3. 若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．

(1)实数1，2，3可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由；

k

(2)若M(t，y1)，N(t＋1，y2)，R(t＋3，y3)三点均在函数y＝(k为常数，k≠0)的图象

x上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三数组”，求实数t的值；

2

(3)若直线y＝2bx＋2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax＋3bx＋3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．

①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三数组”； cb

②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(，)与原点O的距离OP的取值范围．

aa

??x＝6，??x＝3，??x＝8，解得?或?或?∴N的值为5835，5326，5662.

???y＝6y＝2y＝3.???

(2)证明：设正整数K＝xAy，其中A为m位正整数，m≥1，1≤x≤9，0≤y≤9，x，y为整数，

m＋2m＋1

则K的“顺数”为：x6Ay＝10x＋6×10＋10A＋y， K的“逆数”为：xA6y＝10m＋2x＋100A＋60＋y， x6Ay－xA6y＝60(10m－1)－90A，

∴x6Ay－xA6y能被30整除，即结论成立．

5. 解：(1)证明：设某三位数百位、十位、个位上的数字分别是x、y、z， 则原三位数为：100x＋10y＋z，

根据题意，存在整数n，使得10x＋y－2z＝7n， ∴10x＋y＝2z＋7n，

∴100x＋10y＋z＝10(10x＋y)＋z＝10(2z＋7n)＋z＝21z＋70n， 100x＋10y＋z21z＋70n∴＝＝3z＋10n，

77

∵z、n都为整数，∴(3z＋10n)为整数， ∴原数能被7整除．

(2)设将一个多位自然数按题意分解后得到的个位数是B，个位之前的数是A，则原数为(10A＋B)．

根据题意，存在整数m，使得A＝13m－kB，

∴10A＋B＝10(13m－kB)＋B＝130m＋(1－10k)B＝130m－13kB＋(1＋3k)B， 10A＋B130m－13kB＋（1＋3k）B1＋3k∴＝＝10m－kB＋B，

131313∵k为正整数，1≤k≤5，∴k＝1或2或3或4或5， 1＋3×141＋3×271＋3×3101＋3×41＋3×516∵＝，＝，＝，＝1，＝.又∵m，B为整

131313131313131313数，

1＋3k∴当k＝4时，10m－kB＋B为整数，

13

此时原多位自然数能被13整除．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/sj0v.html